I. Giới thiệu
Luận án này nghiên cứu về môđun Cohen-Macaulay và quỹ tích không Cohen-Macaulay trên vành Noether địa phương. Đặc biệt, nó tập trung vào việc phân tích cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc và các quỹ tích không Cohen-Macaulay. Mục tiêu chính là làm rõ mối quan hệ giữa các quỹ tích này và các tính chất của chúng trong bối cảnh của các vành giao hoán Noether địa phương. Các khái niệm cơ bản như chiều Krull, độ sâu và các hệ tham số sẽ được nhấn mạnh trong phần này.
II. Môđun Cohen Macaulay và suy rộng
Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Đặc biệt, môđun Cohen-Macaulay được định nghĩa thông qua mối quan hệ giữa độ sâu và chiều của nó. Nếu depth M = dim M, thì M được gọi là môđun Cohen-Macaulay. Hơn nữa, các mở rộng của lớp môđun này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Các tính chất của môđun Cohen-Macaulay suy rộng cũng được phân tích, nhấn mạnh rằng chúng có thể được đặc trưng qua các hệ tham số và độ dài thặng dư.
III. Quỹ tích không Cohen Macaulay
Chương này tập trung vào việc nghiên cứu quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun M, ký hiệu là nCM(M). Quỹ tích này được định nghĩa là tập hợp các iđêan nguyên tố p của R sao cho Mp không là Cohen-Macaulay. Đặc biệt, nếu M là Cohen-Macaulay, thì nCM(M) sẽ rỗng. Các kết quả cho thấy rằng nCM(M) không phải là tập con đóng trong Spec(R) với tôpô Zariski, và chiều của nCM(M) có thể được xác định trong một số trường hợp nhất định.
IV. Mối quan hệ giữa các quỹ tích
Chương này làm rõ mối quan hệ giữa quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc KM và quỹ tích không Cohen-Macaulay của M. Đặc biệt, nghiên cứu chỉ ra rằng nCM(KM) ⊆ nCM(M), nhưng hai quỹ tích này hầu như là độc lập với nhau. Các kết quả này có thể được áp dụng để hiểu rõ hơn về cấu trúc của các môđun trong bối cảnh của các vành giao hoán Noether địa phương.
V. Kết luận
Luận án đã cung cấp cái nhìn sâu sắc về môđun Cohen-Macaulay và quỹ tích không Cohen-Macaulay trong vành Noether địa phương. Các kết quả đạt được không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể được áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, như lý thuyết bất biến và hình học đại số. Nghiên cứu này mở ra hướng đi mới cho các nghiên cứu tiếp theo về các môđun và vành trong đại số giao hoán.
