Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Dưới thác triển các hàm đa điều hòa dưới và ứng dụng" được thực hiện bởi nghiên cứu sinh Triệu Văn Dũng dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH Lê Mậu Hải tại Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Luận án thuộc chuyên ngành Toán giải tích (chuyên sâu về Giải tích phức và Lý thuyết đa thế vị phức).

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Trong giải tích phức và lý thuyết đa thế vị phức, bài toán thác triển các đối tượng hình học và giải tích (như hàm chỉnh hình, hàm phân hình, bó giải tích coherent, dòng) giữ vị trí trung tâm. Do hàm đa điều hòa dưới ($PSH$) được đặc trưng thông qua các bất đẳng thức tích phân và không thỏa mãn định lý thác triển dạng Hartogs như hàm chỉnh hình (theo các phản ví dụ của El Mir, Fornaess - Sibony, Bedford - Taylor), các nhà toán học tập trung nghiên cứu bài toán dưới thác triển (subextension).

Từ khi Urban Cegrell (giai đoạn 1998–2004) thiết lập các lớp hàm đa điều hòa dưới không bị chặn $\mathcal{E}0(\Omega), \mathcal{F}p(\Omega), \mathcal{F}(\Omega), \mathcal{N}(\Omega), \mathcal{E}(\Omega)$ trên miền siêu lồi bị chặn $\Omega \subset \mathbb{C}^n$ để xác định toán tử Monge–Ampère phức $(dd^c \cdot)^n$ như một độ đo Radon, bài toán dưới thác triển đã được chuyển hướng sang các lớp hàm này. Tuy nhiên, các nghiên cứu trước đó của Cegrell - Zeriahi (2003), Phạm Hoàng Hiệp (2008), Czyż - Hed (2008) chủ yếu dừng lại ở việc thiết lập bất đẳng thức đánh giá mass toàn thể giữa độ đo $(dd^c \tilde{u})^n$ của hàm dưới thác triển và độ đo $(ddc u)^n$ của hàm ban đầu. Vấn đề kiểm soát chính xác mối quan hệ đẳng thức độ đo giữa $(dd^c \tilde{u})^n$ và $\mathbf{1}\Omega (dd^c u)^n$ trên các lớp năng lượng phức có trọng có giá trị biên $\mathcal{E}\chi(\Omega, f)$ vẫn là câu hỏi mở.

Bên cạnh đó, việc giải bài toán dưới thác triển trên các miền siêu lồi không bị chặn trong $\mathbb{C}^n$ gặp nhiều trở ngại do việc giải phương trình Monge–Ampère phức trên miền không bị chặn rất phức tạp và kết quả còn hạn chế. Đối với lớp hàm $m$-điều hòa dưới ($SH_m$), các kết quả dưới thác triển trong lớp $\mathcal{F}_m(\Omega)$ trước đó đòi hỏi điều kiện $\Omega$ compact tương đối trong $\tilde{\Omega}$ và chưa mô tả được độ đo Hessian phức $H_m(\tilde{u})$. Cuối cùng, việc tìm nghiệm yếu của phương trình kiểu Monge–Ampère $(dd^c u)^n = F(u, \cdot)d\mu$ trước đây phần lớn đều giả thiết độ đo $\mu$ triệt tiêu trên các tập đa cực, để ngỏ trường hợp $\mu$ là độ đo tùy ý mang bởi tập đa cực.

Mục tiêu nghiên cứu

Luận án xác định 4 mục tiêu nghiên cứu cụ thể:

  1. Thiết lập sự tồn tại của dưới thác triển đối với các hàm đa điều hòa dưới trong lớp năng lượng phức có trọng với giá trị biên $\mathcal{E}_\chi(\Omega, f)$ trên miền siêu lồi bị chặn $\Omega \subset \mathbb{C}^n$, đồng thời chứng minh đẳng thức độ đo Monge–Ampère giữa hàm dưới thác triển và hàm ban đầu.
  2. Thiết lập nghiệm của bài toán dưới thác triển cho lớp hàm đa điều hòa dưới $\mathcal{F}(\Omega, f)$ khi $\Omega$ là miền siêu lồi không bị chặn trong $\mathbb{C}^n$ thỏa mãn $PSH^s(\Omega) \cap L^\infty(\Omega) \neq \emptyset$; ứng dụng kết quả này vào bài toán xấp xỉ các hàm đa điều hòa dưới bằng dãy tăng các hàm đa điều hòa dưới trên các miền mở rộng.
  3. Nghiên cứu bài toán dưới thác triển cho lớp hàm $m$-điều hòa dưới không bị chặn $\mathcal{F}_m(\Omega)$ trên các miền $m$-siêu lồi bị chặn trong $\mathbb{C}^n$ mà không cần giả thiết $\Omega$ compact tương đối trong $\tilde{\Omega}$, đồng thời kiểm soát chính xác độ đo Hessian phức $H_m$.
  4. Chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình kiểu Monge–Ampère dạng $(dd^c u)^n = F(u, \cdot)d\mu$ trên lớp Cegrell $\mathcal{N}(\Omega, f)$ đối với độ đo Borel không âm $\mu$ bất kỳ, đặc biệt là độ đo mang bởi một tập đa cực.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Bài toán dưới thác triển hàm đa điều hòa dưới có giá trị biên trong lớp năng lượng phức có trọng, dưới thác triển trên miền siêu lồi không bị chặn, dưới thác triển hàm $m$-điều hòa dưới, và nghiệm yếu của phương trình kiểu Monge–Ampère phức.
  • Phạm vi không gian: Không gian phức $n$ chiều $\mathbb{C}^n$, xét trên các miền siêu lồi bị chặn, miền siêu lồi không bị chặn có hàm đa điều hòa dưới chặt bị chặn ($PSH^s(\Omega) \cap L^\infty(\Omega) \neq \emptyset$), và các miền $m$-siêu lồi trong $\mathbb{C}^n$.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án tổng thuật có hệ thống các giai đoạn phát triển của lý thuyết đa thế vị phức và bài toán dưới thác triển thông qua các công trình tiêu biểu:

