Steven e shreve stochastic calculus for finance i the binomial asset pricing model springer finance springer 2005

Sách Steven Shreve: Tính toán ngẫu nhiên cho tài chính I, Mô hình định giá tài sản nhị phân. Hướng dẫn cơ bản về tài chính định lượng.

• Tác giả: Steven E Shreve
• Trường học: Carnegie Mellon University
• Chuyên ngành: Finance, Mathematical Models
• Đề tài: Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model
• Loại tài liệu: Textbooks
• Năm xuất bản: 2004
• Địa điểm: New York

Tóm tắt

I. Sách Stochastic Calculus for Finance I của Shreve Tổng quan

Tác phẩm "Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model" của tác giả Steven E. Shreve, một phần của series Springer Finance textbook, là tài liệu nền tảng cho bất kỳ ai muốn bước vào lĩnh vực tài chính định lượng (quantitative finance). Cuốn sách không chỉ đơn thuần trình bày lý thuyết mà còn xây dựng một lộ trình học tập trực quan, bắt đầu từ những khái niệm đơn giản nhất. Trọng tâm của Tập I là mô hình định giá tài sản nhị thức, một công cụ mạnh mẽ trong kỹ thuật tài chính (financial engineering). Shreve sử dụng mô hình này như một phương tiện để giới thiệu các khái niệm phức tạp như định giá phi arbitage và xác suất trung lập rủi ro trong một bối cảnh mô hình thời gian rời rạc (discrete-time models) dễ tiếp cận. Cách tiếp cận này giúp người đọc xây dựng một nền tảng vững chắc trước khi chuyển sang các quá trình ngẫu nhiên (stochastic processes) phức tạp hơn được trình bày trong Tập II. Như chính tác giả đề cập trong lời nói đầu, cuốn sách này được phát triển từ các khóa học trong chương trình Thạc sĩ Tài chính Tính toán (MSCF) tại Đại học Carnegie Mellon, đảm bảo tính thực tiễn và sư phạm cao. Mục tiêu của nó là làm cho tài chính toán học (mathematical finance) trở nên dễ hiểu hơn đối với sinh viên có nền tảng toán học cơ bản, bao gồm giải tích và xác suất.

1.1. Tầm quan trọng của Steven E. Shreve trong tài chính định lượng

Steven E. Shreve là một tên tuổi lớn trong ngành tài chính toán học. Các tác phẩm của ông, đặc biệt là bộ sách hai tập "Stochastic Calculus for Finance", được coi là kinh điển. Điểm đặc biệt trong phương pháp của Shreve là khả năng diễn giải các khái niệm toán học trừu tượng thành những trực giác tài chính rõ ràng. Ông không chỉ đưa ra công thức mà còn giải thích tại sao chúng hoạt động và ý nghĩa kinh tế đằng sau chúng. Cuốn sách "Stochastic Calculus for Finance I" thể hiện rõ triết lý này. Nó chuẩn bị cho người đọc những khái niệm cốt lõi như thước đo martingale (martingale measure) và thay đổi thước đo xác suất trong một môi trường đơn giản, giúp giảm bớt rào cản khi tiếp cận các chủ đề nâng cao như Bổ đề Ito (Ito's lemma) và chuyển động Brown (Brownian motion).

1.2. Giới thiệu mô hình định giá tài sản nhị thức Binomial Model

Mô hình định giá tài sản nhị thức (Binomial Asset Pricing Model) là trọng tâm của cuốn sách. Đây là một mô hình thời gian rời rạc trong đó giá của một tài sản cơ sở tại mỗi bước thời gian chỉ có thể di chuyển theo hai hướng: tăng (up) hoặc giảm (down). Mặc dù đơn giản, mô hình này nắm bắt được bản chất của sự không chắc chắn trên thị trường tài chính. Shreve sử dụng mô hình này để giải thích một cách tường minh các nguyên tắc cơ bản của lý thuyết định giá quyền chọn (option pricing theory). Bằng cách xây dựng một cây nhị thức, người đọc có thể trực quan hóa tất cả các đường đi có thể của giá tài sản và tính toán giá trị của một công cụ phái sinh tại mỗi nút. Cách tiếp cận này đặt nền móng vững chắc cho việc tìm hiểu mô hình Cox-Ross-Rubinstein (Cox-Ross-Rubinstein model), một ứng dụng trực tiếp và nổi tiếng của mô hình nhị thức.

