Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học mang tên "Nghiệm $\beta$-nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi và ứng dụng trong bài toán điều khiển tối ưu" được thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng và PGS. Hà Tiến Ngoạn. Luận án thuộc chuyên ngành Giải tích toán học, tập trung vào lĩnh vực giải tích không trơn, phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một và lý thuyết điều khiển tối ưu.

Về tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu, phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Hamilton-Jacobi cấp một xuất hiện phổ biến trong cơ học và bài toán quy hoạch động của lý thuyết điều khiển tối ưu tất định (phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman). Do tính chất phi tuyến, lớp phương trình này thường không tồn tại nghiệm cổ điển khả vi, đòi hỏi việc xây dựng và sử dụng các khái niệm nghiệm suy rộng, tiêu biểu là nghiệm nhớt do M. G. Crandall và P. L. Lions khởi xướng từ đầu thập niên 1980. Phần lớn các công trình kinh điển khảo sát nghiệm nhớt dựa trên dưới vi phân Fréchet, gắn liền với yêu cầu không gian Banach nền phải có chuẩn trơn Fréchet. Tuy nhiên, điều kiện này không thỏa mãn trên nhiều không gian hàm cơ bản như không gian $L^1$ hoặc không gian dãy $\ell^1$. Để khắc phục ranh giới này, khái niệm borno $\beta$ và $\beta$-dưới vi phân đã được đưa vào nhằm tạo ra các lớp nghiệm suy rộng phù hợp hơn. Mặt khác, các kết quả chứng minh tính duy nhất nghiệm Fréchet-nhớt trước đây thường phải sử dụng giả thiết Radon-Nikodym tương đối ngặt, trong khi kết quả về nghiệm $\beta$-nhớt của J. Borwein mới chỉ dừng lại ở lớp hàm liên tục đều, bị chặn với các giả thiết bán liên tục dưới địa phương đều. Đồng thời, các nghiên cứu về phương trình Hamilton-Jacobi trên các cấu trúc hình học mạng lưới và khớp nối chủ yếu xét hàm chi phí bị chặn. Từ những vấn đề trên, luận án đặt ra mục tiêu giải quyết các khoảng trống lý thuyết này.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án được cụ thể hóa thành 4 nội dung chính:

  1. Khảo sát hệ thống tính chất của $\beta$-dưới vi phân và thiết lập các dạng mở rộng của nguyên lý biến phân trơn trên không gian Banach có chuẩn $\beta$-trơn hoặc thỏa mãn giả thiết tồn tại hàm bướu trơn $(H_\beta^*)$.
  2. Chứng minh tính duy nhất, sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm $\beta$-nhớt đối với bài toán Dirichlet của phương trình Hamilton-Jacobi dạng tổng quát $u + H(x, Du) = 0$ và $u + H(x, u, Du) = 0$ trong lớp hàm bị chặn cũng như không bị chặn mà không cần giả thiết Radon-Nikodym.
  3. Ứng dụng nghiệm $\beta$-nhớt để chứng minh hàm giá trị của bài toán điều khiển tối ưu vô hạn chiều là nghiệm duy nhất của phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman tương ứng; xác lập điều kiện cần và điều kiện đủ cho điều khiển tối ưu.
  4. Nghiên cứu phương trình Hamilton-Jacobi và bài toán điều khiển tối ưu trên khớp nối trong trường hợp hàm chi phí không bị chặn (có tốc độ tăng trưởng dạng mũ hoặc đa thức), thiết lập nguyên lý so sánh và tính duy nhất nghiệm nhớt.

