Đồ thị các hàm số cơ bản từ sách Precalculus của Ron Larson

Tài liệu tóm tắt đồ thị và các đặc tính quan trọng của những hàm số sơ cấp thường gặp như lượng giác, logarit, mũ. Hữu ích cho việc ôn tập toán.

• Tác giả: Ron Larson
• Người hướng dẫn: David C. Falvo, The Pennsylvania State University The Behrend College
• Trường học: Cengage Learning
• Chuyên ngành: Precalculus
• Đề tài: Tóm tắt đồ thị các hàm số thường gặp và đặc tính
• Loại tài liệu: Textbook
• Năm xuất bản: 2012
• Địa điểm: Boston

Tóm tắt

I. Hàm số tuyến tính và hàm số giá trị tuyệt đối

Hàm số tuyến tính f(x) = mx + b là một trong những hàm số cơ bản nhất trong toán học. Đồ thị của nó là một đường thẳng với hệ số góc m và tung độ gốc b. Khi m > 0, hàm số đồng biến, còn khi m < 0, hàm số nghịch biến. Tập xác định và tập giá trị đều là toàn bộ số thực. Hàm số giá trị tuyệt đối f(x) = |x| có đồ thị hình chữ V với đỉnh tại gốc tọa độ. Hàm số này có tính chất chẵn, đối xứng qua trục y, và đồng biến trên (0, ∞), nghịch biến trên (-∞, 0). Cả hai hàm số này đều liên tục trên tập xác định của chúng.

1.1. Đặc tính hàm số tuyến tính

Hàm số f(x) = mx + b có tập xác định là (-∞, ∞) và tập giá trị cũng là (-∞, ∞). Giao điểm với trục hoành là (-b/m, 0), giao điểm với trục tung là (0, b). Hàm số đơn điệu theo dấu của m. Đây là hàm số bậc nhất được sử dụng rộng rãi trong mô hình tuyến tính.

1.2. Đặc tính hàm số giá trị tuyệt đối

Hàm f(x) = |x| có tập xác định (-∞, ∞) nhưng tập giá trị chỉ là [0, ∞). Điểm giao cắt duy nhất là (0, 0). Hàm số chẵn với trục đối xứng là trục y. Nó đồng biến trên khoảng (0, ∞) và nghịch biến trên khoảng (-∞, 0).

II. Hàm số bậc hai căn bậc hai và hàm mũ

Hàm số bậc hai f(x) = ax² có đồ thị là một parabol với đỉnh tại gốc tọa độ. Khi a > 0, parabol mở lên và có giá trị nhỏ nhất tại (0, 0); khi a < 0, parabol mở xuống và có giá trị lớn nhất. Hàm số căn bậc hai f(x) = √x chỉ xác định trên [0, ∞) với tập giá trị là [0, ∞). Đồ thị của nó là một nhánh đồng biến từ gốc tọa độ. Hàm số mũ f(x) = aˣ (a > 1) luôn đồng biến, có tiệm cận ngang là trục x, và giao điểm với trục y tại (0, 1). Đây là những hàm số cơ bản trong giải tích.

2.1. Hàm số bậc hai và parabol

Hàm f(x) = ax² có tập xác định (-∞, ∞). Khi a > 0, tập giá trị là [0, ∞) với cực tiểu tại (0, 0). Khi a < 0, tập giá trị là (-∞, 0] với cực đại tại (0, 0). Hàm số chẵn với trục đối xứng y. Nó là nền tảng để hiểu hàm số bậc hai tổng quát.

2.2. Hàm số căn bậc hai và mũ

Hàm f(x) = √x có miền xác định [0, ∞) và tập giá trị [0, ∞). Nó đồng biến trên toàn bộ miền xác định. Hàm mũ f(x) = aˣ (a > 1) luôn đồng biến trên (-∞, ∞) với tiệm cận ngang là trục hoành và không có giao điểm với nó.

