CHƯƠNG 1 KIEN THUC CHUAN BI Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức về giải tích hàm và không gian Sobolev. Nội dung của chương này được tham khảo chủ yếu tại các tài liệu [2, 3, 4, 9, 10, 12] với mục đích tạo tiền đề cơ sở cho các chương sau. Một số kiến thức về giải tích hàm Định nghĩa 1. Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường.
số K (thực hoặc phức), ||: ||: X —> RR là một ánh xa thỏa mãn các tiên đề Sau: j) llz|| >0 với Ve € X và |lz|| = 0 khi và chỉ khi z = 0) ñ) lJœzll= la|-llz|| với mọi z e X và œ € K. ii) lle + ull < [lal] + lull với mại z,w € X. Khi đó (X, |I- ||) được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn trên trường số JK. Giả sử (X, ||- ||) là một không gian định chuẩn.
Ta nói dãy {ư„} trong X hội tụ đến € X nếu lim„,. ||u„ — ul] = 0, ttte 1a với mọi e > 0, tồn tại Äụ € Ñ (phụ thuộc € va u) sao cho véi moi n > No ta có Jun — ul] <e. Dãy {u„} được gọi là một dãy Cauchy nếu với mọi e > 0, tồn tại Äụ € Ñ (phụ thuộc €) sao cho véi moi m,n > No ta c6 |lu„ — unl] <e. Không gian định chuẩn (X, | - |) được gọi là không gian Banach nếu moi day Cauchy trong X đều hội tụ về một phần tử thuộc.
Để ngắn gọn chúng ta thường kí hiệu không gian Banach X và ngầm 4 hiểu có chuẩn | - | xác định. Sau đây, chúng tôi chỉ ra một số ví dụ về không gian Banach thường được sử dụng. : x; € R} la mot không gian Banach với chuẩn Izl b. Không gian Ca, b] gồm các hàm số liên tục trên đoạn [a,b] 18 mot không gian Banach với chuẩn lull = may {u(x)|- Định nghĩa 1.
Không gian Banach X được gọi là tách được nếu tồn tại một dãy các phan tit dém duge {uy, u2,.} và trù mật khắp nơi trong X, tức là {uị, wạ,. Cho (X, | - ||x) và (Y; ||- |Ìy) là hai không gian tuyến tính định chuẩn trên trường K. Ta nói A: X > Y là toán tử tuyến tính nếu A(w + uạ) = 4y + Au¿ với mọi uạ,uạ € X va A(Au) = AAu voi moi \ € K vau € X. Dac biệt, nếu Ý = K ta nói toán tử tuyến tính 4 là phiếm hàm tuyến tính trên X.
Toán tử 4: X => Y gọi là liên tục tại u € X nếu với mọi dãy {un} hoi tu vé u trong X ta déu c6 lim, 4.0 || Aun — Au|ly = 0. Toán tử 4 vừa tuyến tính vừa liên tục trên X được gọi là toán tử tuyến tính liên tục trên X, kí hiệu A4 € £(X,Y). Đặc biệt, chúng ta có không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục từ X vào K, kf hiu béi X’ = £(X,K), còn gọi là không gian đối ngẫu của X hay không gian liên hợp thứ nhất. tương tự, chúng ta có thể xác định không gian liên hợp thứ hai X”,.
Cho (X, ||-|Ix) oà (Y: | - |Íy) là các không gian tuyến tính định chuẩn. Toán tử tuyến tính A : X —> Y là liên tục khi uà chỉ khi nó giới nội, tức là tồn tại M > () sao cho ||Aully < Mljully, Vue X. Cho (X, | - ||) la mot khong gian Banach, X’ 1a 5 không gian đối ngẫu của X và phần tử ƒ € X”. Giá trị của phiếm hàm ƒ tại điểm € X được kí hiệu bởi (f,v), trong đó (-,-) gọi là một cặp đối ngẫu của các không gian X và X”.
