I. Tổng quan vấn đề nghiên cứu
Trong những năm gần đây, các nhà toán học đã chú ý đến phương trình elliptic và phương trình parabolic không địa phương, đặc biệt là những phương trình chứa toán tử Laplace phân thứ. Những phương trình này có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như vật lý, sinh học và tài chính. Tính không địa phương của các phương trình này có thể xuất phát từ các số hạng không gian hoặc đạo hàm không địa phương theo biến thời gian. Toán tử Laplace phân thứ được định nghĩa như một toán tử không địa phương trên không gian các hàm giảm nhanh, và đã có nhiều nghiên cứu về tính chất định tính của nghiệm cho các phương trình này. Tuy nhiên, các kết quả cho các phương trình không địa phương vẫn còn hạn chế, đòi hỏi các phương pháp nghiên cứu mới. Luận án này sẽ tập trung vào việc nghiên cứu tính chất định tính của nghiệm cho một số lớp phương trình elliptic và phương trình parabolic chứa toán tử Laplace phân thứ.
II. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận án là nghiên cứu tính chất định tính của nghiệm dương cho phương trình Lichnerowicz phân thứ và phương trình Lane-Emden phân thứ. Luận án sẽ chứng minh sự tồn tại và không tồn tại nghiệm dương cho các phương trình này, đồng thời nghiên cứu các điều kiện cần thiết cho sự không tồn tại nghiệm. Các phương pháp nghiên cứu sẽ bao gồm việc sử dụng bất đẳng thức, nguyên lý cực trị, và các kỹ thuật phân tích khác. Kết quả của nghiên cứu sẽ góp phần làm rõ hơn về tính chất định tính của các phương trình này, từ đó mở rộng hiểu biết về các ứng dụng của chúng trong thực tiễn.
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là một số phương trình elliptic và phương trình parabolic phi tuyến chứa toán tử Laplace phân thứ. Phạm vi nghiên cứu bao gồm việc phân tích cận dưới đều, sự tồn tại và không tồn tại nghiệm dương cho phương trình Lichnerowicz và hệ Lane-Emden phân thứ. Luận án cũng sẽ xem xét các điều kiện cho sự không tồn tại nghiệm dương của các phương trình elliptic chứa số hạng gradient. Các kết quả nghiên cứu sẽ được trình bày một cách hệ thống và có tính ứng dụng cao trong các lĩnh vực liên quan.
IV. Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng nhiều phương pháp nghiên cứu khác nhau để đạt được mục tiêu đề ra. Các phương pháp bao gồm phương pháp hàm thử, xây dựng hàm phụ và sử dụng nguyên lý cực trị, cũng như phương pháp đổi biến để đưa hệ bất đẳng thức về một bất đẳng thức đơn giản hơn. Việc đánh giá bất đẳng thức và ước lượng tích phân phi tuyến cũng sẽ được áp dụng để chứng minh các kết quả chính. Những phương pháp này không chỉ giúp giải quyết các bài toán lý thuyết mà còn có thể áp dụng trong các tình huống thực tiễn khác.
V. Kết quả nghiên cứu
Luận án đã đạt được một số kết quả quan trọng về tính chất định tính của nghiệm cho các phương trình elliptic và phương trình parabolic. Các kết quả này đã được công bố trong các tạp chí quốc tế và trình bày tại các hội nghị toán học. Cụ thể, luận án đã chứng minh được sự tồn tại và không tồn tại nghiệm dương cho các phương trình Lichnerowicz và Lane-Emden phân thứ, đồng thời đưa ra các điều kiện cần thiết cho sự không tồn tại nghiệm. Những kết quả này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như vật lý và sinh học.
