I. Hàm ẩn và cơ sở lý thuyết
Hàm ẩn là một khái niệm quan trọng trong toán sơ cấp, được xác định bởi phương trình dạng F(x, y) = 0. Phương trình này có thể xác định một hoặc nhiều hàm số ẩn y theo x trong một khoảng nhất định. Định lý về sự tồn tại và tính khả vi của hàm ẩn được trình bày chi tiết, với điều kiện Fy'(x0, y0) ≠ 0. Đạo hàm của hàm ẩn được tính thông qua công thức dy/dx = -Fx'/Fy'. Các kiến thức về sự đồng biến, nghịch biến, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và sự tương giao của đồ thị hàm số cũng được nhắc lại, tạo nền tảng cho các phần tiếp theo.
1.1. Định nghĩa và điều kiện tồn tại hàm ẩn
Hàm ẩn được định nghĩa thông qua phương trình F(x, y) = 0, trong đó F là hàm số liên tục và có đạo hàm riêng liên tục. Điều kiện Fy'(x0, y0) ≠ 0 đảm bảo sự tồn tại của hàm ẩn y = f(x) trong lân cận của x0. Hàm ẩn này liên tục và có đạo hàm liên tục.
1.2. Đạo hàm của hàm ẩn
Đạo hàm của hàm ẩn được tính bằng cách lấy đạo hàm hai vế của phương trình F(x, y) = 0 theo x. Kết quả là dy/dx = -Fx'/Fy', với điều kiện Fy' ≠ 0. Công thức này được áp dụng rộng rãi trong các bài toán liên quan đến giải tích và phương trình hàm ẩn.
II. Khảo sát hàm ẩn trong toán sơ cấp
Chương này tập trung vào việc khảo sát các tính chất của hàm ẩn như tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và sự tương giao của đồ thị hàm số. Các phương pháp giải được trình bày chi tiết, giúp học sinh nắm vững kiến thức và áp dụng vào các bài toán vận dụng cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia.
2.1. Khảo sát tính đơn điệu của hàm ẩn
Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của hàm ẩn y = f(u(x)) dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm f'(x). Các bước thực hiện bao gồm tính đạo hàm y'(x) = u'(x) * f'(u(x)), giải phương trình y'(x) = 0 và lập bảng biến thiên. Ví dụ minh họa cụ thể giúp học sinh hiểu rõ cách áp dụng phương pháp này.
2.2. Khảo sát cực trị của hàm ẩn
Cực trị của hàm ẩn được xác định thông qua đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm f'(x). Các bước tìm cực trị bao gồm tìm tập xác định, giải phương trình f'(x) = 0 và lập bảng biến thiên. Phương pháp này giúp học sinh xác định được các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số.
III. Tích phân hàm ẩn và ứng dụng
Phần này trình bày các phương pháp tính tích phân hàm ẩn, bao gồm phương pháp đổi biến và phương pháp từng phần. Các bài toán tích phân hàm ẩn liên quan đến phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 cũng được đề cập. Các ví dụ minh họa giúp học sinh hiểu rõ cách áp dụng các phương pháp này vào thực tế.
3.1. Tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến
Phương pháp đổi biến được sử dụng để tính tích phân hàm ẩn bằng cách đặt t = u(x). Các bước thực hiện bao gồm đổi biến, tính tích phân theo biến mới và trả lại biến ban đầu. Ví dụ minh họa cụ thể giúp học sinh nắm vững phương pháp này.
3.2. Tích phân hàm ẩn bằng phương pháp từng phần
Phương pháp từng phần được áp dụng khi tích phân hàm ẩn có dạng tích của hai hàm số. Công thức tích phân từng phần được sử dụng để đơn giản hóa bài toán. Các ví dụ minh họa giúp học sinh hiểu rõ cách áp dụng phương pháp này vào các bài toán cụ thể.
