Luận Văn Thạc Sĩ Toán Học: Nghiên Cứu L Hàm và Hàm Phân Hình với Cực Điểm Hữu Hạn

Luận văn thạc sĩ toán học nghiên cứu vấn đề duy nhất cho L hàm và hàm phân hình có hữu hạn cực điểm, ứng dụng trong lý thuyết hàm giải tích.

• Tác giả: Trần Văn Aaa
• Người hướng dẫn: Aaaaaaaa Aaaaaaaaa
• Trường học: Đại học Aaaaaaaaaaa
• Chuyên ngành: Toán Giải tích
• Đề tài: Vấn đề duy nhất cho L-hàm và hàm phân hình có hữu hạn cực điểm
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Thái Nguyên

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Hàm đếm a-điểm của hàm phân hình
• 1.2. Xác định duy nhất L-hàm và hàm phân hình khi chúng chia sẻ các giá trị
• 1.3. Vấn đề duy nhất cho L-hàm và hàm phân hình có hữu hạn cực điểm
• 2. CHƯƠNG 2: L-HÀM VÀ HÀM PHÂN HÌNH CHIA SẺ MỘT TẬP HỮU HẠN
• 2.1. L-hàm và hàm phân hình chia sẻ một tập hữu hạn CM
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Luận văn thạc sĩ Toán học Tổng quan và mục tiêu

Luận văn thạc sĩ Toán học này tập trung vào nghiên cứu L hàm và hàm phân hình với cực điểm hữu hạn. Mục tiêu chính là khám phá các điều kiện duy nhất cho L hàm và hàm phân hình khi chúng chia sẻ các giá trị hoặc tập hợp giá trị. Luận văn sử dụng các công cụ từ lý thuyết hàm, phân tích phức, và lý thuyết số để phân tích sâu hơn về hàm giải tích và hàm số phức. Các kết quả nghiên cứu không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng trong toán học ứng dụng và nghiên cứu hàm số.

1.1. Giới thiệu về L hàm và hàm phân hình

L hàm là một lớp hàm đặc biệt trong lý thuyết số, thường được biểu diễn dưới dạng chuỗi Dirichlet. Chúng có liên quan mật thiết đến hàm zeta Riemann và các vấn đề trong toán học cao cấp. Hàm phân hình là các hàm giải tích trên mặt phẳng phức, ngoại trừ tại các cực điểm hữu hạn. Luận văn tập trung vào việc xác định các điều kiện duy nhất cho L hàm và hàm phân hình khi chúng chia sẻ các giá trị hoặc tập hợp giá trị, đặc biệt là trong trường hợp cực điểm hữu hạn.

1.2. Mục tiêu và ý nghĩa của nghiên cứu

Mục tiêu chính của luận văn là trả lời các câu hỏi liên quan đến vấn đề duy nhất trong lý thuyết hàm và phân tích phức. Cụ thể, luận văn nghiên cứu điều kiện để hai L hàm hoặc hai hàm phân hình là duy nhất khi chúng chia sẻ một tập hợp giá trị hoặc một giá trị cụ thể. Ý nghĩa của nghiên cứu nằm ở việc mở rộng hiểu biết về hàm số phức và hàm giải tích, đồng thời cung cấp các công cụ mới cho nghiên cứu toán học và toán học ứng dụng.

II. Lý thuyết cơ bản và công cụ nghiên cứu

Luận văn sử dụng các công cụ từ lý thuyết Nevanlinna, phân tích phức, và lý thuyết số để phân tích L hàm và hàm phân hình. Các khái niệm cơ bản như hàm đếm, hàm xấp xỉ, và hàm đặc trưng được giới thiệu để hỗ trợ việc nghiên cứu. Đặc biệt, định lý 5 điểm và định lý 4 điểm của Nevanlinna được sử dụng để xác định các điều kiện duy nhất cho hàm phân hình. Các công cụ này giúp phân tích sâu hơn về cực điểm hữu hạn và hàm số phức.