Đối tượng nghiên cứu của luận án là khái niệm $\beta$-dưới vi phân, nghiệm $\beta$-nhớt của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Hamilton-Jacobi và hàm giá trị của bài toán điều khiển tối ưu. Phạm vi nghiên cứu về mặt không gian bao gồm các không gian Banach tổng quát (vô hạn chiều và hữu hạn chiều) và cấu trúc hình học khớp nối $G$ gồm $N$ tia nối tại gốc tọa độ $O$; về mặt thời gian, bài toán điều khiển tối ưu được khảo sát với khoảng thời gian vô hạn $[0, +\infty)$.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Lý thuyết nghiệm nhớt được công bố lần đầu trong công trình năm 1983 của M. G. Crandall và P. L. Lions [23], sau đó tiếp tục được hoàn thiện bởi L. C. Evans, M. G. Crandall, P. L. Lions [18, 20, 22, 25, 26, 30]. Nghiệm nhớt ban đầu được định nghĩa thông qua dưới vi phân Fréchet, sau đó mở rộng sang các dạng dưới vi phân khác như Hadamard, Hadamard yếu, Gâteaux và tổng quát hóa thành $\beta$-dưới vi phân ứng với borno $\beta$ [18, 19, 25]. Đối với bài toán Dirichlet của phương trình Hamilton-Jacobi, việc chứng minh tính duy nhất nghiệm là khâu phức tạp nhất, chủ yếu dựa trên kỹ thuật gấp đôi số biến và các nguyên lý biến phân. Năm 1993, R. Deville, G. Godefroy và V. Zizler [26] thiết lập nguyên lý biến phân trơn để chứng minh tính duy nhất nghiệm $\beta$-nhớt cho phương trình $u + F(Du) = f$ với giả thiết hàm Hamilton $F$ liên tục đều trên $X_\beta^*$ và vế phải $f$ liên tục đều, bị chặn. Năm 1999, J. Borwein [19] mở rộng kết quả tính duy nhất nghiệm $\beta$-nhớt cho phương trình $u + H(x, Du) = 0$ trong lớp hàm liên tục đều và bị chặn, dựa trên giả thiết bộ hàm $(f_1, \dots, f_N)$ bán liên tục dưới địa phương đều. Ngoài ra, Crandall và Lions [20] thiết lập tính duy nhất nghiệm Fréchet-nhớt cho phương trình tổng quát $u + H(x, u, Du) = 0$ trên miền mở $\Omega \subset X$ bằng việc sử dụng giả thiết Radon-Nikodym.

Về lý thuyết điều khiển tối ưu, bài toán quy hoạch động Bellman được trình bày hệ thống trong không gian hữu hạn chiều và không gian Hilbert bởi J. Zabczyk [42] và nhiều tác giả [10, 14, 19, 30]. Phương trình Hamilton-Jacobi trên mạng lưới và khớp nối thu hút nhiều nghiên cứu gần đây như các công trình của Y. Achdou, F. Camilli, A. Cutri, N. Tchou [4], C. Imbert, R. Monneau [2, 3, 11, 12, 37] và Khang [35]. Tuy nhiên, các kết quả trên khớp nối của các tác giả này đều yêu cầu giả thiết $(H1)$, tức là hàm chi phí $\ell_i$ phải bị chặn và liên tục đều theo một môđun liên tục $\omega_i$.

Vị trí của luận án được xác định thông qua việc giải quyết các khoảng trống lý thuyết:

  • Luận án nới lỏng giả thiết bán liên tục dưới địa phương đều của J. Borwein [19], cải tiến các đánh giá của nguyên lý biến phân trơn để mở rộng tính duy nhất của nghiệm $\beta$-nhớt từ lớp hàm liên tục đều sang lớp hàm liên tục và bị chặn, cũng như lớp hàm không bị chặn.
  • Luận án chứng minh tính duy nhất nghiệm $\beta$-nhớt cho phương trình tổng quát $u + H(x, u, Du) = 0$ trên không gian Banach có chuẩn $\beta$-trơn mà không cần sử dụng giả thiết Radon-Nikodym như trong công trình của Crandall và Lions [20].
  • Luận án thay thế giả thiết hàm chi phí bị chặn $(H1)$ trong các công trình của Achdou et al. [4] và Khang [35] bằng các giả thiết tổng quát hơn: hàm chi phí có tốc độ tăng trưởng không vượt quá hàm mũ $(H2)$ hoặc hàm đa thức $(H2)^*$, từ đó thiết lập nguyên lý so sánh và tính duy nhất nghiệm nhớt trên khớp nối.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lý thuyết của luận án dựa trên giải tích không trơn, lý thuyết không gian Banach và tôpô đối ngẫu. Borno $\beta$ trên không gian Banach $X$ là một họ các tập con đóng, bị chặn, đối xứng tâm của $X$ thỏa mãn: phủ toàn bộ không gian $X = \bigcup_{B \in \beta} B$, đóng kín đối với phép nhân vô hướng và hợp của hai phần tử bất kỳ nằm trong một phần tử của họ. Bốn họ borno cơ bản được sử dụng gồm:

  • Borno Fréchet ($\mathcal{F}$): họ tất cả các tập con đóng, bị chặn, đối xứng tâm.
  • Borno Hadamard ($\mathcal{H}$): họ tất cả các tập con compact, đối xứng tâm.
  • Borno Hadamard yếu ($\mathcal{WH}$): họ tất cả các tập con compact yếu, đóng, đối xứng tâm.
  • Borno Gâteaux ($\mathcal{G}$): họ tất cả các tập con hữu hạn, đối xứng tâm.