  • Tính không thác triển được của hàm đa điều hòa dưới: El Mir (1980) đưa ra ví dụ về hàm đa điều hòa trên song đĩa đơn vị $\Delta^2 \subset \mathbb{C}^2$ không thể dưới thác triển lên miền lớn hơn. Fornaess và Sibony (1987) chỉ ra sự tồn tại hàm đa điều hòa dưới trên miền vành trong $\mathbb{C}^2$ không thể dưới thác triển vào trong. Bedford và Taylor (1988) chứng minh mọi miền bị chặn với biên trơn đều tồn tại hàm đa điều hòa dưới trơn không thể dưới thác triển lên miền rộng hơn.
  • Miền xác định của toán tử Monge–Ampère phức: Siu (1975) chỉ ra rằng không thể xác định toán tử $(dd^c u)^n$ như một độ đo Borel chính quy cho mọi hàm $u \in PSH(\Omega)$. Cegrell (1998, 2004, 2008) đã định nghĩa và phân loại các lớp hàm không bị chặn địa phương $\mathcal{E}_0(\Omega), \mathcal{F}_p(\Omega), \mathcal{F}(\Omega), \mathcal{N}(\Omega), \mathcal{E}(\Omega)$ trên miền siêu lồi bị chặn, trong đó $\mathcal{E}(\Omega)$ là lớp cực đại mà trên đó toán tử Monge–Ampère xác định một độ đo Radon và liên tục trên các dãy giảm.
  • Dưới thác triển trên các lớp Cegrell: Cegrell và Zeriahi (2003) giải bài toán dưới thác triển trên lớp $\mathcal{F}(\Omega)$ với giả thiết $\Omega \Subset \tilde{\Omega}$ bị chặn, thu được bất đẳng thức mass $\int_{\tilde{\Omega}} (dd^c \tilde{u})^n \le \int_\Omega (dd^c u)^n$. Phạm Hoàng Hiệp (2008) mở rộng cho lớp $\mathcal{E}p(\Omega)$ ($p > 0$) và loại bỏ giả thiết $\Omega$ compact tương đối trong $\tilde{\Omega}$. Benelkourchi, Guedj và Zeriahi (2009) đưa ra lớp năng lượng phức có trọng $\mathcal{E}\chi(\Omega)$.
  • Dưới thác triển có giá trị biên: Czyż và Hed (2008) xét bài toán trên lớp $\mathcal{F}(\Omega, f)$ với $f \in \mathcal{E}(\Omega)$ và $g \in \mathcal{E}(\tilde{\Omega}) \cap MPSH(\tilde{\Omega})$, $f \ge g$, chứng minh tồn tại dưới thác triển $v \in \mathcal{F}(\tilde{\Omega}, g)$ thỏa mãn $\int_{\tilde{\Omega}} (dd^c v)^n \le \int_\Omega (dd^c u)^n$. Lê Mậu Hải và Nguyễn Xuân Hồng (2014) chứng minh được bước tiến quan trọng: với $u \in \mathcal{F}(\Omega, f)$ và $\int_\Omega (dd^c u)^n < +\infty$, tồn tại $\tilde{u} \in \mathcal{F}(\tilde{\Omega}, g)$ sao cho $(dd^c \tilde{u})^n = \mathbf{1}_\Omega (dd^c u)^n$.
  • Giải phương trình Monge–Ampère trên miền không bị chặn: Lê Mậu Hải, Nguyễn Văn Trào và Nguyễn Xuân Hồng (2014) thiết lập lời giải phương trình Monge–Ampère trên miền siêu lồi không bị chặn trong $\mathbb{C}^n$ và xây dựng các lớp Cegrell tương ứng.
  • Xấp xỉ bằng dãy tăng: Benelkourchi (2006) nghiên cứu trên miền siêu lồi mạnh; Cegrell và Hed (2008) xét trên lớp $\mathcal{F}(\Omega)$; Hed (2010) mở rộng cho lớp $\mathcal{F}(\Omega, f)$ trên các miền siêu lồi bị chặn.
  • Hàm $m$-điều hòa dưới và toán tử Hessian: Z. Błocki, Abdullaev nghiên cứu lớp hàm $SH_m(\Omega)$ bị chặn địa phương. Lu Chinh (2012) xây dựng các lớp không bị chặn $\mathcal{E}_m^0(\Omega), \mathcal{F}_m(\Omega), \mathcal{E}_m(\Omega)$ và chứng minh sự tồn tại của độ đo Hessian phức $H_m(u) = (dd^c u)^m \wedge \beta^{n-m}$. Công trình [55] khảo sát dưới thác triển trong $\mathcal{F}_m(\Omega)$ nhưng còn hạn chế bởi điều kiện $\Omega \Subset \tilde{\Omega}$ và chưa kiểm soát được độ đo Hessian.
  • Phương trình kiểu Monge–Ampère: Bedford - Taylor (1982), Kołodziej (1998), Åhag - Cegrell - Czyż - Hiep (2009), Cegrell - Kołodziej (2006), Czyż (2009) nghiên cứu nghiệm của $(dd^c u)^n = F(u, \cdot)d\mu$ phần lớn với giả thiết $\mu$ triệt tiêu trên các tập đa cực.

Khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết: Luận án mở rộng việc kiểm soát đẳng thức độ đo Monge–Ampère sang lớp năng lượng có trọng $\mathcal{E}_\chi(\Omega, f)$; mở rộng bài toán dưới thác triển và định lý xấp xỉ dãy tăng sang miền siêu lồi không bị chặn; loại bỏ điều kiện compact tương đối và thiết lập đẳng thức độ đo Hessian trong $\mathcal{F}_m(\Omega)$; đồng thời xây dựng nghiệm yếu của phương trình kiểu Monge–Ampère đối với độ đo bất kỳ mang bởi tập đa cực mà không sử dụng định lý điểm bất động Schauder - Tikhonov.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khái niệm và khung lý thuyết sử dụng

  • Toán tử vi phân phức: $$d = \partial + \bar{\partial}, \quad d^c = \frac{i}{4}(\bar{\partial} - \partial), \quad dd^c = \frac{i}{2}\partial\bar{\partial}$$ Toán tử Monge–Ampère phức: $(dd^c u)^n = dd^c u \wedge \cdots \wedge dd^c u$ ($n$ lần). Toán tử Hessian phức bậc $m$: $H_m(u) = (dd^c u)^m \wedge \beta^{n-m}$, với $\beta = dd^c |z|^2 = \frac{i}{2}\sum_{j=1}^n dz_j \wedge d\bar{z}_j$ là dạng thể tích chuẩn tắc trong $\mathbb{C}^n$.
  • Các không gian hàm:
    • $PSH(\Omega), PSH^-(\Omega), PSH^s(\Omega)$: Tập các hàm đa điều hòa dưới, đa điều hòa dưới âm, đa điều hòa dưới chặt trên $\Omega$.
    • $MPSH(\Omega), MPSH^-(\Omega)$: Tập các hàm đa điều hòa dưới cực đại, cực đại âm trên $\Omega$ (với $u \in PSH(\Omega) \cap L^\infty_{loc}(\Omega)$, tính cực đại tương đương phương trình $(dd^c u)^n = 0$).
    • $SH_m(\Omega), SH_m^-(\Omega)$: Tập các hàm $m$-điều hòa dưới, $m$-điều hòa dưới âm trên $\Omega$.
  • Các lớp hàm Cegrell và lớp năng lượng:
    • Lớp $\mathcal{E}0(\Omega)$: Gồm các hàm $u \in PSH^-(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$ sao cho $\forall \varepsilon > 0, {u < -\varepsilon} \Subset \Omega$ và $\int\Omega (dd^c u)^n < +\infty$.
    • Lớp $\mathcal{F}(\Omega)$: Các hàm $u \in PSH^-(\Omega)$ tồn tại dãy ${u_j} \subset \mathcal{E}0(\Omega), u_j \searrow u$ và $\sup_j \int\Omega (dd^c u_j)^n < +\infty$.
    • Lớp $\mathcal{E}(\Omega)$: Các hàm $u \in PSH^-(\Omega)$ sao cho với mọi $U \Subset \Omega$, tồn tại $v \in \mathcal{F}(\Omega)$ thỏa mãn $v = u$ trên $U$.
    • Lớp $\mathcal{N}(\Omega)$: Gồm các hàm $\phi \in PSH^-(\Omega)$ sao cho $\phi_j \nearrow 0$, với $\phi_j = \sup{u \in PSH^-(\Omega) : u \le \phi \text{ trên } \Omega \setminus \Omega_j}$. Quan hệ bao hàm: $\mathcal{F}(\Omega) \subset \mathcal{N}(\Omega) \subset \mathcal{E}(\Omega)$.
    • Lớp có trọng $\mathcal{E}_\chi(\Omega)$: Với hàm giảm $\chi : \mathbb{R}^- \to \mathbb{R}^+$, gồm các hàm $u \in PSH^-(\Omega)$ là giới hạn giảm của ${u_j} \subset \mathcal{E}0(\Omega)$ thỏa mãn $\sup_j \int\Omega \chi(u_j)(dd^c u_j)^n < +\infty$.
    • Lớp có giá trị biên $\mathcal{K}(\Omega, f)$ (với $\mathcal{K} \in {\mathcal{E}0, \mathcal{F}, \mathcal{E}, \mathcal{N}, \mathcal{E}\chi}$): Gồm các hàm $u \in PSH^-(\Omega)$ tồn tại $\psi \in \mathcal{K}(\Omega)$ sao cho $\psi + f \le u \le f$ trên $\Omega$.
    • Lớp $\mathcal{F}_m(\Omega), \mathcal{E}_m(\Omega)$: Các lớp hàm $m$-điều hòa dưới không bị chặn tương ứng định nghĩa qua toán tử $H_m$.

Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng thuần túy các phương pháp toán học giải tích và lý thuyết thế vị phức:

  • Kỹ thuật bao hàm trên chuẩn bao trên nửa liên tục trên $u^*(z) = \limsup_{\zeta \to z} u(\zeta)$.
  • Bổ đề Choquet để trích xuất dãy tăng hàm đa điều hòa dưới hội tụ hầu khắp nơi.
  • Nguyên lý so sánh và nguyên lý cực đại cho toán tử Monge–Ampère và toán tử Hessian.
  • Phương pháp dán hai hàm đa điều hòa dưới.
  • Kỹ thuật giải phương trình Monge–Ampère phức để kiểm soát độ đo tại phần kỳ dị (tập đa cực ${u = -\infty}$) và phần chính quy.
  • Phương pháp quy nạp giải tích trên dãy miền compact kiệt để xấp xỉ trên miền không bị chặn.

Nguồn tư liệu

Dữ liệu và tư liệu nghiên cứu là các công trình khoa học quốc tế chuyên ngành về Giải tích phức, Lý thuyết đa thế vị và Hình học giải tích phức được công bố trên các tạp chí toán học uy tín.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Dưới thác triển các hàm đa điều hòa dưới với giá trị biên trong lớp năng lượng phức có trọng

Chương 1 thiết lập bài toán dưới thác triển trên miền siêu lồi bị chặn $\Omega \Subset \tilde{\Omega} \subset \mathbb{C}^n$ đối với lớp hàm $\mathcal{E}_\chi(\Omega, f)$.

Kết quả bổ trợ và định lý chính

  • Mệnh đề 1.13: Cho $\Omega$ là miền siêu lồi bị chặn và $f \in \mathcal{E}(\Omega) \cap MPSH(\Omega)$. Với mọi $u \in \mathcal{N}(\Omega, f)$ thỏa mãn $\int_{{u=-\infty}\cap\Omega} (dd^c u)^n < +\infty$, tồn tại $v \in \mathcal{F}(\Omega, f)$ sao cho $v \ge u$ và $(dd^c v)^n = \mathbf{1}_{{u=-\infty}} (dd^c u)^n$.
  • Bổ đề 1.1: Với $u \in \mathcal{F}(\Omega, f)$ có $(dd^c u)^n$ mang bởi một tập đa cực, hàm $\tilde{u} = (\sup{\phi \in \mathcal{F}(\tilde{\Omega}, g) : \phi \le u \text{ trên } \Omega})^*$ thuộc $\mathcal{F}(\tilde{\Omega}, g)$ và thỏa mãn $(dd^c \tilde{u})^n = \mathbf{1}_\Omega (dd^c u)^n$ trên $\tilde{\Omega}$.
  • Bổ đề 1.2: Giả sử $\mu$ là độ đo Radon dương triệt tiêu trên các tập đa cực với $\mu(\Omega) < +\infty$, $\chi : \mathbb{R}^- \to \mathbb{R}^+$ giảm, bị chặn, $\chi(t) > 0$ với mọi $t < 0$ và $\chi(-\infty) = 1$. Khi đó hàm $u = (\sup{\phi \in \mathcal{E}(\Omega) : \phi \le v \text{ và } \chi(\phi)(dd^c \phi)^n \ge \mu})^*$ thuộc $\mathcal{N}(\Omega, f)$ và thỏa mãn $\chi(u)(dd^c u)^n \ge \mu + (dd^c v)^n$. Nếu thêm điều kiện $\text{supp}(dd^c v)^n \Subset \Omega$ và $\int_\Omega (-\rho)(dd^c u)^n < +\infty$ với $\rho \in \mathcal{E}_0(\Omega)$ thì đạt đẳng thức $\chi(u)(dd^c u)^n = \mu + (dd^c v)^n$.