1.3. Vai trò của sách trong series giáo trình Springer Finance

Series Springer Finance textbook nổi tiếng với việc cung cấp các tài liệu học thuật chất lượng cao, có chiều sâu về mặt kỹ thuật cho cả sinh viên, học giả và chuyên gia. Tác phẩm của Shreve chiếm một vị trí đặc biệt trong series này. Nó đóng vai trò là điểm khởi đầu lý tưởng, kết nối giữa lý thuyết xác suất cơ bản và các ứng dụng phức tạp trong kỹ thuật tài chính. Không giống như nhiều sách giáo khoa khác có thể đi thẳng vào các mô hình thời gian liên tục, "Stochastic Calculus for Finance I" của Shreve dành toàn bộ một tập để xây dựng nền tảng. Điều này làm cho nó trở thành một tài liệu tham khảo không thể thiếu, thường được đề xuất đọc trước cả các tác phẩm của những tên tuổi lớn khác như John C. Hull. Nó giúp đảm bảo người học hiểu rõ các khái niệm về arbitrage theory và risk-neutral pricing trước khi đối mặt với sự phức tạp của giải tích ngẫu nhiên.

II. Thách thức cốt lõi Định giá và phòng ngừa rủi ro tài chính

Trước khi các mô hình toán học hiện đại ra đời, việc định giá các công cụ tài chính phái sinh và quản lý rủi ro là một thách thức lớn. Các nhà giao dịch và tổ chức tài chính phải đối mặt với sự không chắc chắn về giá trị hợp lý của các hợp đồng quyền chọn, hợp đồng tương lai và các sản phẩm phức tạp khác. Cuốn sách "Stochastic Calculus for Finance I" của Shreve trực tiếp giải quyết vấn đề này bằng cách giới thiệu một khuôn khổ logic và chặt chẽ. Vấn đề cơ bản trong định giá phái sinh (derivative pricing) là làm thế nào để xác định một mức giá công bằng cho một công cụ có giá trị trong tương lai phụ thuộc vào một sự kiện ngẫu nhiên. Một mức giá quá cao sẽ không có người mua, trong khi một mức giá quá thấp sẽ gây ra rủi ro thua lỗ cho người bán. Shreve chỉ ra rằng chìa khóa để giải quyết bài toán này nằm ở nguyên tắc không có cơ hội kinh doanh chênh lệch giá (no-arbitrage). Nguyên tắc này khẳng định rằng trong một thị trường hiệu quả, không thể tạo ra lợi nhuận chắc chắn mà không cần vốn ban đầu và không chịu bất kỳ rủi ro nào. Đây chính là nền tảng của toàn bộ lý thuyết tài chính định lượng hiện đại, và mô hình nhị thức cung cấp một sân chơi hoàn hảo để khám phá ý tưởng này.

2.1. Vấn đề nan giải của lý thuyết định giá quyền chọn option pricing theory

Trước công trình của Black, Scholes và Merton, lý thuyết định giá quyền chọn vẫn còn sơ khai. Các phương pháp định giá thường dựa trên kỳ vọng về sự biến động giá của tài sản cơ sở, điều này phụ thuộc vào khẩu vị rủi ro của từng nhà đầu tư. Điều này dẫn đến sự thiếu nhất quán và khó khăn trong việc xác định một mức giá chung được chấp nhận. Vấn đề là làm thế nào để loại bỏ yếu tố chủ quan (khẩu vị rủi ro) ra khỏi công thức định giá. Cuốn sách của Shreve cho thấy mô hình nhị thức giải quyết vấn đề này một cách thanh lịch. Bằng cách xây dựng một danh mục phòng ngừa rủi ro (hedging strategies) hoàn hảo, giá trị của quyền chọn có thể được tái tạo chính xác bằng cách sử dụng tài sản cơ sở và một tài sản phi rủi ro. Do đó, giá của quyền chọn không phụ thuộc vào xác suất thực tế của việc giá tăng hay giảm, mà chỉ phụ thuộc vào các thông số của mô hình.

2.2. Tầm quan trọng của lý thuyết kinh doanh chênh lệch giá arbitrage theory

Toàn bộ cấu trúc của tài chính toán học hiện đại được xây dựng trên lý thuyết kinh doanh chênh lệch giá (arbitrage theory). Shreve nhấn mạnh rằng một mô hình tài chính chỉ hữu ích nếu nó không cho phép tồn tại arbitrage. Trong mô hình nhị thức, điều kiện này được thể hiện qua bất đẳng thức 0 < d < 1 + r < u, trong đó d là hệ số giảm, u là hệ số tăng và r là lãi suất phi rủi ro. Bất đẳng thức này đảm bảo rằng không có chiến lược nào có thể mang lại lợi nhuận không rủi ro. Nếu 1 + r không nằm giữa d và u, các cơ hội arbitrage sẽ xuất hiện ngay lập tức. Ví dụ, nếu d > 1 + r, một nhà đầu tư có thể vay tiền với lãi suất r để mua cổ phiếu và chắc chắn có lợi nhuận. Nguyên tắc không arbitrage là kim chỉ nam cho phép chúng ta tìm ra một mức giá duy nhất, công bằng cho mọi công cụ phái sinh trong mô hình.