Họ borno $\beta$ xác định trên không gian đối ngẫu $X^$ một tôpô lồi địa phương Hausdorff $\tau_\beta$ tương ứng với sự hội tụ đều trên các tập thuộc $\beta$. Không gian đối ngẫu trang bị tôpô này được ký hiệu là $X_\beta^$. Mối quan hệ bao hàm giữa các tôpô được xác định theo chuỗi: $\tau_\mathcal{G} \subset \tau_\mathcal{H} \subset \tau_\mathcal{WH} \subset \tau_\mathcal{F}$.

Loại Borno ($\beta$) Ký hiệu Cấu trúc tập hợp cơ sở trong $X$ Mức độ tôpô $\tau_\beta$ trên $X^*$
Gâteaux $\mathcal{G}$ Hữu hạn, đối xứng tâm Yếu nhất trong bốn loại
Hadamard $\mathcal{H}$ Compact, đối xứng tâm Mạnh hơn $\tau_\mathcal{G}$, yếu hơn $\tau_\mathcal{WH}$
Hadamard yếu $\mathcal{WH}$ Compact yếu, đóng, đối xứng tâm Mạnh hơn $\tau_\mathcal{H}$, yếu hơn $\tau_\mathcal{F}$
Fréchet $\mathcal{F}$ Đóng, bị chặn, đối xứng tâm Mạnh nhất trong bốn loại

Hàm số $f: X \to \mathbb{R}$ được gọi là $\beta$-khả vi tại $x \in X$ nếu tồn tại $\nabla_\beta f(x) \in X^$ sao cho $\frac{f(x+tu) - f(x) - t\langle\nabla_\beta f(x), u\rangle}{t} \to 0$ khi $t \to 0$ đều theo $u \in V$ với mọi $V \in \beta$. Dưới vi phân $\beta$-nhớt $D_\beta^- f(x)$ của hàm nửa liên tục dưới $f$ tại $x$ là tập hợp các phần tử $x^ = \nabla_\beta g(x)$, trong đó $g$ là hàm Lipschitz địa phương, $\beta$-trơn tại $x$ và hiệu $f - g$ đạt cực tiểu địa phương tại $x$. Tương tự, trên vi phân $\beta$-nhớt $D_\beta^+ f(x)$ được xác định khi $f - g$ đạt cực đại địa phương tại $x$.

Phương pháp nghiên cứu thực tế của luận án là phương pháp định tính thuần túy của toán học lý thuyết, bao gồm:

  • Phương pháp giải tích không trơn và lý thuyết định tính phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một.
  • Kỹ thuật gấp đôi số biến (doubling of variables) kết hợp xây dựng hàm phạt phụ trợ thích hợp để tách biệt các điểm kỳ dị và đánh giá hiệu nghiệm tại các điểm cực trị địa phương.
  • Áp dụng và mở rộng nguyên lý biến phân trơn Deville - Godefroy - Zizler [26] trên không gian Banach có hàm bướu trơn (các không gian thỏa mãn giả thiết $(H_\beta)$ hoặc $(H_\beta^*)$).
  • Phương pháp Perron của H. Ishii [34] để chứng minh sự tồn tại nghiệm nhớt bằng cách lấy bao trên của tập các nghiệm dưới bị chặn bởi một nghiệm trên.
  • Nguyên lý quy hoạch động Bellman để liên hệ bài toán điều khiển tối ưu liên tục thời gian với nghiệm của phương trình vi phân tương ứng.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Dưới vi phân $\beta$-nhớt

Chương 1 thiết lập các nền tảng giải tích của $\beta$-dưới vi phân trên không gian Banach $X$ và chứng minh các dạng mở rộng của nguyên lý biến phân trơn. Tác giả chứng minh rằng nếu $\beta_1 \subset \beta_2$ thì tính $\beta_2$-khả vi kéo theo tính $\beta_1$-khả vi. Từ đó xác lập chuỗi hệ quả: khả vi Fréchet $\implies$ khả vi Hadamard yếu $\implies$ khả vi Hadamard $\implies$ khả vi Gâteaux. Trên không gian phản xạ, tính khả vi Fréchet tương đương với khả vi Hadamard yếu. Trên không gian hữu hạn chiều $\mathbb{R}^n$, tính khả vi Fréchet, Hadamard yếu và Hadamard trùng nhau; riêng trên $\mathbb{R}$, tính khả vi Gâteaux và Fréchet trùng nhau.