Định lý chính (Định lý 1.1)

Cho $\Omega \Subset \tilde{\Omega}$ là những miền siêu lồi bị chặn trong $\mathbb{C}^n$, $f \in \mathcal{E}(\Omega) \cap MPSH(\Omega)$, $g \in \mathcal{E}(\tilde{\Omega}) \cap MPSH(\tilde{\Omega})$ thỏa mãn $f \ge g$ trên $\Omega$. Giả sử $\chi : \mathbb{R}^- \to \mathbb{R}^+$ là hàm liên tục giảm sao cho $\chi(t) > 0$ với mọi $t < 0$. Khi đó với mọi $u \in \mathcal{E}\chi(\Omega, f)$ thỏa mãn: $$\int\Omega [\chi(u) - \rho](dd^c u)^n < +\infty$$ với $\rho \in \mathcal{E}0(\Omega)$, tồn tại dưới thác triển $\tilde{u} \in \mathcal{E}\chi(\tilde{\Omega}, g)$ sao cho:

  1. $\tilde{u} \le u$ trên $\Omega$;
  2. $\chi(\tilde{u})(dd^c \tilde{u})^n = \mathbf{1}_\Omega \chi(u)(dd^c u)^n$ trên $\tilde{\Omega}$.

Chứng minh được chia thành 2 trường hợp:

  • Trường hợp 1: $\chi(-\infty) = +\infty$. Khi đó $(dd^c u)^n$ triệt tiêu trên các tập đa cực, đưa về nghiệm của phương trình Monge–Ampère với độ đo Radon không chứa thành phần đa cực.
  • Trường hợp 2: $\chi(-\infty) = 1$. Tách độ đo thành phần mang bởi tập đa cực ${u = -\infty}$ và phần triệt tiêu trên tập đa cực ${u > -\infty}$, sau đó sử dụng Bổ đề 1.1, Bổ đề 1.2 kết hợp định lý dán hàm đa điều hòa dưới để kiến thiết nghiệm $\tilde{u}$.

Chương 2: Dưới thác triển các hàm đa điều hoà dưới trong miền siêu lồi không bị chặn và ứng dụng

Chương 2 mở rộng bài toán dưới thác triển sang các miền siêu lồi không bị chặn trong $\mathbb{C}^n$ thỏa mãn điều kiện tồn tại hàm đa điều hòa dưới chặt bị chặn ($PSH^s(\Omega) \cap L^\infty(\Omega) \neq \emptyset$).

Ví dụ về miền siêu lồi không bị chặn

Tác giả dẫn chứng hàm xác định miền: $$\rho(z) := \frac{1}{2}\frac{|z_1|^2 - 1}{(|z_1|^2 + 1)^2} + \sum_{j=2}^n |z_j|^2$$ Thành phần liên thông $\Omega = {z \in \mathbb{C}^n : \rho(z) < 0}$ chứa đường thẳng $(iy_1, 0)$ ($y_1 \in \mathbb{R}$), là một miền siêu lồi không bị chặn trong $\mathbb{C}^n$ và $\rho \in PSH^s(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$.

Định lý dưới thác triển trên miền không bị chặn (Định lý 2.1)

Giả sử $\Omega \subset \tilde{\Omega}$ là các miền siêu lồi không bị chặn trong $\mathbb{C}^n$ sao cho $PSH^s(\tilde{\Omega}) \cap L^\infty(\tilde{\Omega}) \neq \emptyset$. Khi đó với mọi $f \in MPSH^-(\tilde{\Omega}) \cap C(\tilde{\Omega})$ và mọi $u \in \mathcal{F}(\Omega, f)$ thỏa mãn $\int_\Omega (dd^c u)^n < +\infty$, tồn tại $\tilde{u} \in \mathcal{F}(\tilde{\Omega}, f)$ sao cho:

  1. $\tilde{u} \le u$ trên $\Omega$;
  2. $(dd^c \tilde{u})^n = \mathbf{1}_\Omega (dd^c u)^n$ trên $\tilde{\Omega}$.

Kỹ thuật chứng minh dựa trên việc xấp xỉ miền không bị chặn bởi dãy tăng các miền siêu lồi bị chặn ${\Omega_j}$, xây dựng dãy giảm hàm $\psi_j \in \mathcal{F}(\Omega_j, f)$ giải quyết phần độ đo mang bởi tập đa cực bằng quy nạp (Bổ đề 2.1), sau đó chuyển qua giới hạn.

Ứng dụng vào bài toán xấp xỉ dãy tăng (Định lý 2.2)

Giả sử $\Omega$ và dãy ${\Omega_j}{j=1}^\infty$ là các miền siêu lồi không bị chặn thỏa mãn $\Omega \subset \Omega{j+1} \subset \Omega_j$ và $PSH^s(\Omega_1) \cap L^\infty(\Omega_1) \neq \emptyset$. Giả sử tồn tại $\psi \in \mathcal{F}(\Omega)$ và $\psi_j \in \mathcal{F}(\Omega_j)$ sao cho $\psi < 0$ trên $\Omega$ và $\psi_j \nearrow \psi$ hầu khắp nơi trên $\Omega$. Khi đó với mọi $f \in MPSH^-(\Omega_1) \cap C(\Omega_1)$ và mọi $u \in \mathcal{F}(\Omega, f)$ có $\int_\Omega (dd^c u)^n < +\infty$, tồn tại dãy tăng các hàm $u_j \in \mathcal{F}(\Omega_j, f)$ sao cho: $$u_j \nearrow u \quad \text{hầu khắp nơi trên } \Omega \text{ khi } j \to \infty$$

Chương 3: Dưới thác triển của hàm m-điều hòa dưới

Chương 3 khảo sát bài toán dưới thác triển cho lớp hàm $m$-điều hòa dưới $\mathcal{F}_m(\Omega)$ trên miền $m$-siêu lồi bị chặn trong $\mathbb{C}^n$, sử dụng toán tử Hessian phức $H_m(u) = (dd^c u)^m \wedge \beta^{n-m}$.