III. Giải pháp trong sách Shreve Mô hình nhị thức một và nhiều kỳ

Để giải quyết thách thức định giá, Steven E. Shreve trình bày chi tiết mô hình nhị thức trong "Stochastic Calculus for Finance I", bắt đầu từ trường hợp đơn giản nhất là mô hình một kỳ và sau đó mở rộng sang mô hình nhiều kỳ. Cách tiếp cận tuần tự này giúp người đọc nắm vững logic cốt lõi trước khi đối mặt với sự phức tạp gia tăng. Trong mô hình một kỳ, giá cổ phiếu S0 tại thời điểm 0 có thể chuyển thành uS0 hoặc dS0 tại thời điểm 1. Bằng cách sử dụng một danh mục gồm cổ phiếu và một tài sản phi rủi ro (ví dụ: trái phiếu), Shreve chứng minh rằng có thể tái tạo chính xác dòng tiền của bất kỳ công cụ phái sinh nào. Quá trình này được gọi là tái tạo danh mục (portfolio replication). Giá trị của danh mục tái tạo tại thời điểm ban đầu chính là giá trị không arbitrage của công cụ phái sinh. Phương pháp này có sức mạnh to lớn vì nó cung cấp một công thức định giá mà không cần đến xác suất thực tế của thị trường. Sau đó, tác giả mở rộng khái niệm này sang mô hình nhiều kỳ, cho thấy rằng nguyên tắc tương tự có thể được áp dụng lặp lại theo từng bước thời gian, từ thời điểm đáo hạn ngược về thời điểm hiện tại. Đây là nền tảng của các thuật toán định giá trong thực tế, đặc biệt là mô hình Cox-Ross-Rubinstein.

3.1. Phân tích mô hình nhị thức thời gian rời rạc discrete time models

Một trong những ưu điểm lớn nhất của mô hình nhị thức là bản chất thời gian rời rạc (discrete-time models) của nó. Thay vì xem xét sự biến động giá liên tục, mô hình chia thời gian thành các khoảng rời rạc (ví dụ: ngày, tuần, tháng). Tại mỗi khoảng thời gian, chỉ có hai kết quả có thể xảy ra. Sự đơn giản hóa này làm cho các phép toán trở nên dễ dàng hơn rất nhiều so với các mô hình thời gian liên tục (continuous-time models) yêu cầu giải tích ngẫu nhiên phức tạp. Shreve tận dụng triệt để lợi thế này để xây dựng các khái niệm quan trọng từng bước một. Người đọc có thể dễ dàng theo dõi cách giá trị của một danh mục thay đổi qua từng nút trên cây nhị thức và hiểu rõ cách các chiến lược phòng ngừa rủi ro (hedging strategies) được điều chỉnh theo thời gian.

3.2. Điều kiện không kinh doanh chênh lệch giá No Arbitrage trong mô hình

Như đã đề cập, điều kiện không arbitrage 0 < d < 1 + r < u là trụ cột của mô hình. Shreve giải thích cặn kẽ ý nghĩa kinh tế của từng phần trong bất đẳng thức này. d < 1 + r ngăn chặn arbitrage bằng cách vay tiền để mua cổ phiếu (vì ngay cả trong trường hợp xấu nhất, lợi nhuận từ cổ phiếu cũng không đủ để trả nợ). Ngược lại, 1 + r < u ngăn chặn arbitrage bằng cách bán khống cổ phiếu và gửi tiền vào tài sản phi rủi ro. Việc tồn tại một mức lãi suất phi rủi ro nằm giữa hai hệ số biến động giá đảm bảo rằng luôn có rủi ro đi kèm với việc đầu tư vào cổ phiếu. Chính điều kiện này cho phép sự tồn tại của một bộ xác suất trung lập rủi ro duy nhất, là chìa khóa cho phương pháp định giá trung lập rủi ro (risk-neutral pricing).

3.3. Mối liên hệ chặt chẽ với mô hình Cox Ross Rubinstein

Mô hình nhị thức được trình bày trong sách của Shreve chính là nền tảng lý thuyết cho mô hình Cox-Ross-Rubinstein (Cox-Ross-Rubinstein model), một trong những phương pháp số phổ biến nhất để định giá quyền chọn. Cox, Ross và Rubinstein đã chỉ ra rằng khi số kỳ trong mô hình nhị thức tiến đến vô cùng, kết quả định giá sẽ hội tụ về công thức của mô hình Black-Scholes (Black-Scholes model). Shreve làm rõ mối liên hệ này, cho thấy rằng mô hình nhị thức không chỉ là một công cụ sư phạm mà còn là một phương pháp xấp xỉ số mạnh mẽ cho thế giới mô hình thời gian liên tục. Điều này mang lại cho người đọc một cái nhìn toàn diện, kết nối giữa lý thuyết và ứng dụng tính toán thực tế trong kỹ thuật tài chính.

