I. Mở đầu
Luận văn 'Dãy Tribonacci trong nhóm hữu hạn' nghiên cứu các vấn đề liên quan đến dãy Tribonacci trong các nhóm hữu hạn, bao gồm nhóm abel và một số lớp nhóm không abel như nhóm nhị diện và nhóm quaternion tổng quát. Dãy Tribonacci là trường hợp đặc biệt của dãy Fibonacci 3-bước, được mở rộng từ nghiên cứu của Wall (1960) về dãy Fibonacci trong nhóm xiclíc. Luận văn gồm ba chương chính: kiến thức chuẩn bị, dãy Tribonacci theo modulo m, và dãy Tribonacci trong nhóm hữu hạn.
1.1. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của luận văn là khám phá tính tuần hoàn và chu kỳ của dãy Tribonacci trong các nhóm hữu hạn, đặc biệt là nhóm abel và nhóm không abel. Nghiên cứu này mở rộng từ các công trình trước đây về dãy Fibonacci và dãy Fibonacci k-bước trong nhóm hữu hạn.
1.2. Cấu trúc luận văn
Luận văn được chia thành ba chương: Chương 1 trình bày kiến thức chuẩn bị về dãy Tribonacci và lý thuyết nhóm; Chương 2 nghiên cứu tính tuần hoàn của dãy Tribonacci theo modulo m; Chương 3 tập trung vào tính tuần hoàn của dãy Tribonacci trong nhóm hữu hạn.
II. Dãy Tribonacci theo modulo m
Chương này tập trung nghiên cứu tính tuần hoàn và chu kỳ của dãy Tribonacci thông thường và tổng quát theo modulo m. Dãy Tribonacci thông thường được xác định bởi công thức truy hồi T(n) ≡ T(n-1) + T(n-2) + T(n-3) (mod m), với T(0) ≡ 0, T(1) ≡ 1, T(2) ≡ 1. Tính tuần hoàn của dãy được chứng minh thông qua ánh xạ ϕ từ tập số tự nhiên vào không gian Zm × Zm × Zm.
2.1. Tính tuần hoàn của dãy Tribonacci
Dãy Tribonacci thông thường theo modulo m là tuần hoàn, tức là tồn tại số nguyên dương t sao cho T(t) ≡ 0, T(t+1) ≡ 1, T(t+2) ≡ 1 (mod m). Chu kỳ nhỏ nhất k(m) của dãy được xác định là số nguyên dương t nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện này.
2.2. Dãy Tribonacci tổng quát
Dãy Tribonacci tổng quát theo modulo m được xác định bởi công thức truy hồi f(n) ≡ f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) (mod m), với các giá trị khởi đầu f(0) ≡ a, f(1) ≡ b, f(2) ≡ c. Tính tuần hoàn của dãy tổng quát cũng được chứng minh tương tự, với chu kỳ k(a, b, c; m).
III. Dãy Tribonacci trong nhóm hữu hạn
Chương này nghiên cứu tính tuần hoàn và chu kỳ của dãy Tribonacci trong các nhóm hữu hạn, bao gồm nhóm abel và nhóm không abel như nhóm nhị diện và nhóm quaternion tổng quát. Các kết quả chính bao gồm việc xác định chu kỳ của dãy Tribonacci trong các nhóm này và mối liên hệ giữa chu kỳ của dãy với cấu trúc nhóm.
3.1. Nhóm abel hữu hạn
Trong nhóm abel hữu hạn, dãy Tribonacci có tính tuần hoàn với chu kỳ phụ thuộc vào cấp của nhóm và các phần tử sinh. Các kết quả được mở rộng từ nghiên cứu về dãy Fibonacci trong nhóm abel.
3.2. Nhóm nhị diện và quaternion
Trong nhóm nhị diện và nhóm quaternion tổng quát, dãy Tribonacci cũng có tính tuần hoàn, với chu kỳ được xác định thông qua các phần tử sinh và hệ thức xác định của nhóm. Các kết quả này mở rộng nghiên cứu về dãy Fibonacci trong các nhóm không abel.
IV. Kết luận
Luận văn đã khám phá tính tuần hoàn và chu kỳ của dãy Tribonacci trong các nhóm hữu hạn, bao gồm nhóm abel và nhóm không abel. Các kết quả chính bao gồm việc xác định chu kỳ của dãy Tribonacci theo modulo m và trong các nhóm hữu hạn, cũng như mối liên hệ giữa chu kỳ của dãy với cấu trúc nhóm. Nghiên cứu này mở rộng từ các công trình trước đây về dãy Fibonacci và có tiềm năng ứng dụng trong lý thuyết số và đại số.
4.1. Đóng góp của luận văn
Luận văn đã đóng góp vào việc mở rộng nghiên cứu về dãy Tribonacci trong các nhóm hữu hạn, đặc biệt là nhóm không abel. Các kết quả này có thể được áp dụng trong các lĩnh vực như mã hóa, lý thuyết nhóm và lý thuyết số.
4.2. Hướng phát triển
Hướng phát triển tiếp theo của nghiên cứu bao gồm việc khám phá tính tuần hoàn của dãy Tribonacci trong các nhóm phức tạp hơn, cũng như ứng dụng của dãy Tribonacci trong các bài toán thực tế như mã hóa và tối ưu hóa.
