I. Môđun Cohen Macaulay và mở rộng
Luận án tập trung vào Môđun Cohen-Macaulay và các mở rộng của nó, đặc biệt là Cohen-Macaulay suy rộng và Cohen-Macaulay chính tắc. Môđun Cohen-Macaulay là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết môđun và đại số giao hoán, với điều kiện depth M = dim M. Khi R là vành Cohen-Macaulay, nó được gọi là vành Cohen-Macaulay. Luận án mở rộng khái niệm này bằng cách nghiên cứu Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc, nơi môđun chính tắc KM của M là Cohen-Macaulay suy rộng. Điều này mở ra hướng nghiên cứu mới trong lý thuyết vành và phân tích đại số.
1.1. Môđun Cohen Macaulay suy rộng
Môđun Cohen-Macaulay suy rộng được định nghĩa thông qua hiệu số I(x; M) giữa độ dài (M/xM) và số bội e(x; M). Luận án khám phá các đặc trưng của lớp môđun này, đặc biệt là khi R là thương của vành Gorenstein địa phương. Các kết quả chính bao gồm việc thiết lập các điều kiện cần và đủ để một môđun là Cohen-Macaulay suy rộng, thông qua hệ tham số và các tính chất của môđun đối đồng điều địa phương.
1.2. Môđun Cohen Macaulay chính tắc
Môđun Cohen-Macaulay chính tắc được nghiên cứu thông qua môđun chính tắc KM. Luận án chỉ ra rằng nếu KM là Cohen-Macaulay, thì M là Cohen-Macaulay chính tắc. Điều này mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay và có ứng dụng trong lý thuyết quỹ tích và phân tích hình học đại số. Các kết quả này được áp dụng để nghiên cứu quỹ tích không Cohen-Macaulay trên vành Noether địa phương.
II. Quỹ tích không Cohen Macaulay
Luận án nghiên cứu quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun M, ký hiệu là nCM(M), được định nghĩa là tập các iđêan nguyên tố p sao cho Mp không là Cohen-Macaulay. Khi R là thương của vành Gorenstein địa phương, nCM(M) là tập đóng trong Spec(R). Luận án đặc biệt quan tâm đến mối quan hệ giữa quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun M và môđun chính tắc KM. Các kết quả chính bao gồm việc đặc trưng cấu trúc của nCM(M) và nCM(KM), cũng như mối liên hệ giữa chúng.
2.1. Cấu trúc quỹ tích không Cohen Macaulay
Luận án đưa ra các đặc trưng cấu trúc của quỹ tích không Cohen-Macaulay nCM(M) và nCM(KM). Khi R là thương của vành Gorenstein địa phương, nCM(M) là tập đóng và có thể tính toán chiều của nó. Luận án cũng chỉ ra rằng nCM(KM) ⊆ nCM(M), nhưng hai quỹ tích này hầu như độc lập với nhau. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết quỹ tích và phân tích đại số.
2.2. Chiều quỹ tích không Cohen Macaulay
Luận án nghiên cứu chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay nCM(M) và nCM(KM). Kết quả chính chỉ ra rằng, với các số nguyên n, s, r thỏa mãn −1 ≤ s ≤ n − 3 và s ≤ r ≤ n − 2, luôn tồn tại một vành Noether địa phương sao cho dim R = n, dim nCM(R) = r, và dim nCM(KR) = s. Điều này mở rộng hiểu biết về cấu trúc của quỹ tích không Cohen-Macaulay trong lý thuyết vành.
III. Môđun đối đồng điều địa phương
Luận án nghiên cứu môđun đối đồng điều địa phương Artin và sự thay đổi của chúng qua chuyển phẳng. Đặc biệt, luận án quan tâm đến tập các iđêan nguyên tố gắn kết, chiều và số bội của các môđun này. Kết quả chính bao gồm việc đưa ra công thức tính chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s, dựa trên các tính chất của môđun đối đồng điều địa phương.
3.1. Iđêan nguyên tố gắn kết
Luận án nghiên cứu tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương qua chuyển phẳng. Kết quả chính chỉ ra mối liên hệ giữa các tập iđêan nguyên tố gắn kết của các môđun đối đồng điều địa phương HpiRp (Mp) và HPi+rP (McP). Điều này có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết môđun và phân tích đại số.
3.2. Chiều và bội của môđun đối đồng điều
Luận án đưa ra công thức tính chiều của môđun đối đồng điều địa phương HPi+rP (McP) thông qua chiều của HpiRp (Mp). Kết quả này được áp dụng để tính chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s, mở rộng hiểu biết về cấu trúc của các môđun này trong lý thuyết vành và phân tích hình học đại số.
