Luận văn thạc sĩ về phân loại các hệ phương trình trong toán học phổ thông

Nghiên cứu chuyên sâu Phân loại hệ phương trình trong toán học phổ thông: Luận văn thạc sĩ toán học với phương pháp nghiên cứu hiện đại, kết quả ứng

• Tác giả: Lê Văn Lưu
• Người hướng dẫn: PGS. Nguyễn Minh Tuấn
• Trường học: Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp
• Đề tài: Phân Loại Các Hệ Phương Trình Trong Toán Học Phổ Thông
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2015
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI CẢM ƠN
• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BẬC BA VÀ BỐN
• 1.1. Phương trình đại số bậc ba
• 1.2. Phương trình đại số bậc bốn
• 1.3. Phương trình với hệ số phản hồi
• 1.4. Phương trình dạng ¢* = at? + Øt + À
• 1.5. Phương trình dạng az + bz + c#z?+ dư +e=0,a#0
• 2. CHƯƠNG 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP
• 2.1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
• 2.2. Hệ phương trình đối xứng
• 2.2.1. Hệ phương trình đối xứng loại một
• 3. CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
• 3.1. Phương pháp biến đổi tương đương
• 3.1.1. Phương pháp cộng
• 3.1.2. Phương pháp thế
• 3.1.3. Phương pháp phân tích thành nhân tử
• 3.2. Phương pháp đặt ẩn phụ
• 3.3. Phương pháp hàm số
• 3.4. Phương pháp đánh giá
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về phân loại hệ phương trình trong toán học phổ thông

Hệ phương trình là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Việc phân loại các hệ phương trình giúp học sinh có cái nhìn rõ ràng hơn về các dạng bài tập. Trong luận văn này, tác giả sẽ trình bày các loại hệ phương trình thường gặp, từ đó giúp học sinh dễ dàng nhận diện và giải quyết các bài toán liên quan.

1.1. Định nghĩa và vai trò của hệ phương trình

Hệ phương trình được định nghĩa là tập hợp các phương trình có chung các ẩn số. Chúng đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán thực tiễn và lý thuyết trong toán học.

1.2. Tại sao cần phân loại hệ phương trình

Phân loại giúp học sinh nhận diện nhanh chóng các dạng bài tập, từ đó áp dụng phương pháp giải phù hợp. Điều này không chỉ tiết kiệm thời gian mà còn nâng cao hiệu quả học tập.

II. Các thách thức trong việc phân loại hệ phương trình

Mặc dù việc phân loại hệ phương trình là cần thiết, nhưng vẫn tồn tại nhiều thách thức. Học sinh thường gặp khó khăn trong việc nhận diện các dạng khác nhau của hệ phương trình, đặc biệt là trong các kỳ thi. Điều này dẫn đến việc nhiều học sinh không đạt được kết quả như mong muốn.

2.1. Khó khăn trong việc nhận diện dạng hệ phương trình

Nhiều học sinh không thể phân biệt giữa các loại hệ phương trình như hệ bậc nhất, hệ đối xứng, hay hệ không đồng nhất. Điều này gây khó khăn trong việc áp dụng phương pháp giải.

2.2. Thiếu tài liệu tham khảo đầy đủ

Nhiều tài liệu hiện có không cung cấp đầy đủ thông tin về các dạng hệ phương trình, dẫn đến việc học sinh không có đủ kiến thức để giải quyết các bài toán.

III. Phương pháp phân loại hệ phương trình hiệu quả

Để phân loại hệ phương trình một cách hiệu quả, cần áp dụng các phương pháp cụ thể. Các phương pháp này không chỉ giúp học sinh dễ dàng nhận diện mà còn nâng cao khả năng giải quyết vấn đề.

3.1. Phân loại theo bậc của hệ phương trình

Hệ phương trình có thể được phân loại theo bậc như hệ bậc nhất, bậc hai, hoặc bậc cao hơn. Mỗi loại sẽ có phương pháp giải riêng biệt.

3.2. Phân loại theo số lượng ẩn

Hệ phương trình cũng có thể được phân loại theo số lượng ẩn số, từ đó giúp học sinh dễ dàng áp dụng các phương pháp giải phù hợp.

IV. Ứng dụng thực tiễn của hệ phương trình trong toán học

Hệ phương trình không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn. Việc hiểu rõ về hệ phương trình giúp học sinh áp dụng kiến thức vào các bài toán thực tế.

4.1. Ứng dụng trong các bài toán thực tế

Hệ phương trình thường được sử dụng trong các bài toán liên quan đến kinh tế, vật lý, và kỹ thuật. Việc giải quyết các bài toán này giúp học sinh phát triển tư duy logic.

4.2. Kết quả nghiên cứu từ các tài liệu

Nhiều nghiên cứu đã chỉ ra rằng việc nắm vững kiến thức về hệ phương trình giúp học sinh cải thiện kết quả học tập và khả năng giải quyết vấn đề.

V. Kết luận và triển vọng tương lai của hệ phương trình

Việc phân loại hệ phương trình trong toán học phổ thông là một chủ đề quan trọng. Tương lai, cần có nhiều nghiên cứu hơn nữa để cải thiện phương pháp giảng dạy và học tập về hệ phương trình.

5.1. Tóm tắt những điểm chính

Phân loại hệ phương trình giúp học sinh dễ dàng nhận diện và giải quyết các bài toán. Cần có sự chú ý hơn đến việc giảng dạy và tài liệu tham khảo.

5.2. Định hướng nghiên cứu trong tương lai

Cần phát triển các phương pháp giảng dạy mới và tài liệu phong phú hơn để hỗ trợ học sinh trong việc học tập về hệ phương trình.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Hệ phương trình là một nội dung trọng tâm trong chương trình toán học phổ thông, đóng vai trò quan trọng trong các kỳ thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học, cao đẳng. Theo ước tính, số lượng dạng hệ phương trình phổ biến trong sách giáo khoa chưa được phân loại đầy đủ, gây khó khăn cho việc giảng dạy và học tập. Luận văn tập trung phân loại các hệ phương trình trong toán học phổ thông, bao gồm hệ phương trình bậc nhất, hệ phương trình đối xứng loại một và hai, hệ phương trình dạng cấp, hệ phương trình bậc hai tổng quát, và các hệ phương trình phức tạp khác như hệ phương trình chứa căn, mũ, logarit.

Mục tiêu nghiên cứu nhằm hệ thống hóa và phân loại các hệ phương trình thường gặp, đồng thời đề xuất các phương pháp giải điển hình, giúp học sinh và giáo viên có cái nhìn sâu sắc hơn, nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào chương trình toán phổ thông tại Việt Nam, với các ví dụ minh họa và bài toán thực tế từ các kỳ thi học sinh giỏi và tuyển sinh. Ý nghĩa của nghiên cứu được thể hiện qua việc cung cấp tài liệu tham khảo có hệ thống, hỗ trợ việc giảng dạy và học tập hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toán học phổ thông.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên các lý thuyết và mô hình toán học cơ bản về phương trình đại số và hệ phương trình, bao gồm:

• Lý thuyết phương trình đại số bậc ba và bậc bốn: Phân tích nghiệm dựa trên hệ số và điều kiện của đa thức, sử dụng các công thức nghiệm tổng quát và phương pháp biến đổi đa thức thành tích các đa thức bậc thấp hơn.
• Lý thuyết hệ phương trình đối xứng: Phân loại hệ phương trình đối xứng loại một và loại hai, sử dụng các biến đổi đối xứng, đặt ẩn phụ, và các hằng đẳng thức để rút gọn và giải hệ.
• Khái niệm hệ phương trình đẳng cấp và hệ phương trình không mẫu mực: Bao gồm các hệ có phương trình bậc cao, chứa căn, mũ, logarit, và các hệ không theo mẫu chuẩn, đòi hỏi các phương pháp giải đặc thù như biến đổi tương đương, phân tích thành nhân tử, và phương pháp hàm số.

Các khái niệm chính được sử dụng gồm: nghiệm phân biệt, định thức của hệ phương trình, điều kiện tồn tại nghiệm, biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, và các bất đẳng thức liên quan.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu nghiên cứu chủ yếu là các bài toán và hệ phương trình trong chương trình toán học phổ thông, các đề thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học, cao đẳng tại Việt Nam giai đoạn 2013-2015. Phương pháp nghiên cứu bao gồm:

• Phân tích lý thuyết: Tổng hợp, hệ thống hóa các dạng hệ phương trình và phương pháp giải từ tài liệu chuyên ngành và thực tiễn giảng dạy.
• Phương pháp chọn mẫu: Lựa chọn các hệ phương trình tiêu biểu, phổ biến và có tính ứng dụng cao trong chương trình phổ thông.
• Phân tích định lượng: Sử dụng các định thức, điều kiện nghiệm, và các công thức nghiệm để phân loại và giải hệ phương trình.
• Thời gian nghiên cứu: Nghiên cứu được thực hiện trong khoảng thời gian từ năm 2013 đến 2015, tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.

Phương pháp phân tích được lựa chọn nhằm đảm bảo tính hệ thống, khoa học và khả năng ứng dụng thực tiễn trong giảng dạy toán học phổ thông.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Phân loại hệ phương trình phổ biến: Luận văn đã phân loại rõ ràng các hệ phương trình thường gặp trong toán học phổ thông thành các nhóm như hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình đối xứng loại một và hai, hệ phương trình dạng cấp, hệ phương trình đẳng cấp, và hệ phương trình không mẫu mực. Ví dụ, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được phân tích dựa trên định thức với các trường hợp có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

2. Phương pháp giải đặc thù cho từng loại hệ: Mỗi loại hệ phương trình được áp dụng các phương pháp giải phù hợp như đặt ẩn phụ, biến đổi tương đương, phân tích thành nhân tử, và sử dụng các hằng đẳng thức. Ví dụ, hệ phương trình đối xứng loại một được giải bằng cách đặt tổng và tích của các ẩn, từ đó chuyển sang giải phương trình bậc hai.

3. Điều kiện tồn tại nghiệm và biện luận nghiệm: Nghiên cứu xác định các điều kiện cần và đủ để hệ phương trình có nghiệm, dựa trên các định thức và bất đẳng thức liên quan. Ví dụ, hệ phương trình đối xứng loại hai có nghiệm khi và chỉ khi điều kiện $S^2 > 4P$ được thỏa mãn, trong đó $S$ và $P$ là tổng và tích của các ẩn phụ.

4. Ứng dụng trong giải các bài toán thực tế: Luận văn trình bày nhiều bài toán minh họa với số liệu cụ thể, như giải hệ phương trình chứa căn, hệ phương trình mũ và logarit, và các hệ phương trình phức tạp khác. Các ví dụ này giúp minh họa hiệu quả các phương pháp giải và phân loại hệ phương trình.

Thảo luận kết quả

Kết quả nghiên cứu cho thấy việc phân loại hệ phương trình theo đặc điểm cấu trúc và phương pháp giải giúp hệ thống hóa kiến thức, tạo điều kiện thuận lợi cho việc giảng dạy và học tập. So sánh với các nghiên cứu trước đây, luận văn đã mở rộng phạm vi phân loại và đề xuất các phương pháp giải phù hợp hơn với chương trình phổ thông hiện hành.

Việc sử dụng các biến đổi đối xứng và đặt ẩn phụ được đánh giá là phương pháp hiệu quả, giúp giảm độ phức tạp của hệ phương trình, đồng thời làm rõ điều kiện tồn tại nghiệm. Các số liệu và ví dụ minh họa được trình bày qua bảng và biểu đồ giúp người học dễ dàng hình dung và áp dụng.

Ngoài ra, nghiên cứu cũng chỉ ra một số hạn chế như việc giải các hệ phương trình không mẫu mực còn đòi hỏi nhiều thời gian và kỹ năng phân tích cao, đồng thời cần có thêm các tài liệu tham khảo và bài tập thực hành để nâng cao hiệu quả giảng dạy.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Xây dựng tài liệu giảng dạy hệ thống: Cần biên soạn tài liệu phân loại hệ phương trình chi tiết, có minh họa cụ thể và bài tập thực hành phong phú, nhằm hỗ trợ giáo viên và học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập. Thời gian thực hiện: 6 tháng; Chủ thể: Bộ Giáo dục và Đào tạo phối hợp với các trường đại học.

2. Tổ chức các khóa đào tạo nâng cao năng lực cho giáo viên: Tập huấn về các phương pháp giải hệ phương trình mới, kỹ năng phân tích và áp dụng các biến đổi đối xứng, đặt ẩn phụ. Mục tiêu nâng cao chất lượng giảng dạy và khả năng truyền đạt kiến thức. Thời gian: 1 năm; Chủ thể: Sở Giáo dục và Đào tạo các tỉnh, thành phố.

3. Phát triển phần mềm hỗ trợ giải hệ phương trình: Thiết kế công cụ phần mềm giúp học sinh và giáo viên thực hành giải các hệ phương trình phức tạp, đồng thời cung cấp lời giải chi tiết và các bước phân tích. Thời gian: 1 năm; Chủ thể: Các đơn vị công nghệ giáo dục.

4. Tăng cường nghiên cứu và ứng dụng các phương pháp giải mới: Khuyến khích nghiên cứu sâu hơn về các hệ phương trình không mẫu mực, hệ phương trình chứa căn, mũ, logarit, nhằm mở rộng phạm vi ứng dụng và nâng cao hiệu quả giảng dạy. Thời gian: liên tục; Chủ thể: Các viện nghiên cứu và trường đại học.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Giáo viên toán phổ thông: Luận văn cung cấp hệ thống phân loại và phương pháp giải hệ phương trình, giúp giáo viên nâng cao kiến thức chuyên môn và kỹ năng giảng dạy, từ đó cải thiện hiệu quả truyền đạt cho học sinh.

2. Học sinh trung học phổ thông: Tài liệu giúp học sinh hiểu rõ cấu trúc và cách giải các dạng hệ phương trình phổ biến, hỗ trợ ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học.

3. Sinh viên ngành sư phạm toán: Luận văn là nguồn tham khảo quý giá để sinh viên nắm vững kiến thức cơ bản và nâng cao về hệ phương trình, phục vụ cho việc giảng dạy và nghiên cứu sau này.

4. Nghiên cứu viên và giảng viên đại học: Các phương pháp phân tích và giải hệ phương trình được trình bày chi tiết, có thể áp dụng và phát triển trong các nghiên cứu toán học ứng dụng và giảng dạy đại học.

Câu hỏi thường gặp

1. Hệ phương trình đối xứng là gì?
   Hệ phương trình đối xứng là hệ mà các phương trình có dạng đối xứng về các ẩn, ví dụ như tổng và tích của các ẩn xuất hiện trong biểu thức. Ví dụ, hệ đối xứng loại một thường được giải bằng cách đặt tổng $S = x + y$ và tích $P = xy$.

2. Làm thế nào để xác định hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
   Thông thường, tính định thức của hệ phương trình bậc nhất hoặc điều kiện như $S^2 > 4P$ trong hệ đối xứng giúp xác định sự tồn tại và số lượng nghiệm. Ví dụ, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất khi định thức $D \neq 0$.

3. Phương pháp đặt ẩn phụ được áp dụng như thế nào?
   Phương pháp đặt ẩn phụ giúp biến đổi hệ phương trình phức tạp thành hệ đơn giản hơn bằng cách thay thế các biểu thức phức tạp bằng biến mới, từ đó giải hệ dễ dàng hơn. Ví dụ, đặt $a = x + y$, $b = xy$ trong hệ đối xứng.

4. Có thể áp dụng các phương pháp này cho hệ phương trình chứa căn, mũ, logarit không?
   Có, luận văn trình bày các phương pháp biến đổi tương đương và đặt ẩn phụ để giải các hệ phương trình chứa căn, mũ, logarit, tuy nhiên đòi hỏi kỹ năng phân tích cao và cẩn trọng trong quá trình giải.

5. Làm sao để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức liên quan đến hệ phương trình?
   Bằng cách thiết lập hệ phương trình liên quan đến biểu thức cần tìm và sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của hệ, ta có thể xác định tập giá trị của biểu thức. Ví dụ, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = x + y$ khi hệ có nghiệm dựa trên điều kiện của phương trình bậc hai liên quan đến $x, y$.

Kết luận

• Luận văn đã hệ thống hóa và phân loại các hệ phương trình phổ biến trong toán học phổ thông, từ đó đề xuất các phương pháp giải phù hợp và hiệu quả.
• Nghiên cứu làm rõ điều kiện tồn tại nghiệm và biện luận nghiệm cho từng loại hệ phương trình, hỗ trợ việc giảng dạy và học tập.
• Các phương pháp đặt ẩn phụ, biến đổi đối xứng và phân tích định thức được áp dụng thành công trong giải các hệ phương trình phức tạp.
• Kết quả nghiên cứu có ý nghĩa thực tiễn cao, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toán học phổ thông tại Việt Nam.
• Đề xuất các giải pháp phát triển tài liệu, đào tạo giáo viên và ứng dụng công nghệ nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập trong thời gian tới.

Giáo viên, học sinh và các nhà nghiên cứu nên áp dụng các phương pháp và phân loại trong luận văn để nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập. Đồng thời, các cơ quan giáo dục cần triển khai các đề xuất nhằm phát triển tài liệu và đào tạo chuyên sâu.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Phương trình đại số bậc ba và bốn Chương này ta sẽ nêu cách giải cho phương trình bậc ba và phương trình bậc bốn tổng quát.1 Phương trình đại số bậc ba Trong phan này ta sẽ nêu phương pháp giải phương trình bậc ba với hệ số thực tùy ý: ax? + bx? + cy + d= 0, a 40. Giải phương trình (1.1) khi biết một nghiệm: x = zp. Theo giả thiết axe + bưa + cro +d = 0. Phương trình (1.1) tương đương với các phương trình sau ax? + bx? + ca + d = arg + bx? + cap +d; a (x3 x3) b (2? x) c(x — x9) = 0; x — 19) (ax? + (arg + b)# + ax?0 + brp + e) = 0.

1) Nếu A < 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = zo. Phương trình đại số bậc ba va bốn 2) Nếu A >0 thì phương trình có nghiệm là —(a#o +b) + VA —(a#o +b) — VA %1 —=#0;2#2 = —————————————; 83 Fo 2ø 2ø Nhận xét 1. 1) Nếu zo là nghiệm của (1.1) thì điều kiện cần và đủ để (1.1) có ba nghiệm phân biệt là: ax, + (aro + b)z0 + axe + bro + c # 0 A >0. 2) Nêu 2 là nghiệm của (1.1) thì có thể phân tích ax + ba? + cx +d = f (x) (x — 20), trong đó ƒ (z) là tam thức bậc hai.

3) Nếu a1, x2, 73 là các nghiệm của (1.1) thi ax? + br? + cr + d= a(# — #1) (a — #2) (4 — #3), và công thức Viết là c d U1 +%2+%3 = —--, ể12+ 723 + 321 —=—, 1223 = — a a a Bài toán 1. Giải phương trình 4x3 — 3z = m với |m| < 1. Đặt m = cosa = cos (a + 2a). Khi đó C€OSŒ = COS (3.5) = Acos”S — 3cos > 8 ì Do vậy phương trình có4 ba nghiệm: ‘Am.

a1 — Qa rg — = cos}, +27 13 — = cOsSS““, Œ~27 = cos*4*. Chứng minh dang thức 1/: 1 4x3 — 3z= 2 (¿+ =x). b) Giải phương trình 4zỞ — 3z = m với |m| > 1. v= g(a+—) hay a’ — 2ar + 1= 0 với ä=# + V0? = 1.

a Phương trình đại số bậc ba va bốn Đặt a = z+ Vo? — 1 thì z = $(a+ 4) và z3 = š(a3 + 3a + 3 + 4). Suy ra da — Br = 5(a® + 8á + = +4) — F(a =) = 5 (a8 + 4). 1 1 1 1 b) Ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất. That vậy, phương trình khong có nghiệm ap € [—1; 1] vì nếu zo € [—1; 1] thì đặt xo = cosy suy ra |4z” — 3z| = |4cos* yp — 3 cos ¿| = |cos3y| < 1 < |m|.

Giả sử phương trình có nghiệm 2), |x| > 1, 4z3 — 321 = m. Vay x = x; là nghiệm duy nhất. Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất r= $ (Vins Vie 14 Vn Vinh =1). Giải phương trình: 4z + 3z = m.

Nhận xét rằng x = x là nghiệm của phương trình thì đó là nghiệm duy nhất. That vậy, xét z > zọ, khi đó 4z + 3z > 4z} +32, =m. Tương tu, với # < x9 thì 4z3 + 3z < 4z} + 3z =m. Khi đó dé dàng kiểm tra dang thức 40° x +30 % =2 (nỗ 210 1 1 re) ).

Suy ra cách giải phương trình, dat 1 1 : m= (a ¬g) ca” =m m2 + 1. Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất ¬ `. 6 Phương trình đại số bậc ba va bốn Bài toán 1. (xem [3]) Giải và biện luận phương trình ¢? + at? + bt + e= 0.

Khi đó viết phương trình thành a3 a2 a —3) taly— 3) +b +by—g)+c=<0 +c= 0; 3 _ np = _a bg 2a3 ab c y p q, Pp 3 ? qd 27 Ú 3 Ta có các trường hợp sau: 1) Nếu p =0 thì phương trình có nghiệm duy nhất y = ÿ⁄4. 2) Nếu p > 0 thì đặt y = 24/§z. Khi đó ta được phương trình 4z” — 3= m, m= a) |m| < 1, đặt m = cosa thì phương trình có ba nghiệm a œ — 27 œ + 27m #ị = COS >, #2 = COS 3 , £3 = COs. Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất r= $ (45) =2 (Vins Vhế—1+ iin Về =1), 3) Nếu p < 0, đặt y = 2\/ S#z, sẽ được phương trình 4zÖ + 3 =m.

Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất =4 3) = 3 (Wns vie 1 1 lí(zs Am3 mổ +1), 7 Phương trình đại số bậc ba va bốn 1.2 Phương trình đại số bậc bốn Trong phần sẽ nêu phương pháp chung để phân tích đa thức bậc bốn tổng quát thành tích hai tam thức bậc hai. Đối với một số dạng đa thức bậc bốn đặc biệt có những phép biến đổi phù hợp và đơn giản hơn, không đòi hỏi phải vận dụng toàn bộ thuật toán tổng quát.1 Phương trình dang (x — a)’ + (x — b)` =<. Đặt z= ¿+ th, a= ab Khi đó phương trình trở thành (t+a)'+(t-a)' =¢; 2/! + 12074? + 2a4 —c=0. Day là phương trình đã biết cách giải.

Giải phương trình (x — 3)* + (z— 5)“ = 82. Khi đó phương trình đã cho trở thành các phương trình sau (y+1)°+ (y—-1)* = 82; „2 + 6y? — 40 = 0. Giải phương trình tìm được = 2 và y = —2 Do vậy phương trình đã cho có hai nghiệm z = 2, r= 6.2 Phuong trình dang (x +a) (a+b) (a+c)(a+d)=m, a+d=b+c. Dat u = (x + a) (+ + đ) suy ra (4 + b) (œ +c) = u + be — ad.

Khi đó phương trình trở thanh u(u + bc — ad) = m hay u? + (be — ađ)u — ma = 0. Day là phương trình đã biết cách giải. Giải phương trình x (x + 1)(z + 2) (+ + 3) =8. Phương trình đại số bậc ba va bốn lời giải.

Khi đó phương trình trỏ thành u? +2u—8=0, giải phương trình ta được u = 2 và u = —4 suy ra hai phương trình nhưng chỉ có phương trình sau có nghiệm a? + 3z — 2= 0. Do vậy phương trình có nghiệm z = 35R 1. Phương trình với hệ số phản hồi. € LẦU av‘ + br? + cx? + dự +e =0, -Ñ: sau ax* + bx? + cx? + bax 4 aa? = 0; (x? + a2“ + bz(+? + a) + (e— 2aa)x? = 0.

Nhận xét z = 0 không thỏa mãn phương trình. Chia hai về phương trình cho 2? ta đưa phương trình đã cho về hệ phương trình mm 2 _ # +œ t= x Hay hệ phương trình at? + bt + e— 2aœ = 0 +2 —tr+a=0. Dặc biệt khi a = e,b = đ phương trình ban đầu trở thành phương trình đối xứng ax* + br? + cx? + bx +a = 0. Khi a = e,b = —d phương trình ban đầu trở thành phương trình nửa đối xứng az' + br? + cx? — bx +a = 0.

Giải phương trình: z† + 323 — 62? + 6z + 4 = 0. Phương trình đại số bậc ba va bốn Loi giải. Dé thay x = 0 không là nghiệm của phương trình. Xét x # 0 chia hai về phương trình cho z7 ta được Đặt =z+ 2, (| > 2) suy rat? =2?+4+44.

Phương trình đã cho trở thành ?+3f— 10 =0. Giải phương trình với chú ý điều kiện ta chọn ý = —5, suy ra 2 #+— =-. x Từ đ ó t ì m đ ư ợ c z = — 5 V H , Do vậy phương trình đã cho có hai nghiệm z = — 1.4 Phương trình dạng ¢* = at? + 0t + À. Trường hợp: A = 6?—4a\ = 0, biến đổi về phải thành bình phương đúng.

Trường hợp: A 40. Ta sử dung PS (Pm) + mf! = (2 =m)? + 2m (02 =m) + nề = ( — m)” + 2ml? — m?. Suy ra phương trình ban đầu tương đương với (~ m)Ÿ = (a— 2m) tŸ + 8t + À + mỸ.2) Ta cần chọn m sao cho về phải của (1.2) có biệt thức A, = 0, tức là chọn m sao cho 6? — 4(a— 2m) (A + m”) = 0.3) là phương trình bậc ba theo m mà ta biết phương trình bậc ba luân giải được nên phép giải này luân đi đến kết quả cuối cùng. 10 Phương trình đại số bậc ba va bốn Bài toán 1.

Giải phương trình «4 = 3z2 + 10z + 4. Viết phương trình dưới dang (2? +0)” =(3+2a)z? + 10 + 4+ aŠ. Ta thay a = 1 thỏa mãn, vậy có thể viết phương trình dưới dang (z7 + 1)" = 52? + 10+ + 5; (0? +1)? = [v5(@@+)). Ta có hai trường hợp: Trường hợp 1.

z?— 5z — 5 +1 =0 hay «= v5+VVIL4V5, L†4v5 Trường hợp 2. Do vậy phương trình có hai nghiệm z = 5 1.5 Phương trình dạng az + bz + c#z?+ dư +e=0,a#0 Đặt x = — +t. Khi đó phương trình trở thành t* = at? + 6t+. Dây là phương trình đã biết cách giải.

Giải phương trình: «4 — §z3 + 20a? — 12z — 9 = 0. Khi đó phương trình đã cho trở thành các phương trình sau (t + 2)! — 8( + 2)” + 200 + 2)? — 12(t + 2) -9 =0; tt = 4t? — 4t +1; tt = (2t— 1)”: t? = 2t—1 hoặc t? = —2f + 1. Giải phương trình tìm được t = 1 vat = —1 + V2. Do vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x = 3; z= 1+ v2.

11 Chương 2 Hệ phương trình thường gặp 2.1 Hệ phương trình bậc nhất hai an Định nghĩa 2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + DỤ =c q2 + Mụ = Œ Việc giải và biện luận hệ trên được tiến hành như sau: Bước 1. Tính các định thức D= i ụ = ab! —a’b, D, = 4 i = cb! — cb, Dy = i c = dể —a'c. + Nếu D z 0 hệ có nghiệm duy nhất: z = 2; y = 7.

+ Nếu D =0, D; £0 hoặc D, # 0 thì hệ vô nghiệm. + Nếu D =D, = Dạ =0 thì hệ có vô số nghiệm (z;y) thỏa mãn: ax + by = c. Giải và biện luận hệ phương trình Bang 2z + aụ = q. 12 Hệ phương trình thường gặp Loi giải.

Ta tính các định thức sau: D= gã =a? —4, 4-—a 2 DĐ =l„ ` a |= Tula 2), a 4-a 2 Dy=|9 @ =a" —2(4-a) =(a-2)(a+4). + Nếu a? # 4 hay a # +2 hệ có nghiệm duy nhất z= 4 = —;z#z; y= oy = at} + Nếu a= —2 suy ra: D=0, D„ #0 hệ vô nghiệm. + Nếu a = 2 suy ra D = D; = D„ =0 hệ có vô số nghiệm (z;) thỏa mãn z + = 1.