Chương 1 MÔ HÌNH CHUẨN SIÊU ĐỐI XỨNG TỐI THIỂU VÀ VẬT CHẤT TỐI 1.1 Mô hình chuẩn Trong vật lý hạt, tương tác cơ bản nhất - tương tác điện yếu - được mô tả bởi lý thuyết Glashow - Weinberg - Salam (GWS) [75] và tương tác mạnh được mô tả bởi lý thuyết QCD. GWS và QCD là những lý thuyết chuẩn cơ bản dựa trên nhóm SU(2)L ⊗ U(1)Y và SU(3)C , ở đây L chỉ phân cực trái, Y là siêu tích yếu và C là tích màu. Lý thuyết trường chuẩn là bất biến dưới phép biến đổi cục bộ và yêu cầu tồn tại các trường chuẩn vector thực hiện biểu diễn phó chính qui của nhóm. Vì vậy, trong trường hợp này, chúng ta có: 1.
Ba trường chuẩn Wµ1 , Wµ2 , Wµ3 cuả SU(2)L , 2. Một trường chuẩn Bµ của U(1)Y , 3. Tám trường chuẩn Gaµ của SU(3)C. Lagrangian của mô hình chuẩn bất biến dưới phép biến đổi Lorentz, biến đổi nhóm và thỏa mãn yêu cầu tái chuẩn hoá được.
Lagrangian toàn phần của mô hình chuẩn là: L = Lgauge + Lf ermion + LHiggs + LY ukawa , (1.1) trong đó: Lf ermion = i¯lLγ µ Dµ lL + iq̄Lαγ µ Dµ qLα + iūαR γ µ Dµ uRα + id̄αR γ µ Dµ dRα + iēRγ µ Dµ eR (1.2) với Y iDµ = i∂µ + gI i Wµi − g 0 Bµ + gs T a Gaµ , (1.3) 2 7 ở đây, ma trận T a là vi tử của phép biến đổi và Ta = σa , σa là ma trận Pauli, g và g 0 tương ứng là hằng số liên kết của các nhóm SUL (2) và UY (1), gs là hằng số liên kết mạnh. Lagrangian cho trường gauge là: 1 i 1 1 Lgauge = − Wµν i Wµν − Bµν Bµν − Gaµν Gaµν , (1.4) 4 4 4 trong đó: i Wµν = ∂ν Wµi − ∂µ Wνi − gijk Wµj Wνk , Bµν = ∂ν Bµ − ∂µ Bν , Gaµν = ∂ν Gaµ − ∂µ Gaν − gs f abc Gbµ Gcν với ijk , f abc là các hằng số cấu trúc của nhóm SU(2), SU(3). Nếu đối xứng không bị phá vỡ, tất cả các hạt đều không có khối lượng. Để phát sinh khối lượng cho các boson chuẩn và fermion thì ta phải sử dụng cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát sao cho tính tái chuẩn hóa của lý thuyết được giữ nguyên.
Cơ chế này đòi hỏi sự tồn tại của một trường vô hướng (spin 0) gọi là trường Higgs với thế năng V (φ) = −µ2 |φ|2 + λ/4|φ|2. Với sự lựa chọn λ và |µ|2 là thực và không âm, các trường Higgs tự tương tác dẫn đến một giá trị kì vọng chân không hữu hạn < v > phá vỡ đối xứng SU(2)L ⊗ U(1)Y. Và tất cả các trường tương tác với trường Higgs sẽ nhận được khối lượng. Trường vô hướng Higgs biến đổi như lưỡng tuyến của nhóm SUL (2) mang siêu tích và không có màu.
Lagrangian của trường Higgs và tương tác Yukawa gồm thế năng VHigg , tương tác Higgs-boson chuẩn sinh ra do đạo hàm hiệp biến và tương tác Yukawa giữa Higgs-fermion [112] LHiggs + LY ukawa = |Dµ φ|2 + (ydq̄LαφdRα + yuūαL φ̃uRα + ye l̄LφeR + h.5) với yd, yu , ye là các ma trận 3 × 3. φ̃ là phản lưỡng tuyến của φ. φ sinh khối lượng cho các down-type quark và lepton, trong khi φ̃ sinh khối lượng cho các up-type fermion. Trong khi Lagrangian bất biến dưới đối xứng chuẩn, thành phần trung hoà của lưỡng tuyến Higgs có trị trung bình chân không (vev - vacuum expectation value): 0√ < φ >= .6) v/ 2 8 sẽ phá vỡ đối xứng SU(2)L ⊗U(1)Y thành U(1)EM thông qua < φ >.