2.1. Lý thuyết Nevanlinna và hàm đặc trưng

Lý thuyết Nevanlinna là nền tảng quan trọng trong việc nghiên cứu hàm phân hình. Các hàm đặc trưng như T(r, f), m(r, f), và N(r, f) được sử dụng để đo lường sự phân bố giá trị của hàm. Định lý 5 điểm và định lý 4 điểm của Nevanlinna cung cấp các điều kiện duy nhất cho hàm phân hình khi chúng chia sẻ các giá trị hoặc tập hợp giá trị. Các công cụ này giúp phân tích sâu hơn về cực điểm hữu hạn và hàm số phức.

2.2. Phân tích phức và hàm giải tích

Phân tích phức là công cụ chính để nghiên cứu hàm giải tích và hàm số phức. Các khái niệm như hàm đếm a-điểm, hàm xấp xỉ, và hàm đặc trưng được sử dụng để phân tích sự phân bố giá trị của hàm phân hình. Đặc biệt, hàm giải tích được nghiên cứu trong mối quan hệ với L hàm và hàm phân hình, giúp xác định các điều kiện duy nhất khi chúng chia sẻ các giá trị hoặc tập hợp giá trị.

III. Kết quả chính và ứng dụng

Luận văn trình bày các kết quả chính về vấn đề duy nhất cho L hàm và hàm phân hình khi chúng chia sẻ một tập hợp giá trị hoặc một giá trị cụ thể. Các kết quả này được chứng minh bằng cách sử dụng các công cụ từ lý thuyết Nevanlinna và phân tích phức. Đặc biệt, luận văn chứng minh rằng nếu hai L hàm chia sẻ một giá trị CM thì chúng là duy nhất. Các kết quả này có ứng dụng trong nghiên cứu hàm số và toán học ứng dụng, đặc biệt là trong việc phân tích hàm số phức và hàm giải tích.

3.1. Điều kiện duy nhất cho L hàm

Luận văn chứng minh rằng nếu hai L hàm chia sẻ một giá trị CM thì chúng là duy nhất. Kết quả này được chứng minh bằng cách sử dụng các công cụ từ lý thuyết Nevanlinna và phân tích phức. Đặc biệt, định lý 5 điểm và định lý 4 điểm được sử dụng để xác định các điều kiện duy nhất cho L hàm. Kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong nghiên cứu hàm số và toán học ứng dụng.

3.2. Ứng dụng trong nghiên cứu hàm số

Các kết quả nghiên cứu trong luận văn có ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu hàm số và toán học ứng dụng. Đặc biệt, các điều kiện duy nhất cho L hàm và hàm phân hình giúp phân tích sâu hơn về hàm số phức và hàm giải tích. Các kết quả này cũng cung cấp các công cụ mới cho việc nghiên cứu cực điểm hữu hạn và hàm số phức trong toán học cao cấp.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong lĩnh vực Toán học, đặc biệt là phân tích hàm phức, các L-hàm và hàm phân hình đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các vấn đề về phân bố giá trị và tính duy nhất của hàm. Theo ước tính, các L-hàm là chuỗi Dirichlet có nhiều ứng dụng trong lý thuyết số và vật lý toán học, trong đó hàm zeta Riemann là ví dụ tiêu biểu. Vấn đề duy nhất cho L-hàm và hàm phân hình có hữu hạn cực điểm là một chủ đề nghiên cứu thời sự, nhằm xác định điều kiện để hai hàm này đồng nhất khi chia sẻ các giá trị hoặc tập giá trị nhất định.

Mục tiêu của luận văn là nghiên cứu và chứng minh các điều kiện đủ để xác định duy nhất L-hàm và hàm phân hình có hữu hạn cực điểm khi chúng chia sẻ một tập hữu hạn hoặc một tập hữu hạn cùng một giá trị trong mặt phẳng phức. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các hàm phân hình trên mặt phẳng phức C, với các điều kiện về chia sẻ giá trị theo nghĩa tính cả bội (CM) và không tính bội (IM). Thời gian nghiên cứu chủ yếu dựa trên các kết quả toán học hiện đại trong khoảng 10 năm gần đây, với các công trình của Q. Yi, Pulak Sahoo và Samar Halder.