Chương này xây dựng các phản ví dụ chi tiết chứng minh chiều ngược lại không đúng:

  • Xét hàm $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^6 + y^2}$ khi $(x, y) \neq (0, 0)$ và $f(0, 0) = 0$ trên $\mathbb{R}^2$: hàm này khả vi Gâteaux tại $(0, 0)$ với $\nabla_G f(0, 0) = (0, 0)$, nhưng không khả vi Fréchet, không khả vi Hadamard và không khả vi Hadamard yếu.
  • Xét hàm $f(x) = \sup_{n \ge 1} {2\langle e_n, x\rangle - \frac{1}{n}}$ trên không gian Hilbert $\ell^2$: hàm này khả vi Hadamard tại $0$ với $f'(0) = 0$, nhưng không khả vi Hadamard yếu và không khả vi Fréchet tại $0$.
  • Xét chuẩn $|x| = \sum_{n=0}^\infty |x_n|$ trên không gian $\ell^1$: hàm chuẩn khả vi Gâteaux và khả vi Hadamard yếu tại các điểm $x$ có mọi tọa độ khác không, nhưng không khả vi Fréchet tại bất kỳ điểm nào.

Về tính chất của dưới vi phân $\beta$-nhớt, tác giả chứng minh $D_{\beta_2}^- f(x) \subset D_{\beta_1}^- f(x)$ khi $\beta_1 \subset \beta_2$, dẫn đến $D_\mathcal{F}^- f(x) \subset D_\beta^- f(x) \subset D_\mathcal{G}^- f(x)$. Nếu $f$ là hàm lồi trên tập lồi $C$ thì $D_\beta^- f(x) = D_\mathcal{G}^- f(x) = \partial f(x)$.

Kết quả trọng tâm của chương là Mệnh đề 1.5 và Định lý 1.3. Mệnh đề 1.5 chứng minh rằng trên không gian Banach $X$ thỏa mãn giả thiết $(H_\beta^)$, với $u$ nửa liên tục trên bị chặn và $v$ nửa liên tục dưới bị chặn, với mọi $\varepsilon \in (0, 1)$, tồn tại $x, y \in X$, $p \in D_\beta^+ u(x)$, $q \in D_\beta^- v(y)$ sao cho $|x - y| < \varepsilon^2$, $|p - q| < \varepsilon$, $v(z) - u(z) \ge v(y) - u(x) - \varepsilon$ với mọi $z$, đồng thời thỏa mãn đánh giá: $$\sqrt{|x - y|} \sqrt{|p|} < C\varepsilon, \quad \sqrt{|x - y|} \sqrt{|q|} < C\varepsilon$$ Định lý 1.3 và Định lý 1.4 thiết lập quy tắc tổng mờ cho $N$ hàm nửa liên tục dưới $f_1, \dots, f_N$ trên tập mở $\Omega$ thuộc không gian có chuẩn tương đương chuẩn $\beta$-trơn, thỏa mãn: $$\text{diam}(x_1, \dots, x_N) \max(1, |x_1^|, \dots, |x_N^|) < \varepsilon, \quad \sum_{n=1}^N f_n(x_n) < \inf_\Omega \sum_{n=1}^N f_n(x) + \varepsilon, \quad \left|\sum_{n=1}^N x_n^\right| < \varepsilon$$ với $x_n^* \in D_\beta^- f_n(x_n)$.

Chương 2: Nghiệm $\beta$-nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi trong không gian Banach

Chương 2 giải quyết trọn vẹn bài toán về tính duy nhất, sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm $\beta$-nhớt cho bài toán Dirichlet của phương trình Hamilton-Jacobi: $$u + H(x, u, Du) = 0 \quad \text{trên } \Omega, \quad u = \phi \quad \text{trên } \partial\Omega$$ Chương bắt đầu bằng các ví dụ minh họa: hàm $u(x) = 1 - |x|$ là nghiệm G-nhớt của phương trình $u + |u'| - 1 = 0$ trên $\mathbb{R}$ nhưng không là nghiệm cổ điển; phương trình với $H(x, u, Du) = 1 - u + |Du|$ trên không gian $\ell^1$ có hàm $u(x) = |x|$ là nghiệm F-nhớt nhưng không là nghiệm G-nhớt do $D_\mathcal{F}^+ u(x) = \emptyset$.