Khi đối xứng toàn cục bị phá vỡ, trong lý thuyết sẽ xuất hiện các Goldstone boson không khối lượng. Nếu như đối xứng là cục bộ thì những Goldstone boson này biến mất, trở thành những thành phần dọc của boson vector (người ta nói rằng chúng bị các gauge boson ăn). Khi đó, 3 boson vector Wµ± , Zµ thu được khối lượng là: MW = gv/2, q MZ = (g 2 + g 02 )v/2. Trong khi đó gauge boson Aµ (photon) liên quan tới UEM (1) vẫn không khối lượng như là bắt buộc bởi đối xứng chuẩn.
Khi phá vỡ đối xứng tự phát, tương tác Yukawa sẽ đem lại khối lượng cho các fermion: 1 1 1 me = √ ye v, mu = √ yu v, md = √ yd v, mν = 0.7) 2 2 2 Như vậy, tất cả các trường tương tác với trường Higgs đều nhận được một khối lượng. Tuy nhiên, cho đến nay, boson Higgs vẫn chưa được tìm thấy ngoài một giá trị giới hạn dưới của khối lượng của nó ở 114.4 GeV được xác định với độ chính xác 95% từ các thí nghiệm ở LEP [105]. Ngoài ra, các dữ liệu thực nghiệm đã chứng tỏ rằng neutrino có khối lượng mặc dù nó rất bé so với thang khối lượng trong mô hình chuẩn. Mà trong mô hình chuẩn neutrino không có khối lượng và điều này là chứng cớ của việc mở rộng mô hình chuẩn.
Mô hình chuẩn không thể giải thích tất cả các hiện tượng của tương tác giữa các hạt, đặc biệt là ở thang năng lượng lớn hơn 200 GeV và thang Planck. Tại thang Planck, tương tác hấp dẫn trở nên đáng kể và chúng ta hi vọng các tương tác chuẩn thống nhất với tương tác hấp dẫn thành một tương tác duy nhất. Nhưng mô hình chuẩn đã không đề cập đến lực hấp dẫn. Ngoài ra, mô hình chuẩn cũng còn một số điểm hạn chế sau: - Mô hình chuẩn không giải thích được các vấn đề liên quan tới số lượng và cấu trúc của các thế hệ fermion.
- Mô hình chuẩn không giải thích được sự khác nhau về khối lượng của quark t so với các quark khác. 9 - Mô hình chuẩn không giải quyết được vấn đề strong CP: tại sao θQCD ≤ 10−10 1? - Mô hình chuẩn không giải thích được các vấn đề liên quan tới các quan sát trong vũ trụ học như: bất đối xứng baryon (baryon asymmetry), không tiên đoán được sự giãn nở của vũ trụ cũng như vấn đề "vật chất tối" không baryon (non-baryonic dark matter), "năng lượng tối" (dark energy), gần bất biến tỉ lệ, gaussian. - Năm 2001 đã đo được độ lệch của moment từ dị thường của muon so với tính toán lý thuyết của mô hình chuẩn. Điều này có thể là hiệu ứng vật lý mới dựa trên các mô hình mở rộng [87].
Vì vậy, việc mở rộng mô hình chuẩn là việc làm mang tính thời sự cao. Trong các mô hình mở rộng sẽ tồn tại các hạt mới với các tương tác và hiện tượng vật lý mới cho phép ta thu được các số liệu làm cơ sở chỉ đường cho việc đề ra các thí nghiệm trong tương lai. Một vấn đề đặt ra là: Phải chăng mô hình chuẩn là một lý thuyết tốt ở vùng năng lượng thấp và nó được bắt nguồn từ một lý thuyết tổng quát hơn? Điều này dẫn tới việc xây dựng các mô hình tổng quát hơn mô hình chuẩn, hay còn gọi là mô hình chuẩn mở rộng. Mô hình mới phải giải quyết được những hạn chế của mô hình chuẩn và trong một trường hợp riêng nào đó phải trở về mô hình chuẩn.