IV. Khám phá phương pháp định giá trung lập rủi ro của Shreve

Một trong những đóng góp quan trọng nhất của cuốn "Stochastic Calculus for Finance I" là cách nó làm sáng tỏ khái niệm định giá trung lập rủi ro (risk-neutral pricing). Đây là một ý tưởng phản trực giác nhưng lại vô cùng mạnh mẽ trong tài chính định lượng. Thay vì cố gắng dự đoán xác suất thực tế của việc giá cổ phiếu sẽ tăng hay giảm, phương pháp này xây dựng một thế giới giả định, nơi tất cả các nhà đầu tư đều trung lập với rủi ro. Trong thế giới này, lợi nhuận kỳ vọng của mọi tài sản đều bằng với lãi suất phi rủi ro. Shreve chỉ ra rằng, do nguyên tắc không arbitrage, giá của một công cụ phái sinh trong thế giới thực phải giống hệt với giá của nó trong thế giới trung lập rủi ro. Điều này cho phép chúng ta thực hiện các phép tính định giá một cách đơn giản. Giá trị của công cụ phái sinh tại bất kỳ thời điểm nào chỉ đơn giản là giá trị kỳ vọng chiết khấu của các dòng tiền trong tương lai, được tính toán bằng cách sử dụng một bộ xác suất đặc biệt gọi là xác suất trung lập rủi ro. Đây là một cuộc cách mạng trong lý thuyết định giá phái sinh (derivative pricing).

4.1. Giải thích thước đo martingale martingale measure trong định giá

Khái niệm xác suất trung lập rủi ro có mối liên hệ mật thiết với một khái niệm toán học gọi là thước đo martingale (martingale measure). Một quá trình ngẫu nhiên được gọi là martingale nếu giá trị kỳ vọng trong tương lai của nó, dựa trên thông tin hiện tại, bằng chính giá trị hiện tại của nó. Trong bối cảnh tài chính, khi chúng ta chiết khấu giá cổ phiếu theo lãi suất phi rủi ro, quá trình giá chiết khấu này sẽ trở thành một martingale dưới thước đo xác suất trung lập rủi ro. Shreve giải thích điều này một cách cẩn thận trong mô hình nhị thức. Ông cho thấy rằng giá cổ phiếu hiện tại Sn bằng với giá trị kỳ vọng chiết khấu của giá cổ phiếu ở kỳ tiếp theo Sn+1 dưới xác suất trung lập rủi ro. Tính chất này là nền tảng cho các định lý cơ bản của định giá tài sản.

4.2. Cách xác suất trung lập rủi ro đơn giản hóa bài toán định giá

Sức mạnh của định giá trung lập rủi ro nằm ở khả năng đơn giản hóa của nó. Chúng ta không cần quan tâm đến khẩu vị rủi ro của nhà đầu tư hay tỷ suất lợi nhuận kỳ vọng thực tế của cổ phiếu. Tất cả những gì cần thiết là các thông số của mô hình (u, d, r) để tính toán ra bộ xác suất trung lập rủi ro duy nhất (p̃, q̃). Một khi đã có bộ xác suất này, giá của bất kỳ công cụ phái sinh nào có thể được tính bằng công thức kỳ vọng chiết khấu: Vn = (1+r)^-1 * [p̃ * Vn+1(H) + q̃ * Vn+1(T)]. Công thức này có thể được áp dụng lặp lại từ ngày đáo hạn về hiện tại, cung cấp một thuật toán định giá hiệu quả và nhất quán. Phương pháp này biến một bài toán phức tạp về phòng ngừa rủi ro động thành một bài toán tính kỳ vọng đơn giản.

4.3. Đặt nền móng vững chắc cho mô hình Black Scholes nổi tiếng

Mặc dù cuốn sách tập trung vào mô hình nhị thức, các nguyên tắc được phát triển trong đó là nền tảng trực tiếp cho mô hình Black-Scholes (Black-Scholes model). Mô hình Black-Scholes là một mô hình thời gian liên tục và sử dụng các công cụ toán học phức tạp hơn như chuyển động Brown. Tuy nhiên, logic kinh tế cốt lõi vẫn là định giá trung lập rủi ro và không arbitrage. Bằng cách hiểu sâu sắc các khái niệm này trong bối cảnh thời gian rời rạc, người đọc sẽ được trang bị tốt hơn để hiểu được các giả định và suy luận đằng sau công thức Black-Scholes. Thực tế, mô hình nhị thức thường được coi là phiên bản rời rạc của mô hình Black-Scholes, và như đã nói, nó hội tụ về Black-Scholes khi số bước thời gian tăng lên. Shreve Volume 2 sẽ đi sâu hơn vào sự kết nối này.

