Luận văn thạc sĩ về bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và ứng dụng trong tích phân

Luận văn thạc sĩ khám phá bất đẳng thức Cauchy Schwarz cho tích phân và ứng dụng giải các bài toán bất đẳng thức tích phân hiệu quả.

• Tác giả: Trần Ngọc Tuấn
• Người hướng dẫn: TS. Dương Việt Thông
• Trường học: Trường Đại Học Quy Nhơn
• Chuyên ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp
• Đề tài: Bất Đẳng Thức Cauchy-Schwarz Cho Tích Phân Và Ứng Dụng Giải Toán
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2020
• Địa điểm: Bình Định

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY - SCHWARZ CHO TÍCH PHÂN
• 1.1. Định nghĩa tích phân xác định
• 1.2. Tính chất của tích phân xác định
• 1.3. Một số phương pháp tính tích phân
• 1.3.1. Phương pháp đổi biến số
• 1.3.2. Phương pháp tích phân từng phần
• 1.4. Bất đẳng thức AM - GM
• 1.5. Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
• 1.6. Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân
• 2. CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY - SCHWARZ TRONG GIẢI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
• 2.1. Ứng dụng giải toán tích phân
• 2.2. Ứng dụng giải toán bất đẳng thức tích phân
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Bất đẳng thức Cauchy Schwarz và tích phân

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là một công cụ mạnh mẽ trong giải tích, đặc biệt khi áp dụng vào tích phân. Trong chương này, luận văn trình bày các khái niệm cơ bản về tích phân xác định và tích phân không xác định, cùng với các tính chất của chúng. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được giới thiệu như một phương pháp hiệu quả để chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến tích phân. Đặc biệt, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân được chứng minh chi tiết, với điều kiện đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các hàm số liên quan tỉ lệ với nhau.

1.1. Định nghĩa và tính chất của tích phân

Tích phân xác định được định nghĩa thông qua giới hạn của tổng tích phân, với các tính chất cơ bản như tính tuyến tính và tính đơn điệu. Tích phân không xác định được liên kết với nguyên hàm của hàm số, và các phương pháp tính tích phân như đổi biến số và tích phân từng phần được trình bày chi tiết. Các tính chất này là nền tảng để áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các bài toán tích phân.

1.2. Bất đẳng thức Cauchy Schwarz cho tích phân

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân được chứng minh thông qua việc xét tam thức bậc hai không âm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai hàm số tỉ lệ với nhau. Điều này cho thấy sự linh hoạt và hiệu quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong việc giải quyết các bài toán tích phân phức tạp.

II. Ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy Schwarz trong giải toán

Chương này tập trung vào việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để giải các bài toán tích phân và bất đẳng thức tích phân. Các bài toán được lấy từ các kỳ thi tuyển sinh đại học và Olympic toán, cho thấy tính ứng dụng rộng rãi của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong thực tế. Các ví dụ cụ thể được trình bày chi tiết, với lời giải sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để tìm giá trị tích phân hoặc chứng minh các bất đẳng thức liên quan.

2.1. Ứng dụng trong giải toán tích phân

Các bài toán tích phân được giải quyết bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, với các bước chứng minh chi tiết và điều kiện đẳng thức được xác định rõ ràng. Ví dụ, bài toán tìm giá trị tích phân của hàm số thỏa mãn điều kiện nhất định được giải quyết bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để tìm giá trị tối ưu.

2.2. Ứng dụng trong giải toán bất đẳng thức tích phân

Các bài toán bất đẳng thức tích phân được giải quyết bằng cách kết hợp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với các phương pháp khác như tích phân từng phần và đổi biến số. Các ví dụ minh họa cho thấy sự hiệu quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong việc chứng minh các bất đẳng thức phức tạp, với điều kiện đẳng thức được xác định chính xác.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Bất đẳng thức là một lĩnh vực quan trọng và lâu đời trong Toán học, đóng vai trò thiết yếu trong nhiều bài toán phân tích và ứng dụng thực tiễn. Trong đó, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là một trong những bất đẳng thức cổ điển và có ảnh hưởng sâu rộng, đặc biệt khi áp dụng cho tích phân. Theo ước tính, các bài toán liên quan đến bất đẳng thức tích phân thường xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh đại học và các kỳ thi Olympic Toán học trong nước và quốc tế, cho thấy tầm quan trọng của việc nghiên cứu và ứng dụng bất đẳng thức này.

Luận văn tập trung nghiên cứu bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân và các ứng dụng giải toán liên quan đến tích phân và bất đẳng thức tích phân. Mục tiêu chính là chứng minh các dạng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân, đồng thời áp dụng để giải quyết các bài toán thực tế trong chương trình thi đại học và các kỳ thi Olympic Toán Sinh viên. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các hàm số khả tích trên đoạn [a, b], với các ví dụ minh họa cụ thể từ các đề thi trong khoảng thời gian gần đây.

Ý nghĩa của nghiên cứu thể hiện qua việc cung cấp các phương pháp chứng minh và giải toán hiệu quả, giúp nâng cao kỹ năng giải toán tích phân và bất đẳng thức tích phân cho học sinh, sinh viên và giảng viên. Các kết quả nghiên cứu cũng góp phần làm phong phú thêm kho tàng kiến thức về bất đẳng thức trong phân tích toán học, đồng thời hỗ trợ phát triển các kỹ thuật giải toán nâng cao.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên nền tảng lý thuyết của tích phân xác định và các tính chất cơ bản của tích phân, bao gồm:

• Định nghĩa tích phân xác định: Tích phân xác định của hàm số f trên đoạn [a, b] được định nghĩa thông qua giới hạn của tổng tích phân khi độ dài đoạn con tiến về 0.
• Tính chất của tích phân xác định: Bao gồm tính chất tuyến tính, bất đẳng thức so sánh hàm số, và liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm.
• Bất đẳng thức AM-GM (Trung bình cộng - Trung bình nhân): Là bất đẳng thức cơ bản được sử dụng để chứng minh các bất đẳng thức phức tạp hơn.
• Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân: Định lý trọng tâm của luận văn, phát biểu rằng với các hàm khả tích f, g trên [a, b], ta có $$ \left(\int_a^b f(x)g(x) dx\right)^2 \leq \int_a^b f^2(x) dx \cdot \int_a^b g^2(x) dx, $$ với dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f và g tỉ lệ tuyến tính với nhau.

Ngoài ra, luận văn còn sử dụng các phương pháp tính tích phân như đổi biến số, tích phân từng phần để hỗ trợ chứng minh và giải bài toán.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu chính của luận văn là các bài toán tích phân và bất đẳng thức tích phân được trích xuất từ các đề thi tuyển sinh đại học, kỳ thi Olympic Toán Sinh viên trong nước và quốc tế, cùng các tài liệu tham khảo chuyên ngành về giải tích và bất đẳng thức.

Phương pháp nghiên cứu bao gồm:

• Phân tích lý thuyết: Chứng minh các bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân dựa trên các định nghĩa và tính chất tích phân.
• Ứng dụng thực tiễn: Giải các bài toán tích phân và bất đẳng thức tích phân cụ thể, minh họa bằng các ví dụ có số liệu cụ thể như giá trị tích phân, điều kiện hàm số.
• Phương pháp chọn mẫu: Lựa chọn các bài toán tiêu biểu có tính ứng dụng cao trong các kỳ thi để phân tích và chứng minh.
• Phân tích so sánh: So sánh kết quả với các phương pháp chứng minh khác và các nghiên cứu trước đây để làm rõ ưu điểm và tính hiệu quả của phương pháp.

Thời gian nghiên cứu tập trung trong năm 2020 tại Trường Đại học Quy Nhơn, tỉnh Bình Định.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân: Luận văn đã hoàn thiện chứng minh định lý Cauchy-Schwarz cho tích phân, khẳng định tính đúng đắn và điều kiện xảy ra dấu bằng. Ví dụ, với hàm f, g khả tích trên [a, b], ta có $$ \left(\int_a^b f(x)g(x) dx\right)^2 \leq \int_a^b f^2(x) dx \cdot \int_a^b g^2(x) dx, $$ và dấu bằng xảy ra khi f = kg với k là hằng số thực khác 0.

2. Ứng dụng giải toán tích phân: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để giải các bài toán tích phân phức tạp trong các kỳ thi. Ví dụ, tính giá trị tích phân của hàm f(x) = (1 - x)e^x trên [0,1] cho kết quả chính xác là e - 2, đồng thời xác định được điều kiện hàm số để dấu bằng xảy ra.

3. Giải toán bất đẳng thức tích phân: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để chứng minh các bất đẳng thức tích phân quan trọng, như bất đẳng thức Opial, và các bất đẳng thức liên quan đến đạo hàm bậc hai của hàm số. Một số bất đẳng thức được chứng minh với số liệu cụ thể, ví dụ: $$ \int_0^1 (f'(x))^2 dx \geq 12 \int_0^1 f(x) dx, $$ với điều kiện dấu bằng xảy ra khi f(x) có dạng đa thức bậc ba đặc biệt.

4. So sánh với các nghiên cứu khác: Kết quả phù hợp với các tài liệu tham khảo trong và ngoài nước, đồng thời mở rộng ứng dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong giải toán tích phân và bất đẳng thức tích phân, góp phần nâng cao hiệu quả giải toán trong các kỳ thi chuyên sâu.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân thành công của nghiên cứu là do việc kết hợp chặt chẽ giữa lý thuyết tích phân, bất đẳng thức AM-GM và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, cùng với các kỹ thuật tính tích phân như đổi biến và tích phân từng phần. Việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân giúp đơn giản hóa các bài toán phức tạp, đồng thời cung cấp điều kiện rõ ràng để xác định khi nào dấu bằng xảy ra.

So với các phương pháp chứng minh khác, cách tiếp cận này có ưu điểm là trực quan, dễ hiểu và có thể áp dụng rộng rãi cho nhiều dạng bài toán tích phân và bất đẳng thức tích phân. Các biểu đồ hoặc bảng số liệu minh họa giá trị tích phân và điều kiện hàm số có thể được sử dụng để trực quan hóa kết quả, giúp người học dễ dàng nắm bắt.

Ý nghĩa của kết quả không chỉ nằm ở việc giải quyết các bài toán cụ thể mà còn góp phần phát triển kỹ năng tư duy toán học, đặc biệt trong lĩnh vực phân tích toán học và giải tích.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Tăng cường giảng dạy bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân: Đề xuất các trường đại học và trung học phổ thông đưa nội dung này vào chương trình giảng dạy nâng cao, nhằm nâng cao kỹ năng giải toán tích phân và bất đẳng thức tích phân cho học sinh, sinh viên trong vòng 1-2 năm tới.

2. Phát triển tài liệu bài tập ứng dụng thực tế: Xây dựng bộ sưu tập bài tập có lời giải chi tiết dựa trên bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân, tập trung vào các dạng bài thường gặp trong kỳ thi đại học và Olympic Toán học, nhằm hỗ trợ giảng viên và học sinh ôn luyện hiệu quả.

3. Tổ chức các khóa đào tạo chuyên sâu: Khuyến nghị các trung tâm đào tạo toán học tổ chức các khóa học chuyên sâu về bất đẳng thức tích phân và ứng dụng, giúp học viên nâng cao kỹ năng giải toán trong vòng 6-12 tháng.

4. Nghiên cứu mở rộng ứng dụng: Khuyến khích các nhà nghiên cứu tiếp tục khai thác và mở rộng ứng dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân trong các lĩnh vực khác như vật lý toán học, kỹ thuật, và kinh tế học, nhằm phát triển các mô hình toán học phức tạp hơn trong 3-5 năm tới.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Sinh viên ngành Toán học và Khoa học Tự nhiên: Giúp nâng cao kiến thức về bất đẳng thức tích phân, cải thiện kỹ năng giải toán tích phân và bất đẳng thức trong các kỳ thi và nghiên cứu học thuật.

2. Giảng viên và giáo viên Toán học: Cung cấp tài liệu tham khảo để giảng dạy các chủ đề liên quan đến bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và tích phân, đồng thời hỗ trợ xây dựng bài giảng và đề thi.

3. Học sinh chuẩn bị thi đại học và Olympic Toán học: Hỗ trợ luyện tập các dạng bài tập tích phân và bất đẳng thức tích phân thường gặp trong các kỳ thi quan trọng, giúp nâng cao khả năng tư duy và giải quyết vấn đề.

4. Nhà nghiên cứu và chuyên gia toán học ứng dụng: Tham khảo các phương pháp chứng minh và ứng dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong các bài toán thực tế, từ đó phát triển các nghiên cứu sâu hơn trong lĩnh vực phân tích toán học.

Câu hỏi thường gặp

1. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân là gì?
   Bất đẳng thức này phát biểu rằng với các hàm khả tích f, g trên đoạn [a, b], ta có $$\left(\int_a^b f(x)g(x) dx\right)^2 \leq \int_a^b f^2(x) dx \cdot \int_a^b g^2(x) dx$$. Đây là công cụ quan trọng trong giải toán tích phân và bất đẳng thức tích phân.

2. Khi nào dấu bằng trong bất đẳng thức Cauchy-Schwarz xảy ra?
   Dấu bằng xảy ra khi hai hàm f và g tỉ lệ tuyến tính với nhau, tức là tồn tại hằng số k khác 0 sao cho f(x) = k g(x) trên đoạn [a, b].

3. Phương pháp tích phân từng phần được sử dụng như thế nào trong luận văn?
   Phương pháp này được dùng để chuyển đổi tích phân phức tạp thành các tích phân đơn giản hơn, hỗ trợ chứng minh bất đẳng thức và tính giá trị tích phân trong các bài toán cụ thể.

4. Ứng dụng thực tế của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân là gì?
   Ngoài việc giải các bài toán trong kỳ thi, bất đẳng thức này còn được áp dụng trong các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật và kinh tế để đánh giá các mô hình toán học liên quan đến tích phân.

5. Làm thế nào để áp dụng kết quả luận văn vào việc học và giảng dạy?
   Người học và giảng viên có thể sử dụng các bài tập và phương pháp chứng minh trong luận văn để luyện tập và giảng dạy, từ đó nâng cao kỹ năng giải toán tích phân và bất đẳng thức tích phân một cách hiệu quả.

Kết luận

• Luận văn đã chứng minh thành công bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân và điều kiện xảy ra dấu bằng.
• Đã áp dụng bất đẳng thức này để giải nhiều bài toán tích phân và bất đẳng thức tích phân phức tạp, có số liệu minh họa cụ thể.
• Kết quả nghiên cứu góp phần nâng cao kỹ năng giải toán tích phân trong các kỳ thi đại học và Olympic Toán học.
• Đề xuất các giải pháp giảng dạy, đào tạo và nghiên cứu mở rộng ứng dụng trong các lĩnh vực toán học và khoa học liên quan.
• Khuyến khích các đối tượng học thuật và nghiên cứu tham khảo để phát triển thêm các ứng dụng và phương pháp mới.

Next steps: Triển khai các khóa đào tạo chuyên sâu, phát triển tài liệu bài tập ứng dụng và mở rộng nghiên cứu ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học khác.

Call-to-action: Các giảng viên, sinh viên và nhà nghiên cứu được khuyến khích áp dụng và phát triển các kết quả nghiên cứu trong luận văn để nâng cao hiệu quả học tập và nghiên cứu toán học.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân 1.1 Định nghĩa tích phân xác định Cho hàm số ƒ xác định trên [a;Ö], chia đoạn |ø;b| một cách tùy ý thành œ đoạn nhỏ bởi các điểm chia a = 2p < 2) <. Trên mỗi đoạn [z; ¡;#;| lấy điểm &; (¡ = 1,. Lập tổng n Sh = » ƒ(&)(%¡ — Xi-1) i=l và gọi là tổng tích phân của hàm số ƒ trên đoạn [a;ð]. Nếu Š„ có giới hạn hữu hạn ƒ khi n —> +oo sao cho đ —> 0 và Ï không phụ thuộc vào cách chia đoạn {a;b] và cách lấy điểm €; thì 7 được gọi là tích phân xác định của hàm số ƒ trên đoạn |a; b] và được ký hiệu là b b n f(a)dx = im 7 ƒ(&)(%¡ — #¿_1).

a i=l Vay Khi đó ta nói ƒ khả tích trên đoạn [a; 0].2 Tính chất của tích phân xác định Giả sử ƒ, g là các hàm số khả tích trên đoạn [a; b|. Neu fle) > 0 wot fos ov fF )dz > 0. Cho hàm số ƒ liên tục trên đoạn [a;b|. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số ƒ trên đoạn [a; Ò|.

Khi đó ta có , [ fae = Fle) Định lý 2. Nếu ƒ là hàm liên tục trên a đoạn {a; b| thì hàm số Ƒ' xác định bởi = Í f(t)dt kha vi tai moi x € [a;b] va F’(x) = f(z).2 Một số phương pháp tính tích phân 1.1 Phương pháp đổi biến số Cho ƒ là hàm số liên tục và w có dao ham liên tục trong khoảng (e; đ) sao cho hàm số hợp ƒ o xác định trên (c; đ).2 Phuong phap tich phan tig phan Nếu u,v 1a hai ham số có đạo hàm liên tục trên đoạn [ø; b| thì b [ sa) =u(#)0()| — sa) 1.3 Bất đẳng thức AM - GM Với mọi số thực không 4m aj, do, .1) Dấu ” =” xảy ra khi và chi khi a; = ag =. Dat ay +do+.+ Qn Qa = ao n Khi đó bất đẳng thức (1.1) tương đương với Ta sử dụng phương pháp quy nap dé chting minh (1.2 - Với n = 1, bất đẳng thức hiển nhiên đúng. 6 - Giải sử bất đẳng thức đúng với n ( > 1) tức với mọi øi, đạ,.

=m)" o"=|—————— | > n - Xét m + 1 số thực không âm ay, ay, ., Gn, An41, ta cd (n + 1)œ = ai + da +. Nếu tất cả các số đều bằng œ thì ta có đẳng thức và từ đó suy ra ngày điều phải chứng minh. Xét các trường hợp còn lại, dễ thấy tồn tại ít nhất một số nhỏ hơn a và một số lớn hơn œ. Không mất tính tổng quát, giải sử ø„ > œ và a„+¡ < œ.3) Xét n sỐ ứ\, dạ,., d„—1, a„ trong đó a) = An + Gn41-U > An -A > 0 Từ đó suy ra na = đi + da +.

Do ø là trung bình cộng của ai, đạ,., đ„_¡, đ„ nên theo giả thiết quy nạp, ta có = (đ1.4) Mặt khac tw (1.3) ta lại có (ay + dn 41 — A)0 ~ Anny = (Ay — 0)(@ = any) > 0 Suy ra (Gn + nti — @)Q > Andn41 hay đua > dndn+1 (1.5) Hiển nhiên ta có œ > 0. Nếu có ít nhất một trong các sỐ đi, đạ,., đ„_1 bằng không, dễ thấy bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng và dấu bằng không xảy ra. Xét các trường hợp còn lại kết hợp với (1.2) được giải quyết hoàn toàn.4 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Cho các số thực ai, a2, .,bn (n > 2) khi đó (a2 + ag +.bu)” (1:6) Dấu ” =” xảy ra khi và chỉ khi © 5.+a2 =0 tite ay = ay =. + a2 > 0, xét —2) z”+9 (soa) at (>: ®) —S gu chị >0, VeeR.

Do đó biệt thức Cho nén (1. Bat đẳng thức Cauchy - Schwarz được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1.5 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân Dinh ly 3. Cho ƒ,ø : [ø;b| —> R là các hàm khả tích trên đoạn {a; Ù|.

Khi đó ta luôn có ƒ nu Ƒ #6) > (ƒ : f(z)uz)4z) : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ƒ = kø với số thực k 4 0. Với t € R xét bình phương ta luôn có [ tử) + 9(e)) de > 0, Điều này tương đương với - (/ f)4) P42 (ƒ reee) tf Pear >0,VEER. b +) Néu / f(a)de = 0 & f(x) = 0, bất đẳng thức đã cho là đẳng thức. ) Néu [re f?(x)dx > 0, day là tam thức bậc 2 hệ số a dương và luôn không âm, tức biệt thức Delta luôn không dương.

Diều này tương đương -( '/09)áe) - Ƒ ru [ 261 <0 [ raie [ 69w > ( [ 16014) ' Định lý được chứng minh hoàn toàn. Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi VỚI Vì vậy ƒ = kg. trong đó k là hằng số. Chương 2 Ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy - Schwarz trong giải toán về tích phân và bất đẳng thức tích phân 2.1 Ứng dụng giải toán tích phân Trong mục này này chúng tôi trình bày ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong việc giải một số bài toán tích phân thường dùng trong các kì thi tuyển sinh đại học.

Sử dụng tích phân từng phần ta có [erou = [ ease) = (2*f(z)) 0 0 10 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có ([ re) < [ se [ tef=1i=+ Dau “=” xảy ra khi © ƒf() = kz” >ƒ 35kz)d# = —1 œ® k= —T. Suy ra — 1 1 fla) = fat + t= | fade = | (-f+3) drat Chon dap an A. No] o Tích phân từng phần ta có [ verte = [eta se) = (we) 11 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có (r6) < [ eae | f(x) de = (= " Do đó dấu “=” phải xảy ra, tức là ƒ(z) = kze”. Thay ngược ta có , e—1 | ka*e** dr = — ra k=—1l> ƒ(z) =_—zc?.

0 0 Chon dap an C. 2 1 1 Dat t= Vx > x =t? > da = 2tdt va s= | f (t)(2tdt) = | 2t f (t)dt. 0 0 Sử dụng tích phân từng phần [ £2 "(t)dt = | 24/0) = (PF) ) - [ f(t)a(t2) _ [ at f(t)dt 1 3 5 12 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có (feria) < [eal [ƒ'(]Ý at = s5 = (2). Vì vậy dấu “=” trong bất đẳng thức phải xảy ra, tức ƒÍ(f) = kf” thay 1 1 3 3 ngược lại | f2ƒf(f)dt = 5 có | kt*dt = 5° k= 3.

1 | ƒ(œ)d+z =| adr = — 0 0 4 Bai toan 4. ([3]) Cho ham s6 f lién tuc trén doan [0,7] thoa man [ ƒ(œ)d+ = [ cos af(x)dx = Giá trị nhỏ nhất của tích phan | ƒ (z)dz bằng 0 Vậy Chọn đáp án A. Với mọi số thực ø,b € IR;øˆ + bŸ > 0 ta có 3 li a+b= [tacos +j)ƒ(+)da. 0 Theo bất đăng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có (a+b)? = ([ cos: + byflaae), < [ro cos x + b)?dx [ f?(a)dx Mat khac [o cos x + b)?dx = sme + 2b”).

Do đó J f(a) = 02 Va,bER,a?4+?>0. 13 Cho ø = 2,b = 1 thì ta được | ƒ*(z)dz 3> 0 2b, ƒ(+) = b(2cos+ + 1). Thay ngược lại điều kiện ta có 7 1 b(2cosz + 1)dz = 1© b=~. Dau “=” dat tai a = T Suy ra 2cosxr+1 T f(a) = Chon dap an C.

(3|) Cho hàm số ƒ có đạo hàm liên tục trên đoạn [0,1] va thỏa mãn ƒ(0) +7) =0, fr f(a) Pie ) cos(rax)dx = > Tich phan 'ự (x)dx bằng 0 2 1 aot B. Sử dụng tích phân từng phần ta có [se sin(#)d+ = +f ƒ(z)d(cos(xz) =—— leo — [ cnn ts) 1 =-2(-(40) +00) =f H(@)cos(aeyar) = 5. Ap dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có (3) = ( [ '/@œ) sms) ) < f Ple)de / .Ắ ng Vậy dấu “=” trong bất đẳng thức phải xảy ra, tức ƒ(z) = ksin(zz). Thay ngược lại ta có 14 Do đó 7 1 1 ƒ(+) =sinzz => | ƒ(z)d+z = | sin(z)d+ = 3 0 0 Chon dap an B.

Tich phan [ f (5) dx bang 0 aot B. 2 7 hi 3 lờ Lời giải. Sử dụng tích phân từng phần ta có / f(x) cos(rax) =i ƒ(z)d(sin(rz)) -+ No f(z)sin(z3))| — [ 'sin(zz)4( `) = if f'(x) sin(rx)dx = -1. Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân có 1 2 1 1 (/ f(x) cos nd) < [60 | cos’ radx = 3 =1.

0 0 Do do dau “=” trong bat đẳng thức phải xảy ra, tức ƒ() = kcos mz. Thay ngược lại ta có 1 | k cOS 71%. 0 Do đó ta ' 3T 6 ƒ(œ) = —äcosrz => , f (5) dx -| 3. 7L Chon dap an C.

Biết | f?(«)dx = 5 af f'(x) cos (=) dx = 3m 0 2 3N 2 4 1 Tinh tich phan | f(x)dx? 0 Lời giải. Tích phân từng phần có [fe sin (>) dx = -= [ro (cos S)) --2 (rere) | - fies avo) = 2 [co (>) f'(a)dz = 5: Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có 3\? 1 one , ° tone 2 1 24 (5) = (/ sin (>) f(x) °) < | (si) a (f(x) dx = 9 4 xa Do đó dau “=” phai xay ra, tttc 1a f(a) = k sin — 32 , thay ngược lại giả thiết 1 / TT 37m ““dr= , (x) cos ướt nghĩa là lik Tx Tx 3m b -z 008 (5) cos (*) dz = 7 ©k= Vậy 1 1 flo) = 3n = f(e)dz= | Sein de = 2 2 0 0 2 T Bài toán 8. Tính giá trị của ƒ () bằng 16 A. Theo bất đăng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân ta có ›_(' lxfe), _ „f0, 1, (0À.

f Fata (Fm) = fa), Fa ** 1 / Thay vào | +/) dx = 1 ta được k = 4. Khi đó 0 /) Tạ) ate | T1 de = [ dnár © ƒG )| = 20? +0 & f(a) = ere. f (2) Do đó đẳng thức phải xảy ra nên ta có Ve. Mặt khác ƒ(0) = 1 nén C = 5: Do đó A) Chon dap an C.

Giá trị nhỏ nhất của tích phân [ fi (a)dx bang ‘ ‘ A. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tích phân 2 lần liên tiếp ta được mẽ (( 2206) ) < (4) ([ẽneä) < ([ v'dr) [ f(a) dex 4( 314 [ fix = 3875. Do đó 2 bf aide =316k=56 f(x) = 52”. 1 Chon dap an B.

0 15 0 5 2 Giá trị của tích phân | f(x)dx bang 0 - B.