Luận án tiến sĩ về số học hình học của nhóm địa số và các không gian thuần nhất liên quan

• Trường học: Trường Đại Học
• Chuyên ngành: Toán Học
• Đề tài: Nghiên Cứu Số Học Hình Học Của Nhóm Địa Số Và Không Gian Thuần Nhất
• Loại tài liệu: Luận Án
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Hà Nội

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: Một số kiến thức chuẩn bị
• 1.1. Nhóm đại số tuyến tính
• 1.2. Lược đồ nhóm affine
• 1.3. Đối đồng điều Galois
• 1.4. Đối đồng điều phẳng
• 1.5. Tôpô trên tập, nhóm đối đồng điều Galois và đối đồng điều phẳng
• 2. CHƯƠNG 2: Một số tính chất hữu tỷ của các nhóm con quan sát được và nhóm con Grosshans
• 2.1. Các tính chất hữu tỷ của nhóm con quan sát được
• 2.2. Các tính chất hữu tỷ của nhóm con toàn cấu
• 2.3. Các tính chất hữu tỷ của nhóm con Grosshans
• 2.4. Kết luận của Chương 2
• 3. CHƯƠNG 3: Về một dạng tương đối cho Định lý của Bogomolov trên trường hoàn thiện và ứng dụng của nó
• 3.1. Một số khái niệm và kết quả chính
• 3.2. Một số kết quả trong lý thuyết biểu diễn
• 3.2.1. Định lý cơ bản của biểu diễn nhóm reductive trên trường đóng đại số
• 3.2.2. Một số ký hiệu và ∆-tác động
• 3.2.3. Lý thuyết của Tits về biểu diễn của nhóm reductive trên một trường bất kỳ
• 3.2.4. Trạng thái của một biểu diễn
• 3.2.5. Các nhóm con parabolic P(λ) và P(χ)
• 3.2.6. Đặc trưng của các nhóm con tựa parabolic
• 3.2.7. Định lý của Kempf
• 3.2.8. Định lý của Ramanan và Ramanathan
• 3.2.9. Liên hệ giữa biểu diễn của nhóm reductive và biểu diễn của nhóm nửa đơn
• 3.3. Dạng tương đối cho một định lý của Bogomolov
• 3.3.1. Chứng minh thứ nhất của Định lý
• 3.3.2. Chứng minh thứ hai của Định lý
• 3.4. Một số tính chất hữu tỷ của các nhóm con tựa parabolic và các nhóm con dưới parabolic
• 3.5. Kết luận của Chương 3
• 4. CHƯƠNG 4: Quỹ đạo tương đối ứng với tác động của nhóm đại số trên trường địa phương
• 4.1. Một số kết quả sơ bộ
• 4.2. Quỹ đạo tương đối của nhóm đại số trên trường đầy đủ hoàn thiện
• 4.3. Quỹ đạo tương đối của nhóm đại số trên trường đầy đủ bất kỳ
• 4.3.1. Tác động tách mạnh, tác động khá tách
• 4.3.2. Chứng minh Định lý
• 4.3.3. Sơ đồ chứng minh Định lý
• 4.3.4. Trường hợp các nhóm dừng là lũy đơn
• 4.3.5. Trường hợp các nhóm giao hoán và xuyến
• 4.3.6. Trường hợp nhóm dừng là một k-nhóm giải được, liên thông
• 4.3.7. Trường hợp G là một k-nhóm tuyến tính lũy linh
• 4.3.8. Trường hợp nhóm dừng là reductive
• 4.3.9. Trường hợp tác động là khá tách
• 4.3.10. Một số tính toán trong trường hợp trường có đặc số p
• 4.4. Kết luận của Chương 4
• KẾT LUẬN
• Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận án
• Tài liệu tham khảo

I. Giới thiệu về nhóm đại số và không gian thuần nhất

Nghiên cứu số học hình học của nhóm địa số và không gian thuần nhất là một lĩnh vực quan trọng trong toán học hiện đại. Nhóm đại số tuyến tính, được xác định trên một trường k, đóng vai trò trung tâm trong nghiên cứu này. Nhóm này có thể được hiểu như một tập hợp các ma trận vuông với hệ số nằm trong bao đóng đại số của trường k. Không gian thuần nhất G/H, nơi G là nhóm đại số và H là nhóm con đóng, là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết bất biến hình học. Lý thuyết này nghiên cứu các tác động của nhóm đại số lên các đa tạp đại số, đặc biệt là các quỹ đạo dưới tác động của nhóm. Việc nghiên cứu các tính chất hình học của các quỹ đạo này giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của nhóm và không gian mà nó tác động lên.

