Lời mở đầu I Lời cảm ơn III Chƣơng 1: Quá trình điểm không gian: Các khái niệm cơ bản …………….1 Mẫu điểm không gian……………………………………………………………….2 Tính ngẫu nhiêu không gian hoàn toàn (tính CSR)………………………………… 3 1.3 Tiêu chuẩn Monte Carlo…………………………………………………………….4 Quá trình điểm không gian………………………………………………………….1 Quá trình đơn biến………………………………………………………………… 6 1.2 Quá trình Poisson thuần nhất……………………………………………………… 8 Chƣơng 2: Các phƣơng pháp khoảng cách………………………………………….1 Khoảng cách giữa các biến cố……………………………………………….2 Khoảng cách lân cận gần nhất……………………………………………….3 Khoảng cách từ điểm tới các biến cố gần nhất……………………………………… 14 2.4 Ước lượng tính chất cấp hai: ước lượng hàm K(t)…………………………………. 15 Chƣơng 3: Phân tích mẫu ảnh trên máy tính……………………………………….1 Lập trình xử lý hàm H(t)…………………………………………………….2 Lập trình xử lý hàm G(t)…………………………………………………….3 Lập trình xử lý hàm F(t)…………………………………………………………….4 Lập trình xử lý hàm K(t)…………………………………………………….5 Phân tích xử lý ba mẫu ảnh cụ thể…………………………………………………. 62 Tài liệu tham khảo ……………………………………………………………………. 63 IV TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com CHƢƠNG1: QUÁ TRÌNH ĐIỂM KHÔNG GIAN: CÁC KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN 1.1 Mẫu điểm không gian Trong nghiên cứu thống kê chúng ta thường gặp các tình huống mà dữ liệu cho dưới dạng tập các điểm, được phân bố ngẫu nhiên trong một miền của không gian, chẳng hạn như các ảnh chụp từ trên cao cho ta các vị trí của các cây trong một khu rừng, hoặc vị trí các tổ chim, hoặc vị trí của các nhân tế bào trong một phần mô nhỏ, … vv.
Chúng ta gọi những tập như vậy là mẫu điểm không gian và coi vị trí của các phần tử đó là các biến cố để phân biệt chúng với các điểm tùy ý khác trong miền được nói đến. Sau đây ta xem xét một số ví dụ cụ thể về mẫu điểm không gian.1: Vị trí của 65 cây thông đen Nhật Bản Hình 1.1, do Numata đưa ra (xem [12]),thể hiện vị trí của 65 cây thông đen Nhật Bản trong một hình vuông với cạnh 5,7m. 1 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.2: Vị trí của 62 cây gỗ đỏ Hình 1.2, do Strauss đưa ra(xem [14]), thể hiện vị trí 62 cây gỗ đỏ trên một hình vuông với cạnh 23m. Nhận thấy ở hai mô hình này có sự khác biệt rất rõ rệt.1 thể hiện một cấu trúc không rõ ràng và có thể xem như là một mô hình ngẫu nhiên hoàn toàn.
Trong khi đó ở hình 1.2, việc mọc thành cụm một cách rõ rệt của các cây gỗ đỏ. Chúng ta miêu tả mẫu điểm giống như hình 1.2 là mẫu kết tập.3: Vị trí nhân của 42 tế bào sinh học 2 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.3, do Ripley đưa ra (xem [14]), lại là một mẫu điểm khác, nó thể hiện nhân của 42 tế bào sinh học. Sự phân bố của các nhân tế bào có vẻ có quy tắc. Qua 3 ví dụ trên ta có thể hình thành một sự phân loại các mẫu điểm không gian như sau: mẫu có quy tắc, mẫu ngẫu nhiên, mẫu kết tập.