III. Hàm số lượng giác và hàm ngược

Hàm số lượng giác sin x, cos x, tan x là những hàm số tuần hoàn với các chu kỳ khác nhau. Hàm sin x và cos x có chu kỳ 2π và tập giá trị [-1, 1], trong đó sin x là hàm lẻ (đối xứng gốc) còn cos x là hàm chẵn (đối xứng trục y). Hàm tan x có chu kỳ π, tập giá trị là (-∞, ∞), và có tiệm cận đứng tại x = π/2 + nπ. Hàm lượng giác ngược như arcsin x, arccos x, arctan x có miền xác định hạn chế để đảm bảo tính một-một. Chúng được sử dụng để giải phương trình lượng giác.

3.1. Hàm số lượng giác cơ bản

Hàm sin x có giao điểm với trục x tại nπ và giao điểm với trục y tại (0, 0). Hàm cos x có giao điểm trục x tại π/2 + nπ và giao điểm trục y tại (0, 1). Hàm tan x có chu kỳ π và tiệm cận đứng tại π/2 + nπ. Cả ba đều là hàm lẻ hoặc hàm chẵn với tính chất tuần hoàn.

3.2. Hàm lượng giác ngược

Hàm arcsin x và arccos x có miền xác định [-1, 1] với tập giá trị khác nhau. Hàm arctan x có miền xác định (-∞, ∞) và tập giá trị (-π/2, π/2). Cả ba đều có tiệm cận ngang và là hàm lẻ hoặc hàm chẵn tương ứng.

IV. Hàm số logarit hàm số hợp lý và hàm bước

Hàm số logarit f(x) = log_a(x) (a > 1) là hàm ngược của hàm số mũ. Nó có miền xác định (0, ∞) và tập giá trị (-∞, ∞). Hàm số này đồng biến, có tiệm cận đứng tại trục y, và giao điểm với trục x tại (1, 0). Hàm số hợp lý f(x) = 1/x có miền xác định (-∞, 0) ∪ (0, ∞) và là hàm lẻ với tiệm cận đứng tại x = 0 và tiệm cận ngang tại y = 0. Hàm bước f(x) = ⌊x⌋ (hàm phần nguyên) nhận giá trị là những số nguyên, đứt gãy tại mỗi số nguyên, và liên tục phải tại các điểm này.

4.1. Hàm số logarit và hàm hợp lý

Hàm logarit f(x) = log_a(x) có miền xác định (0, ∞) và đồng biến trên toàn bộ miền xác định. Hàm hợp lý f(x) = 1/x là hàm lẻ với tiệm cận ngang y = 0 và tiệm cận đứng x = 0. Cả hai là những hàm quan trọng trong phân tích toán học.

4.2. Hàm bước và hàm số đặc biệt

Hàm phần nguyên f(x) = ⌊x⌋ có tập giá trị là tập số nguyên, không liên tục tại các giá trị nguyên, và hằng số trên các khoảng [n, n+1). Nó được sử dụng trong các ứng dụng rời rạc và lập trình.

