Luận án tiến sĩ: Nghiên cứu về vành Auslander-Gorenstein không giao hoán

• Người hướng dẫn: GS. TS. Nguyễn Đình Ngọc
• Trường học: Hanoi
• Chuyên ngành: Toán - Lý thuyết số
• Đề tài: Nghiên Cứu Về Vành Auslander-Gorenstein Không Giao Hoán
• Loại tài liệu: Luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 1991
• Địa điểm: Hanoi

• LỜI MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: VÀNH AUSLANDER - GORENSTEIN, MÔ ĐUN THUẦN TUY VÀ MÔ ĐUN HOLONOM
• 1.1. Dãy phức Roos - Bjork - Ischebeck
• 1.1.1. Xây dựng dãy phức
• 1.1.2. Mệnh đề (số hạng tử của dãy phức)
• 1.1.3. B-1 lpc của một mô đun
• 1.1.4. Hệ quả (của mệnh đề)
• 1.1.5. Nhận xét
• 1.2. Vành Auslander - Gorenstein
• 1.2.1. Điều kiện Auslander
• 1.2.2. Các ví dụ
• 1.2.3. Quy ước
• 1.2.4. Định nghĩa (số tS(M))
• 1.2.5. Hệ luận (của mệnh đề)
• 1.2.6. Hệ quả (của tiểu mục trước)
• 1.3. Mô đun thuần tuy (pure modules)
• 1.3.1. Ví dụ
• 1.3.2. Nhận xét
• 1.3.3. Hệ quả (của định lý)
• 1.3.4. Một mô tả khác của B-lpc
• 1.4. Định nghĩa mô đun holonom
• 1.4.1. Các ví dụ
• 1.4.2. Hệ quả (của mệnh đề 1.5)
• 1.5. Vành Auslander - Gorenstein giao hoàn
• 1.5.1. Định lí (điều kiện cần và đủ để một vành giao hoàn là Auslander - Gorenstein)
• 1.5.2. Hệ quả (của định lí)
• 1.5.3. Hệ quả (của mệnh đề 1.7)
• 2. CHƯƠNG 2: VÀNH AUSLANDER—GORENSTEIN CÓ LỌC, IDEAL ĐẶC TRƯNG VÀ MÔ ĐUN THUẦN TUY
• 2.1. Nhắc lại về vành lpc và mô đun lpc
• 2.1.1. Tổ pô sinh bởi một lpc
• 2.1.2. Vành phân bậc liên kết với một lpc
• 2.1.3. Một dãy phức của mô đun lpc
• 2.1.4. Hệ quả (của nhận xét)
• 2.2. Vành lpc và tính Auslander - Gorenstein
• 2.2.1. Nhắc lại định lí Foos-Bjork (về số bảo toàn và tính Auslander-Gorenstein của vành lpc)
• 2.2.2. Ideal đặc trưng của mô đun thuần tuy
• 2.2.3. Định nghĩa ideal đặc trưng của mô đun
• 2.2.4. Nhận xét
• 2.3. Nhắc lại định lí Kashiwara-Gabber-Bjork về dạng chiếu của ideal đặc trưng
• 2.4. Nhận xét
• 2.5. Mệnh đề (một tính chất của các tập V(M))
• 2.5.1. Mệnh đề
• 2.5.2. Hệ quả (của mệnh đề 2)
• 3. CHƯƠNG 3: MÔ ĐUN HOLONOM TRÊN VÀNH AUSLANDER — GORENSTEIN CÓ LỌC
• 3.1. Vành lpc và tính holonom
• 3.1.1. Sự tồn tại của các mô đun holonom
• 3.1.2. Số bội theo ideal nguyên tố và cycle
• 3.2. Mô đun holonom và hàm tỉ M > Ff
• 3.2.1. Ngoại Poisson và ideal đối hợp
• 3.2.2. Nhận xét
• 3.2.3. Nhắc lại định lí Gabber (về tính đối hợp của đa tập đặc trưng)
• 3.3. Phép vi mô địa phương hóa, 1 dp Bernstein và tính dạng chiếu
• 3.3.1. Đa tập đặc trưng của mô đun vi mô địa phương hóa
• 3.3.2. Vi mô địa phương hóa, tính Auslander-Gorenstein và tính thuần tuy
• 3.4. Hệ quả (của định lí 3.4.1)
• 3.5. Địa phương hóa T - vành
• 3.5.1. Định nghĩa (ideal đặc trưng)
• 3.5.2. Định nghĩa (kì di chỉnh qui theo rìchìa đại số)
• 3.5.3. Định nghĩa (điều kiện cực tiểu đại với Ass)
• 3.5.4. Địa phương hóa theo một ideal nguyên tố
• 3.5.5. Địa phương hóa và tính Auslander-Gorenstein
• 3.5.6. Định lí (địa phương hóa và kì di chỉnh qui)
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Giới thiệu về vành Auslander Gorenstein không giao hoán