Ta giả sử các miền được xét đến đều là miền phẳng trong không gian hai chiều. Nhưng về nguyên tắc ta có thể mở rộng cho các không gian khác.2 Tính ngẫu nhiên không gian hoàn toàn (tính CSR) Trước hết ta nêu định nghĩa của tính ngẫu nhiên không gian hoàn toàn (Complete Spatial Randomness: CSR).Đó là tính độc lập tứ phía. Nghĩa là số các biến cố của mẫu điểm rơi vào k tập Borel rời nhau lập nên k biến ngẫu nhiên độc lập (xem [15]). Giả thiết về tính ngẫu nhiên không gian hoàn toàn khẳng định rằng: i) Số biến cố trong một miền phẳng A với diện tích A , tuân theo phân phối Poisson với giá trị trung bình λ A.
ii ) Cho n biến cố Xi trong miền A thì các Xi được xem là một mẫu ngẫu nhiên độc lập cỡ n có phân phối đều trên A. Trong i) hằng số λ là cường độ hay là số trung bình các biến cố trên mỗi đơn vị diện tích. Theo i), nếu tính chất CSR thỏa mãn thì cường độ của các biến cố không thay đổi quá mức cho phép. Theo ii), khi tính CSR thỏa mãn thì không có sự ảnh hưởng lẫn nhau giữa các biến cố.
Nghĩa là tính độc lập trong ii) sẽ bị vi phạm nếu sự tồn tại của một biến cố tại X hoặc là khuyến khích hoặc là hạn chế sự tồn tại của các biến cố khác trong lân cận của X.4: 100 biến cố trong một hình vuông đơn vị 3 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.4 cho ta mẫu điểm ngẫu nhiên không gian hoàn toàn của 100 biến cố trên một đơn vị diện tích. Những hình ảnh ấn tượng về sự kết tập là không có. Cũng cần lưu ý tới sự giống nhau bề ngoài với hình 1. Ta quan tâm đến tính CSR bởi nó cho ta một ý tưởng chuẩn hóa, điều tưởng chừng không thể đạt được trong thực tế, và có thể trở thành tiện lợi cho xấp xỉ đầu tiên.
Hầu hết các phân tích bắt đầu với việc kiểm tra tính CSR, bởi nó có những ưu điểm sau: - Một mẫu thỏa mãn tính CSR không bác bỏ những ưu điểm của các phương pháp phân tích thống kê chính thức. - Các tiêu chuẩn được dùng như là công cụ để khám phá tập số liệu hơn là để bác bỏ tính CSR. - Tính CSR tác động như là một phân chia giả thiết để phân biệt mẫu điểm có quy tắc và mẫu điểm kết tập.3 Tiêu chuẩn Monte Carlo Ngay cả đối với mô hình ngẫu nhiên đơn giản của mẫu ảnh không gian cũng dẫn đến các phân phối lý thuyết khó, cho nên để kiểm định mô hình đối với các số liệu người ta sử dụng rộng rãi các tiêu chuẩn Monte Carlo (xem [6]). Tiêu chuẩn này được dùng để đánh giá tính CSR của một mẫu điểm không gian.
Nội dung của tiêu chuẩn như sau: Ta xét một thống kê U nào đó. + Giả sử u1 là giá trị quan sát của U từ mẫu điểm đã cho. + Giả sử ui ( i = 2, …, s ) là các giá trị tương ứng của U sinh ra bởi các mẫu ngẫu nhiên độc lập,thỏa mãn giả thiết H nào đó (giả thiết H trong luận văn này chính là tính CSR). + Giả sử u( j ) là giá trị lớn nhất thứ j trong số ui , i = 1,2,…, s.
Khi đó với giả thiết H ta có: 1 P(u1 u ( j ) ) , j = 1,2,…, s. s Nếu u1 được xếp vào vị trí lớn thứ k hoặc cao hơn thì ta bác bỏ giả thiết H. k Thực hiện như vậy ta nhận được tiêu chuẩn một phía với mức ý nghĩa. s 4 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Ta giả thiết các giá trị ui là khác nhau, do đó hạng (hay vị trí) của u1 trong dãy u i là rõ ràng.