Ý nghĩa nghiên cứu được thể hiện qua việc mở rộng và làm rõ các kết quả về tính duy nhất của L-hàm và hàm phân hình, góp phần trả lời câu hỏi của Gross về sự tồn tại của các tập giá trị đặc biệt để xác định duy nhất các hàm này. Các kết quả có thể ứng dụng trong lý thuyết số, lý thuyết hàm phức và các lĩnh vực liên quan đến phân bố giá trị của hàm phức.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên nền tảng lý thuyết Nevanlinna về phân bố giá trị của hàm phân hình, trong đó ba hàm cơ bản là hàm đặc trưng ( T(r,f) ), hàm xấp xỉ ( m(r,f) ) và hàm đếm ( N(r,f) ) được sử dụng để phân tích các điểm không và cực điểm của hàm. Các định lý cơ bản của Nevanlinna cung cấp các bất đẳng thức liên quan đến số lượng và phân bố các điểm không của hàm phân hình.

Ngoài ra, luận văn áp dụng các khái niệm về chia sẻ giá trị giữa hai hàm phân hình, bao gồm chia sẻ giá trị tính cả bội (CM) và không tính bội (IM). Các định lý về tính duy nhất của L-hàm khi chia sẻ các tập giá trị hữu hạn hoặc một giá trị cụ thể được xây dựng dựa trên các kết quả của Q. Yi, Pulak Sahoo và Samar Halder. Mô hình nghiên cứu tập trung vào các đa thức ( P(\omega) = \omega^n + a \omega^m + b ) với ( n, m ) là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, làm cơ sở để xác định tập giá trị chia sẻ.

Các khái niệm chính bao gồm:

• Hàm phân hình (meromorphic function) và các đặc tính về cực điểm.
• L-hàm lớp Selberg, thỏa mãn các tiên đề Ramanujan, phát triển giải tích và phương trình hàm.
• Chia sẻ giá trị CM và IM giữa hai hàm.
• Hàm đếm a-điểm và các hàm đếm tích phân liên quan đến phân bố giá trị.

Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng phương pháp phân tích toán học dựa trên lý thuyết hàm phức và lý thuyết Nevanlinna. Nguồn dữ liệu là các kết quả toán học đã được công bố trong các bài báo và luận án chuyên ngành, đặc biệt là các công trình của Q. Yi, Pulak Sahoo và Samar Halder trong khoảng thời gian gần đây.

Phương pháp phân tích bao gồm:

• Xây dựng và chứng minh các định lý về tính duy nhất dựa trên các bất đẳng thức Nevanlinna.
• Sử dụng các hàm đặc trưng và hàm đếm để so sánh phân bố giá trị của hai hàm phân hình và L-hàm.
• Phân tích các trường hợp chia sẻ tập giá trị CM và IM, kết hợp với các điều kiện về hữu hạn cực điểm.
• Áp dụng các kỹ thuật phân tích hàm nguyên và hàm hữu tỷ để xử lý các đa thức liên quan.

Timeline nghiên cứu kéo dài trong năm 2023, với các bước chính gồm tổng hợp lý thuyết, xây dựng chứng minh các định lý, và hoàn thiện luận văn dựa trên các kết quả toán học hiện đại.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Điều kiện đủ để xác định duy nhất L-hàm và hàm phân hình chia sẻ tập giá trị CM:
   Cho hàm phân hình ( f ) có hữu hạn cực điểm và L-hàm ( L ) khác hằng, nếu ( f ) và ( L ) chia sẻ tập ( S = {\omega : \omega^n + a \omega^m + b = 0} ) theo nghĩa CM với ( n > 2m + 4 ), thì ( f = L ). Kết quả này được hỗ trợ bởi bất đẳng thức Nevanlinna với ( n-1 ) nghiệm phân biệt, và các hàm đặc trưng thỏa mãn ( T(r,f) \leq T(r,L) + O(\log r) ).

2. Xác định duy nhất khi chia sẻ tập giá trị CM và một giá trị IM:
   Nếu ( f ) và ( L ) chia sẻ tập ( S ) CM và một giá trị ( c ) IM, với các điều kiện tương tự về ( n, m ), thì cũng có ( f = L ). Phân bố các điểm không và cực điểm được kiểm soát chặt chẽ, đảm bảo tính duy nhất.

3. Điều kiện đủ khi chia sẻ tập giá trị IM:
   Trong trường hợp ( f ) và ( L ) chia sẻ tập ( S ) IM và một giá trị ( c ) IM, với ( n > \max{4k + 9, 2m + 4} ) và ( k = n - m ), thì ( f = L ). Kết quả này mở rộng phạm vi các điều kiện chia sẻ giá trị, đồng thời khẳng định tính duy nhất trong trường hợp chia sẻ không tính bội.