Tác giả thiết lập hệ thống giả thiết đối với hàm Hamilton $H(x, r, p)$:

  • $(H0)$: Tồn tại hàm liên tục $w_R$ sao cho $|H(x, r, p) - H(x, r, q)| \le w_R(p - q)$ với $|x|, |p|, |q| \le R$.
  • $(H1)$: Ánh xạ $r \mapsto H(x, r, p)$ không giảm; hoặc $(H1)^*$: liên tục Lipschitz theo $r$ với hằng số $L_H < 1$.
  • $(H2)$: Tồn tại môđun địa phương $\sigma_H$ kiểm soát dao động $H(x, r, p) - H(x, r, p+q) \le \sigma_H(|q|, |p| + |q|)$.
  • $(H3)$: Tồn tại môđun $m_H$ sao cho $H(y, r, \lambda(\nabla_\beta |\cdot|^2)(x - y)) \le m_H(\lambda|x - y|^2 + |x - y|)$.

Về nghiệm bị chặn, Định lý 2.1 và Hệ quả 2.1 khẳng định tính duy nhất nghiệm $\beta$-nhớt trong lớp hàm liên tục, bị chặn đối với phương trình $u + H(x, Du) = 0$ trên không gian Banach thỏa mãn $(H_\beta^)$ dưới giả thiết $(A)$: $$|H(x, x^) - H(y, y^)| \le w(x - y, x^ - y^) + K \max(\sqrt{|x^|}, \sqrt{|y^*|}) |x - y|$$ Định lý 2.2 và Định lý 2.3 mở rộng kết quả trên cho không gian có chuẩn tương đương chuẩn $\beta$-trơn trên miền mở $\Omega$ trong lớp hàm liên tục đều và bị chặn với điều kiện biên $u \le v$ trên $\partial\Omega$.

Về nghiệm không bị chặn, Định lý 2.4 chứng minh nguyên lý so sánh cho nghiệm thỏa mãn điều kiện tăng trưởng tuyến tính và môđun liên tục dọc theo các đoạn thẳng nối hai điểm trong $\Omega$: $$u(x) - v(x) \le \sup_{\partial\Omega}(u - v)^+ + \frac{1}{1 - L_H} \sup_{\Omega \times \mathbb{R} \times X^*} (\widehat{H} - H)$$ Chứng minh được thực hiện bằng cách phân tích hàm mục tiêu: $$\Phi(x, y) = u(x) - v(y) - \frac{|x - y|^2}{\varepsilon} - \lambda \zeta(|x| - R)$$ trên tập $\Delta(a) = {(x, y) \in \Omega \times \Omega : \rho(x), \rho(y) > a, |x - y| < a}$, chia thành hai trường hợp khi $\Phi$ đạt cực đại và không đạt cực đại trên $\Delta(a)$. Cuối chương, sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm được chứng minh bằng phương pháp Perron kết hợp điều kiện nghiệm dưới và nghiệm trên trùng nhau trên biên.

Chương 3: Ứng dụng của nghiệm $\beta$-nhớt đối với bài toán điều khiển tối ưu

Chương 3 áp dụng lý thuyết nghiệm $\beta$-nhớt vào bài toán điều khiển tối ưu tất định với thời gian vô hạn trên không gian Banach vô hạn chiều $X$. Phương trình trạng thái được mô tả bởi hệ động học phi tuyến: $$\begin{cases} \dot{y}(s) = f(y(s), \alpha(s)), \quad s > 0 \ y(0) = x \end{cases}$$ với $\alpha(\cdot) \in \mathcal{U}$ là điều khiển chấp nhận được. Hàm chi phí mục tiêu dạng tích phân chiết khấu vô hạn: $$J(x, \alpha) = \int_0^\infty e^{-\lambda s} \ell(y_x(s, \alpha), \alpha(s)) ds$$ trong đó $\lambda > 0$ là hệ số chiết khấu. Hàm giá trị của bài toán được xác định bởi: $$V(x) = \inf_{\alpha \in \mathcal{U}} J(x, \alpha)$$

Tác giả phân tích nguyên lý quy hoạch động Bellman, chỉ ra rằng với mọi $t > 0$: $$V(x) = \inf_{\alpha \in \mathcal{U}} \left{ \int_0^t e^{-\lambda s} \ell(y_x(s, \alpha), \alpha(s)) ds + e^{-\lambda t} V(y_x(t, \alpha)) \right}$$ Trong trường hợp hàm giá trị $V$ trơn, $V$ thỏa mãn phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman cổ điển. Khi $V$ không trơn và có thể không bị chặn, tác giả chứng minh $V(x)$ chính là nghiệm $\beta$-nhớt duy nhất của phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman tương ứng trên không gian vô hạn chiều. Ngoài ra, chương này thiết lập hệ thống điều kiện cần và điều kiện đủ đối với một quỹ đạo điều khiển tối ưu và xây dựng chiến lược phản hồi tối ưu dựa trên vi phân $\beta$-nhớt của hàm giá trị.

