I. Giới thiệu về lý thuyết bao hàm thức vi phân
Lý thuyết bao hàm thức vi phân, hay còn gọi là phương trình vi phân đa trị, là một trong những lĩnh vực nghiên cứu nổi bật trong toán ứng dụng hiện nay. Nghiên cứu này không chỉ mở rộng khái niệm phương trình vi phân thông thường mà còn tạo ra những ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học và khoa học. Theo đó, các vấn đề như sự tồn tại nghiệm, tính chất định tính và cấu trúc của tập nghiệm được đặt ra và nghiên cứu sâu sắc. Các công trình của Marchaud và Zarmemba từ những năm 1930 đã đặt nền móng cho lý thuyết này, và các tác giả như Filippov, Olech đã tiếp tục phát triển lý thuyết bao hàm thức vi phân trong các thập kỷ tiếp theo. Đặc biệt, lý thuyết này đã chứng minh được sự tồn tại và tính liên tục của nghiệm tối ưu trong các bài toán điều khiển tối ưu, từ đó khẳng định giá trị thực tiễn của nó trong các ứng dụng toán học.
1.1. Các khái niệm cơ bản
Trước khi đi vào chi tiết, cần làm rõ một số khái niệm cơ bản trong lý thuyết bao hàm thức vi phân. Ánh xạ đa trị là một khái niệm quan trọng, trong đó mỗi phần tử của tập đầu vào có thể tương ứng với một tập con của tập đầu ra. Điều này dẫn đến việc nghiên cứu tính liên tục của ánh xạ đa trị, bao gồm các khái niệm như tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới. Các khái niệm này không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc giải quyết các bài toán tối ưu trong toán ứng dụng.
II. Tính chất tập nghiệm của bao hàm thức vi phân
Chương này tập trung vào việc nghiên cứu tính chất tập nghiệm của một số dạng bao hàm thức vi phân. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng sự phụ thuộc của tập nghiệm vào điều kiện ban đầu và tham số là rất quan trọng. Các kết quả cho thấy rằng, nếu hàm đa trị có tính lồi, thì tập nghiệm sẽ có tính chất compac và không rỗng, điều này được chứng minh thông qua các định lý như định lý điểm bất động Kakutani-Ky Fan. Ngoài ra, các nghiên cứu cũng chỉ ra rằng sự tồn tại của nghiệm tối ưu trong các bài toán điều khiển tối ưu phụ thuộc vào tính chất của hàm biên Bellman. Những kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong việc giải quyết các bài toán trong khoa học và kỹ thuật.
2.1. Sự phụ thuộc vào điều kiện ban đầu
Sự phụ thuộc của tập nghiệm vào điều kiện ban đầu là một trong những vấn đề quan trọng trong lý thuyết bao hàm thức vi phân. Nghiên cứu cho thấy rằng, nếu điều kiện ban đầu thay đổi, tập nghiệm cũng sẽ thay đổi theo cách mà có thể dự đoán được. Các định lý về sự tồn tại và tính liên tục của nghiệm đã được phát triển để mô tả mối quan hệ này. Điều này mang lại những ứng dụng thiết thực trong các lĩnh vực như khoa học máy tính và kinh tế học, nơi mà các mô hình toán học thường phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu cụ thể.
III. Ứng dụng vào bài toán điều khiển tối ưu
Chương này trình bày các ứng dụng của lý thuyết bao hàm thức vi phân vào bài toán điều khiển tối ưu. Trong bối cảnh này, lý thuyết này cung cấp các công cụ mạnh mẽ để phân tích và giải quyết các bài toán tối ưu hóa phức tạp. Các kết quả nghiên cứu cho thấy rằng việc áp dụng các định lý về tập nghiệm có thể dẫn đến việc tìm ra các nghiệm tối ưu cho các hệ thống điều khiển. Đặc biệt, lý thuyết này đã chỉ ra rằng sự tồn tại của nghiệm tối ưu có thể được đảm bảo dưới các điều kiện nhất định, từ đó mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực này.
3.1. Tính liên tục của hàm biên Bellman
Một trong những khía cạnh quan trọng trong bài toán điều khiển tối ưu là tính liên tục của hàm biên Bellman. Nghiên cứu cho thấy rằng hàm biên này có thể được xây dựng từ các nghiệm của bao hàm thức vi phân, và tính liên tục của nó là một yếu tố quyết định trong việc đảm bảo sự tồn tại của nghiệm tối ưu. Các ứng dụng thực tiễn của lý thuyết này không chỉ dừng lại ở các bài toán toán học thuần túy mà còn mở rộng ra các lĩnh vực như kinh tế, kỹ thuật, và quản lý.