4. Mối liên hệ giữa bậc của hàm phân hình và L-hàm:
   Cả hai hàm có bậc ( \rho = 1 ), và số lượng cực điểm của ( L ) là hữu hạn, chủ yếu tại ( s=1 ). Điều này giúp kiểm soát các hàm đếm và hàm đặc trưng, từ đó xây dựng các bất đẳng thức cần thiết cho chứng minh.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân của các kết quả trên xuất phát từ việc áp dụng chặt chẽ lý thuyết Nevanlinna và các định lý về phân bố giá trị của hàm phân hình. Việc chia sẻ tập giá trị CM hoặc IM với các điều kiện về đa thức ( P(\omega) ) giúp giới hạn số lượng điểm không và cực điểm, từ đó dẫn đến tính duy nhất của hàm.

So sánh với các nghiên cứu trước đây, luận văn đã mở rộng phạm vi điều kiện đủ, đặc biệt trong trường hợp chia sẻ tập giá trị IM và một giá trị IM, điều mà các công trình trước chưa đề cập đầy đủ. Kết quả cũng góp phần trả lời câu hỏi của Gross về sự tồn tại của các tập giá trị đặc biệt để xác định duy nhất hàm phân hình và L-hàm.

Dữ liệu có thể được trình bày qua các biểu đồ so sánh hàm đặc trưng ( T(r,f) ) và ( T(r,L) ) theo biến ( r ), hoặc bảng tổng hợp các điều kiện về ( n, m, k ) và kết quả tính duy nhất tương ứng. Điều này giúp minh họa rõ ràng mối quan hệ giữa các tham số và tính duy nhất của hàm.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Mở rộng nghiên cứu về các hàm phân hình có cực điểm vô hạn:
   Khuyến nghị các nhà nghiên cứu tiếp tục phân tích trường hợp hàm phân hình có cực điểm vô hạn để mở rộng phạm vi áp dụng của các định lý tính duy nhất. Thời gian thực hiện dự kiến trong 2-3 năm, do các kỹ thuật phân tích phức tạp hơn.

2. Ứng dụng kết quả vào lý thuyết số và vật lý toán học:
   Đề xuất áp dụng các kết quả về tính duy nhất của L-hàm trong nghiên cứu các vấn đề liên quan đến phân bố số nguyên tố và các mô hình vật lý sử dụng hàm zeta Riemann. Chủ thể thực hiện là các nhóm nghiên cứu liên ngành trong 1-2 năm tới.

3. Phát triển phần mềm hỗ trợ tính toán và kiểm tra tính duy nhất của hàm:
   Khuyến khích xây dựng công cụ tính toán dựa trên lý thuyết Nevanlinna để hỗ trợ kiểm tra các điều kiện chia sẻ giá trị CM và IM, giúp tăng hiệu quả nghiên cứu. Thời gian phát triển khoảng 1 năm, do các nhà toán học và lập trình viên phối hợp thực hiện.

4. Tổ chức hội thảo chuyên đề về L-hàm và hàm phân hình:
   Đề xuất tổ chức các hội thảo chuyên sâu nhằm trao đổi kết quả, cập nhật tiến bộ và thúc đẩy hợp tác quốc tế trong lĩnh vực này. Chủ thể là các trường đại học và viện nghiên cứu, tổ chức định kỳ hàng năm.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Nghiên cứu sinh và học viên cao học ngành Toán học, đặc biệt chuyên ngành Giải tích hàm phức:
   Luận văn cung cấp nền tảng lý thuyết và các kết quả mới về tính duy nhất của hàm phân hình và L-hàm, hỗ trợ cho việc nghiên cứu chuyên sâu và phát triển đề tài luận án.

2. Giảng viên và nhà nghiên cứu trong lĩnh vực lý thuyết số và phân bố giá trị hàm phức:
   Các kết quả và phương pháp trong luận văn giúp mở rộng hiểu biết và ứng dụng trong các bài toán liên quan đến hàm zeta Riemann và các L-hàm khác.

