Luận văn về phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua mô hình hóa toán học

Chuyên khảo toán học phân tích Luận văn cải thiện năng lực tư duy hàm cho học sinh thông qua mô hình hóa toán học và giải quyết, đánh giá các khía cạnh quan trọng, đề xuất hướng

• Tác giả: Nguyễn Thành Quốc
• Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thị Nga
• Trường học: Đại học Sư phạm Hà Nội
• Chuyên ngành: Giáo dục
• Đề tài: Phát triển tư duy hàm cho học sinh qua mô hình hóa toán học
• Loại tài liệu: Luận văn
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN
• 1.1. Đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số
• 1.2. Quá trình mô hình hóa toán học
• 1.3. Dạy học đặt và giải quyết vấn đề
• 2. CHƯƠNG 2: TƯ DUY HÀM TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
• 2.1. Giai đoạn hàm số được giảng dạy như đối tượng tiền toán học (tiểu học đến đầu năm lớp 7)
• 2.2. Giai đoạn hàm số được giảng dạy như đối tượng toán học (từ lớp 7 trở đi)
• 2.3. Mục đích thực nghiệm
• 2.4. Thực nghiệm : Tiểu đồ án didactic
• 2.5. Nội dung thực nghiệm
• 2.6. Dàn dựng kịch bản
• 2.7. Đối tượng thực nghiệm
• 2.8. Phân tích tiên nghiệm
• 2.9. Phân tích hậu nghiệm
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Giới thiệu về tư duy hàm và mô hình hóa toán học

Tư duy hàm là một khái niệm quan trọng trong giáo dục toán học, liên quan đến khả năng nhận diện và thiết lập các mối quan hệ giữa các đại lượng. Phát triển tư duy hàm cho học sinh không chỉ giúp họ hiểu rõ hơn về các khái niệm toán học mà còn tạo điều kiện cho việc giải quyết các vấn đề thực tiễn. Mô hình hóa toán học là một phương pháp hiệu quả để phát triển tư duy này. Qua việc chuyển đổi các tình huống thực tế thành các mô hình toán học, học sinh có thể áp dụng kiến thức toán học vào thực tiễn. Việc này không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn rèn luyện kỹ năng tư duy logic và sáng tạo. Theo nghiên cứu của Nguyễn Thị Nga (2011), quá trình mô hình hóa bao gồm bốn bước chính: chuyển đổi tình huống thực tế thành mô hình trung gian, xây dựng mô hình toán học, thực hiện các hoạt động toán học và cuối cùng là phân tích kết quả. Điều này cho thấy tầm quan trọng của mô hình hóa toán học trong việc phát triển tư duy hàm.

1.1. Đặc trưng của tư duy hàm

Tư duy hàm bao gồm các hoạt động trí tuệ như phát hiện, thiết lập và nghiên cứu các mối quan hệ tương ứng giữa các đại lượng. Các hoạt động này không chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về khái niệm hàm mà còn rèn luyện khả năng giải quyết vấn đề. Theo Nguyễn Bá Kim (1996), phát triển tư duy hàm là quá trình tập luyện cho học sinh nhận diện và vận dụng các mối quan hệ này trong thực tế. Việc này không chỉ giúp học sinh có cái nhìn sâu sắc hơn về toán học mà còn tạo ra những kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài toán thực tiễn. Học sinh cần được khuyến khích để nhận ra rằng hàm số không chỉ là một khái niệm trừu tượng mà còn là một công cụ hữu ích trong nhiều lĩnh vực khác nhau như vật lý, kinh tế và khoa học máy tính.

II. Vai trò của mô hình hóa trong dạy học toán

Mô hình hóa toán học đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy hàm cho học sinh. Qua việc mô hình hóa, học sinh có thể chuyển đổi các tình huống thực tế thành các bài toán toán học, từ đó áp dụng kiến thức đã học để giải quyết. Việc này không chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm toán học mà còn rèn luyện kỹ năng tư duy logic và sáng tạo. Theo nghiên cứu của Nguyễn Thị Nga (2011), quá trình mô hình hóa bao gồm bốn bước: chuyển đổi tình huống thực tế thành mô hình trung gian, xây dựng mô hình toán học, thực hiện các hoạt động toán học và phân tích kết quả. Điều này cho thấy tầm quan trọng của mô hình hóa toán học trong việc phát triển tư duy hàm. Học sinh cần được khuyến khích để nhận ra rằng hàm số không chỉ là một khái niệm trừu tượng mà còn là một công cụ hữu ích trong nhiều lĩnh vực khác nhau như vật lý, kinh tế và khoa học máy tính.

