Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về môđdun Cohen-Macaulay, môdun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Artin, môđdun chính tắc và môđun khuyết nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính của luận án ở những chương sau. Trong suốt chương này, luôn giả thiết (T,m) là vành giao hoán Noecther địa phương, Ä⁄ là Tmôdun hữu han sinh véi chiéu Krull dim M = d. Ký hiệu R, M tuong ứng là đầy đủ m-adic của ? và Ä⁄, depth Ä là độ sâu của Ä⁄ ứng với iđêan cực đại m. Môđun Cohen-Macaulay va Cohen-Macaulay suy rong Môdun Cohen-Macaulay và môdun Cohen-Macaulay suy rộng là hai lớp môđun quen thuộc và quan trọng trong Đại số giao hoán.1 dành để nhắc lại một số kết quả thường sử dụng trong luận án về hai lớp môđun này.
[29, Trang 134] ă được gọi là médun Cohen-Macaulay nếu = 0 hoặc M # 0 và depth M = dim M. Néu R 1a modun Cohen- Macaulay trên chính nó thì ta nói R 1a vanh Cohen-Macaulay. Sau đây là một số tính chất quen thuộc của môđun Cohen-Macaulay.3] Các mệnh đề sau đâu là đúng. () Nếu M là Cohen-Macaulay thi dim R/p = dim M vdi moip € Assp M.,%, € m la mot M-day chinh quy.
Khi dé M la Cohen- Macaulay néu va chi néu M/(21,.,0%4)M la Cohen-Macaulay. (iii) M la R-médun Cohen-Macaulay néu va chi néu My la Ry-mddun Cohen-Macaulay, vdi moi p € Suppr M. (iv) M là R-médun Cohen-Macaulay néu va chi néu M la R-médun Cohen- Macaulay. Cho q là một iđêan ctia R sao cho €g(M/qM) < oo.
Khi do ta c6 ham Hilbert-Samuel H,(n) := €g(M/q"*'M). Chú ý rằng tồn tại một đa thitc P,(n) bac d sao cho với đủ lớn ta có H,(n) = Pạ(n). Hơn nữa, tồn tại các số nguyên co(q; Mf) > 0, e¡(q; M),., ez(q; Af) sao cho n+d—-1 Tú) = eo(a; M) (" : ‘ + a3 ( d_1 ) rear và deg P,(n) = dim M = inf{t | 3zì,. Như vậy, với đ = dim Äứ, luôn tồn tại hệ đ phần tử #\,., #„ € m sao cho Êp(M/(œ,.,za) như thế được gọi là hệ tham số của AM.
Hệ số co(q; M) được gọi là số bội của M ting vdi idéan q.,#a) là một hệ tham số của M., #a)Tt và ký hiéu eo(q; M) bởi e(z; Mƒ). Khi đó ta luôn có 0 < e(z; M) < £(M/zM).11]) Các điều kiện sau là tương đương: (i) M là Cohen-Macaulay; (ii) Moi hé tham s6 ctia M déu la M-déy chinh quy; (iii) Voi mot hé tham số x ctia M ta c6 e(x; M) = €(M/xM); (iv) Ton tai hé tham số x ctia M sao cho e(x; M) = 0(M/+zM). 20 Với mỗi hệ tham số x cla M, dat I(a; M) = €(M/xM) — e(x; M). Khi đó /(z; Mƒ) > 0 với mọi hệ tham số x.
Dac biét, I(x; M) = 0 néu va chỉ néu M 1A Cohen-Macaulay. Trung [48], néu sup I(x; M) < oo, trong đó cận trên lấy theo tất cả các hệ tham số + của A⁄, thì Mƒ được gọi là Œohen-Macaula su rộng. Một số tính chất sau của môđun Cohen-Macaulay suy rộng có thể xem trong [44], [48]. Giá sử MỸ là Cohen-Macaulau suy rộng.