3. Chuyên gia trong lĩnh vực vật lý toán học và mô hình toán học:
   Do L-hàm có liên quan mật thiết đến các mô hình vật lý, luận văn cung cấp cơ sở toán học để phát triển các mô hình mới hoặc phân tích các hiện tượng vật lý phức tạp.

4. Nhà phát triển phần mềm toán học và công cụ tính toán:
   Các thuật toán và lý thuyết trong luận văn có thể được ứng dụng để xây dựng phần mềm hỗ trợ phân tích hàm phân hình, giúp tự động hóa quá trình kiểm tra tính duy nhất và phân bố giá trị.

Câu hỏi thường gặp

1. L-hàm là gì và tại sao nó quan trọng trong toán học?
   L-hàm là chuỗi Dirichlet thỏa mãn các tiên đề Ramanujan, phát triển giải tích và phương trình hàm, có vai trò quan trọng trong lý thuyết số và vật lý toán học. Ví dụ, hàm zeta Riemann là một L-hàm nổi bật liên quan đến phân bố số nguyên tố.

2. Khác biệt giữa chia sẻ giá trị CM và IM là gì?
   Chia sẻ giá trị CM (Counting Multiplicities) nghĩa là hai hàm có cùng tập nghiệm với cùng bội số, còn IM (Ignoring Multiplicities) chỉ yêu cầu tập nghiệm giống nhau mà không xét bội số. CM là điều kiện chặt chẽ hơn IM.

3. Tại sao điều kiện hữu hạn cực điểm của hàm phân hình lại quan trọng?
   Hữu hạn cực điểm giúp kiểm soát hàm đếm và hàm đặc trưng, từ đó áp dụng các định lý Nevanlinna hiệu quả để chứng minh tính duy nhất của hàm khi chia sẻ giá trị với L-hàm.

4. Các điều kiện về đa thức ( P(\omega) ) có ý nghĩa gì trong nghiên cứu?
   Đa thức ( P(\omega) = \omega^n + a \omega^m + b ) xác định tập giá trị chia sẻ giữa hai hàm. Các điều kiện về ( n, m ) nguyên tố cùng nhau và bất đẳng thức liên quan đảm bảo tập giá trị đủ lớn và phân bố thích hợp để chứng minh tính duy nhất.

5. Luận văn có thể ứng dụng như thế nào trong thực tế?
   Ngoài lý thuyết, các kết quả có thể ứng dụng trong phân tích các mô hình vật lý sử dụng hàm zeta và L-hàm, cũng như phát triển các công cụ toán học hỗ trợ nghiên cứu và giảng dạy trong lĩnh vực hàm phức.

Kết luận

• Luận văn đã trình bày và chứng minh các điều kiện đủ để xác định duy nhất L-hàm và hàm phân hình có hữu hạn cực điểm khi chia sẻ tập giá trị CM hoặc IM, cũng như một giá trị IM.
• Các kết quả góp phần trả lời câu hỏi của Gross về tính duy nhất của hàm phân hình và L-hàm khi chia sẻ tập giá trị đặc biệt.
• Nghiên cứu dựa trên nền tảng lý thuyết Nevanlinna và các định lý cơ bản về phân bố giá trị của hàm phân hình.
• Kết quả mở rộng phạm vi ứng dụng và cung cấp cơ sở cho các nghiên cứu tiếp theo trong lý thuyết số và vật lý toán học.
• Đề xuất các hướng nghiên cứu mở rộng và ứng dụng thực tiễn nhằm phát triển lĩnh vực này trong tương lai gần.

Quý độc giả và nhà nghiên cứu được khuyến khích tiếp cận và ứng dụng các kết quả trong luận văn để phát triển thêm các công trình khoa học mới, đồng thời tham gia các hội thảo chuyên ngành để trao đổi và cập nhật kiến thức.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1: Trình bày một số vấn đề cơ bản các hàm Nevanlinna, hai Dinh lý cơ bản và một số vấn đề về xác định duy nhất I-hàm và hàm phân hình. Chương 2: Trình bày vấn đề duy nhất cho -hàm và hàm phân hình có hữu hạn cực điểm chia sẻ một tập hữu hạn; một tập hữu hạn và một giá trị. Kiến thức chuẩn bị 1. Các hàm Nevanlinna Với mỗi số thực dương + € IR?, kí hiệu logz+ nếu z > 1 + — a log v= {I nếu 0 < z < 1.