V. Ứng dụng Từ định giá phái sinh đến chiến lược phòng hộ

Cuốn "Stochastic Calculus for Finance I" không chỉ dừng lại ở lý thuyết định giá mà còn đi sâu vào các ứng dụng thực tiễn, đặc biệt là việc xây dựng các chiến lược phòng ngừa rủi ro (hedging strategies). Một trong những ý tưởng trung tâm của cuốn sách là giá trị của một công cụ phái sinh được xác định bởi chi phí để tái tạo (replicate) nó. Điều này có nghĩa là, tại mọi thời điểm, người bán công cụ phái sinh có thể xây dựng một danh mục gồm tài sản cơ sở và tài sản phi rủi ro sao cho giá trị của danh mục này luôn khớp với giá trị của công cụ phái sinh. Bằng cách liên tục điều chỉnh tỷ trọng của các tài sản trong danh mục, họ có thể loại bỏ hoàn toàn rủi ro. Quá trình này được gọi là phòng hộ delta (delta-hedging). Shreve cung cấp các công thức rõ ràng để tính toán số lượng cổ phiếu cần nắm giữ (delta) tại mỗi nút của cây nhị thức. Điều này biến định giá phái sinh từ một bài toán trừu tượng thành một quy trình hoạt động cụ thể, có thể áp dụng trong thực tế của ngành kỹ thuật tài chính.

5.1. Kỹ thuật tái tạo danh mục đầu tư portfolio replication hiệu quả

Kỹ thuật tái tạo danh mục đầu tư (portfolio replication) là cốt lõi của phương pháp định giá không arbitrage. Shreve chứng minh rằng trong mô hình nhị thức, bất kỳ dòng tiền nào trong tương lai đều có thể được tái tạo một cách hoàn hảo. Giả sử cần tái tạo một quyền chọn. Tại mỗi bước thời gian và tại mỗi trạng thái có thể của thị trường, chúng ta cần giải một hệ phương trình đơn giản để tìm ra số lượng cổ phiếu (Δ) và lượng tiền mặt cần thiết. Công thức cho delta được tính là Δ = (V_up - V_down) / (S_up - S_down), trong đó V là giá trị quyền chọn và S là giá cổ phiếu. Công thức này cho thấy số lượng cổ phiếu cần nắm giữ phụ thuộc vào độ nhạy của giá quyền chọn đối với sự thay đổi của giá cổ phiếu. Việc hiểu rõ kỹ thuật này là rất quan trọng đối với các chuyên gia tài chính định lượng.

5.2. Xây dựng chiến lược phòng ngừa rủi ro hedging strategies thực tế

Từ kỹ thuật tái tạo danh mục, chúng ta có thể xây dựng các chiến lược phòng ngừa rủi ro động. Giả sử một ngân hàng bán một quyền chọn mua cho khách hàng. Ngân hàng sẽ đối mặt với rủi ro nếu giá cổ phiếu tăng mạnh. Để phòng hộ, ngân hàng sẽ mua một lượng cổ phiếu bằng với delta của quyền chọn. Khi giá cổ phiếu thay đổi, delta cũng thay đổi, và ngân hàng phải điều chỉnh lại số lượng cổ phiếu nắm giữ. Quá trình này được gọi là tái cân bằng danh mục (rebalancing). Mô hình nhị thức cung cấp một khuôn khổ rõ ràng về thời điểm và số lượng cần tái cân bằng. Mặc dù trong thực tế có chi phí giao dịch, mô hình lý tưởng này của Shreve cung cấp một cái nhìn sâu sắc về logic cơ bản của việc quản lý rủi ro trên thị trường phái sinh.

5.3. Mở rộng cho các loại chứng khoán phái sinh phức tạp

Mặc dù các ví dụ chính trong sách tập trung vào quyền chọn kiểu châu Âu đơn giản, khuôn khổ của mô hình nhị thức có thể dễ dàng được mở rộng để định giá các loại chứng khoán phái sinh phức tạp hơn. Ví dụ, nó có thể được sử dụng để định giá quyền chọn kiểu Mỹ (có thể thực hiện bất kỳ lúc nào trước khi đáo hạn) bằng cách so sánh giá trị nắm giữ và giá trị thực hiện tại mỗi nút. Nó cũng có thể áp dụng cho các quyền chọn ngoại lai (exotic options) có dòng tiền phụ thuộc vào đường đi của giá (path-dependent), chẳng hạn như quyền chọn Á châu (Asian options) hay quyền chọn rào cản (barrier options). Sự linh hoạt này làm cho mô hình nhị thức trở thành một công cụ mạnh mẽ không chỉ trong học thuật mà còn trong thực hành kỹ thuật tài chính.

VI. Kết luận Nền tảng tài chính toán học vững chắc từ Shreve

Cuốn "Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model" của Steven E. Shreve không chỉ là một cuốn sách giáo khoa; nó là một hành trình có hướng dẫn vào trung tâm của tài chính toán học hiện đại. Bằng cách tập trung vào mô hình nhị thức, Shreve đã thành công trong việc làm sáng tỏ các khái niệm phức tạp như arbitrage theory, risk-neutral pricing, và portfolio replication mà không đòi hỏi người đọc phải có kiến thức sâu về toán học cao cấp ngay từ đầu. Cuốn sách này thực sự là một cây cầu nối, chuẩn bị hành trang cần thiết cho người học trước khi họ khám phá thế giới của các mô hình thời gian liên tục và giải tích ngẫu nhiên trong Shreve Volume 2. Nó tạo ra một sự hiểu biết trực quan và sâu sắc về lý do tại sao các mô hình tài chính hoạt động, một điều mà việc chỉ học thuộc công thức không bao giờ có thể mang lại. Đối với bất kỳ ai nghiêm túc về sự nghiệp trong tài chính định lượng hay kỹ thuật tài chính, việc bắt đầu với Tập I của Shreve là một lựa chọn khôn ngoan và gần như bắt buộc, tạo ra một nền tảng vững chắc để xây dựng các kiến thức chuyên sâu hơn.