Hope (xem [9])đã cho một số ví dụ để chỉ ra rằng sự tổn thất lực lượng nhận được từ tiêu chuẩn Monte Carlo là rất nhỏ, vì vậy giá trị s không nhất thiết phải lớn lắm. Với tiêu chuẩn một phía mức ý nghĩa thông thường là 5% thì s = 100 là đủ. Tổn thất lực lượng liên quan đến nghiên cứu của Mairiott về “ vùng giới hạn mờ “(xem [10])mà nó xuất hiện bởi giá trị của u1 có thể có ý nghĩa trong phương pháp kiểm tra cổ điển nhưng không có ý nghĩa trong phương pháp kiểm tra Monte Carlo và ngược lại. Giả sử hàm phân phối của U với giả thiết H là F(u).
Đối với tiêu chuẩn một phía 5% với s = 20k ta có s 1 P(bác bỏ H/ u1) 1 F (u1 r F (u1 )s 1r (1.1) r Ta có F (u1 ) P(U u1 ) , như ta đã biết nếu u1 có thứ hạng lớn nhất thứ k hoặc cao hơn thì giả thiết H bị bác bỏ. Như vậy với s – 1 giá trị ui (i = 2, … , s) nếu có r giá trị lớn hơn u1 thì sẽ có s – r – 1 giá trị nhỏ hơn hoặc bằng u1. Theo công thức xác suất Bernoulli ta nhận được công thức (1.1) Với phương pháp kiểm tra cổ điển khi s → ∞ , P(bác bỏ H/ u1) tiến tới 1 hoặc 0 tương ứng với F(u1) lớn hơn hoặc nhỏ hơn 0,95.4 Quá trình điểm không gian Một quá trình điểm không gian là một cơ cấu ngẫu nhiên mà nó sinh ra một tập hợp đếm được các biến cố xi trong mặt phẳng. Chúng ta sẽ làm việc với các quá trình dừng và đẳng hướng.
Tính dừng của quá trình có nghĩa là tất cả các tính chất của quá trình sẽ bất biến đối với phép tịnh tiến, còn tính đẳng hướng nghĩa là các tính chất của quá trình sẽ bất biến đối với phép quay. Các phương pháp thống kê đối với mẫu điểm không gian, thường là liên quan đến việc so sánh giữa các mô tả tóm tắt thực nghiệm của dữ liệu và mô tả tóm tắt lý thuyết tương ứng của một mô hình quá trình điểm. Điều này dẫn tới việc xây dựng các tiêu chuẩn của tính ngẫu nhiên không gian hoàn toàn liên quan đến việc so sánh giữa dạng phân phối lý thuyết của khoảng 5 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com cách nào đó và hàm phân phối tương ứng trong một mẫu quan sát của n biến cố. Vì vậy chúng ta sẽ xem xét các mô tả tóm tắt lý thuyết của quá trình điểm.
Ta tập trung vào các tính chất mà dẫn đến các phương pháp thống kê thuận tiện. Chúng ta có các ký hiệu sau: E[X] là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X. N(A) là số các biến cố trong miền phẳng A. A là diện tích của A.
dx là một miền nhỏ chứa điểm x. x y là khoảng cách Euclid giữa điểm x và y.1Quá trình đơn biến Trước hết, ta định nghĩa tính chất cấp một và tính chất cấp hai của quá trình điểm không gian. Tính chất cấp một được mô tả bởi hàm cường độ EN (dx) ( x) lim dx 0 dx Đối với quá trình dừng, λ(x) được coi là hằng số λ, tức là số các biến cố trên một đơn vị diện tích. Tính chất cấp hai mô tả bởi hàm cường độ cấp hai: EN (dx) N (dy ) 2 ( x, y ) lim dx 0 dx dy dy 0 2 ( x, y ) Hàm cường độ có điều kiện là: c ( x / y) ( y) Đối với quá trình dừng, λ2(x,y) ≡ λ2(x – y).
Trong quá trình dừng,đẳng hướng thì λ2(x – y) có thể viết là λ2(t) với t x y Một đặc trưng khác của tính chất cấp hai của một quá trình dừng, đẳng hướng là hàm K(t), được định nghĩa như sau: EN 0 (t ) 1 K (t ) (1.