1.1. Các khái niệm cơ bản về nhóm đại số

Nhóm đại số tuyến tính là một khái niệm cơ bản trong lý thuyết nhóm. Một nhóm G được gọi là nhóm đại số tuyến tính nếu nó đồng thời là một đa tạp affine xác định trên k và các phép toán nhóm là các k-cấu xạ. Các nhóm như Ga (nhóm cộng tính) và Gm (nhóm nhân tính) là những ví dụ điển hình. Đối đồng điều Galois và đối đồng điều phẳng cũng là những khái niệm quan trọng trong nghiên cứu này, giúp xác định các cấu trúc và tính chất của nhóm đại số. Việc hiểu rõ các khái niệm này là cần thiết để tiến hành các nghiên cứu sâu hơn về các nhóm con và không gian thuần nhất.

II. Tính chất hữu tỷ của các nhóm con

Chương này tập trung vào việc nghiên cứu các tính chất hữu tỷ của các nhóm con quan sát được, nhóm con toàn cấu và nhóm con Grosshans. Các nhóm con này đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu cấu trúc của nhóm đại số. Định lý chính trong chương này chỉ ra rằng một nhóm con H của G là quan sát được nếu nó có thể được biểu diễn dưới dạng H = Gv, với v là một vectơ trong một G-môđun hữu tỷ. Điều này cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa các nhóm con và các không gian thuần nhất. Các điều kiện cần và đủ để một nhóm con là toàn cấu cũng được trình bày, nhấn mạnh tầm quan trọng của các nhóm con trong lý thuyết bất biến hình học.

2.1. Nhóm con quan sát được

Nhóm con H được gọi là quan sát được nếu nó là nhóm con dừng của một vectơ trong một G-môđun hữu tỷ. Các điều kiện cần và đủ để một nhóm con là quan sát được đã được nghiên cứu kỹ lưỡng. Kết quả này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc giải quyết các bài toán số học. Việc xác định các nhóm con quan sát được giúp mở rộng các kết quả của lý thuyết bất biến hình học từ trường đóng đại số sang trường không đóng đại số.

III. Định lý Bogomolov và ứng dụng

Chương này nghiên cứu việc mở rộng các Định lý Bogomolov cho trường không đóng đại số. Định lý này có ý nghĩa quan trọng trong việc hiểu cấu trúc của các nhóm đại số và các không gian mà chúng tác động lên. Kết quả chính chỉ ra rằng nếu G là một nhóm đại số tuyến tính xác định trên một trường hoàn thiện, thì các nhóm con k-tựa parabolic có mối liên hệ chặt chẽ với các nhóm con quan sát được. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới trong việc áp dụng lý thuyết bất biến hình học vào các bài toán số học phức tạp.

3.1. Các kết quả chính

Các kết quả chính trong chương này bao gồm việc chứng minh mối liên hệ giữa các nhóm con k-tựa parabolic và các nhóm con quan sát được. Định lý cho thấy rằng nếu H là một nhóm con k-tựa parabolic, thì nó cũng là nhóm con quan sát được. Điều này không chỉ khẳng định tính chất của các nhóm con mà còn mở rộng các kết quả đã biết trong lý thuyết nhóm đại số. Việc áp dụng các kết quả này vào các bài toán số học sẽ giúp giải quyết nhiều vấn đề phức tạp trong lĩnh vực này.

IV. Quỹ đạo tương đối và tác động của nhóm đại số

Chương cuối cùng nghiên cứu mối liên hệ giữa tôpô Zariski của quỹ đạo hình học và tôpô Hausdorff của quỹ đạo tương đối. Kết quả cho thấy rằng nếu quỹ đạo G · x là đóng theo tôpô Zariski, thì quỹ đạo tương đối G(k) · x cũng sẽ đóng theo tôpô Hausdorff. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc hiểu cấu trúc của các quỹ đạo dưới tác động của nhóm đại số. Các kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc nghiên cứu các không gian moduli và các bài toán số học phức tạp.

4.1. Các kết quả chính

Các kết quả chính trong chương này bao gồm việc chứng minh mối liên hệ giữa các quỹ đạo dưới tác động của nhóm đại số và các tính chất đóng của chúng. Định lý cho thấy rằng nếu quỹ đạo G(k) · x là đóng trong X(k) theo tôpô Hausdorff, thì quỹ đạo G · x cũng sẽ đóng theo tôpô Zariski. Điều này mở rộng các kết quả đã biết và cung cấp cái nhìn sâu sắc hơn về mối quan hệ giữa các nhóm đại số và các không gian mà chúng tác động lên.