Như vậy: logt « = max{log x, 0}, 1 log x = logt z — log” —. x Cho ƒ là một hàm phân hinh trén Dry = {z € C: |z| < R} và một số thực r >0, trong đó 0 < l < œ và 0< r < ÄR. Hàm 27m m(r,f) = = | logŸ |2) 0 dude goi lA ham xap zi cha hàm ƒ. Ta kí hiệu n(z, ƒ) là số cực điểm kể cả bội, ír, ƒ) là số cực điểm phân biệt (không kể bội) của hàm f trong D,.

Hàm N(r, f) = N(r, 00; f) = i nt) = 20,1) ay + n(0, f)logr, 0 t được gọi là hàm. đếm kể cả bội của hàm ƒ (còn được gọi là hàm đếm tại các cực điểm)._ logr 0 t được gọi là bàm đếm không kể bội. Trong đó n(0, f) = limn(t, f); (0, f) = limntt, f) Dinh nghia 1. Ham T(r, f) = m(r, f) + N(r, f) gọi là hàm đặc trưng của hàm ƒ.

Các hàm đặc trung T(r, f), ham x4p xi m(r, f) va ham dém N(r, f) là ba hàm cơ bản trong lý thuyết phân bố giá trị, nó còn được gọi là các hàm Nevanlinna.5) log r 0 được gọi là hàm đếm tại các không điểm của hàm ƒ. Cho a € CU {oo}, ta ki hiéu 32m 1 1 1 ——|=-- llog" ———— dự. mẮn S2) a | [/œe) — al” 0 1 f-a z 2 2, 1 Ki hiéu n (- ) là sô các không điểm kề cả bội và (: ) là f-a số các không điểm phân biệt của ƒ — ø trong D,. trong đó |e(r, ø)| < log” |a| + log2.1) +00) trong đó O(1) la đại lượng bị chăn.

(Dịnh lý cơ bản thứ hai [?]) Cho ƒ là hàm phân hành khác hằng trên C tà aI,as,., dạ là các số phúc phân biệt. Khi đó, ta có bất đẳng thức GD. (/9]) Cho f la mét ham phan hinh khac hang va P(f) = anf" + anf"! +++ + aif +49, trong d6 an(# 0), Gn1,--+ , a9 la cde hang 86. Cho P(w) =w" + aw™ + b, trong đó a tà b là các số phúc không âm; m, n nguyên dương thoả mãn m>1rn.1) thi phuong trinh P(w) = 0 cé n nghiém phân biệt uà không có nghiệm bội.2) a" n” thì phương trinh P(w) = 0 có n— 1 nghiệm, trong đó có n— 2 nghiệm phân biệt uà một nghiệm kép.

(Đổ đề Valiron-Mokhonko) Cho f la ham phân hành khác hao Unf j0 bf hệ số hằng {ax} va {bj}, trong dé a, #0 va by #0. Khi dé T(r, F) = dT(r, f) vdi d = max{p, g}. ham hang va F = la ham hitu ty bat kha quy trong f uới các Bổ đề 1. Giả sử p > 0, q là số nguyên tố uà c là số phúc thoả mãn cP = 1.

Khi đó, tồn tại duy nhất một không điểm chung của œP — 1 va (1 — e. Trước khi giới thiệu một số kết quả tiếp theo, chúng ta đưa ra các ký hiệu sau: Cho hàm phân hình ƒ thoả mãn ƒ # 0 và số nguyên dương J, kí hiệu n; (r, +) là số không điểm của ƒ trong {z : |z| < r}. Một khong điểm của ƒ có bội m được tính k lần với k = min{m, j}. ’ ( 7) 0 t “Ñ 7 được gọi là hàm đếm tích phân của ƒ.

Hiển nhiên x(n)~XÐÿ và Bổ đề 1. Với số dương r, ta định nghĩa T(r) Ị [ u(re'?) dé — u(0), On trong do u(z) = sup <j;<p log |9j(z)|. Dat gnu = 91 + 92 ++++ + Gp. Khi do pt+l Tứ) <9 Xà (- 2) +80) <(p—1) S`X(- 2) + 80), vet S(r) = O(log 7(r)) + O(Iosr).

khi r — oo tà r ¢ E. Nếu íL nhất một thương 9j/Øm là các hàm siêu viet thì S(r) = o(T(r)) khi r —> œ var ¢ E. ngược lại nếu tất cả thương g;/g„ là các hàm hữu tỉ thà 1 S(r)< —sP(P~ 1)logr + Ó(1), khi r —> œ var ¢ E. Giả sử tất cả các giả thiết của Bổ đề 1.