2.1. Các bước trong quá trình mô hình hóa

Quá trình mô hình hóa bao gồm bốn bước chính: đầu tiên, chuyển đổi tình huống thực tế thành mô hình trung gian, sau đó xây dựng mô hình toán học, tiếp theo là thực hiện các hoạt động toán học và cuối cùng là phân tích kết quả. Mỗi bước đều có vai trò quan trọng trong việc giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các đại lượng và cách thức mà chúng tương tác với nhau. Việc này không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn rèn luyện kỹ năng tư duy logic và sáng tạo. Học sinh cần được khuyến khích để nhận ra rằng hàm số không chỉ là một khái niệm trừu tượng mà còn là một công cụ hữu ích trong nhiều lĩnh vực khác nhau như vật lý, kinh tế và khoa học máy tính.

III. Kết luận và ứng dụng thực tiễn

Việc phát triển tư duy hàm cho học sinh thông qua mô hình hóa toán học không chỉ giúp họ nắm vững kiến thức mà còn rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề trong thực tiễn. Các hoạt động mô hình hóa giúp học sinh nhận diện và thiết lập các mối quan hệ giữa các đại lượng, từ đó áp dụng kiến thức toán học vào thực tế. Điều này không chỉ có ý nghĩa trong việc nâng cao chất lượng dạy học mà còn tạo ra những kỹ năng cần thiết cho học sinh trong tương lai. Học sinh cần được khuyến khích để nhận ra rằng hàm số không chỉ là một khái niệm trừu tượng mà còn là một công cụ hữu ích trong nhiều lĩnh vực khác nhau như vật lý, kinh tế và khoa học máy tính. Việc này không chỉ giúp học sinh có cái nhìn sâu sắc hơn về toán học mà còn tạo ra những kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài toán thực tiễn.

3.1. Ứng dụng trong thực tiễn

Ứng dụng của tư duy hàm và mô hình hóa toán học trong thực tiễn rất đa dạng. Học sinh có thể áp dụng kiến thức này để giải quyết các vấn đề trong cuộc sống hàng ngày, từ việc tính toán chi phí, dự đoán xu hướng đến việc phân tích dữ liệu. Việc này không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức mà còn rèn luyện kỹ năng tư duy logic và sáng tạo. Học sinh cần được khuyến khích để nhận ra rằng hàm số không chỉ là một khái niệm trừu tượng mà còn là một công cụ hữu ích trong nhiều lĩnh vực khác nhau như vật lý, kinh tế và khoa học máy tính. Điều này không chỉ giúp học sinh có cái nhìn sâu sắc hơn về toán học mà còn tạo ra những kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài toán thực tiễn.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng nhất trong chương trình Toán phổ thông, đóng vai trò trung tâm trong việc phát triển tư duy toán học của học sinh. Theo báo cáo của ngành giáo dục, khái niệm hàm số được giới thiệu từ lớp 7 và được hoàn thiện hơn ở lớp 10, với định nghĩa dựa trên sự tương ứng giữa các đại lượng biến thiên. Tuy nhiên, qua khảo sát thực trạng dạy học, việc phát triển tư duy hàm cho học sinh chưa được chú trọng đầy đủ, đặc biệt là trong việc vận dụng mô hình hóa toán học để giải quyết các tình huống thực tế. Mục tiêu nghiên cứu nhằm đánh giá mức độ phát triển tư duy hàm trong dạy học toán phổ thông, phân tích các hoạt động đặc trưng cho tư duy hàm, đồng thời khảo sát khả năng mô hình hóa và giải quyết các tình huống gợi vấn đề của học sinh lớp 10 tại một số trường trung học phổ thông.

