Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề: Biến cố hợp, giao, độc lập Toán 11

Tổng hợp các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề Toán 11 chủ đề biến cố hợp, giao, độc lập. Bao gồm cơ sở lý luận và thực tiễn.

• Tác giả: Huỳnh Thị Vân Khánh
• Người hướng dẫn: PGS. Nguyễn Thanh Hưng
• Trường học: Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
• Chuyên ngành: Sư phạm Toán học
• Đề tài: Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề toán học cho học sinh khi dạy học chủ đề Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập ở Toán 11
• Loại tài liệu: Khóa luận tốt nghiệp đại học
• Năm xuất bản: 2024
• Địa điểm: Đà Nẵng

Tóm tắt

I. Khái niệm cơ bản về biến cố hợp giao và độc lập trong Toán 11

Biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập là những khái niệm nền tảng trong chương trình xác suất lớp 11. Biến cố hợp (hay hợp của hai biến cố) được định nghĩa là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong các biến cố thành phần xảy ra. Biến cố giao là biến cố xảy ra khi tất cả các biến cố thành phần cùng xảy ra đồng thời. Biến cố độc lập là những biến cố mà sự xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố kia. Hiểu rõ các khái niệm này giúp học sinh giải quyết vấn đề xác suất một cách logic và chính xác. Việc nắm vững lý thuyết là bước đầu tiên để phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học ở học sinh, đặc biệt khi áp dụng vào các bài toán thực tế phức tạp.

1.1. Định nghĩa biến cố hợp

Biến cố hợp ký hiệu A ∪ B là tập hợp gồm tất cả các kết quả xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Xác suất của biến cố hợp được tính theo công thức P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). Công thức này rất quan trọng vì nó tránh việc tính trùng khả năng xảy ra đồng thời của cả hai biến cố. Trong các bài toán giải quyết vấn đề, học sinh cần xác định chính xác các biến cố hợp để tính toán xác suất chính xác.

1.2. Định nghĩa biến cố giao

Biến cố giao ký hiệu A ∩ B là tập hợp các kết quả xảy ra khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra. Xác suất của biến cố giao là P(A ∩ B). Trong trường hợp hai biến cố độc lập, ta có P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Biến cố giao thường xuất hiện trong các bài toán liên quan đến sự kết hợp của nhiều điều kiện cùng lúc, yêu cầu học sinh có khả năng phân tích và giải quyết vấn đề một cách hệ thống.

II. Các phương pháp giải quyết vấn đề xác suất hiệu quả

Giải quyết vấn đề xác suất đòi hỏi học sinh sử dụng các phương pháp phù hợp và có quy trình rõ ràng. Trước hết, cần xác định chính xác không gian mẫu và các biến cố liên quan. Tiếp theo, học sinh phải huy động kiến thức về biến cố hợp, giao, độc lập để lựa chọn công thức tính toán phù hợp. Phương pháp giải quyết vấn đề toán học hiệu quả bao gồm việc vẽ sơ đồ, bảng biểu để minh họa các biến cố. Cuối cùng, cần kiểm tra kết quả bằng cách thay đổi dữ liệu hoặc so sánh với các trường hợp đơn giản. Năng lực giải quyết vấn đề được nâng cao thông qua luyện tập liên tục với các bài toán có mức độ khác nhau.

2.1. Phương pháp sơ đồ cây trong giải quyết vấn đề

Sơ đồ cây là công cụ hữu ích giúp giải quyết vấn đề xác suất liên quan đến biến cố hợp và biến cố giao. Sơ đồ cây cho phép học sinh hình dung toàn bộ các kết quả có thể xảy ra và tính xác suất từng nhánh. Phương pháp này đặc biệt hiệu quả với các bài toán có nhiều giai đoạn, giúp học sinh không bỏ sót các trường hợp. Sử dụng sơ đồ cây phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học vì nó kết hợp trực quan hóa với tính toán logic.

2.2. Phương pháp bảng hai chiều

Bảng hai chiều giúp học sinh tổ chức thông tin khi xử lý các bài toán với hai biến cố độc lập hoặc có liên quan. Phương pháp này cho phép giải quyết vấn đề xác suất bằng cách liệt kê toàn bộ các khả năng và tính toán xác suất một cách rõ ràng. Bảng hai chiều giúp học sinh nhận biết được biến cố hợp và biến cố giao dễ dàng hơn, từ đó đề xuất giải pháp chính xác cho vấn đề đặt ra.