Chương 4: Phương trình Hamilton-Jacobi với bài toán điều khiển tối ưu trên khớp nối với hàm chi phí không bị chặn

Chương 4 nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu trên khớp nối $G$ gồm $N$ tia $J_i = [0, +\infty)$ giao nhau tại điểm gốc chung $O$. Luận án mở rộng các nghiên cứu trước đây bằng cách xét hàm chi phí không bị chặn, thay thế giả thiết bị chặn $(H1)$ bằng hai giả thiết tổng quát:

  • Giả thiết tăng trưởng hàm mũ $(H2)$: Với mỗi $i = 1, \dots, N$, hàm $\ell_i: J_i \times A_i \to \mathbb{R}$ thỏa mãn $|\ell_i(x, a) - \ell_i(y, a)| \le \omega(|x - y|, |x| \vee |y|)$ và $|\ell_i(x, a)| \le C e^{m|x|}$ với $0 \le m < \frac{\lambda}{M}$.
  • Giả thiết tăng trưởng đa thức $(H2)^*$: Hàm chi phí thỏa mãn $|\ell_i(x, a)| \le C(1 + |x|)^m$ với hằng số $m \ge 0, C > 0$.

Tác giả chứng minh các tính chất giải tích của hàm giá trị $V$:

  • $V$ liên tục trên toàn bộ khớp nối $G$.
  • $V$ thỏa mãn tính liên tục Lipschitz địa phương tại lân cận đỉnh $O$ trên từng tia $J_i \cap B(O, \varepsilon)$ với $i = 1, \dots, N$.
  • Đánh giá định lượng tốc độ tăng của $V$: $V(x)$ tăng không vượt quá hàm mũ khi áp dụng giả thiết $(H2)$ và không vượt quá hàm đa thức khi áp dụng giả thiết $(H2)^*$.

Về phương trình vi phân trên khớp nối, tác giả định nghĩa nghiệm nhớt trên các tia và điều kiện nối tiếp tại đỉnh $O$ thông qua trường véctơ định hướng. Bằng phương pháp giải tích không trơn, tác giả chứng minh nguyên lý so sánh nghiệm nhớt trên $G$, khẳng định hàm giá trị của bài toán điều khiển tối ưu chính là nghiệm nhớt duy nhất của phương trình Hamilton-Jacobi trên khớp nối. Cuối cùng, Định lý 4.3 và Định lý 4.4 xác lập điều kiện cần, điều kiện đủ cho điều khiển tối ưu và chỉ ra sự tồn tại của điều khiển phản hồi tối ưu trên khớp nối với hàm chi phí không bị chặn.

Kết quả và những đóng góp mới

Theo công bố trong văn bản, luận án đạt được 4 cụm kết quả và đóng góp mới:

  1. Đưa ra hệ thống các tính chất của $\beta$-dưới vi phân; thiết lập các kết quả mở rộng về nguyên lý biến phân trơn cho hàm nửa liên tục dưới, bị chặn trên không gian Banach $X$ thỏa mãn giả thiết $(H_\beta^*)$ và trên không gian có chuẩn $\beta$-trơn; thiết lập quy tắc tổng mờ cải tiến cho họ $N$ hàm nửa liên tục dưới.
  2. Chứng minh tính duy nhất nghiệm $\beta$-nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi trong lớp hàm liên tục và bị chặn, tính duy nhất nghiệm trong lớp hàm liên tục đều và không bị chặn đối với phương trình cấp một dạng tổng quát $u + H(x, u, Du) = 0$ mà không cần sử dụng giả thiết Radon-Nikodym; chứng minh tính ổn định và sự tồn tại nghiệm $\beta$-nhớt theo phương pháp Perron.
  3. Chứng minh hàm giá trị của bài toán điều khiển tối ưu vô hạn chiều là nghiệm $\beta$-nhớt duy nhất của phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman tương ứng; thiết lập hệ thống điều kiện cần và điều kiện đủ đối với một điều khiển tối ưu.
  4. Chứng minh hàm giá trị của bài toán điều khiển tối ưu trên khớp nối $G$ liên tục trên $G$, thỏa mãn tính Lipschitz địa phương tại lân cận đỉnh $O$ trên mỗi nhánh $J_i \cap B(O, \varepsilon)$; thiết lập đánh giá hàm giá trị có độ tăng không quá hàm mũ (theo giả thiết $(H2)$) hoặc hàm đa thức (theo giả thiết $(H2)^*$). Chứng minh nguyên lý so sánh, tính duy nhất nghiệm nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi trên khớp nối; xác lập điều kiện cần, điều kiện đủ và xây dựng điều khiển phản hồi tối ưu.