Phạm vi nghiên cứu tập trung vào chương trình Toán từ lớp 1 đến lớp 10, đặc biệt chú trọng vào các lớp 7, 9 và 10, nơi khái niệm hàm số được định nghĩa và phát triển. Thời gian nghiên cứu diễn ra trong năm học gần nhất tại một trường THPT ở thành phố Mỹ Tho. Ý nghĩa nghiên cứu được thể hiện qua việc cung cấp cơ sở khoa học cho việc đổi mới phương pháp dạy học, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toán học, phát triển tư duy hàm và kỹ năng mô hình hóa toán học cho học sinh phổ thông.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu dựa trên ba lý thuyết chính:

1. Đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số: Hàm số được đặc trưng bởi ba yếu tố cơ bản là tương ứng, phụ thuộc và biến thiên. Các hệ thống biểu đạt hàm số gồm bảng số, biểu thức giải tích, đồ thị và biểu đạt bằng lời, mỗi hệ thống có ưu nhược điểm riêng trong việc thể hiện các đặc trưng này.

2. Quá trình mô hình hóa toán học: Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một tình huống thực tế thành mô hình toán học thông qua bốn bước: xây dựng mô hình trung gian, chuyển thành mô hình toán học, giải quyết mô hình toán học và kiểm định kết quả với thực tế. Quá trình này giúp học sinh phát triển tư duy hàm thông qua việc nhận diện biến số, thiết lập mối quan hệ hàm và vận dụng các biểu đạt hàm số.

3. Dạy học đặt và giải quyết vấn đề (DHĐ&GQVĐ): Đây là phương pháp dạy học trong đó giáo viên tạo ra các tình huống gợi vấn đề, tổ chức học sinh trình bày và giải quyết vấn đề nhằm giúp học sinh lĩnh hội kiến thức mới, phát triển kỹ năng và tư duy toán học, đặc biệt là tư duy hàm.

Ba khái niệm chính được tập trung nghiên cứu gồm: biến số độc lập và biến số phụ thuộc, sự tương ứng giữa các đại lượng, và các hoạt động đặc trưng cho tư duy hàm như phát hiện, nghiên cứu và vận dụng sự tương ứng.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng phương pháp phân tích thể chế kết hợp với thực nghiệm tiểu đồ án didactic. Cụ thể:

• Nguồn dữ liệu: Phân tích chương trình, sách giáo khoa và sách giáo viên Toán từ lớp 1 đến lớp 10, tập trung vào các bài tập và hoạt động phát triển tư duy hàm. Thực nghiệm được tiến hành trên học sinh lớp 10 tại trường THPT Nguyễn Đình Chiểu, thành phố Mỹ Tho.

• Phương pháp phân tích: Phân tích nội dung sách giáo khoa để xác định mức độ phát triển tư duy hàm và sự xuất hiện của mô hình hóa toán học trong dạy học. Thực nghiệm tiểu đồ án didactic nhằm khảo sát khả năng phát hiện biến số, thiết lập mối quan hệ hàm và vận dụng các biểu đạt hàm số của học sinh thông qua các bài toán thực tế.

• Cỡ mẫu và chọn mẫu: Thực nghiệm trên 40 học sinh lớp 10, được chọn ngẫu nhiên từ một lớp học đã hoàn thành chương trình hàm số.

• Timeline nghiên cứu: Phân tích tài liệu và thiết kế thực nghiệm trong 3 tháng đầu, thực nghiệm và thu thập dữ liệu trong 1 tháng, phân tích dữ liệu và viết báo cáo trong 2 tháng tiếp theo.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Phát triển tư duy hàm trong sách giáo khoa còn hạn chế: Qua phân tích sách giáo khoa từ lớp 1 đến lớp 10, các hoạt động phát triển tư duy hàm chủ yếu tập trung vào nghiên cứu sự tương ứng và tính toán giá trị hàm số tại các điểm cho trước. Các hoạt động phát hiện, thiết lập và vận dụng sự tương ứng, đặc biệt là mô hình hóa toán học, gần như không được đề cập. Ví dụ, trong SGK Đại số 10 nâng cao, chỉ có khoảng 4 bài toán thực tế, nhưng các bài toán này chỉ tập trung vào bước giải quyết mô hình toán học mà không yêu cầu học sinh tự xác định biến số hay thiết lập mô hình.