Nghiên cứu về vành Auslander-Gorenstein không giao hoán trong luận án tiến sĩ toán học tập trung vào việc phân tích các tính chất lý thuyết của loại vành này. Vành Auslander-Gorenstein được định nghĩa trong bối cảnh lý thuyết đại số, đặc biệt là trong nghiên cứu về các mô đun thuần túy và mô đun hòlònôm. Các nghiên cứu trước đây đã chỉ ra rằng vành Auslander-Gorenstein có nhiều ứng dụng trong lý thuyết đại số, đặc biệt là trong việc phân tích các mô đun và hình học đại số. Một trong những điểm nổi bật của nghiên cứu này là việc xác định các điều kiện cần thiết để một vành có thể được coi là Gorenstein và không giao hoán. Theo Bjork, điều kiện Auslander là một trong những yếu tố quan trọng trong việc xác định tính chất của vành này.

1.1. Các khái niệm cơ bản

Trong phần này, các khái niệm cơ bản về vành Auslander-Gorenstein và các loại vành khác như vành Noether và vành Artinian được trình bày. Vành Auslander-Gorenstein không giao hoán có những đặc điểm riêng biệt, khác với các vành giao hoán. Nghiên cứu này cũng nhấn mạnh tầm quan trọng của việc hiểu rõ các tính chất của vành không giao hoán trong bối cảnh lý thuyết đại số. Các ví dụ cụ thể về vành Gorenstein và vành Auslander được đưa ra để minh họa cho các khái niệm này.

II. Tính chất của vành Auslander Gorenstein không giao hoán

Nghiên cứu về tính chất của vành Auslander-Gorenstein không giao hoán cho thấy rằng loại vành này có những đặc điểm độc đáo. Các tính chất này bao gồm khả năng tồn tại của các mô đun hòlònôm và các mô đun thuần túy. Đặc biệt, nghiên cứu chỉ ra rằng các vành này có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán trong lý thuyết đại số. Một trong những kết quả quan trọng là việc xác định các điều kiện cần thiết để một vành có thể được coi là Gorenstein. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển lý thuyết về các vành không giao hoán.

2.1. Các ví dụ minh họa

Các ví dụ cụ thể về vành Auslander-Gorenstein không giao hoán được trình bày để minh họa cho các tính chất đã nêu. Những ví dụ này không chỉ giúp làm rõ các khái niệm lý thuyết mà còn cho thấy ứng dụng thực tiễn của chúng trong các bài toán cụ thể. Nghiên cứu cũng chỉ ra rằng các vành này có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học, từ lý thuyết đại số đến hình học đại số.

III. Ứng dụng của vành Auslander Gorenstein không giao hoán

Nghiên cứu về vành Auslander-Gorenstein không giao hoán không chỉ dừng lại ở lý thuyết mà còn mở ra nhiều ứng dụng thực tiễn. Các ứng dụng này bao gồm việc sử dụng các vành này trong việc giải quyết các bài toán trong lý thuyết đại số và hình học đại số. Nghiên cứu cũng chỉ ra rằng các vành này có thể được sử dụng để phát triển các phương pháp mới trong nghiên cứu toán học. Điều này cho thấy tầm quan trọng của việc nghiên cứu và phát triển lý thuyết về vành không giao hoán trong bối cảnh toán học hiện đại.

3.1. Tương lai của nghiên cứu

Nghiên cứu về vành Auslander-Gorenstein không giao hoán mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong tương lai. Các nhà nghiên cứu có thể tiếp tục khám phá các tính chất của loại vành này và tìm kiếm các ứng dụng mới trong các lĩnh vực khác nhau của toán học. Việc phát triển lý thuyết về vành không giao hoán sẽ góp phần làm phong phú thêm kiến thức trong lĩnh vực đại số và hình học đại số.