III. Ứng dụng thực tiễn của biến cố hợp giao độc lập

Biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập không chỉ là kiến thức lý thuyết mà còn có ứng dụng rộng rãi trong đời sống thực tế. Trong kinh tế, các doanh nghiệp sử dụng xác suất để phân tích rủi ro và ra quyết định. Trong y tế, giải quyết vấn đề xác suất giúp tính toán hiệu quả của các phương pháp điều trị kết hợp. Trong công nghệ, biến cố độc lập được dùng để tính độ tin cậy của các hệ thống phức tạp. Áp dụng kiến thức vào thực tiễn giúp học sinh hiểu sâu hơn và phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học theo hướng gắn liền với cuộc sống, tăng động lực học tập và khả năng vận dụng.

3.1. Ứng dụng trong lĩnh vực kinh doanh và tài chính

Các công ty bảo hiểm và tài chính thường xuyên sử dụng biến cố hợp và biến cố giao để tính toán rủi ro. Ví dụ, khi tính xác suất xảy ra sự cố bảo hành sản phẩm, công ty cần xác định biến cố giao giữa lỗi kỹ thuật và hạn sử dụng. Giải quyết vấn đề xác suất trong lĩnh vực này yêu cầu độ chính xác cao và sử dụng năng lực giải quyết vấn đề toán học một cách chuyên nghiệp.

3.2. Ứng dụng trong lĩnh vực y tế và nghiên cứu

Trong y tế, các nhà khoa học sử dụng biến cố độc lập để tính hiệu quả của kết hợp các phương pháp điều trị. Giải quyết vấn đề xác suất liên quan đến biến cố hợp giúp xác định xác suất bệnh nhân khỏi bệnh khi áp dụng hai phương pháp điều trị cùng lúc. Việc vận dụng năng lực giải quyết vấn đề toán học vào y học cứu giúp cứu sống nhiều bệnh nhân.

IV. Kỹ năng và chiến lược bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề

Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề toán học là mục tiêu quan trọng trong giáo dục hiện đại. Để phát triển năng lực này, giáo viên cần tạo ra các tình huống có vấn đề, khuyến khích học sinh tư duy sáng tạo và thử nghiệm các phương pháp khác nhau. Giải quyết vấn đề xác suất liên quan biến cố hợp, giao, độc lập yêu cầu học sinh phải nắm chắc các khái niệm, biết vận dụng công thức một cách linh hoạt. Hoạt động nhóm và thảo luận giúp học sinh học hỏi lẫn nhau, tiếp cận vấn đề từ nhiều góc độ khác nhau. Năng lực giải quyết vấn đề được hình thành qua quá trình dài, đòi hỏi sự kiên trì và luyện tập thường xuyên của cả giáo viên và học sinh.

4.1. Chiến lược dạy học thông qua tình huống có vấn đề

Tình huống có vấn đề là những bài toán thực tế hoặc giả thuyết yêu cầu học sinh phải áp dụng kiến thức về biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập. Giải quyết vấn đề qua tình huống này giúp học sinh thấy rõ ứng dụng thực tế của lý thuyết. Giáo viên nên thiết kế các tình huống gần gũi với cuộc sống của học sinh, khơi gợi sự tò mò và hứng thú. Năng lực giải quyết vấn đề toán học được phát triển một cách tự nhiên khi học sinh cảm thấy nhu cầu giải quyết.

4.2. Vai trò của hoạt động hợp tác và thảo luận nhóm

Hoạt động nhóm cho phép học sinh trao đổi ý kiến, tranh luận về các cách giải quyết vấn đề xác suất khác nhau. Thông qua thảo luận, học sinh có cơ hội phát hiện sai lầm của mình và học từ các bạn. Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thông qua hợp tác phát triển cả khả năng giao tiếp và tư duy phê phán. Hoạt động nhóm cũng giúp giáo viên theo dõi quá trình suy nghĩ của học sinh và điều chỉnh hỗ trợ kịp thời.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 CƠ SƠ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1. Tổng quan về lịch sử vấn đề nghiên cứu 1. Lịch sử nghiên cứu trên thế giới Thật khó để xác định mốc thời gian cụ thể để lấy làm căn cứ hệ thống lại các lí luận, kết quả đạt được của các nhà nghiên cứu, nhà giáo dục về NL GQVĐ cũng như việc bồi dưỡng NL GQVĐ toán học cho đối tượng HS từ tiểu học đến THCS rồi THPT. Tuy nhiên, vào những năm 1945, George – một nhà toán học người Hungary, đã xuất bản lần đầu cuốn sách “How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method”.

Đây là một tác phẩm quan trọng trong lĩnh vực giáo dục toán học và phương pháp GQVĐ. Trong cuốn sách này, ông Polya đề xuất một phương pháp tổng quát để giải quyết mọi vấn đề, không chỉ trong toán học mà còn trong nhiều lĩnh vực khác. Ông tập trung vào quy trình tư duy và cách tiếp cận một vấn đề một cách có tổ chức và sáng tạo. Hay vào những năm 1960, giai đoạn DH để phát triển NL GQVĐ được quan tâm trên khắp thế giới.