Về mặt kiến nghị khoa học, tác giả đề xuất tiếp tục vận dụng lý thuyết nghiệm nhớt và công cụ $\beta$-dưới vi phân để khảo sát các lớp phương trình đạo hàm riêng phân thứ (chẳng hạn theo nghĩa Caputo) và các bài toán điều khiển tối ưu ngẫu nhiên.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Về mặt hạn chế, các kết quả của luận án gắn liền với các điều kiện kỹ thuật của không gian và mô hình:

  • Lý thuyết nghiệm $\beta$-nhớt trong không gian Banach phụ thuộc vào giả thiết không gian tồn tại hàm bướu trơn thỏa mãn $(H_\beta)$ hoặc $(H_\beta^*)$, hoặc chuẩn tương đương với một chuẩn $\beta$-trơn.
  • Việc xử lý bài toán Dirichlet $u + H(x, u, Du) = 0$ trên miền mở $\Omega$ đòi hỏi nghiệm phải thỏa mãn các điều kiện kiểm soát môđun liên tục trên các đoạn thẳng thuộc miền và giả thiết đơn điệu $(H1)$ hoặc co Lipschitz $(H1)^*$ đối với biến $u$.
  • Mô hình khớp nối trong Chương 4 giới hạn ở cấu trúc hình học khớp đơn $G$ gồm các tia $J_i$ xuất phát từ một đỉnh chung $O$, chưa mở rộng cho mạng lưới tổng quát gồm nhiều nút và có chu trình.

Về hướng nghiên cứu tiếp, văn bản chỉ ra các hướng mở rộng:

  • Phát triển lý thuyết nghiệm nhớt cho phương trình Hamilton-Jacobi chứa toán tử đạo hàm cấp phân thứ theo nghĩa Caputo.
  • Ứng dụng công cụ nghiệm nhớt vào bài toán điều khiển tối ưu ngẫu nhiên.
  • Tiếp tục nới lỏng các giả thiết trên hàm chi phí và mở rộng cấu trúc khớp nối sang mạng lưới phức tạp nhiều đỉnh.

Giá trị tham khảo

Nội dung luận án có giá trị tham khảo chuyên môn đối với các đối tượng cụ thể:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và nhà nghiên cứu chuyên ngành Giải tích toán học, Phương trình vi phân và tích phân, Toán ứng dụng và Lý thuyết điều khiển.
  • Giảng viên đại học tham khảo làm tài liệu giảng dạy các chuyên đề cao học về giải tích không trơn, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến và phương pháp quy hoạch động Bellman.

Các phần có giá trị tham khảo kỹ thuật nổi bật gồm:

  • Kỹ thuật sử dụng nguyên lý biến phân trơn và đánh giá tích chuẩn $\sqrt{|x-y|}\sqrt{|p|}$ ở Chương 1, hỗ trợ xử lý các bài toán cực trị không trơn trên không gian vô hạn chiều.
  • Phương pháp xây dựng hàm phạt phụ trợ $\Phi(x, y)$ và phân chia trường hợp đạt cực trị trên miền $\Delta(a)$ trong Chương 2 để chứng minh tính duy nhất nghiệm không bị chặn.
  • Khung giải tích xử lý bài toán điều khiển trên khớp nối với chi phí tăng trưởng hàm mũ hoặc đa thức ở Chương 4.