Khi đó (i) M/xM la Cohen-Macaulay suy rộng, uới + là phần tử tham số của M.,2;) là một phần hệ tham số của M, thà dìm R/p = d— ï uới mợi p € Assn(M/(,. Diều ngược lại cũng đúng nếu R là uành thương của uành Cohen-Macaulay. Sau đây là một đặc trưng tham số của môđun Cohen-Macaulay suy rộng (xem [44], |48]). Các điều kiện sau là tương đương: (i) M là Cohen-Macaulay suy réng; (ii) Ton tai hé tham 86 x = (x1,.,%a) ctia M sao cho sup I(aj',., 24"; M) <0, trong đó cận trên lấu theo mọi bộ d số nguyên dương ny,., Nd; (iii) Ton tai mot hé tham số chuan tac ctia M, ttc la tin tai hé tham số x = (a,.,24) cia M sao cho I(a1,.,a) là hệ tham số chuẩn tắc của M, thà lần.
M) =Ÿ) (, Quan =0 21 Khái niệm môđun đối đồng điều địa phương được giới thiệu bởi A. Grothendieck vào những năm 1960, khởi nguồn từ công trình của J. Serre [47] năm 195ð về các bó đại số. Cho ƒ là một iđêan của #.
Với mỗi số nguyên ?, hừm tử đối đồng điều địa phương thú ¡ ứng uới giá T, ký hiệu là PTj(—), được định nghĩa là hàm tử dẫn xuất phải thứ ¡ của hàm tử 7- xoắn T;(—). Kết quả của tác động Hj(—) vào Ï-môđun Ä⁄/ được ký hiệu là Hj(M) và được gọi là mmôđun đối đồng điều địa phương thứ ¡ của M ứng uới giá T. Tiếp theo là một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng qua đối đồng điều địa phương (xem [8, Hé qua 6. Các phát biểu sau là đúng.
Médun Artin Trong suốt tiết này luôn giả thiết A là f-môdun Artin. Với mỗi idéan I cia ??, ký hiệu Var(7) là tập các iđêan nguyên tố của ?‡ chứa Ï. Lý thuyết biểu diễn thứ cấp được giới thiệu bởi I. Macdonald [27] đóng vai trò quan trọng trong phạm trù các môđun Artin, tương tự như lý thuyết phân tích nguyên sơ trong phạm trù các môđun Noether.
Cho Ñ là môđun con cia M. Ta nói N 1a nguyên sơ nếu M/N z 0 và phép nhân bởi z trên Ä/N là đơn cấu hoặc lũy linh, với mọi z € ?‡. Nếu Ñ là nguyên sơ thì p = Rad(Annp(A7/N)) là iđêan nguyên tố và ta nói là p-nguyên sơ. Rất tự nhiên, I.
Macdonald đã định nghĩa môđun thứ cấp như sau. Môđun con Ö của A được gọi là ¿»ứ cap néu B z# 0 và với mọi € #, phép nhân bởi z trên là toàn cấu hoặc lũy linh. Nếu 22 B là thứ cấp, thì p = Rad(Annpg) là iđêan nguyên tố, và ta gọi Ö là p-thú cấp. Macdonald [27] đã chứng mỉnh rằng mỗi môdun Artin A déu có biểu diễn thứ cấp tối thiểu A = Ai+.-+4;¿, trong đó 4; là p;-thứ cấp, Đ¡ # Pÿ với mọi ¿ # 7 và mỗi 44; là không thừa.
Khi đó tập hợp {pi,., p;} không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của 4, và được ký hiệu là Attpg A. Ta gọi Attp A là tập các iđêøn nguyên tố gắn kết của A. Sau đây là một số tính chất cơ bản của tập các iđêan nguyên tố gắn kết. Các phát biểu sau là đúng.
(i) AttnA # ñ nếu tà chỉ nếu A # 0. (iv) Néu0Q + A’ > A> A" > 0 la day khép céc R-modun Artin thi " Attp A’ C Attp AC Attp A UAttgA Chú ý rằng môđdun đối đồng điều địa phương của môđun hữu hạn sinh nhìn chung không hữu hạn sinh và cũng không Artin. Tuy nhiên, chúng ta có các kết quả quan trọng sau đây về tính Artin của môđdun đối đồng điều địa phương với giá cực đại và môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất (xem [28, Mệnh đề 2. Các phát biểu sau là đúng.