Khi đó vdi bat ky 7 vam, ta c6 T(r, 2) <T(r)+O(1), khir > co va uới bất kỳ j, ta có NẶt, *) <T(r) + O(1), khir 0x. (/5/) Giá sử Ÿh, ƒa,---, f2 là các hàm phân hành khác hằng sao cho vi Ÿ =1. ƒa độc lập tuyến tính thà n 1 n _ Tứ, Ø) <3 ẤM. Hàm đếm a-điểm của hàm phân hình Định nghĩa 1.

Cho & là một số nguyên không âm, ký hiệu N(, a; ƒ| = k) là hàm đếm ø điểm bội là k. Khi đó W(r,ø; ƒ| = 1) là hàm đếm các a— điểm đơn của ƒ. Cho È là một số nguyên dương, ký hiệu WŒứ,a; ƒ| < k) (Nữ, a; ƒ| > k)) là hàm đếm a— điểm với bội không lớn hơn (không nhỏ hơn) k. Định nghĩa tương tự VứŒ,a; ƒ| < k) (Nữ,a; ƒ| > k)) là hàm đếm a— điểm của ƒ trong trường hợp không tính bội.

Cho ƒ và ø là các hàm phân hình khác hằng chia sẻ một giá trị ø € CU {oo}. Cho zạ là øa— điểm với bội p và a— điểm của ø với bội g. Ký hiệu NrŒứ,a; ƒ) (N;(r,a;ø)) là hàm đếm của a— điểm của ƒ và ø với p > q (q > p), với mỗi a— điểm được tính một lần. Ta có NP (r, ø, ƒ) là hàm đếm a— điểm của ƒ và ø với p= q= 1.

Ta định nghĩa hàm No(r, a; f) = N(r,a; f) + N(r, a; SI > 2), với N(r,ø; ƒ) là hàm đếm a— điểm của ƒ. Cho hàm ƒ và g chia sẻ giá trị œ IM.(r,a; f,g) l& ham dém tại các a— điểm của ƒ có bội khác với bội của a— điểm của g. Cho a, bi, b2,--+ ,bg € CU {oo}. Ky hiệu Nữ, a; ƒ|g # bị, bà, - -- , Og) là hàm đếm a— điểm của ƒ tính cả bội mà không phai 1A b; diém của g v6ii = 1,2,--- ,g.

Tuong tự, ứ,a; ƒ|g # bì,ba,--- , bạ) là hàm đếm a— điểm của ƒ trong trường hợp không tính bội. Cho hàm được xác định như sau: a „ = (Bea) (ee): với F va G 1a hai ham phan hình khác hằng. (/9J) Cho F va G la céc ham phan hinh vdi hitu han cuc điểm trong C chia sẻ 1 TM.4 + No(r, 1; F’) + No(r, 1; G’) + O(log r), 4) trong đó Ng(r,1;F") là hầm đếm không điểm của F" mà không phải là không điểm cia F(F —1), No(r,1;G") được định nghãa tương tự. (/9]) Cho F = eel") va G = — trong đó ƒ vag la hai hàm phân hành có hữu hạn cực điểm trong C, n,m là các số nguyên dương thoả mãn n > mm > 2 tà a,b là các hằng số hữu hạn khác không.