2. Học sinh gặp khó khăn trong việc xác định biến số và mối quan hệ hàm số: Kết quả thực nghiệm trên 40 học sinh lớp 10 cho thấy chỉ có 25 học sinh (62,5%) nhận biết được sự phụ thuộc giữa hai đại lượng trong câu hỏi kiểm tra, nhưng chỉ 11 học sinh (27,5%) xác định đúng biến số độc lập và biến số phụ thuộc. Khoảng 70% học sinh không thể mô tả mối quan hệ hàm số bằng các biểu đạt khác ngoài công thức, như bảng số hay đồ thị.

3. Học sinh ưu tiên sử dụng biểu thức giải tích hơn các biểu đạt khác: Trong các bài toán thực tế của tiểu đồ án didactic, học sinh chủ yếu mô tả mối quan hệ hàm số bằng công thức, rất ít nhóm sử dụng bảng số hoặc đồ thị để mô tả. Điều này phản ánh thói quen và sự hạn chế trong việc vận dụng các biểu đạt đa dạng của hàm số.

4. Mô hình hóa toán học chưa được vận dụng hiệu quả trong dạy học: Các bài toán thực tế trong sách giáo khoa và thực nghiệm đều cho thấy học sinh chỉ làm việc trong mô hình toán học đã được thiết lập sẵn, không tham gia vào các bước xây dựng mô hình trung gian hay lựa chọn biến số. Điều này hạn chế khả năng phát triển tư duy hàm và kỹ năng mô hình hóa của học sinh.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân của những hạn chế trên có thể do các ràng buộc thể chế trong tổ chức dạy học, như chương trình và sách giáo khoa chưa chú trọng phát triển tư duy hàm toàn diện, đặc biệt là các hoạt động mô hình hóa toán học. So với các nghiên cứu quốc tế, việc phát triển tư duy hàm và mô hình hóa toán học được xem là trọng tâm trong giáo dục toán phổ thông, giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về mối quan hệ giữa các đại lượng và ứng dụng toán học vào thực tiễn.

Việc học sinh ưu tiên sử dụng biểu thức giải tích phản ánh thói quen học tập và phương pháp giảng dạy truyền thống, thiếu sự đa dạng trong các biểu đạt hàm số. Điều này làm giảm khả năng linh hoạt trong tư duy và vận dụng kiến thức toán học vào các tình huống thực tế đa dạng.

Dữ liệu thu thập có thể được trình bày qua biểu đồ cột thể hiện tỷ lệ học sinh nhận biết biến số độc lập, biến số phụ thuộc và khả năng mô tả mối quan hệ hàm số bằng các biểu đạt khác nhau. Bảng so sánh số lượng bài tập phát triển tư duy hàm trong sách giáo khoa các lớp cũng minh họa rõ sự thiếu hụt các hoạt động mô hình hóa.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Tăng cường tích hợp mô hình hóa toán học trong chương trình và sách giáo khoa

   • Động từ hành động: Thiết kế, bổ sung
   • Target metric: Tỷ lệ bài tập mô hình hóa tăng ít nhất 30% trong chương trình Toán lớp 7-10
   • Timeline: Triển khai trong 1-2 năm học
   • Chủ thể thực hiện: Bộ Giáo dục và Đào tạo, các nhà biên soạn sách giáo khoa

2. Đào tạo giáo viên nâng cao năng lực phát triển tư duy hàm và mô hình hóa toán học

   • Động từ hành động: Tổ chức tập huấn, bồi dưỡng
   • Target metric: 80% giáo viên Toán THPT được đào tạo về phương pháp dạy học mô hình hóa
   • Timeline: 1 năm đầu tiên
   • Chủ thể thực hiện: Các trường đại học sư phạm, trung tâm bồi dưỡng giáo viên

3. Phát triển tài liệu và bài tập thực hành đa dạng, khuyến khích học sinh vận dụng nhiều biểu đạt hàm số

   • Động từ hành động: Soạn thảo, phát triển
   • Target metric: Ít nhất 50% bài tập thực hành có yêu cầu vận dụng bảng số, đồ thị và biểu thức
   • Timeline: 1 năm
   • Chủ thể thực hiện: Giáo viên, nhóm nghiên cứu giáo dục toán

4. Áp dụng phương pháp dạy học đặt và giải quyết vấn đề trong dạy học hàm số

   • Động từ hành động: Triển khai, áp dụng
   • Target metric: 70% tiết học hàm số sử dụng phương pháp DHĐ&GQVĐ
   • Timeline: 1-2 năm
   • Chủ thể thực hiện: Giáo viên Toán, nhà trường

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Giáo viên Toán trung học phổ thông

   • Lợi ích: Nắm bắt được thực trạng và phương pháp phát triển tư duy hàm, áp dụng mô hình hóa toán học trong giảng dạy để nâng cao hiệu quả học tập.
   • Use case: Thiết kế bài giảng, xây dựng bài tập phát triển tư duy hàm.