6.1. So sánh với Shreve Volume 2 và các mô hình thời gian liên tục

Tập I và Tập II của Shreve tạo thành một bộ đôi hoàn chỉnh. Nếu Tập I là phần giới thiệu trong thế giới thời gian rời rạc, thì Shreve Volume 2 là phần đi sâu vào mô hình thời gian liên tục (continuous-time models). Trong Tập II, các khái niệm như chuyển động Brown (Brownian motion), tích phân ngẫu nhiên, và Bổ đề Ito (Ito's lemma) được trình bày chi tiết. Việc học Tập I trước giúp người đọc thấy được sự tương đồng giữa hai thế giới: ví dụ, khái niệm martingale trong thời gian rời rạc là tiền đề cho quá trình martingale trong thời gian liên tục, và thuật toán định giá lùi trong mô hình nhị thức tương ứng với việc giải các phương trình đạo hàm riêng (PDE) trong các mô hình liên tục như Black-Scholes model.

6.2. Vị thế của sách so với các tác phẩm của John C. Hull

Trong lĩnh vực giáo trình tài chính phái sinh, cuốn "Options, Futures, and Other Derivatives" của John C. Hull là một tài liệu tham khảo rất phổ biến, đặc biệt với các chuyên gia thực hành. Sách của Hull rất toàn diện và tập trung nhiều vào các khía cạnh thị trường và sản phẩm. Tuy nhiên, sách của Shreve lại có thế mạnh về sự chặt chẽ toán học và chiều sâu lý thuyết. Trong khi Hull giải thích 'cái gì' và 'làm thế nào', Shreve giải thích 'tại sao'. Nhiều chương trình học thuật thường sử dụng cả hai cuốn sách: Shreve để xây dựng nền tảng lý thuyết vững chắc về stochastic processes và mathematical finance, và Hull để có cái nhìn tổng quan về thị trường và các ứng dụng thực tế. Hai tác phẩm này bổ sung cho nhau một cách hoàn hảo.

6.3. Tương lai và tầm ảnh hưởng đến ngành kỹ thuật tài chính

Các nguyên tắc được trình bày trong "Stochastic Calculus for Finance I" vẫn là nền tảng của ngành kỹ thuật tài chính (financial engineering) ngày nay. Mặc dù các mô hình đã trở nên phức tạp hơn, các ý tưởng cốt lõi về không arbitrage, định giá trung lập rủi ro và phòng hộ động vẫn không thay đổi. Cuốn sách của Shreve đã đào tạo ra nhiều thế hệ chuyên gia tài chính định lượng, những người đang làm việc tại các ngân hàng đầu tư, quỹ phòng hộ và các tổ chức tài chính hàng đầu thế giới. Bằng cách cung cấp một nền tảng lý thuyết vững chắc và trực quan, tác phẩm này tiếp tục định hình cách chúng ta suy nghĩ và mô hình hóa các thị trường tài chính, đảm bảo rằng nó sẽ còn giữ nguyên giá trị trong nhiều năm tới.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Springer Finance Editorial Board M. Schachermayer Springer New York Berlin Heidelberg Hong Kong London Milan Paris Tokyo www.com Springer Finance Springer Finance is a programme of books aimed at students, academics, and practitioners working on increasingly technical approaches to the analysis of financial markets. It aims to cover a variety of topics, not only mathematical finance but foreign exchanges, term structure, risk management, portfolio theory, equity derivatives, and financial economics. Ammann, Credit Risk Valuation: Methods, Models, and Applications (2001) E.

Bamcci, Financial Markets Theory: Equilibrium, Efficiency and Information (2003) N. Kiesel, Risk-Neutral Valuation: Pricing and Hedging of Financial Derivatives, 2nd Edition (2004) TR. Credit Risk: Modeling, Valuation and Hedging (2001) D. Brigo amd F Mercurio, Interest Rate Models: Theory and Practice (2001) R.

Buff, Uncertain Volatility Models- Theory and Application (2002) R. Financial Markets in Continuous Time (2003) G. Deboeck and T Kohonen (Editors), Visual Explorations in Finance with Self­ Organizing Maps (1998) R.J Elliott and PE. Mathematics of Financial Markets ( 1999) H.

Plisko and T Vorst (Editors). Mathematical Finance­ Bachelier Congress 2000 (2001) M. Mathematical Models of Financial Derivatives (1998) M. Irrational Exuberance Reconsidered: The Cross Section of Stock Returns, 2nd Edition (2004) A.