Khi đó, không gian đối ngẫu X” cũng là một Banach với chuẩn /llx: = sup {|Œ,9)|: e €X, lle|[x = 1}. Ngoài sự hội tụ mạnh được trình bày trong Định nghĩa 1.2, chúng ta cần khái niệm về sự hội tụ yếu trong không gian Banach. Giả sử X là một không gian Banach, X” là không gian đối ngẫu của nó. Ta nói dãy {ƒ„} hội tụ yếu đến ƒ trong X, kí hiệu ƒ„ — ƒ khi va chi khi (fn,v) + (f,v) véi moi v € X’.
Tuong tu, trên không gian đối ngẫu X” ta có sự hội tụ mạnh và hội tụ yếu. Ta nói fa > ƒ € X” (mạnh) khi và chỉ khi ||/„— ƒ||x: —> 0 và ƒ„ — ƒ € X” (yếu) khi và chỉ khi (t0, f„) —> (tơ, ƒ) với mọi tơ € X”. Xét ánh xạ ?: X —> X”, với mỗi u € X L> ?((w) — tơ € X” sao cho (w, f) = (f,u) voi moi f € X’. R6 rang H la mot don anh, Néu 2 là một toàn ánh, ta nói X là một không gian Banach phản xạ.
Khi đó, mỗi phần tử trong X có thể đồng nhất như một phần tử trong X” và khái niệm hội tụ yếu trong không gian đối ngẫu X” có thể hiểu là (w, ƒ„) —> (w, ƒ) với mọi w € X. Không gian R" là một không gian Banach phản xạ. Giả sử X là một không gian tuyến tính định chuẩn. Ta nói tập con A C X 1a tap compact néu moi day {u,,} trong A déu c6 thể trích một dãy con hội tụ về € A.
Néu X là mot tap compact ta ndi X 1a mot khong gian compact. Định lí sau đây cho ta một kết quả quan trọng về lớp không gian Banach phan xa, Định lí 1. Không gian Banach X là phản zạ khi tà chỉ khi hình cầu đồng đơn tị trong X là một tập compact theo tô pô tiếu. ‘Tit Dinh If 1.2, moi day bị chặn trong không gian Banach phản xạ đều 6 có thể trích một dãy con hội tu yếu.
Giả sử X là một không gian compact, {F;,i € I} la mot họ bắt kà các tập con đóng của X sao cho giao hữa hạn các F; là khác rông. Khi đó ta có ^ịe+F, cũng khác rỗng. “Trong phần tiếp theo, chúng tôi giới thiệu một lớp không gian Banach đặc biệt còn gọi là không gian Hilbert. Giả sử /ƒ là một không gian tuyến tính trên trường s6 K.
Tren H, ta xét ánh xạ xác định bởi (€):HxHK (x,y) — (x,y) thỏa mãn các tiên đề sau (i) Œ,) = W.z) với mọi z,, z € HH. (i (Az, y) = A(x, y) với mọi z, € H và À € K.z) > 0 với mọi z € H và (z,z) = 0 khi và chỉ khi # = 0. Cặp (H, (-,-)) được gọi là không gian Unita và (z,y) được gọi là tích vô hướng của hai véctơ # và trong H. Từ Định nghĩa 1.8, ta thấy khi K là trường số thực R thì tích vô hướng là một dạng song tuyến tính xác định dương trên H.
Cho H là một không gian Unita. Khi đó ta có ánh xa |- ||: H > R zác định bởi công thức \|zl| = (a,2)?, Vee H. là một chuẩn trên H.4, không gian Unita HH là một không gian tuyến tính định chuẩn. Nếu với chuẩn này, không gian # là một không gian đầy đủ theo nghia moi day Cauchy trong H déu hoi tu vé mot phan tit thudc H thi ta n6i H 1a khong gian Hilbert.
7 Khác với không gian Banach tổng quát, không gian Hilbert có khái niệm tích vô hướng. Chính điều này dẫn đến không gian Hilbert có nhiều tính chất đặc biệt, gần gũi với không gian Euclide được học trong chương. trình phổ thông. Khác với không gian Euelide R”, không gian Hilbert là một không gian phản xạ, tách được vô hạn chiều.
Một trong những kết quả quan trọng trong không gian Hilbert được phát biểu như sau. Trong một không gian Hilbert (H, (-, -)), phiếm hàm tuyến tính Ƒ là liên tục khi uà chỉ khi tồn tại phần tử to € H sao cho ƒ(u) = (u,), Yue H.5, khái niệm hội tụ yếu trong không gian Hilbert được phát biểu như sau. Trong không gian Hilbert /f, dãy {ư„} hội tụ yếu đến w€ H khi và chỉ khi với mọi ø € H ta có (u„,0) —> (u,) khi › + +00. Phần cuối cùng của mục này chúng tôi giới thiệu nội dung định lí Brouwer với mục đích chứng minh kết quả được phát biểu trong Định lí 2.
Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi không bàn sâu về các định lí m bất động. Độc giả quan tâm có thể tham khảo tài liệu [6]. Gid siz B, = {2 ER": |x| <r}. Xet f : B, — B, là một ánh zạ liên tục từ B, vào chính nó.
Khi đó ánh xa f có ít nhất một điểm bắt động, tức là tồn tại z € B, sao cho f(x) = +. Không gian Sobolev “Trong mục này, chúng tôi kí hiệu ƒ = (a, b), a,b € R, là một khoảng mở trong IR. Với mỗi hàm số uw: J > lR, kí hiệu supp(w) := {# €T: +(z) # 0} và gọi là giá của hàm +. Nếu giá của hàm là một tập compact trong ta nói ứ có gid compact trong I.
Giả sử k € Ñ, khi đó CÊ(1) là không gian các hàm số khả vi liên tục đến cấp & trên J và có gid 1a mot tap compact trong 1 (gọi tắt là có giá compact). Đặc biệt, nếu k = 0 ta nói C9(7) là không gian các hàm số liên tục có giá compaet. 8 Không gian CÈ(7) là một không gian Banach với chuẩn |ulce = D> sup|u(x)|, 0<i<k 7€T trong đó uí9(z) là đạo hàm cấp ¡ của hàm số t tại z € 7. Đặc biệt, không gian C0(7) là không gian các hàm số liên tục có giá compact với chuẩn |u|es := sup,¢; |u(2)|.
Khong gian các hàm số khả vi vô hạn có giá compact trên Ï được xác định bởi C;(1) := fu>oC#(1). Với mọi p € [1,S), ta kí hiệu DD) {1 :1+Rdo được, [ |J()J'dr < +o}. h Khi đó không gian 72(1) là một không gian Banach với chuẩn được xác định bởi công thức 1 lư|>ư (J 2)faz) „ w€ (1. Đặc biệt, khi p — 2, không gian Z2(1) là một không gian Hilbert với tích vô hướng được xác định bởi (4,9) z0) := [uous de.
Không gian C?* (7) trù mật khắp nơi trong không gian J (1) với 1 < p< +. Gid situ € L? (I), v € (1) vdi 1 < p,p! < +œe là cặp số mũ liên hợp, tức là i +p = 1. Khi ds, P uv € L'(Q) va ƒ tuázS lulewlelercy- 1 Định nghĩa 1. Với mọi p € [1, +©), chúng ta xác định không gian Sobolev như sau W?(T) := {u € Ƒ(I): D„u € LP(D}.
Không gian Sobolev W1?(I) la một không gian Banach tới chuẩn. IItllusze = elem + |Dwtel nec) với mọi u € WP(I). Hơn nữa, W}?(]) là một không gian phản xa nếu 1<p< +© tà là tách được nếu 1 < p< +œ.