2. Nhà quản lý giáo dục và biên soạn chương trình

   • Lợi ích: Hiểu rõ các ràng buộc thể chế và đề xuất cải tiến chương trình, sách giáo khoa phù hợp với xu hướng giáo dục hiện đại.
   • Use case: Cập nhật chương trình, xây dựng chính sách đào tạo giáo viên.

3. Sinh viên và nghiên cứu sinh ngành Sư phạm Toán

   • Lợi ích: Tiếp cận lý thuyết và thực tiễn về phát triển tư duy hàm và mô hình hóa toán học, chuẩn bị cho công tác giảng dạy tương lai.
   • Use case: Tham khảo tài liệu nghiên cứu, phát triển đề tài luận văn.

4. Các nhà nghiên cứu giáo dục toán học

   • Lợi ích: Có dữ liệu thực nghiệm và phân tích sâu sắc về phát triển tư duy hàm trong bối cảnh giáo dục Việt Nam.
   • Use case: So sánh, đối chiếu nghiên cứu, phát triển các nghiên cứu tiếp theo.

Câu hỏi thường gặp

1. Tư duy hàm là gì và tại sao nó quan trọng trong dạy học toán?
   Tư duy hàm là khả năng nhận biết, thiết lập và vận dụng mối quan hệ tương ứng giữa các đại lượng biến thiên. Nó giúp học sinh hiểu sâu sắc về sự phụ thuộc giữa các biến và ứng dụng toán học vào thực tế, từ đó phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề hiệu quả.

2. Mô hình hóa toán học có vai trò gì trong phát triển tư duy hàm?
   Mô hình hóa toán học giúp học sinh chuyển đổi các tình huống thực tế thành mô hình toán học, nhận diện biến số và thiết lập mối quan hệ hàm số. Qua đó, học sinh phát triển tư duy hàm một cách toàn diện và thực tiễn hơn.

3. Tại sao học sinh thường chỉ sử dụng biểu thức giải tích để mô tả hàm số?
   Do thói quen học tập và phương pháp giảng dạy truyền thống, học sinh quen với việc sử dụng công thức để mô tả hàm số. Việc sử dụng bảng số hay đồ thị ít được thực hành, dẫn đến hạn chế trong khả năng vận dụng đa dạng các biểu đạt hàm số.

4. Làm thế nào để giáo viên có thể phát triển tư duy hàm cho học sinh hiệu quả hơn?
   Giáo viên cần tích hợp các hoạt động mô hình hóa toán học, sử dụng đa dạng các biểu đạt hàm số, tổ chức các tình huống gợi vấn đề và khuyến khích học sinh tự phát hiện, thiết lập và vận dụng mối quan hệ hàm số trong các bài toán thực tế.

5. Các ràng buộc thể chế ảnh hưởng như thế nào đến việc phát triển tư duy hàm?
   Các ràng buộc như chương trình học, sách giáo khoa, phương pháp giảng dạy và đánh giá hiện tại chưa chú trọng đầy đủ đến mô hình hóa và phát triển tư duy hàm toàn diện, dẫn đến việc học sinh thiếu kỹ năng nhận diện biến số và vận dụng hàm số trong thực tế.