() HẠ (ẤM) là Arliin uới mọi số tự nhiên i. (ii) H#(M) là Artin uới mọi iđêmn Ï của Ä. Đặc biệt, tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá cực đại được cho bởi công thức sau. 23 Nhắc lại rằng một !-môđdun Ù, được gọi là môđun phẳng nêu hàm tử tenxơ Ù @g — trên phạm trù các #-môđun là khớp.
Đồng cấu vành ƒƑ: R— S được gọi là đồng cấu phẳng nêu S là R-môđun phẳng. Sau đây là một kết quả về tính Artin va tap iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin khi chuyển qua đồng cấu phẳng. Cho A la R-médun Artin va déng cau f :(R,m) —> (S,n) là phẳng địa phương giữa các uành Noether địa phương. Gia st dim(S/mS) = 0.
Khi d6 A@r S la S-médun Artin va AttrA={f-'(G) |G € Atts(A @p S)}. Goi (ra)»en là dãy Cauchy trong R dai dién cho lớp #. Vì Ru có độ dài hữu hạn nên tồn tại số tự nhiên k sao cho mẺu = 0. Chú ý rằng tồn tại nọ sao cho ?„ — r„ € mẺ với mọi m,n > nụ.
Suy ra „tu = r„yu với mọi n > no. Ta dinh nghĩa tích vô hướng của và ứ là r„ạu. Khi đó A có cấu trúc tự nhiên như ñ-môđun. Với cấu trúc này, một môđun con của 4 xét như R-médun khi và chỉ khi nó là môđun con cia A xét nhu R-modun.
Do do A 1a R-modun Artin. Néu xem R-modun A nay nhu lA R-médun xac định bởi đồng cấu tự nhiên ? > Rthita được cau tric R-médun ban dau ctia A. Ta có mối liên hệ giữa các tập iđêan nguyên tố gắn kết của A trên R va trén ñ? như sau. Dat dim A := dim(R/ Annp A).
Néu A = 0, thi ta quy ước rằng dim A = —oo. Quy udc nay sé được dùng trong phát biểu Định lý 4. Theo Ménh dé 1. 24 Từ đó, theo Mệnh đề 1.6 ta suy ra được rằng đỉng A > dima A.
Dau dang thitc xay ra khi R 1A thuong của một vành Cohen-Macaulay địa phương và A là môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại (xem 32, Mệnh đề 3. Chú ý rằng, ? là thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương nếu và chỉ nếu # là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của R là Cohen-Macaulay (xem [22, Hé qua 1. Néu R là thương của một oành Cohen-Macaulay địa phương thà dimp(Hi,(M)) = dima(Hi,(M)) <i vdi moi sé nguyén i > 0. Hoàn toàn tương tự như đối với môđun hữu hạn sinh, ta có đa thức Hilbert-Samuel đối với các môđun Artin như sau (xem [23, Mệnh dé 2], [36, Định lý 6], [16, Hệ quả 2.
Cho A la mét R-médun Artin, q la idéan m-nguyén so của l. Khi đó fp{(0 :A q"*!) là một đa thúc vdi n > 0, va đim¿ A = deg £n(0 :4 q"?”) = inf {r | 3zi. Với n Ú, giả sử œ¡ là hệ số cao nhất của đa thức €p(0 :4 q’*"). Sharp |9], số bội của A ứng uới iđêan q, ký hiệu là e(q, A), được xác định như sau e'(q, A) := atl.
25 Họ đưa ra công thức bội liên kết cho các môđun đối đồng điều địa phương Artin HẠ (M/) như sau.4]) Cho R là thương của một vanh Cohen-Macaula địa phương. Giá sử ¡ > Ö là một số nguyên tà q là iđêøn m-nguyên sơ của R. Môđun chính tắc và môđun khuyết Tiết này dành để trình bày một số tính chất cơ bản về môđun chính tắc và môđun khuyết. Trong suốt tiết này chúng tôi luôn giả thiết (T,m) là một vành địa phương và là thương của một vành Gorenstein địa phương Từ chiều mí.
Trước hết chúng tôi nhắc lại khái niệm môdun chính tắc và môđun khuyết (xem [38|).1] Với mỗi số nguyên i > 0, ký hiéu Ai, lA modun Ext’, '(M, R’). Khi đó Kĩ, là R-môdun hữu hạn sinh.