Giả sử u1,0ạ,--- ,ú, là các nghiệm phân biệt của phương trành È +a =0, trong đó k—=n—m. Nếu H # 0 oà F,Œ chúa sẻ 1 TM thà T(r, f+T(r,9)] < <S)[Ns/ ) + Ng(6/:0)| J=1 + I8 (r,0; ƒ) + Nữ,0:g)| 2[N + SNC 1; F,G) 4+ S(r, f) + S(r,Q). Vì ƒ và g là hai hàm phân hình có hữu hạn cực điểm trong € nên ta c6 N(r, F) = O(logr) va N(r,G) = O(logr). Tw Dinh ly co 11 bản thứ hai ta có T(r, F) < N(r,1; F) + N(r, 0; F) — No(r, 0; F’) + S(r, F) (1.

win Theo Bổ đề 1.1 và Định nghĩa 1.10, từ công thức (1. Ta có điều cần chứng minh. (/9]) Giả sử P(œ) được cho bởi Bổ đề 1.2 tà ^\,a, - ** ;Ýn 12 là các nghiệm phân biệt của phuong trinh P(w) = 0. Cho f,g la hat ham phan hinh khac hang, F,G,k,w; (j = 1,2,+++,k) trong Bo dé 1.11 va F,G chia sé 1 IM.

Ta chứng mình bất bằng thức với N¡(r,1; F), các trường hợp khác chứng minh tương tự. Thật vậy không tồn tại ø;, (7 = 1,2,--- ,k) chứa 0 hoặc +;, (¿ = 1,2,---,k). Từ Định lý cơ bản thứ nhất, ta có N enn nh > 2) N@hF)— N(r,1;F) < <® (Xứ: 7) = Nứ.9) Bổ đề được chứng minh. (/9]) Giả sử P() được cho bởi Bổ đề 1.2 0à 41,4 2,°+* ;Ÿn_ là các nghiệm phân biệt của phương trinh P(w) = 0, vdi 4 la nghiệm 13 kép duy nhất.

Cho f,g la hai ham phan hinh khdc hang, F,G,k,w,; (j = 1,2,:-- ,k) trong Bé dé 1.11 va F,G chia sé 11M. Khi do Ni(r, 1; F) < N(r, f) + N(r, 95 f) + N(r,0; f) k + SON (7, 0; f)- N#(r,0; f’) + S(r, f), j=l trong đó Nứ. Từ Dịnh lý cơ bản thứ nhất và tương tự Bổ đề 1.10) Các bất đẳng thức khác được chứng minh tương tự. L] Tương tự Bồ đề 1.13 ta chứng minh được các bổ đề sau.

(/9j) Giả sử +\,^a,---,y„ được cho trong Bồ đề 1.12, ƒ,g 14 là hai ham phan hinh khac hang, F,G,k,w; (j =1,2,-++ ,k) trong Bo dé 1. Néu F,G chia sé 1 IM thà k Ni (r, 1; F) )< Nự, + DM rwiif — N2}(r,0; f’) + S(r, f), trong do, N2\(r,0; f') = N (7,0; f!|f A wi, we, ¬". In) Tu có bắt đẳng thúc tương tự uới Nz (r,1;G). (/9j) Giả sử Â\, 3a, - -- ,Â3„_\ được cho trong Bổ đề 1.13, ƒ, g là hai ham phan hinh khac hang, F,G,k,w; (j =1,2,-++ ,k) trong Bo dé 1.

Néu F,G chia sé 1 IM thà Niữ,1;F) < Nữ, ƒ)+N(r,â;ƒ N(r,wj; f)—N2(r, 0; f)+5(r, f), tử: trong đó, Nứ. (/9j) Giả sử +\,^a,---,y„ được cho trong Bồ đề 1.12, ƒ,g là hai hàm phân hành khác hằng, F GŒ,k, trong Bồ dé 1. Néu F,G chia sẻ 1 TÀI thì Nứ,1;P) < N(r, f) + N(r,0; f) — N37, 0; £) + S(r, 7), trong do, N3'(r, 0; f’) = N(r,0; f'|f z 0,71, 72; ue +n): Tu có bắt đẳng thúc tương tự uới Nz (r,1;G). (/9j) Giả sử Â\, 3a, - -- ,„_\ được cho trong Bổ đề 1.13, ƒ,g la hai ham phân hành khác hằng, F`Œ,k trong Bổ dé 1.

Néu F,G chia 15 sé 1IM thi Ni(r,1; F) < Nữ, ƒ) + Nữ,0; ƒ) + Nữ,3; ƒ) — NỉŒ,0: ƒ) + Sứ, /), trong đó, Nộ t,0; Ƒ) = Nữ,0; Ƒ|ƒ # 081,35, rr+ vŸn—1)- Tu có bắt đẳng thúc tương tự uới Nr(r,1;G).