Trích đoạn nội dung tài liệu

org GRAPHS OF PARENT FUNCTIONS Linear Function Absolute Value Function Square Root Function f 共x兲 ⫽ mx ⫹ b f 共x兲 ⫽ ⱍxⱍ ⫽ x, x ⱖ 0 冦⫺x, x < 0 f 共x兲 ⫽ 冪x y y y 2 4 3 f(x) = x (0, b) 1 f(x) = ⏐x⏐ 2 x x (− mb , 0( (− mb , 0( −2 −1 (0, 0) 2 1 −1 x f(x) = mx + b, f(x) = mx + b, −1 (0, 0) 2 3 4 m>0 m<0 −2 −1 Domain: 共⫺ ⬁, ⬁兲 Domain: 共⫺ ⬁, ⬁兲 Domain: 关0, ⬁兲 Range: 共⫺ ⬁, ⬁兲 Range: 关0, ⬁兲 Range: 关0, ⬁兲 x-intercept: 共⫺b兾m, 0兲 Intercept: 共0, 0兲 Intercept: 共0, 0兲 y-intercept: 共0, b兲 Decreasing on 共⫺ ⬁, 0兲 Increasing on 共0, ⬁兲 Increasing when m > 0 Increasing on 共0, ⬁兲 Decreasing when m < 0 Even function y-axis symmetry Greatest Integer Function Quadratic (Squaring) Function Cubic Function f 共x兲 ⫽ 冀x冁 f 共x兲 ⫽ ax2 f 共x兲 ⫽ x3 y y y f(x) = [[x]] 3 3 3 2 2 2 1 1 f(x) = ax 2 , a > 0 (0, 0) x x x −3 −2 −1 1 2 3 −2 −1 1 2 3 4 −3 −2 1 2 3 −1 f(x) = ax 2 , a < 0 −1 f(x) = x 3 −2 −2 −3 −3 −3 Domain: 共⫺ ⬁, ⬁兲 Domain: 共⫺ ⬁, ⬁兲 Domain: 共⫺ ⬁, ⬁兲 Range: the set of integers Range 共a > 0兲: 关0, ⬁兲 Range: 共⫺ ⬁, ⬁兲 x-intercepts: in the interval 关0, 1兲 Range 共a < 0兲 : 共⫺ ⬁, 0兴 Intercept: 共0, 0兲 y-intercept: 共0, 0兲 Intercept: 共0, 0兲 Increasing on 共⫺ ⬁, ⬁兲 Constant between each pair of Decreasing on 共⫺ ⬁, 0兲 for a > 0 Odd function consecutive integers Increasing on 共0, ⬁兲 for a > 0 Origin symmetry Jumps vertically one unit at Increasing on 共⫺ ⬁, 0兲 for a < 0 each integer value Decreasing on 共0, ⬁兲 for a < 0 Even function y-axis symmetry Relative minimum 共a > 0兲, relative maximum 共a < 0兲, or vertex: 共0, 0兲 Copyright 2012 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the eBook and/or eChapter(s).

Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it. Rational (Reciprocal) Function Exponential Function Logarithmic Function 1 f 共x兲 ⫽ f 共x兲 ⫽ ax, a > 1 f 共x兲 ⫽ loga x, a > 1 x y y y 3 1 f(x) = f(x) = loga x x 1 2 1 f(x) = a x f(x) = a −x (0, 1) (1, 0) x x −1 1 2 3 1 2 x −1 Domain: 共⫺ ⬁, 0兲 傼 共0, ⬁) Domain: 共⫺ ⬁, ⬁兲 Domain: 共0, ⬁兲 Range: 共⫺ ⬁, 0兲 傼 共0, ⬁) Range: 共0, ⬁兲 Range: 共⫺ ⬁, ⬁兲 No intercepts Intercept: 共0, 1兲 Intercept: 共1, 0兲 Decreasing on 共⫺ ⬁, 0兲 and 共0, ⬁兲 Increasing on 共⫺ ⬁, ⬁兲 Increasing on 共0, ⬁兲 Odd function for f 共x兲 ⫽ ax Vertical asymptote: y-axis Origin symmetry Decreasing on 共⫺ ⬁, ⬁兲 Continuous Vertical asymptote: y-axis for f 共x兲 ⫽ a⫺x Reflection of graph of f 共x兲 ⫽ ax Horizontal asymptote: x-axis Horizontal asymptote: x-axis in the line y ⫽ x Continuous Sine Function Cosine Function Tangent Function f 共x兲 ⫽ sin x f 共x兲 ⫽ cos x f 共x兲 ⫽ tan x y y y f(x) = tan x 3 3 3 2 f(x) = sin x 2 f(x) = cos x 2 1 1 x x x −π π π 2π −π π π π 2π − π π π 3π 2 2 2 − 2 2 2 −2 −2 −3 −3 ␲ Domain: 共⫺ ⬁, ⬁兲 Domain: 共⫺ ⬁, ⬁兲 Domain: all x ⫽ ⫹ n␲ 2 Range: 关⫺1, 1兴 Range: 关⫺1, 1兴 Range: 共⫺ ⬁, ⬁兲 Period: 2␲ Period: 2␲ Period: ␲ x-intercepts: 共n␲, 0兲 ␲ y-intercept: 共0, 0兲 x-intercepts: 2 ⫹ n␲ , 0冢 冣 x-intercepts: 共n␲, 0兲 y-intercept: 共0, 0兲 Odd function y-intercept: 共0, 1兲 Vertical asymptotes: Origin symmetry Even function ␲ y-axis symmetry x ⫽ ⫹ n␲ 2 Odd function Origin symmetry Copyright 2012 Cengage Learning. All Rights Reserved.