Các mô hình chuẩn mở rộng được đánh giá bởi 3 tiêu chí [67]. - Thứ nhất: động cơ thúc đẩy việc mở rộng mô hình. Mô hình phải giải thích hoặc gợi lên những vấn đề mới mẻ về những lĩnh vực mà mô hình chuẩn chưa giải quyết được. - Thứ hai: Khả năng kiểm nghiệm của mô hình.
Các hạt mới hoặc các quá trình vật lý mới cần phải được tiên đoán ở vùng năng lượng mà các máy gia tốc có thể đạt tới. - Thứ ba: Tính đẹp đẽ và tiết kiệm của mô hình. Từ mô hình chuẩn có 3 hằng số tương tác tức là chưa thực sự thống nhất mô tả các tương tác đã dẫn đến việc phát triển thành lý thuyết thống nhất lớn (Grand Unified Theories - GUTs). Lý thuyết này đã đưa ra một hằng số tương tác g duy nhất ở năng lượng siêu cao, ở năng lượng thấp g tách thành 3 hằng số biến đổi khác nhau.
Ngoài ra, quark và lepton thuộc cùng một đa tuyến nên 10 tồn tại một loại tương tác biến lepton thành quark và ngược lại, do đó vi phạm sự bảo toàn số baryon (B) và số lepton (L). Tương tác vi phạm B có thể đóng vai trò quan trọng trong việc sinh baryon ở những thời điểm đầu tiên của vũ trụ. Từ sự không bảo toàn số L có thể suy ra được neutrino có khối lượng khác không (khối lượng Majorana), điều này phù hợp với thực nghiệm. Mặc dù khối lượng của neutrino rất nhỏ (cỡ vài eV ) và đóng góp vào khối lượng vũ trụ cũng rất bé, điều này có thể liên quan đến vấn đề vật chất tối trong vũ trụ.
GUTs dựa trên các nhóm Lie với biểu diễn được lấp đầy những hạt với spin cố định. Tuy nhiên, các lý thuyết này chưa thiết lập được quan hệ giữa các hạt với spin khác nhau, và nó cũng chưa bao gồm cả tương tác hấp dẫn [143]. Hơn nữa, GUTs cũng chưa giải thích được một số hạn chế của mô hình chuẩn như: tại sao khối lượng của quark t lại lớn hơn nhiều so với khối lượng của các quark khác và khác xa với giá trị tiên đoán của lý thuyết. Vậy lý thuyết này chưa phải là thống nhất hoàn toàn.
Vì vậy, sự mở rộng hiển nhiên của lý thuyết GUTs phải được thực hiện theo các hướng khác nhau, một trong các hướng đó là xây dựng một đối xứng liên quan giữa các hạt có spin khác nhau. Đối xứng mới này được gọi là siêu đối xứng (Supersymmetry - SUSY), được đề xuất vào những năm 70 [149]. Xa hơn nữa, SUSY định xứ đã dẫn đến lý thuyết siêu hấp dẫn. Siêu hấp dẫn mở ra triển vọng thống nhất được cả bốn loại tương tác.
Một trong những mô hình siêu đối xứng được quan tâm nghiên cứu và có nhiều hứa hẹn nhất của mô hình chuẩn là mô hình chuẩn siêu đối xứng tối thiểu (the Minimal Supersymmetric Standard Model - MSSM).2 Siêu đối xứng và Mô hình chuẩn siêu đối xứng tối thiểu 1.1 Siêu đối xứng Siêu đối xứng là một đối xứng giữa fermion và boson, hay chính xác hơn, giữa các trạng thái có spin khác nhau [107]. Các phép biến đổi siêu đối xứng được sinh bởi các vi tử Q (generator Q), biến fermion thành boson và ngược lại: Q|Boson >= |F ermion >, Q|F ermion >= |Boson > .