I. Tổng quan về dưới thác triển của các hàm đa điều hòa dưới và phương trình kiểu Monge Ampère
Trong lý thuyết đa thế vị, toán tử Monge–Ampère đóng vai trò trung tâm trong sự phát triển của lý thuyết này. Nhiều tác giả đã nghiên cứu mạnh mẽ về toán tử này từ nửa sau của thế kỷ XX, nhằm mô tả các lớp con của lớp các hàm đa điều hòa dưới (P SH(Ω)). Toán tử Monge–Ampère được xác định như một độ đo Radon, không âm và liên tục trên dãy giảm. Cegrell đã chỉ ra rằng không thể xác định được (ddc u)n như một độ đo Borel chính quy đối với hàm đa điều hòa dưới bất kỳ u. Các kết quả cơ bản khác về lý thuyết đa thế vị liên quan đến vấn đề này có thể tìm thấy trong các tài liệu nghiên cứu trước đó. Bài toán dưới thác triển của các hàm đa điều hòa dưới đã được quan tâm từ những năm 80 của thế kỷ trước. El Mir đã chứng minh sự tồn tại của một hàm đa điều hòa trên song đĩa đơn vị mà không có dưới thác triển lên một miền lớn hơn. Điều này cho thấy sự khác biệt lớn giữa hàm đa điều hòa và hàm chỉnh hình. Năm 1988, Bedford và Taylor đã chứng minh rằng mọi miền bị chặn với biên trơn luôn tồn tại hàm đa điều hòa dưới trơn không có dưới thác triển vào miền rộng hơn. Những nghiên cứu này đã mở ra hướng đi mới cho việc tìm hiểu về dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới.
1.1. Dưới thác triển các hàm đa điều hòa dưới với giá trị biên trong lớp năng lượng phức có trọng
Bài toán dưới thác triển của các hàm đa điều hòa dưới với giá trị biên trong lớp năng lượng phức có trọng Eχ (Ω, f) đã được nghiên cứu từ những năm 80. Các tác giả như Cegrell và Zeriahi đã chứng minh rằng nếu Ω b Ωe là những miền siêu lồi bị chặn trong Cn và u ∈ F(Ω), thì tồn tại u e ∈ F(Ω) sao cho u e ≤ u trên Ω. Kết quả này cho thấy sự tồn tại của dưới thác triển trong lớp F(Ω, f). Năm 2014, Lê Mậu Hải và Nguyễn Xuân Hồng đã nghiên cứu bài toán dưới thác triển với giá trị biên lớp F(Ω, f) và phát hiện ra rằng độ đo Monge-Ampère của hàm dưới thác triển và hàm đã cho là không thay đổi. Hướng nghiên cứu của luận án này là mở rộng kết quả của hai tác giả trên cho lớp năng lượng phức có trọng với giá trị biên lớp Eχ (Ω, f). Định lý được đưa ra trong luận án khẳng định rằng bài toán dưới thác triển trong lớp Eχ (Ω, f) là có hiệu lực và thiết lập được đẳng thức giữa độ đo Monge-Ampère của hàm dưới thác triển và hàm đã cho.
II. Dưới thác triển các hàm đa điều hòa dưới trong miền siêu lồi không bị chặn và ứng dụng
Việc nghiên cứu dưới thác triển của các hàm đa điều hòa dưới trong miền siêu lồi không bị chặn là một vấn đề quan trọng trong lý thuyết đa thế vị. Các tác giả đã chỉ ra rằng để xác định được dưới thác triển u e của u, cần phải giải phương trình Monge-Ampère. Tuy nhiên, việc giải phương trình này trên miền không bị chặn trong Cn không phải là việc đơn giản. Năm 2014, một kết quả quan trọng trong giải phương trình Monge-Ampère cho miền siêu lồi không bị chặn đã được đề xuất. Từ đó, các nghiên cứu đã chỉ ra rằng có thể mở rộng bài toán dưới thác triển cho các lớp hàm đa điều hòa dưới không bị chặn. Các ứng dụng của việc nghiên cứu này không chỉ dừng lại ở lý thuyết mà còn có thể áp dụng trong các lĩnh vực khác như vật lý và kỹ thuật. Việc kiểm soát độ đo Monge-Ampère của hàm dưới thác triển và hàm đã cho là một câu hỏi mở, cần được tiếp tục nghiên cứu.
2.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ
Trong phần này, các khái niệm cơ bản về hàm đa điều hòa dưới và các lớp con của nó sẽ được trình bày. Các kết quả bổ trợ từ các nghiên cứu trước đó sẽ được tổng hợp để làm rõ hơn về vấn đề dưới thác triển. Các lớp hàm như E(Ω), F(Ω) và N(Ω) sẽ được phân tích để thấy được mối liên hệ giữa chúng và bài toán dưới thác triển. Đặc biệt, các kết quả của Cegrell và Zeriahi sẽ được nhấn mạnh, cho thấy sự phát triển của lý thuyết này trong những năm gần đây. Những khái niệm này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về bài toán mà còn tạo cơ sở cho các nghiên cứu tiếp theo trong luận án.