Kết luận

• Hàm số là khái niệm trung tâm trong chương trình Toán phổ thông, nhưng việc phát triển tư duy hàm cho học sinh còn nhiều hạn chế, đặc biệt trong việc vận dụng mô hình hóa toán học.
• Sách giáo khoa và chương trình hiện tại chủ yếu tập trung vào nghiên cứu sự tương ứng và tính toán giá trị hàm số, thiếu các hoạt động phát hiện, thiết lập và vận dụng sự tương ứng trong các tình huống thực tế.
• Học sinh gặp khó khăn trong việc xác định biến số độc lập, biến số phụ thuộc và mô tả mối quan hệ hàm số bằng các biểu đạt đa dạng ngoài công thức giải tích.
• Thực nghiệm tiểu đồ án didactic cho thấy học sinh ưu tiên sử dụng công thức và ít vận dụng bảng số, đồ thị trong mô tả hàm số, phản ánh hạn chế trong phương pháp dạy học.
• Cần có sự đổi mới trong chương trình, sách giáo khoa và phương pháp giảng dạy, đặc biệt là tăng cường mô hình hóa toán học và dạy học đặt và giải quyết vấn đề để phát triển tư duy hàm toàn diện cho học sinh.

Next steps: Triển khai các đề xuất cải tiến chương trình và đào tạo giáo viên, đồng thời mở rộng nghiên cứu thực nghiệm trên quy mô lớn hơn để đánh giá hiệu quả.

Call-to-action: Các nhà quản lý giáo dục, giáo viên và nhà nghiên cứu cần phối hợp để đổi mới dạy học toán, tập trung phát triển tư duy hàm và kỹ năng mô hình hóa cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục phổ thông.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1. Đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số Chúng tôi sẽ tổng hợp lại các nghiên cứu khoa học luận khái niệm hàm số trong khóa luận của Nguyễn Thị Nga (2003). Có thể tóm tắt một số điểm chính của luận văn như sau:  Ba đặc trưng cơ bản của hàm số là: tương ứng, phụ thuộc và biến thiên.  Biểu diễn hàm số: Trong lịch sử toán học, người ta sử dụng các phương tiện khác nhau như bảng số, hình hình học, biểu thức giải tích và đồ thị.

Trong từng thời kỳ khác nhau của lịch sử toán học, khái niệm hàm số cùng ba đặc trưng và các cách biểu diễn xuất hiện một cách ngầm ẩn hay tường minh. Cụ thể, theo tài liệu của Nguyễn Thị Nga (2003) chúng tôi có bảng tóm tắt như sau: GIAI CƠ CHẾ CỦA ĐẶC TRƯNG PHƯƠNG TIỆN ĐOẠN KHÁI NIỆM CỦA KHÁI NIỆM BIỂU DIỄN + chưa có tên • Phụ thuộc (ngầm ẩn) Cổ đại + chưa có định nghĩa • Biến thiên (ngầm ẩn) • Bảng số + công cụ ngầm ẩn • Tương ứng (ngầm ẩn) • Phụ thuộc (ngầm ẩn) + chưa có tên • Biến thiên (ngầm ẩn – Trung • Bảng số + chưa có định nghĩa nhưng bước đầu được đại • Hình hình học + công cụ ngầm ẩn quan tâm nghiên cứu) • Tương ứng (ngầm ẩn) • Phụ thuộc và biến thiên + có tên • Bảng số Thế kỉ được đề cập rõ ràng hơn + chưa có định nghĩa • Đường cong hình 16 -17 trong vài nghiên cứu + công cụ ngầm ẩn học • Tương ứng (ngầm ẩn) 10 + có tên • Phụ thuộc (được đề cập + có định nghĩa (hàm tường minh trong vài số được đồng nhất với nghiên cứu) • Biểu thức giải tích Thế kỉ một biểu thức giải • Biến thiên (tường minh) 18 tích) • Tương ứng (ngầm ẩn) + công cụ tường minh + đối tượng nghiên cứu + có tên + có định nghĩa (dựa • Phụ thuộc (được đề cập • Bảng vào khái niệm tương tường minh trong vài • Biểu thức giải tích ứng giữa hai đại nghiên cứu) Nửa đầu • Đồ thị lượng) • Biến thiên (tường minh) thế kỉ 19 + công cụ tường minh • Tương ứng (tường minh) + đối tượng nghiên cứu + có tên + có định nghĩa • Phụ thuộc (ngầm ẩn) (dựa vào khái niệm • Bảng Cuối thế • Biến thiên (ngầm ẩn) tương ứng hay quan • Biểu thức giải tích kỉ 19 - • Tương ứng (tường minh) hệ giữa các phần tử • Đồ thị Thế kỉ của hai tập hợp) • Biểu đồ Ven 20 + công cụ tường minh • Các cặp phần tử + đối tượng nghiên cứu Từ sự tổng hợp trên, chúng tôi nhận thấy rằng: Qua từng giai đoạn khác nhau của lịch sử, các cách biễu diễn hàm số có sự thay đổi. Bảng số là phương tiện biểu diễn hàm số đầu tiên. Cách biểu diễn bằng bảng thường chỉ được áp dụng khi tập xác định của hàm số là hữu hạn và quy tắc tương ứng khó diễn đạt bằng một biểu thức giải tích.

