Luận văn thạc sĩ về bài toán hàm ẩn và tích phân trong toán học sơ cấp

• Tác giả: Châu Đình Tín
• Người hướng dẫn: TS. Mai Thành Tấn
• Trường học: Trường Đại Học Quy Nhơn
• Chuyên ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp
• Đề tài: Nghiên Cứu Bài Toán Hàm Ẩn Và Tích Phân Trong Toán Sơ Cấp
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sĩ Toán Học
• Năm xuất bản: 2021
• Địa điểm: Bình Định

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: Một số kiến thức chuẩn bị
• 1.1. Hàm ẩn
• 1.2. Đạo hàm của hàm số ẩn
• 1.3. Cơ sở lý thuyết về sự đồng biến nghịch biến, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và sự tương giao của đồ thị hàm số
• 1.3.1. Các kiến thức về sự đồng biến nghịch biến của hàm số
• 1.3.2. Các kiến thức về cực trị của hàm số
• 1.3.3. Các kiến thức về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
• 1.3.4. Sự tương giao của đồ thị hàm số
• 2. CHƯƠNG 2: Khảo sát một số vấn đề liên quan đến hàm ẩn
• 2.1. Khảo sát tính đơn điệu của hàm ẩn thông qua một số điều kiện đã biết
• 2.1.1. Xác định được khoảng đơn điệu của hàm số y = f (u(x)) dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm y = f 0 (x) với hàm u(x) đã biết
• 2.1.2. Xác định khoảng đơn điệu của hàm y = f (u(x)) + g(x) dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị y = f 0 (x), với hàm u(x) đã biết
• 2.1.3. Sáng tác một số bài toán...
• 2.2. Khảo sát cực trị hàm ẩn thông qua một số điều kiện đã biết
• 2.2.1. Xác định cực trị hàm số y = f (u(x)) khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm f 0 (x), với u(x) là hàm đã biết
• 2.2.2. Xác định cực trị hàm g(x) = f (u(x)) + v(x) khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f 0 (x), với u(x) và v(x) là hàm đã biết
• 2.2.3. Sáng tác một số bài toán cực trị hàm ẩn
• 2.3. Khảo sát giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn thông qua một số điều kiện đã biết
• 2.3.1. Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (u(x)) thông qua đồ thị, bảng biến thiên của y = f (x) hoặc y = f 0 (x) trên miền D, với u(x) đã biết
• 2.3.2. Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (u(x)) + v(x) trên khoảng K thông qua đồ thị hàm số y = f 0 (x), với u(x) và v(x) là hàm đã biết
• 2.3.3. Sáng tác một số bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm ẩn
• 2.4. Khảo sát sự tương giao của đồ thị hàm ẩn
• 2.4.1. Dạng toán cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f (x), xét bài toán liên quan đến phương trình f (u(x)) = a, với u(x) là hàm đã biết
• 2.4.2. Dạng toán tương giao biện luận nghiệm của phương trình f (u(x)) = g(m) khi cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của f (x) với u(x) là hàm đã biết
• 2.4.3. Biết đồ thị hoặc bảng biến thiên y = f (x), xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng f (u(x)) = f (m), với hàm u(x) đã biết
• 2.4.4. Dạng toán hàm ẩn liên quan đến phương trình có dạng f (|x|) = a; |f (x)| = a; f (|u(x)|) = a |f (u(x))| = a với hàm u(x) đã biết
• 2.4.5. Dạng toán liên quan đến đồ thị hoặc bảng biến thiên hàm y = f 0 (x). Xét các bài toán liên quan đến phương trình f (u(x)) = g(x) với hàm u(x), g(x) đã biết
• 2.4.6. Sáng tác bài toán tương giao hàm ẩn
• 3. CHƯƠNG 3: Tích phân hàm ẩn
• 3.1. Tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến
• 3.2. Tích phân hàm ẩn bằng phương pháp từng phần
• 3.3. Một số bài toán tích phân hàm ẩn liên quan đến biểu thức: f 0 (x) + p(x) · f (x) = h(x) (phương trình vi phân tuyến tính cấp 1)
• 3.4. Sáng tác bài toán tích phân hàm ẩn
• Kết luận
• Tài liệu tham khảo