Điều này được thể hiện khi phương pháp “dạy học nêu vấn đề” hay còn gọi là “dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề” chính thức ra đời. Okon V – nhà giáo dục học Ba Lan đã làm sáng tỏ phương pháp này thật sự là một phương pháp dạy học tích cực, tuy nhiên những nghiên cứu này chỉ dừng ở việc ghi lại những thực nghiệm thu được từ việc sử dụng phương pháp này chứ chưa đưa ra đầy đủ cơ sở lí luận cho phương pháp này. Khi nghiên cứu về NL GQVĐ, các học giả trên thế giới nhìn chung đều có những nhận định giống nhau về quan niệm, các thành tố của NL GQVĐ. Đây được coi là một trong những NL có vị trí quan trọng để con người thích ứng được với sự phát triển của xã hội.

George Polya (1977) đã đề xuất mô hình GQVĐ trong cuốn sách của ông “How to Solve It”, trong đó ông đưa ra bốn bước cơ bản mà người GQVĐ có thể tuân thủ. Từ đó, có thể phân NL GQVĐ thành 04 thành tố NL thành phần: tìm hiểu 9 vấn đề (Understanding the Problem), lập kế hoạch (Devising a Plan), thực hiện kế hoạch (Carrying Out the Plan), kiểm tra (Looking Back). Kết quả này có ứng dụng lớn trong quá trình đánh giá NL GQVĐ. cho rằng NL GQVĐ toán học bao gồm 4 NL thành phần: NL đọc hiểu để lấy dữ liệu từ câu hỏi; NL suy luận toán học; NL thực hiện tính toán; NL vận dụng kiến thức vào thực tiễn trong GQVĐ (Wu, M.

Mô hình NL GQVĐ toán học (Wu, M. Schoenfeld nhà nghiên cứu và thiết kế giáo dục người Mỹ khi nghiên cứu về NL GQVĐ toán học trong DH đã đưa ra công trình được xuất bản (1985) có tên “Giải quyết vấn đề toán học” cho rằng, có 4 thành tố cơ bản để xác định khả năng GQVĐ của một cá nhân là: Kiến thức nền tảng; Chiến lược GQVĐ; Khả năng kiểm soát; Niềm tin. NL GQVĐ của HS trong DH Toán có các dấu hiệu được thể hiện ở kiến thức, kĩ năng, thái độ trong quá trình GQVĐ. Nói cách khác, kiến thức, kĩ năng, thái độ là nền tảng của NL GQVĐ.

Nhờ các dấu hiệu này, ta có thể nhận biết và đánh giá NL GQVĐ toán học của HS. Có thể thấy rằng các nghiên cứu trên thế giới là nền tảng để phát triển lí luận về khả năng liên tưởng trong GQVĐ. Lịch sử nghiên cứu ở Việt Nam Nghiên cứu về NL GQVĐ ở trong nước có thể kể đến Nguyễn Thế Khôi (1995) trong đề tài luận án tiến sĩ của mình đã nghiên cứu phương án xây dựng hệ thống bài tập để góp phần phát triển NL GQVĐ cho HS. Vũ Văn Tảo và Trần Văn Hà (1996) với cuốn sách “Dạy – Học giải quyết vấn đề: Một hướng đổi mới trong công tác giáo dục, đào tạo, huấn luyện”,… Nghiên cứu về NL GQVĐ trong DH môn Toán có các nghiên cứu chủ yếu là của Tiến sĩ như: Nguyễn Thị Hương Trang (2002) “Rèn luyện năng lực giải toán theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo cho học sinh khá giỏi trong trường trung học phổ thông”; Hà Xuân Thành (2017) “Dạy học Toán ở trường trung học phổ thông theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn thông qua việc khai thác và sử dụng các tình huống thực tiễn”,.

Tác giả Hà Xuân Thành (2017) đưa ra quan niệm “năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn là năng lực giải quyết những câu hỏi, vấn đề đặt ra ở những tình huống thực tiễn trong nội bộ môn Toán, trong những môn học khác ở trường phổ thông và trong thực tiễn cuộc sống”. Tác giả cũng chỉ ra năm thành phần NL GQVĐ thực tiễn và đề xuất bốn biện pháp phát triển NL này. Trong các nghiên cứu nêu trên, mỗi đề tài nghiên cứu những vấn đề khác nhau nhưng xoay quanh, làm rõ một số vấn đề lí luận về NL GQVĐ trong DH môn Toán, một số biện pháp để bồi dưỡng, phát triển và đánh giá NL GQVĐ cho HS trong DH môn Toán ở trường phổ thông. Như vậy mục 1.1 đã đưa ra những nghiên cứu về NL GQVĐ trong nước và ngoài nước.

Qua đó, tôi thấy rằng việc bồi dưỡng NL GQVĐ cho HS trong DH nói chung và trong DH Toán nói riêng có ý nghĩa đặc biệt quan trọng trong bối cảnh đổi mới chương trình GDPT 2018. Cơ sở lí luận của vấn đề nghiên cứu 1. Năng lực giải quyết vấn đề toán học 1. Năng lực Khái niệm NL từ lâu đã thu hút rất ngiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu trên thế giới.

Cho đến nay có rất nhiều cách hiểu về NL và cũng có nhiều cách diễn đạt khác nhau về khái niệm NL. Ở Việt Nam hiện nay, nghiên cứu về NL đặc biệt quan tâm xuất phát từ định hướng giáo dục phát triển phẩm chất và NL của HS. Theo từ điển Tiếng Việt (2004) “Năng lực là điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên có sẵn để thực hiện một hoạt động nào đó, là phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo ra cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao”. Theo tác giả Trần Luận (2011) cho rằng “Năng lực là đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của một loại hoạt động nhất định là điều kiện cần thiết để hoàn thành có kết quả tốt đẹp loại hoạt động đó”.

Cục Kiểm định chất lượng – BGD Singapore (2012) xác định “ Năng lực là hệ thống kiến thức, kĩ năng và thái độ một cá nhân cần có để giải quyết một vấn đề trong học thuật hoặc trong cuộc sống”. Theo quan điểm này NL có thể hiểu như việc tổng hợp của Kiến thức – Kĩ năng – Thái độ của chủ thể nhận thức trước một vấn đề học thuật hay vấn đề xuất phát từ cuộc sống bản thân cá nhân, từ nhũng hiểu biết, kinh nghiệm của bản thân đưa ra phương án giải quyết được vấn đề đặt ra. Tổ chức OECD (2002) xác định “Năng lực là khả năng cá nhân đáp ứng các yêu cầu phức hợp và thực hiện thành công nhiệm vụ trong một bối cảnh cụ thể”. Theo khái niệm này OCED muốn nhấn mạnh hơn đặc điểm của NL là khả năng đáp ứng được các nhiệm vụ chưa từng được thực hiện trước đó.

Trong nghiên cứu này, tôi đồng quan điểm theo Chương trình GDPT (Bộ GD&ĐT, 2018) đã xác định rõ: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng 12 thú, niềm tin, ý chí,. thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”. Từ định nghĩa trên, có thể rút ra những đặc điểm chính của năng lực là: NL là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện của người học. NL là kết quả huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… NL được hình thành, phát triển thông qua học động và thể hiện ở sự thành công trong hoạt động thực tiễn.

Trong khóa luận này, chúng tôi sử dụng khái niệm NL theo chương trình GDPT 2018. Năng lực toán học NL toán học là một loại hình NL đặc thù, gắn liền với môn học. Có nhiều tác giả và tổ chức giáo dục đã mô tả khái niệm NL toán học theo những cách diễn đạt khác nhau: Tác giả Trần Luận (2011) cho rằng “Năng lực toán học là những đặc điểm tâm lí đáp ứng được yêu cầu hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong điều kiện như nhau”. Tổ chức OECD (1999) định nghĩa “Năng lực toán học là khả năng của cá nhân biết lập công thức (formulate), vận dụng (employ) và giải thích các khái niệm, phương pháp, sự việc và công cụ để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng”.

Theo Giáo sư người Pháp David Niss (1999) “Năng lực toán học như khả năng của cá nhân để sử dụng các khái niệm toán học trong một loạt các tình huống có liên quan đến toán học, kể cả những lĩnh vực bên trong hay bên ngoài của toán học (để hiểu, quyết định và giải thích)”. Niss cũng xác định tám thành tố của NL toán học và chia thành hai cụm. Cụm thứ nhất bao gồm: NL tư duy toán học (mathematical thinking competency); NL GQVĐ toán học (problems tackling competency); NL mô hình hóa toán học (modelling competency); NL suy luận toán học (reasoning competency). Cụm thứ hai bao gồm: NL biểu diễn (representing competency); NL sử dụng ngôn ngữ và kí 13 hiệu hình thức (symbols and formalism competency); NL sử dụng công cụ, phương tiện học toán (aids and tools competency).

Sơ đồ minh họa các thành tố của NL toán học (Niss, 1999) Tám NL đó tập trung vào những gì cần thiết để cá nhân có thể học tập và ứng dụng toán học. Các NL này không hoàn toàn độc lập mà liên quan chặt chẽ và có phần giao thoa với nhau (Đỗ Đ. Thái và cộng sự.