Efficient Methods for Valuing Interest Rate Derivatives (2000) J. Prigent, Weak Convergence of Financial Markets (2003) B. Credit Risk Pricing Models: Theory and Practice, 2nd Ed i tion (2004) S. Shreve, Stochastic Calculus for Finance 1: The Binomial Asset Pricing Model (2004) S.

Shreve, Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models (2004) M. Yor, Exponential Functionals of Brownian Motion and Related Processes (2001) R. Zagst, Interest-Rate Management (2002) Y.-L Chern, Derivative Securities and Difference Methods (2004) A. Incomplete Information and Heterogeneous Beliefs in Continuous-Time Finance (2003) A.

Ziegler, A Game Theory Analysis of Options: Corporate Finance and Financial Intermediation in Continuous Time, 2nd Edition (2004) www. Shreve Stochastic Calculus for Finance I The Binomial Asset Pricing Model With 33 Figures www. Shreve Department of Mathematical Sciences Carnegie Mellon University Pittsburgh. PA 15213 USA [e-mail] Scan von der Deutschen Filiale der staatlichen Bauerschaft (KOLX03'a) Mathematics Subject Classification (2000): 60-01, 60HIO.

91828 Library of Congress Cataloging-in-Publication Data Shreve. Stochastic calculus for finance I Steven E. - (Springer finance series) Includes bibliographical references and index. The binomial asset pricing model.

Finance-Mathematical models-Textbooks. Stochastic analysis­ Textbooks.0 I '51922-dc22 2003063342 ISBN 0-387-40100·8 Printed on acid-free paper. © 2004 Springer-Verlag New York. LLC All rights reserved.

This work may not be translated or copied in whole or in part without the wrillen permission of the publisher (Springer-Verlag New York. LLC, 175 Fifth Avenue. New York, NY 10010. USA), except for brief excerpts in connection with re­ views or scholarly analysis.

Use in connection with any form of information storage and retrieval. computer software, or by similar or dissimilar methodol­ ogy now known o r hereafter developed is forbidden. The use in this publication of trade names. and similar terms.

even if they are not identified as such. is not to be taken as an expression of opinion as to whether or not they are subject to proprietary rights. Printed in the United States of America. (AL/MVY) 9 8 7 6 5 4 3 2 I SPIN 10929445 Springer-Verlag is a par1 of Springer Scie��t·e+81f&&ness Media springeronline.com To my students www.com Preface Origin of This Text This text has evolved from mathematics courses in the Master of Science in Computational Finance (MSCF ) program at Carnegie Mellon University.

The content of this book has been used successfully with stndents whose math­ ematics background consists of calculus and calculus-based probability. The text gives precise statements of results, plausibility arguments, and even some proofs, but more importantly, intuitive explanations developed and refined through classroom experience with this material are proYided. Exercises con­ clude every chapter. Some of these extend the theory and others are drawn from practical problems in quantitative finance.

The first three chapters of Volume I have been used in a half-semester course in the MSCF program. The full Volume I has been used in a full­ semester course in the Carnegie Mellon Bachelor's program in Computational Finance. Volume II was developed to support three half-semester courses in the MSCF program. Dedication Since its inception in 1 994, the Carnegie Mellon Master's program in Compu­ tational F inance has graduated hundreds of students.

These people, who have come from a variety of educational and professional backgrounds, have been a joy to teach. They have been eager to learn, asking questions that stimu­ lated thinking, working hard to understand the material both theoretically and practically, and often requesting the inclusion of additional topics. Many came from the finance industry, and were gracious in sharing their knowledge in ways that enhanced the classroom experience for all. This text and my own store of knowledge have benefited greatly from interactions with the MSCF students, and I continue to learn from the MSCF www.com VIII Preface alumni.

I take this opportunity to express gratitude to these students and former students by dedicating this work to them. Acknowledgments Conversations with several people, including my colleagues David Heath and Dmitry Kramkov, have influenced this text. Lukasz Kruk read much of the manuscript and provided numerous comments and corrections. Other students and faculty have pointed out errors in and suggested improvements of earlier drafts of this work.

Some of these arc Jonathan Anderson, Bogdan Doytchi­ nov, Steven Gillispie, Sean Jones, Anatoli Karolik, Andrzej Krause, Petr Luk­ san, Sergey Myagchilov, Nicki Rasmussen, Isaac Sonin, Massimo Tassan-Solet, David Whitaker and Uwe Wystup. In some cases, users of these earlier drafts have suggested exercises or examples, and their contributions are acknowl­ edged at appropriate points in the text. To all those who aided in the devel­ opment of this text, I am most grateful. During the creation of this text, the author was partially supported by the National Science Foundation under grants DMS-9802464, DMS-0103814, and DMS-01 399 1 1.