Định lý chính (Định lý 3.1)

Cho $\Omega \subset \tilde{\Omega} \subset \mathbb{C}^n$ là những miền $m$-siêu lồi bị chặn và $u \in \mathcal{F}_m(\Omega)$. Khi đó tồn tại $w \in \mathcal{F}_m(\tilde{\Omega})$ sao cho:

  1. $w \le u$ trên $\Omega$;
  2. $(dd^c w)^m \wedge \beta^{n-m} = \mathbf{1}_\Omega (dd^c u)^m \wedge \beta^{n-m}$ trên $\tilde{\Omega}$.

Điểm then chốt của kết quả này là loại bỏ hoàn toàn giả thiết $\Omega$ compact tương đối trong $\tilde{\Omega}$ ($\Omega \Subset \tilde{\Omega}$) vốn bị ràng buộc trong các công trình trước đó, đồng thời thiết lập chính xác đẳng thức của độ đo Hessian phức $H_m$.

Hệ quả về sự hội tụ yếu

Cho $\Omega \subset \tilde{\Omega}$ là những miền $m$-siêu lồi bị chặn và ${u_j}_{j \ge 1}, u \subset \mathcal{F}_m(\Omega)$ thỏa mãn $u_j \ge u$, $u_j$ hội tụ theo $C_m$-dung lượng tới $u$ trên $\Omega$. Giả sử $\tilde{u}_j, \tilde{u}$ lần lượt là các dưới thác triển của $u_j, u$ trên $\tilde{\Omega}$. Khi đó dãy độ đo Hessian phức $H_m(\tilde{u}_j)$ hội tụ yếu tới $H_m(\tilde{u})$ trên $\tilde{\Omega}$: $$H_m(\tilde{u}_j) \rightharpoonup H_m(\tilde{u})$$

Chương 4: Phương trình kiểu Monge–Ampère cho một độ đo bất kỳ

Chương 4 giải quyết bài toán tìm nghiệm yếu của phương trình kiểu Monge–Ampère: $$(dd^c u)^n = F(u, \cdot)d\mu$$ trên lớp Cegrell $\mathcal{N}(\Omega, f)$ với giá trị biên $f \in MPSH(\Omega) \cap \mathcal{E}(\Omega)$, trong đó $\Omega$ là miền siêu lồi bị chặn và $\mu$ là một độ đo Borel không âm tùy ý trên $\Omega$.

Kết quả đạt được và phương pháp tiếp cận

  • Nghiệm yếu cho độ đo kỳ dị/đa cực: Khác với các công trình của Cegrell - Kołodziej (2006) hay Czyż (2009) đòi hỏi $\mu$ triệt tiêu trên các tập đa cực, luận án chứng minh sự tồn tại của nghiệm yếu $u \in \mathcal{N}(\Omega, f)$ thỏa mãn $u \ge w$ (với $w$ là hàm dưới nghiệm thích hợp) và $(dd^c u)^n = F(u, \cdot)d\mu$ ngay cả khi độ đo $\mu$ có giá tập trung trên một tập đa cực.
  • Phương pháp luận: Tác giả không sử dụng định lý điểm bất động Schauder - Tikhonov truyền thống mà kết hợp phương pháp giải phương trình Monge–Ampère cho độ đo mang bởi tập đa cực với các kỹ thuật bao trên tập hàm giải tích phức.

Kết quả và những đóng góp mới

Tổng hợp các kết quả khoa học chính

Các kết quả mới của luận án được đối chiếu với các công trình tiền đề trong bảng sau:

Đối tượng / Không gian Nghiên cứu tiền đề Đóng góp mới của luận án
Lớp $\mathcal{E}_\chi(\Omega, f)$ (Miền siêu lồi bị chặn) Czyż - Hed (2008) chỉ đánh giá mass toàn thể trên $\mathcal{F}(\Omega, f)$; Lê Mậu Hải - Nguyễn Xuân Hồng (2014) chỉ xét lớp $\mathcal{F}(\Omega, f)$. Chứng minh tồn tại dưới thác triển trên lớp tổng quát $\mathcal{E}\chi(\Omega, f)$ và xác lập đẳng thức độ đo $\chi(\tilde{u})(dd^c \tilde{u})^n = \mathbf{1}\Omega \chi(u)(dd^c u)^n$.
Lớp $\mathcal{F}(\Omega, f)$ (Miền siêu lồi không bị chặn) Nghiên cứu dưới thác triển trước đây chỉ thực hiện trên miền bị chặn; việc giải phương trình trên miền không bị chặn còn hạn chế. Thiết lập dưới thác triển trên miền không bị chặn thỏa mãn $PSH^s \cap L^\infty \neq \emptyset$, bảo toàn độ đo $(dd^c \tilde{u})^n = \mathbf{1}_\Omega (dd^c u)^n$.
Bài toán xấp xỉ dãy tăng (Miền không bị chặn) Hed (2010) chỉ chứng minh cho các miền siêu lồi bị chặn trong $\mathbb{C}^n$. Mở rộng định lý Hed cho dãy các miền siêu lồi không bị chặn $\Omega \subset \Omega_{j+1} \subset \Omega_j$.
Lớp $m$-điều hòa dưới $\mathcal{F}_m(\Omega)$ Công trình [55] yêu cầu giả thiết $\Omega \Subset \tilde{\Omega}$ và không kiểm soát được độ đo Hessian. Loại bỏ điều kiện compact tương đối $\Omega \Subset \tilde{\Omega}$, kiểm soát chính xác đẳng thức độ đo Hessian $(dd^c w)^m \wedge \beta^{n-m} = \mathbf{1}_\Omega (dd^c u)^m \wedge \beta^{n-m}$.
Phương trình Monge–Ampère $(dd^c u)^n = F(u, \cdot)d\mu$ Cegrell - Kołodziej (2006), Czyż (2009) yêu cầu $\mu$ triệt tiêu trên tập đa cực, dùng định lý Schauder - Tikhonov. Chứng minh tồn tại nghiệm yếu trong lớp $\mathcal{N}(\Omega, f)$ cho độ đo $\mu$ tùy ý (kể cả độ đo mang bởi tập đa cực), không dùng định lý điểm bất động.

Đóng góp về lý luận và phương pháp

  • Mở rộng phạm vi ứng dụng của lý thuyết đa thế vị phức từ miền bị chặn sang miền không bị chặn và từ lớp hàm đa điều hòa dưới sang lớp hàm $m$-điều hòa dưới.
  • Bổ sung hệ thống công cụ giải tích thông qua việc xử lý triệt để phần kỳ dị của độ đo trên các tập đa cực trong phương trình Monge–Ampère phức.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế

  • Các kết quả trên miền không bị chặn phụ thuộc vào điều kiện biên kỹ thuật là miền phải tồn tại hàm đa điều hòa dưới chặt bị chặn ($PSH^s(\Omega) \cap L^\infty(\Omega) \neq \emptyset$).
  • Nghiên cứu về hàm $m$-điều hòa dưới mới chỉ giải quyết cho lớp $\mathcal{F}_m(\Omega)$ trên miền bị chặn, chưa mở rộng cho các lớp năng lượng có trọng $m$-Hessian hoặc miền không bị chặn.

Hướng nghiên cứu tiếp theo

Văn bản luận án đề xuất các định hướng nghiên cứu tiếp nối:

  1. Tiếp tục nghiên cứu mở rộng bài toán dưới thác triển cho các lớp hàm năng lượng tổng quát hơn trên miền không bị chặn.
  2. Thiết lập bài toán dưới thác triển và giải phương trình Hessian phức đối với lớp hàm $m$-điều hòa dưới trên các miền không bị chặn hoặc có điều kiện biên suy biến.
  3. Khảo sát nghiệm của phương trình Monge–Ampère và Hessian phức trên các đa tạp giải tích phức compact hoặc không compact.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu chuyên khảo có giá trị học thuật trong lĩnh vực Giải tích phức và Lý thuyết đa thế vị:

  • Đối với nghiên cứu sinh và học viên cao học: Luận án cung cấp hệ thống kỹ thuật xử lý các lớp hàm Cegrell, kỹ thuật tách độ đo trên tập đa cực, phương pháp giải phương trình Monge–Ampère phức và Hessian phức.
  • Đối với giảng viên và nhà nghiên cứu:
    • Chương 1 và Chương 2 là tài liệu tham khảo trực tiếp cho các bài toán về dưới thác triển và tính chất hình học của miền trong $\mathbb{C}^n$.
    • Chương 3 cung cấp khung phân tích cho hướng nghiên cứu về phương trình Hessian phức và hình học giải tích liên quan đến toán tử bậc $m$.
    • Chương 4 hỗ trợ phương pháp giải các bài toán biên elliptic phi tuyến với độ đo kỳ dị.

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao bài toán thác triển đối với hàm đa điều hòa dưới lại được chuyển thành bài toán dưới thác triển?

Hàm đa điều hòa dưới được định nghĩa thông qua tính chất nửa liên tục trên và bất đẳng thức tích phân dưới giá trị trung bình chứ không thỏa mãn phương trình vi phân tuyến tính giải tích như hàm chỉnh hình. Theo các kết quả kinh điển của El Mir (1980), Fornaess - Sibony (1987) và Bedford - Taylor (1988), tồn tại các miền mà trên đó có những hàm đa điều hòa dưới không thể tìm được thác triển đa điều hòa dưới lên miền lớn hơn. Do đó, bài toán tự nhiên và khả thi là tìm một hàm đa điều hòa dưới $\tilde{u}$ trên miền lớn hơn $\tilde{\Omega}$ sao cho $\tilde{u} \le u$ trên miền ban đầu $\Omega$ (gọi là dưới thác triển).

