I. Giới thiệu về bất đẳng thức Hardy
Bất đẳng thức Hardy là một trong những bất đẳng thức quan trọng trong lĩnh vực toán học. Nó liên quan đến mối quan hệ giữa tích phân của một hàm và đạo hàm của nó. Bất đẳng thức này đã được chứng minh lần đầu bởi Hardy trong không gian một chiều. Tuy nhiên, chứng minh ban đầu của ông chưa hoàn chỉnh do chưa xác định được hằng số tốt nhất trong bất đẳng thức. Sau đó, Landau đã chỉ ra giá trị tốt nhất của hằng số này. Nhiều nhà toán học đã tiếp tục nghiên cứu và mở rộng bất đẳng thức Hardy cổ điển, đặc biệt là trong việc mở rộng lớp hàm trọng, tức là các hàm đo được và dương hầu khắp nơi. Luận văn này sẽ tập trung vào việc nghiên cứu bất đẳng thức Hardy một chiều và các bất đẳng thức kiểu Hardy khi mở rộng theo hướng thêm các hàm trọng.
II. Cơ sở lý thuyết
Chương này trình bày các kiến thức nền tảng cần thiết cho việc nghiên cứu bất đẳng thức Hardy. Các kết quả liên quan đến sự khả vi và khả tích Lebesgue của các hàm đơn điệu sẽ được nhắc lại. Đặc biệt, định lý Funini về việc chuyển dấu đạo hàm qua dấu tổng sẽ được đề cập, cùng với các khái niệm về hàm có biến phân bị chặn và hàm liên tục tuyệt đối. Những kiến thức này là rất quan trọng để hiểu rõ hơn về các bất đẳng thức kiểu Hardy. Đặc biệt, định lý cơ bản của phép tính vi tích phân đối với tích phân Lebesgue sẽ được chứng minh, tạo nền tảng cho các nghiên cứu tiếp theo.
III. Các bất đẳng thức kiểu Hardy một chiều
Chương này sẽ trình bày chi tiết về bất đẳng thức Hardy gốc trong không gian một chiều. Chứng minh sẽ được thực hiện dựa trên tài liệu tham khảo từ các nghiên cứu trước đó. Sau đó, các bất đẳng thức kiểu Hardy sẽ được mở rộng khi bổ sung thêm các hàm trọng. Các điều kiện ràng buộc để các kiểu mở rộng này là đúng cũng sẽ được chứng minh. Việc nghiên cứu này không chỉ giúp làm rõ hơn về bất đẳng thức Hardy mà còn mở ra hướng đi mới cho các nghiên cứu tiếp theo trong lĩnh vực toán học ứng dụng.
IV. Kết luận và hướng nghiên cứu tiếp theo
Luận văn đã trình bày một cách có hệ thống về bất đẳng thức Hardy một chiều và các bất đẳng thức kiểu Hardy. Những kết quả đạt được không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có thể áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Tác giả hy vọng rằng những nghiên cứu này sẽ góp phần vào việc phát triển thêm các lý thuyết liên quan đến bất đẳng thức trong toán học lý thuyết và toán học ứng dụng. Hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc mở rộng các bất đẳng thức này trong các không gian cao hơn hoặc trong các điều kiện khác nhau.
