CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Một số vấn đề về tư duy và tư duy toán học 1. Quan niệm Theo Phạm Minh Hạc (2002), có thể xem “Tư duy là quá trình tâm lý nhờ đó mà con người phản ánh được các đối tượng và các hiện tượng của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản của chúng, con người vạch ra được những mối liên hệ khác nhau trong mỗi đối tượng, hiện tượng và giữa chúng với nhau” [9].
Có thể thấy, với quan niệm này, “tư duy” chