Chương 1 - Cơ sở lý thuyết II Tổng quan Khi xét đến chuyên động của nguyên tử hydro, cần chú ý đến chuyên động của khối tâm vi trong [28] đã đưa ra những kết quả cho thay chuyên động khối tâm bị ảnh hưởng bởi khôi lượng hiệu dụng qua các phép tính nhiễu loan bậc 2. Phỏ năng lượng của nguyên tử hydro lả liên tục ứng với chuyên động tự do của khối tâm và gián đoạn khi chuyển động khỗi tâm là tương đối. Tuy nhiên, khi xét đến yếu t6 từ trường ngoài, sự liên kết giữa chuyển động tự đo và tương đôi của khôi tâm đã ảnh hưởng tinh chat phô năng lượng. Với sự có mặt của từ trường, động lượng của khôi tâm không còn bảo toản hay có thé nói, nhiệt độ liên quan đến chuyên động khối tâm có thé anh hưởng đến phô năng lượng của nguyên tử hydro.
Cho nên, khảo sát sự ảnh hưởng này là điều cần thiết. Việc tách chuyên động khối tâm của nguyên tử hydro cho hệ trung hòa về điện và trong không gian ba chiều đã được thực hiện trong công trình [29] và [22]. Áp dụng kết quả đó, [5] thu được Hamiltonian cho chuyển động tương đối của electron và hạt nhân trong trường hợp tông quát. Qua đó, công trình đã chỉ ra một cách định tính phô năng lượng của nguyên tử hydro có thể bị ảnh hưởng bởi nhiệt độ thông qua tương tác với từ trưởng.
Trong chương nay, các tính toán vả lập luận quan trọng trong [5] sẽ được trình bày lại nhằm phục vụ cho các nội dung tiếp theo. Thông qua các phép biến đồi, Hamiltonian của chuyên động tương đổi electron ~ hạt nhân trong từ trường có thé bị ảnh hưởng bởi nhiệt độ. Sự xuất hiên của yeu tô nhiệt độ còn có khả năng làm thay đổi phd năng lượng của nguyên tử hydro, Do đó, với các ngưỡng nhiệt độ khác nhau, các mức năng lượng có thẻ không còn giá trị chính xác mà thay vào đó là một ngưỡng giá trị xuất hiện. Từ đó chúng tôi quyết định nhiệt độ có thé được xem lả thành phan nhiều loạn lam ảnh hưởng phé năng lượng của nguyên tử hydro.
Dé hạn chế sai số ở mức thấp, lý thuyết nhiễu loạn không suy biến cũng sẽ được đẻ cập và trình bày ở chương này dựa vào các tài liệu liên quan [30], [31].2 Chuyển động khối tâm của nguyên tử hydro trong từ trường đều 1.1 Hamiltonian cho hệ tọa độ khối tâm và chuyển động tương đối của electron và hạt nhân Phương trình Schrödinger cho nguyên từ hydro có dạng HY = EW, (1. = ri aA -_ = + 2m, Đụ * 2m, Liêu 2m, LÔ) Ay + A,p, ) V (lf. = |): Ở đây Ƒ (|7 — 7, |) là thé tương tác giữa electron va hạt nhân. Trong phương trình (1.2), e la điện tích nguyên tố, 7 va ? là các toán tử tọa độ, ô, và 2, là các toán tử động lượng, m, và m, là khối lượng hiệu dụng của electron, hạt nhân và A; A, la thé vector do từ trường ngoài tac động vao electron va hạt nhân tương ứng.
Thay thé vector A. va A, bằng vector cường độ từ trường thông qua biểu thức B=Ÿ x4: B=V,xA,.3) Sử dụng định chuân Coulomb vế § — V,.3) ta suy ra -~ | | = 4= Bxr; A,= Pedals (1.4) Đôi với trường hợp từ trường hướng đọc theo trục Oz, từ (1.4) ta thu được A + 1 Bix(x,i+y,J+2,k)=-38(yi +33). nen “=? 1 "5 > + rt 1 " > > i = 78" (x 1 y?), Ay =" (x; + vi), ô,4, + 4p, =24,p, = B(x,B„ — YP. la moment động lượng cua electron và hat nhân trên trục Oz.6) Đôi với bài toán nguyên tử hydro trong từ trường, ta có thé tách thành hai chuyên động: chuyển động của khối tâm của hệ và chuyển động tương đối giữa electron và hạt nhân thông qua các vector RÑ=— “*“—ï: F=ï-ñ, (17) m, +m, Từ phép biến đôi(1.7) ta suy ra được =Ñ+— *—F, =RÑ-— —=—F.8) m, +m, m, +m, Các toán tử vi phan được viết ý =— —ÿ,+ÿ m, +m, (1.9) Vv, =—"s Ve -V, ` m, +m, trong đó ox, OZ, ox, oy, ez, $9.
a ee a a ft j+CE OX OY 2Z ox 6 oz Từ (1.9) ta có thể sử dụng hệ tọa độ khối tâm và tương đối (RF ) cho Hamiltonian (1. Việc tính toán va lập luận được trình bay ở Phụ lục A của [5] một cách chỉnh xác và chỉ tiết. Kết quả sau khi tính toán thu được như sau: H= 2# p+ 2M pry 2Bima 7 „ TT (t- aG +y"y+, (r) e mm ˆ 8 \w M Ext gy) SB Mh (x + yY) (1.10) Su 4 mm, e@ fs ~ @ 7s 3). + 2w(2 xF) 8xr|P+—|BxR mi )ồ Trong đó M =m, +m, là khối lượng hiệu dụng của khối tâm, ¿=—”*““=— là khối m, +m, lượng rút gọn của hệ electron — hạt nhân va P, p lần lượt là động lượng khối tam va động lượng chuyên động tương đối của hệ electron — hạt nhân.
Ở đây, do ồ không báo toàn, LÊ. A] + 0 nên ta không thé tach 2 số hạng cuối của phương trình (1.10) theo các biến # và # theo cách đặt như (1. Dé làm được điều này, ta phải dùng đến một khái niệm mới đó là vector giả động lượng.2 Vector gia động lượng Chúng tôi giới thiệu và sử dụng vector giả động lượng với mục đích tách Hamiltonian (1.10) theo các biển tọa độ. Dé thực hiện được, chúng tôi sẽ chứng minh vector giả động lượng bảo toan hay nói cách khác đại lượng nảy sẽ giao hoán với Hamiltonian và kết quả là chúng có cùng hàm riêng.
Ta có thẻ định nghĩa vector giả động lượng như sau r Bx,=P-<Bx?, P,= p+ p, -<Bx+2 2 2 (1.11) = = = Tiếp theo, ta sé phân tích toán tử thành các thành phan 7,7, và thay thé P,P” trong (1. ˆ ®tœ> ®tœ - > Ũ ny - ^ ?p? 3 3 =P e(Bxi)Pa (x7 +y°) J pelt py © (§x7)ð_ ` (7457) 2M 2M ° 2M 8M Mat khác --s5( Bs P-SBx7) p55 8x( Soar) 2M 2 2i 2 = -——(BxA,)7¥ -—— Bx “BxƑ F 2M 2) 2 TỶ €B,;, , = 5,7 (Bx) A+, (x'`+>'`) Suy ra l a = 2 1 a = .\- 3€B ,/; 2 ou is Bxi)P =k +5, (2x?) .10) được viết lại : _ stp? yet 1 pe eB m, — Hi,LỆ af B (z` + »}+ V(r) 2w 2 mm, 8u 1 eB t.— 4 mụ— mm, (aX +yY)+ TT (ÊxÑ)?, 10 Các tính toán chứng minh P giao hoán với các số hạng trong (1.13) được trình bay chỉ tiết trong [5] (tr 24 — 27). Từ đó ta thu được [Ã,]=[8ñ, +8, th, th +Ñ, +Ñ, +h, +h, |=0.14) Kết qua từ phương trình (1.14) đã chứng minh được vector gia động lượng Ê, và Hamiltonian # giao hoán nhau.3 Tach biến Hamiltonian thông qua vector giả động lượng Do toán tử giá động lượng PB có tính bảo toàn nên chuyên động tương đối của electron và hạt nhân được mô tả thông qua hàm sóng ó(F) sẽ được tách chính xác trong phần này. Phương trình hàm riêng, trị riêng của ô, là ñx(R.15) Dựa vào khái niệm toán tử P, từ (1.11), ta có thé thay (1.15) là phương trình vi phân cấp I theo biển # còn biến 7 được coi là tham số.
Suy ra hàm riêng có dang: z(.16 với /(#} là một hàm bat kì. Dựa vào hệ quả (1.14) và việc chọn f(?).16) và trị riêng K có thé là ham riêng, trị riêng cua Hamiltonian //. Từ đó các toán tứ vi phan trong Hamiltonian chi theo biến ? và biển R được xem là tham số. Hàm sóng của hệ electron — hạt nhân được viet như sau: w{(R.7) ==p|T[# +š87 8v) h 2 Ham sóng (7) thỏa mãn phương trình U'HUy(¥)= Ew(*), trong do ì Ps Ham y(7)1a ham sóng chuyên động tương đối giữa electron và hạt nhân chi phụ thuộc vào Z nên Hamiltonian #7,„ của chuyển động này được viết ñ,„=0'H0, (1.17) và phương trình Schrödinger cho chuyển động tương đối là Hw (F) = Ew(?), (1.18) trong đó E là năng lượng toàn phần của nguyên tử hydro.17), ta thu được l„ =U" (hy +h, +h, +h, +h, +, +h, +h, \U.
Nhân phân phối va tính toán với từng số hạng. Việc này đã được [5] trình bay trong Phu lục B một cách chi tiết, kết quả Hamilton cho chuyên động tương đối electron - hạt nhân thu được như sau (1.4 Ảnh hưởng của nhiệt độ thông qua việc tách chuyển động khối tâm của nguyên tử hydro Dựa vào biểu thức (1.19), trị riêng K của vector giả động lượng xuất hiện | thông qua biêu thức— (eBx K jr. Từ đó ta có thé thay, trị riêng K là yếu tổ anh 4 hưởng đến Hamiltonian của chuyên động tương đổi giữa electron và hạt nhân. Hay nói cách khác, với một cường độ từ trường đủ lớn, phô năng lượng của nguyên tử 12 hydro có thể bị ảnh hưởng.
Mối liên hệ giữa nhiệt độ và động năng chuyên động khối ". aa R : > 3 sả +43 : tâm có thé liên hệ qua công thức oi = ater hay K = J3Mk,T với k, là hang so 2¡ Boltzmann. Qua việc trình bay những tính toán va lập luận ở trên, chúng tôi đã đưa ra một cách định tính sự ảnh hướng của nhiệt độ lên chuyên động khối tâm vả từ đó phô năng lượng nguyên tử hydro có thé bị thay đổi. Những tính toán và lập trình chỉ tiết về điều nay sẽ được trình bay ở các phan tiếp theo.3 Lý thuyết nhiễu loạn không suy biến Trong cơ học lượng tứ, việc giải các bài toán cho phương trình Schrödinger dẫn đến lời giải chính xác là rat ít.
cần phải có những phương pháp gan đúng được xây dựng để áp dụng nhằm giảm sai số đến mức thấp nhất. Một trong các phương pháp được sử dụng nhiều cho đến nay là phương pháp nhiều loạn. Lý thuyết nhiều loạn được đưa ra lan đầu tiên khi tính toán chuyển động của các hành tinh gặp khó khăn, dan dan được áp dụng cho co học lượng tử và vật lý nguyên tử. Trong phan nay, chúng tôi sẽ trình bay phương pháp lý thuyết nhiều loạn không suy biến dé phục vụ cho như cau giải hàm sóng và năng lượng của nguyên tử hydro trong từ trường có man chắn.
Dựa vào cuốn sách [30], những nội dung và tính toán quan trọng sẽ được trình bày lại. Ta có phương trình Schrödinger cho nguyên tử hydro dừng tông quát AY (x)= EW(x).20) Với gia định rang nghiệm giải tích của nó không chỉnh xác tuyệt đối nên cần dùng đến phương pháp gần đúng. Toán tử Hamiltonian có thé được viết thành hai thành phan H=H,+V, (1. trong đó: HH, có nghiệm riêng chính xác, được xem là thành phan chính của Hamiltonian.
Thành phần V được xem là yếu tô nhiều loạn vì có thé coi V rất bé so với A,.