Any opinions, findings, and conclusions or recommendations expressed in this material are those of the author and do not necessarily reflect the views of the National Science Foundation. Pittsburgh, Pennsylvania, USA Steven E. Shreve December 2003 www.com Contents 1 The Binomial No-Arbitrage Pricing Model .1 One-Period Binomial Model .2 Multiperiod Binomial Model. 2 Probability Theory on Coin Toss Space .1 Finite Probability Spaces .2 Random Variables, Distributions, and Expectations .1 Change of Measure .2 Radon-Nikodym Derivative Process .3 Capital Asset Pricing Model.

83 4 American Derivative Securities .2 Non-Path-Dependent American Derivatives .4 General American Derivatives .5 American Call Options .2 First Passage Times .4 Perpetual American Put: Example. 138 6 Interest-Rate-Dependent Assets .2 Binomial Model for Interest Rates .3 F ixed-Income Derivatives. Proof of Fundamental Properties of Conditional Expectations .com Introduction Background By awarding Harry Markowitz, William Sharpe, and Merton Miller the 1990 Nobel Prize in Economics, the Nobel Prize Committee brought to worldwide attention the fact that the previous forty years had seen the emergence of a new scientific discipline, the "theory of finance." This theory attempts to understand how financial markets work, how to make them more efficient, and how they should be regulated. It explains and enhances the important role these markets play in capital allocation and risk reduction to facilitate eco­ nomic activity.

Without losing its application to practical aspects of trading and regulation, the theory of finance has become increasingly mathematical, to the point that problems in finance are now driving research in mathematics. Harry Markowitz's 1952 Ph. thesis Portfolio Selection laid the ground­ work for the mathematical theory of finance. Markowitz developed a notion of mean return and covariances for common stocks that allowed him to quan­ tify the concept of "diversification" in a market.

He showed how to compute the mean return and variance for a given portfolio and argued that investors should hold only those portfolios whose variance is minimal among all portfo­ lios with a given mean return. Although the language of finance now involves stochastic (Ito) calculus, management of risk in a quantifiable manner is the underlying theme of the modern theory and practice of quantitative finance. In 1 969, Robert Merton introduced stochastic calculus into the study of finance. Merton was motivated by the desire to understand how prices are set in financial markets, which is the classical economics question of "equi­ librium," and in later papers he used the machinery of stochastic calculus to begin investigation of this issue.

At the same time as Merton's work and with Merton's assistance, Fis­ cher Black and Myron Scholes were developing their celebrated option pricing formula. This work won the 1997 Nobel Prize in Economics. It provided a satisfying solution to an important practical problem, that of finding a fair price for a European call option (i., the right to buy one share of a given www.com XII Introduction stock at a specified price and time). In the period 1979-1983, Harrison, Kreps, and Pliska used the general theory of continuous-time stochastic processes to put the Black-Scholes option-pricing formula on a solid theoretical basis, and, as a result, showed how to price numerous other "derivative"' securities.

Many of the theoretical developments in finance have found immediate application in financial markets. To understand how they are applied, we digress for a moment on the role of financial institutions. A principal function of a nation's financial institutions is to act as a risk-reducing intermediary among customers engaged in production. For example, the insurance industry pools premiums of many customers and must pay off only the few who actually incur losses.

risk arises in situations for which pooled-premium insurance is unavailable. For instance, as a hedge against higher fuel costs, an airline may want to buy a security whose value will rise if oil prices rise. But who wants to sell such a security? The role of a financial institution is to design such a security, determine a "fair" price for it, and sell it to airlines. The security thus sold is usually "derivative" (i., its value is based on the value of other, identified securities).

"Fair" in this context means that the financial institution earns just enough from selling the security to enable it to trade in other securities whose relation with oil prices is such that, if oil prices do indeed rise, the firm can pay off its increased obligation to the airlines. An "efficient" market is one in which risk-hedging securities are widely available at "fair" prices. The Black-Scholes option pricing formula provided. for the first time, a theoretical method of fairly pricing a risk-hedging security.

If an investment bank offers a derivative security at a price that is higher than "fair," it may be underbid. If it offers the security at less than the "fair" price, it runs the risk of substantial loss. This makes the bank reluctant to offer many of the derivative securities that would contribute to market efficiency. In particular, the bank only wants to offer derivative securities whose "fair" price can be determined in advance.

Furthermore, if the bank sells such a security, it must then address the hedging problem: how should it manage the risk associated with its new position? The mathematical theory growing out of the Black-Scholes option pricing formula provides solutions for both the pricing and hedging problems. It thus has enabled the creation of a host of specialized derivative securities. This theory is the subject of this text. Relationship between Volumes I and II Volume II treats the continuous-time theory of stochastic calculus within the context of finance applications.

The presentation of this theory is the raison d'etre of this work. Volume I I includes a self-contained treatment of the prob­ ability theory needed for stochastic calculus, including Brownian motion and its properties.com Introduction XIII Volume I presents many of the same finance applications, but within the simpler context of the discrete-time binomial model. It prepares the reader for Volume II by treating several fundamental concepts, including martin­ gales, Markov processes, change of measure and risk-neutral pricing in this less technical setting.