I. Hàm ẩn và cơ sở lý thuyết

Hàm ẩn là một khái niệm quan trọng trong toán sơ cấp, được xác định bởi phương trình dạng F(x, y) = 0. Phương trình này có thể xác định một hoặc nhiều hàm số ẩn y theo x trong một khoảng nhất định. Định lý về sự tồn tại và tính khả vi của hàm ẩn được trình bày chi tiết, với điều kiện Fy'(x0, y0) ≠ 0. Đạo hàm của hàm ẩn được tính thông qua công thức dy/dx = -Fx'/Fy'. Các kiến thức về sự đồng biến, nghịch biến, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và sự tương giao của đồ thị hàm số cũng được nhắc lại, tạo nền tảng cho các phần tiếp theo.

1.1. Định nghĩa và điều kiện tồn tại hàm ẩn

Hàm ẩn được định nghĩa thông qua phương trình F(x, y) = 0, trong đó F là hàm số liên tục và có đạo hàm riêng liên tục. Điều kiện Fy'(x0, y0) ≠ 0 đảm bảo sự tồn tại của hàm ẩn y = f(x) trong lân cận của x0. Hàm ẩn này liên tục và có đạo hàm liên tục.

1.2. Đạo hàm của hàm ẩn

Đạo hàm của hàm ẩn được tính bằng cách lấy đạo hàm hai vế của phương trình F(x, y) = 0 theo x. Kết quả là dy/dx = -Fx'/Fy', với điều kiện Fy' ≠ 0. Công thức này được áp dụng rộng rãi trong các bài toán liên quan đến giải tích và phương trình hàm ẩn.

II. Khảo sát hàm ẩn trong toán sơ cấp

Chương này tập trung vào việc khảo sát các tính chất của hàm ẩn như tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và sự tương giao của đồ thị hàm số. Các phương pháp giải được trình bày chi tiết, giúp học sinh nắm vững kiến thức và áp dụng vào các bài toán vận dụng cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia.

2.1. Khảo sát tính đơn điệu của hàm ẩn

Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của hàm ẩn y = f(u(x)) dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm f'(x). Các bước thực hiện bao gồm tính đạo hàm y'(x) = u'(x) * f'(u(x)), giải phương trình y'(x) = 0 và lập bảng biến thiên. Ví dụ minh họa cụ thể giúp học sinh hiểu rõ cách áp dụng phương pháp này.

2.2. Khảo sát cực trị của hàm ẩn

Cực trị của hàm ẩn được xác định thông qua đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm f'(x). Các bước tìm cực trị bao gồm tìm tập xác định, giải phương trình f'(x) = 0 và lập bảng biến thiên. Phương pháp này giúp học sinh xác định được các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số.

III. Tích phân hàm ẩn và ứng dụng

Phần này trình bày các phương pháp tính tích phân hàm ẩn, bao gồm phương pháp đổi biến và phương pháp từng phần. Các bài toán tích phân hàm ẩn liên quan đến phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 cũng được đề cập. Các ví dụ minh họa giúp học sinh hiểu rõ cách áp dụng các phương pháp này vào thực tế.

3.1. Tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến

Phương pháp đổi biến được sử dụng để tính tích phân hàm ẩn bằng cách đặt t = u(x). Các bước thực hiện bao gồm đổi biến, tính tích phân theo biến mới và trả lại biến ban đầu. Ví dụ minh họa cụ thể giúp học sinh nắm vững phương pháp này.

3.2. Tích phân hàm ẩn bằng phương pháp từng phần

Phương pháp từng phần được áp dụng khi tích phân hàm ẩn có dạng tích của hai hàm số. Công thức tích phân từng phần được sử dụng để đơn giản hóa bài toán. Các ví dụ minh họa giúp học sinh hiểu rõ cách áp dụng phương pháp này vào các bài toán cụ thể.