2. Điểm khác biệt cơ bản giữa kết quả Chương 1 của luận án và kết quả năm 2014 của Lê Mậu Hải – Nguyễn Xuân Hồng là gì?

Công trình năm 2014 của Lê Mậu Hải và Nguyễn Xuân Hồng chỉ thiết lập đẳng thức độ đo Monge–Ampère $(dd^c \tilde{u})^n = \mathbf{1}\Omega (dd^c u)^n$ cho lớp $\mathcal{F}(\Omega, f)$. Luận án đã mở rộng kết quả này lên lớp năng lượng phức có trọng $\mathcal{E}\chi(\Omega, f)$ (với trọng số $\chi$ là hàm giảm thỏa mãn $\chi(t) > 0$), thiết lập đẳng thức tổng quát $\chi(\tilde{u})(dd^c \tilde{u})^n = \mathbf{1}_\Omega \chi(u)(dd^c u)^n$. Để đạt được điều này, tác giả phải xây dựng phương pháp chứng minh mới vượt qua khó khăn khi so sánh độ đo có sự tham gia phi tuyến của hàm trọng $\chi$.

3. Điều kiện cần thiết để xét bài toán dưới thác triển trên miền siêu lồi không bị chặn ở Chương 2 là gì?

Điều kiện bắt buộc là miền siêu lồi không bị chặn $\Omega \subset \mathbb{C}^n$ phải thỏa mãn $PSH^s(\Omega) \cap L^\infty(\Omega) \neq \emptyset$ (tồn tại ít nhất một hàm đa điều hòa dưới chặt bị chặn). Điều kiện này đảm bảo rằng với mọi hàm $u \in \mathcal{E}(\Omega, f)$, vết của hàm trên mọi miền con siêu lồi bị chặn $D \Subset \Omega$ đều thuộc $\mathcal{E}(D)$, từ đó toán tử Monge–Ampère phức $(dd^c \cdot)^n$ được xác định hợp thức trên $\mathcal{E}(\Omega, f)$.

4. Luận án đã khắc phục những hạn chế nào của các nghiên cứu trước đây về hàm $m$-điều hòa dưới ở Chương 3?

Nghiên cứu trước đó trong tài liệu [55] khi xét lớp $\mathcal{F}m(\Omega)$ bắt buộc phải có giả thiết $\Omega$ compact tương đối trong $\tilde{\Omega}$ ($\Omega \Subset \tilde{\Omega}$) và không chỉ ra được mối liên hệ định lượng giữa độ đo Hessian của hai hàm. Luận án đã giải quyết trọn vẹn hai hạn chế này: chứng minh sự tồn tại của dưới thác triển trên các miền $m$-siêu lồi bị chặn bất kỳ $\Omega \subset \tilde{\Omega}$ mà không cần điều kiện compact tương đối, đồng thời thiết lập chính xác đẳng thức độ đo Hessian phức $H_m(w) = \mathbf{1}\Omega H_m(u)$ trên $\tilde{\Omega}$.

5. Phương pháp chứng minh phương trình kiểu Monge–Ampère ở Chương 4 có gì khác biệt so với các tác giả trước đó?

Các tác giả trước đây (như Cegrell, Kołodziej, Czyż) chủ yếu sử dụng định lý điểm bất động Schauder - Tikhonov, phương pháp này đòi hỏi độ đo $\mu$ phải triệt tiêu trên các tập đa cực. Luận án đã tiếp cận theo hướng sử dụng kết quả giải phương trình Monge–Ampère cho độ đo mang bởi tập đa cực kết hợp giải tích điều hòa dưới, qua đó chứng minh được sự tồn tại nghiệm yếu $u \in \mathcal{N}(\Omega, f)$ cho một độ đo $\mu$ tùy ý, bao gồm cả trường hợp độ đo kỳ dị tập trung hoàn toàn trên tập đa cực.

Kết luận

Luận án của tác giả Triệu Văn Dũng đã giải quyết có hệ thống các bài toán mở về dưới thác triển của hàm đa điều hòa dưới và hàm $m$-điều hòa dưới trên các lớp năng lượng Cegrell, bao gồm cả trường hợp miền siêu lồi không bị chặn trong $\mathbb{C}^n$. Tác giả đã thiết lập thành công các đẳng thức bảo toàn độ đo Monge–Ampère phức và độ đo Hessian phức giữa hàm dưới thác triển và hàm ban đầu, đồng thời mở rộng định lý xấp xỉ dãy tăng trên miền không bị chặn. Ngoài ra, luận án đã đóng góp phương pháp luận mới trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình kiểu Monge–Ampère cho các độ đo Borel kỳ dị mang bởi tập đa cực.