Câu hỏi thường gặp

Borno $\beta$ là gì và vai trò của nó trong việc định nghĩa nghiệm $\beta$-nhớt?
Borno $\beta$ trên không gian Banach $X$ là một họ các tập con đóng, bị chặn, đối xứng tâm, phủ kín không gian $X$, đóng đối với phép nhân vô hướng và hợp của hai tập bất kỳ nằm trong một phần tử của họ. Borno xác định tôpô lồi địa phương $\tau_\beta$ trên không gian đối ngẫu $X^*$. Khái niệm này cho phép định nghĩa tính $\beta$-khả vi và dưới vi phân $\beta$-nhớt $D_\beta^- u(x)$ thông qua các hàm thử trơn theo tôpô $\tau_\beta$, giúp mở rộng lý thuyết nghiệm nhớt trên các không gian Banach không có chuẩn trơn Fréchet (như $L^1$, $\ell^1$).

Luận án đã loại bỏ giả thiết nào của Crandall - Lions khi chứng minh tính duy nhất nghiệm?
Trong công trình của Crandall và Lions [20], tính chất Radon-Nikodym trên không gian Banach đối ngẫu được dùng làm giả thiết chính để chứng minh tính duy nhất nghiệm Fréchet-nhớt của phương trình $u + H(x, u, Du) = 0$. Luận án đã loại bỏ hoàn toàn giả thiết Radon-Nikodym này bằng cách sử dụng nguyên lý biến phân trơn và các đánh giá giải tích trực tiếp trên không gian có chuẩn $\beta$-trơn.

Tại sao hàm chuẩn trên không gian dãy $\ell^1$ không khả vi Fréchet nhưng lại khả vi Hadamard yếu?
Hàm chuẩn $|x| = \sum_{n=0}^\infty |x_n|$ trên $\ell^1$ khả vi Gâteaux tại các điểm $x$ thỏa mãn $x_n \neq 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}$. Do không gian $\ell^1$ có tính chất Schur (mọi dãy hội tụ yếu đều hội tụ mạnh theo chuẩn), tính khả vi Gâteaux trùng với tính khả vi Hadamard yếu. Tuy nhiên, giới hạn định nghĩa đạo hàm không hội tụ đều trên hình cầu đơn vị của $\ell^1$, do đó hàm chuẩn không khả vi Fréchet tại bất kỳ điểm nào.

Giả thiết $(H2)$ và $(H2)^*$ nới lỏng giả thiết $(H1)$ của các tác giả đi trước trên khớp nối như thế nào?
Giả thiết $(H1)$ trong các công trình của Achdou et al. [4] và Khang [35] yêu cầu hàm chi phí $\ell_i$ phải bị chặn trên $J_i \times A_i$. Luận án thay thế bằng giả thiết $(H2)$ cho phép hàm chi phí tăng trưởng không vượt quá hàm mũ ($|\ell_i(x, a)| \le C e^{m|x|}$ với $0 \le m < \frac{\lambda}{M}$) hoặc giả thiết $(H2)^$ cho phép tăng trưởng đa thức ($|\ell_i(x, a)| \le C(1 + |x|)^m$). Trường hợp $(H1)$ trở thành trường hợp riêng của $(H2)$ và $(H2)^$ khi lấy tham số $m = 0$.

Kỹ thuật giải tích trọng tâm nào được sử dụng để chứng minh tính duy nhất nghiệm trong luận án?
Kỹ thuật giải tích trọng tâm là phương pháp gấp đôi số biến (doubling of variables) kết hợp xây dựng hàm phạt phụ trợ thích hợp (như hàm phạt chứa số hạng $\frac{|x-y|^2}{\varepsilon}$ và số hạng làm suy giảm vô hạn $\lambda \zeta(|x| - R)$) cùng việc ứng dụng các biến thể mở rộng của nguyên lý biến phân trơn Deville - Godefroy - Zizler.

Kết luận

Luận án của tác giả đã nghiên cứu lý thuyết $\beta$-dưới vi phân và áp dụng thành công vào phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Hamilton-Jacobi trong không gian Banach. Các kết quả chính bao gồm việc thiết lập tính duy nhất, tồn tại và ổn định của nghiệm $\beta$-nhớt đối với phương trình cấp một tổng quát mà không cần giả thiết Radon-Nikodym, mở rộng lớp nghiệm sang trường hợp không bị chặn. Đồng thời, luận án đã xác lập tính duy nhất nghiệm nhớt và các điều kiện tối ưu cho bài toán điều khiển trên không gian vô hạn chiều và trên cấu trúc khớp nối với hàm chi phí tăng trưởng mũ hoặc đa thức. Hệ thống các định lý và kỹ thuật giải tích trong văn bản đóng góp cơ sở lý thuyết cho chuyên ngành Giải tích toán học và Lý thuyết điều khiển.