Kể từ thế kỷ 18, 11 cách biểu diễn hình hình học rất ít xuất hiện. Hai cách biểu diễn đồ thị và biểu thức giải tích vẫn luôn được ưu tiên. Như vậy, trong từng cách biểu diễn thì đặc trưng hàm số được thể hiện như thế nào? Để trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi sẽ sử dụng lại kết quả nghiên cứu của Nguyễn Thị Hồng Duyên (2012). Chúng tôi có bảng tóm tắt như sau: Các hệ thống biểu đạt Ưu điểm Nhược điểm Đại số (biểu thức giải + Cô đọng và chính xác + Không thấy được đặc tích hay công thức) mối tương quan hàm trưng phụ thuộc của hàm + Làm nổi bật đặc trưng số tương ứng của khái niệm hàm số + Dễ tính toán, biến đổi + Có thể dùng các công cụ giải tích để nghiên cứu tính liên tục, sự biến thiên, cực trị… + Xác định nhanh một số + Không phải hàm số nào Hình học (đồ thị, biểu tính chất của hàm số cũng có thể mô tả chính đồ) xác bằng đồ thị + Tìm được giá trị (đúng + Cơ sở cho việc đọc được hay gần đúng) của hàm số tính chất của đồ thị là tại 1 điểm những chứng minh chặt chẽ được thực hiện ở hệ thống biểu đạt đại số + Tìm được giá trị của + Tập xác định của hàm Bảng số hàm nhanh chóng số phải hữu hạn +Công cụ tiện lợi để ghi + Xác định giá trị của hàm kết quả nghiên cứu thực tại một giá trị ngoài bảng nghiệm cũng như muốn biết quy luật phát triển của chúng thì cần phải thực hiện sự 12 chuyển đổi Ngoài 3 hệ thống biểu đạt nêu trên, hàm số còn được biểu đạt bằng lời.

Cách biểu đạt này được đề cập trong “Tài liệu bồi dưỡng giáo viên Toán trung học phổ thông tỉnh Bình Thuận” của Trần Lương Công Khanh (2007). “Ví dụ 1: Xét hàm số f : * → {0,1, 2, ., 9} ⊂  với f ( n ) là chữ số thập phân thứ n trong cách viết số π trong hệ thập phân. Ví dụ 2: Xét hàm số g : * →  \ {0,1} với g ( n ) là số nguyên tố thứ n.” Về tính ưu việt của hệ thống biểu đạt bằng lời, tác giả Trần Lương Công Khanh nói rõ: “Rõ ràng trong hai ví dụ trên, cách biểu đạt bằng lời là cách biểu đạt tối ưu vì hiện nay toán học chưa tìm được cách biểu đạt nào khác đối với f và g. Giả sử sẽ tìm được biểu thức giải tích của f và g trong tương lai, cách biểu đạt bằng lời vẫn là cách biểu đạt gọn nhất.

Điều này cũng cho thấy tồn tại những hàm số mà ta không thể thực hiện sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt. Từ những nghiên cứu trên, chúng tôi nhận thấy rằng: khái niệm hàm số phát sinh, phát triển, ngày càng mở rộng chính xác hóa và hoàn thiện do nhu cầu của thực tiễn. Cho nên, việc dạy học khái niệm hàm số không chỉ nên dừng lại ở việc đưa vào định nghĩa của nó, mà phải nắm vững các đặc trưng và các hệ thống biểu đạt của nó, cách chuyển đổi giữa các hệ thống biểu đạt và đặc biệt là áp dụng nó vào việc giải quyết các bài toán của thực tế hay của khoa học. Bởi vì các vấn đề thực tế sẽ làm nảy sinh nhu cầu sử dụng hàm số và thực hiện sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt.