May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the eBook and/or eChapter(s). Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it.

Cosecant Function Secant Function Cotangent Function f 共x兲 ⫽ csc x f 共x兲 ⫽ sec x f 共x兲 ⫽ cot x 1 1 1 y f(x) = csc x = y f(x) = sec x = y f(x) = cot x = sin x cos x tan x 3 3 3 2 2 2 1 1 x x x −π π π 2π −π π π π 3π 2π −π π π π 2π − − 2 2 2 2 2 2 −2 −3 ␲ Domain: all x ⫽ n␲ Domain: all x ⫽ ⫹ n␲ Domain: all x ⫽ n␲ Range: 共⫺ ⬁, ⫺1兴 傼 关1, ⬁兲 2 Range: 共⫺ ⬁, ⬁兲 Period: 2␲ Range: 共⫺ ⬁, ⫺1兴 傼 关1, ⬁兲 Period: ␲ No intercepts Period: 2␲ ␲ Vertical asymptotes: x ⫽ n␲ y-intercept: 共0, 1兲 Vertical asymptotes: x-intercepts: 2 ⫹ n␲ , 0 冢 冣 Odd function Vertical asymptotes: x ⫽ n␲ ␲ Origin symmetry x ⫽ ⫹ n␲ Odd function 2 Even function Origin symmetry y-axis symmetry Inverse Sine Function Inverse Cosine Function Inverse Tangent Function f 共x兲 ⫽ arcsin x f 共x兲 ⫽ arccos x f 共x兲 ⫽ arctan x y y y π π π 2 2 f(x) = arccos x x x −1 1 −2 −1 1 2 f(x) = arcsin x f(x) = arctan x −π x −π 2 2 −1 1 Domain: 关⫺1, 1兴 Domain: 关⫺1, 1兴 Domain: 共⫺ ⬁, ⬁兲 ␲ ␲ Range: 关0, ␲兴 ␲ ␲ Range: ⫺ , 冤 2 2 冥 ␲ Range: ⫺ , 2 2 冢 冣 Intercept: 共0, 0兲 y-intercept: 0, 2 冢 冣 Intercept: 共0, 0兲 Odd function Horizontal asymptotes: Origin symmetry ␲ y⫽± 2 Odd function Origin symmetry www.org Copyright 2012 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the eBook and/or eChapter(s).

Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it. Precalculus with Limits Third Edition Ron Larson The Pennsylvania State University The Behrend College With the assistance of David C. Falvo The Pennsylvania State University The Behrend College Australia • Brazil • Japan • Korea • Mexico • Singapore • Spain • United Kingdom • United States Copyright 2012 Cengage Learning.

All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the eBook and/or eChapter(s). Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience.

Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it. Precalculus with Limits © 2014, 2011, 2007 Brooks/Cole, Cengage Learning Third Edition ALL RIGHTS RESERVED. No part of this work covered by the copyright Ron Larson herein may be reproduced, transmitted, stored, or used in any form or by any means graphic, electronic, or mechanical, including but not limited to Publisher: Liz Covello photocopying, recording, scanning, digitizing, taping, Web distribution, Acquisitions Editor: Gary Whalen information networks, or information storage and retrieval systems, Senior Development Editor: Stacy Green except as permitted under Section 107 or 108 of the 1976 United States Assistant Editor: Cynthia Ashton Copyright Act, without the prior written permission of the publisher. Editorial Assistant: Samantha Lugtu Media Editor: Lynh Pham For product information and technology assistance, contact us at Senior Content Project Manager: Jessica Rasile Cengage Learning Customer & Sales Support, 1-800-354-9706.

Art Director: Linda May For permission to use material from this text or product, submit all requests online at www. Rights Acquisition Specialist: Shalice Shah-Caldwell Further permissions questions can be emailed to Manufacturing Planner: Doug Bertke permissionrequest@cengage. Text/Cover Designer: Larson Texts, Inc. Compositor: Larson Texts, Inc.

Library of Congress Control Number: 2012948314 Cover Image: diez artwork/Shutterstock.com Student Edition: ISBN-13: 978-1-133-94720-2 ISBN-10: 1-133-94720-4 Brooks/Cole 20 Channel Center Street Boston, MA 02210 USA Cengage Learning is a leading provider of customized learning solutions with office locations around the globe, including Singapore, the United Kingdom, Australia, Mexico, Brazil, and Japan. Locate your local office at: international.com/region Cengage Learning products are represented in Canada by Nelson Education, Ltd. For your course and learning solutions, visit www. Purchase any of our products at your local college store or at our preferred online store www.

Instructors: Please visit login.com and log in to access instructor-specific resources. Printed in the United States of America 1 2 3 4 5 6 7 16 15 14 13 12 Copyright 2012 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part.

Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the eBook and/or eChapter(s). Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it. This is an electronic version of the print textbook.

Due to electronic rights restrictions, some third party content may be suppressed. Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience. The publisher reserves the right to remove content from this title at any time if subsequent rights restrictions require it. For valuable information on pricing, previous editions, changes to current editions, and alternate formats, please visit www.com/highered to search by ISBN#, author, title, or keyword for materials in your areas of interest.org Copyright 2012 Cengage Learning.

All Rights Reserved. May not be copied, scanned, or duplicated, in whole or in part. Due to electronic rights, some third party content may be suppressed from the eBook and/or eChapter(s). Editorial review has deemed that any suppressed content does not materially affect the overall learning experience.

Cengage Learning reserves the right to remove additional content at any time if subsequent rights restrictions require it. Contents 1 Functions and Their Graphs 1 1.2 Graphs of Equations 11 1.3 Linear Equations in Two Variables 22 1.5 Analyzing Graphs of Functions 49 1.6 A Library of Parent Functions 60 1.7 Transformations of Functions 67 1.8 Combinations of Functions: Composite Functions 76 1.10 Mathematical Modeling and Variation 93 Chapter Summary 104 Review Exercises 106 Chapter Test 109 Proofs in Mathematics 110 P. Problem Solving 111 2 Polynomial and Rational Functions 113 2.1 Quadratic Functions and Models 114 2.2 Polynomial Functions of Higher Degree 124 2.3 Polynomial and Synthetic Division 138 2.5 Zeros of Polynomial Functions 154 2.7 Nonlinear Inequalities 180 Chapter Summary 190 Review Exercises 192 Chapter Test 194 Proofs in Mathematics 195 P. Problem Solving 197 3 Exponential and Logarithmic Functions 199 3.1 Exponential Functions and Their Graphs 200 3.2 Logarithmic Functions and Their Graphs 211 3.3 Properties of Logarithms 221 3.4 Exponential and Logarithmic Equations 228 3.5 Exponential and Logarithmic Models 238 Chapter Summary 250 Review Exercises 252 Chapter Test 255 Cumulative Test for Chapters 1–3 256 Proofs in Mathematics 258 P.

Problem Solving 259 iii Copyright 2012 Cengage Learning. All Rights Reserved.