Tư duy hàm Phần này được trích từ tài liệu “Phương pháp dạy học bộ môn Toán” của tác giả Nguyễn Bá Kim (1996). Tư duy hàm là các hoạt động trí tuệ liên quan đến sự tương ứng giữa các phần tử của một, hai, hay nhiều tập hợp, phản ánh các mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử của tập hợp đó trong sự vận động của chúng. Tư duy hàm có vai trò quan trọng trong việc giáo dục toán học cho học sinh. Liên quan đến vấn đề phát triển tư duy hàm, tác giả Nguyễn Bá Kim (1996) cho rằng: “phát triển tư duy hàm là tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và vận 13 dụng sự tương ứng trong khi và nhằm vào truyền thụ kiến thức và rèn luyện kĩ năng toán học”.

Như vậy, đặc trưng cho tư duy hàm có thể liệt kê các hoạt động sau đây: • Phát hiện hoặc thiết lập những sự tương ứng • Nghiên cứu những sự tương ứng • Vận dụng những sự tương ứng a) Hoạt động 1 Phát hiện những sự tương ứng tức là nhận ra một mối liên hệ tương ứng tồn tại khách quan, ví dụ như sự tương ứng giữa độ dài cạnh và diện tích một hình vuông, giữa thời gian đi và quãng đường đi được, giữa các số hạng và tổng của chúng… Thiết lập sự tương ứng có nghĩa là tự tạo ra những sự tương ứng theo quy định chủ quan của mình để thuận lợi cho một mục đích nào đó, chẳng hạn sự tương ứng giữa các số thực và các điểm trên một đường thẳng, giữa tập con của tập các số tự nhiên và những que đếm… b) Hoạt động 2 Nghiên cứu những sự tương ứng nhằm phát hiện ra những tính chất của những mối liên hệ nào đó, ví dụ như diện tích của hình vuông luôn luôn bằng bình phương độ dài của cạnh. Hoạt động này bao gồm nhiều phương diện khác nhau nhưng có thể cụ thể hoá thành ba tình huống sau: Tình huống 1. Xác định giá trị ra khi biết giá trị vào; xác định giá trị vào khi biết giá trị ra; nhận biết quy tắc tổng quát của một mối liên hệ (trong các trường hợp có thể) khi cho biết các cặp phần tử tương ứng của mối liên hệ đó (hay khi cho cặp giá trị vào và giá trị ra); nhận biết tính đơn trị của sự tương ứng. Đánh giá sự biến thiên mong muốn của giá trị ra khi thay đổi giá trị vào; thực hiện một sự biến thiên mong muốn đối với giá ra bằng cách thay đổi giá trị vào; dự đoán sự phụ thuộc.

Phát triển và nghiên cứu những bất biến; những trường hợp đặc biệt và những trường hợp suy biến. c) Hoạt động 3 Vận dụng sự tương ứng: Từ chỗ nghiên cứu nắm được những tính chất của một sự tương ứng có thể vận dụng sự tương ứng đó vào một hoạt động nào đó, chẳng hạn nhờ mối liên hệ giữa diện tích hình vuông với độ dài cạnh ta có thể đo diện tích hình vuông bằng cách dùng thước dài chứ không cần phải dùng chiếc mét vuông mẩu hoặc lưới ô vuông. 14 Ba loại hoạt động này gắn bó chặt chẽ với nhau, hoạt động trước là tiền đề cho hoạt động sau và hoạt động sau là mục đích, cơ sở hình thành hoạt động trước. Như vậy, rèn luyện tư duy hàm là rèn luyện cho học sinh những khả năng, những hoạt động sau: (1) Có khả năng xem xét, nhìn nhận các đối tượng toán học dưới con mắt động, nhìn trong sự vận động, biến đổi.

(2) Phát hiện được sự tương ứng hay những mối liên hệ giữa các đối tượng, sự kiện toán học trong sự vận động và biến đổi của chúng. (3) Từ việc tìm hiểu rồi nghiên cứu được những tương ứng hay những mối liên hệ nào đó, ở mức độ cao hơn, có khả năng thể hiện (hay diễn đạt) được nội dung của các đối tượng, sự kiện toán học bằng ngôn ngữ hàm. Quá trình mô hình hóa toán học Theo Từ điển bách khoa toàn thư, mô hình hóa toán học là sự giải thích toán học cho một hệ thống toán học hay ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này.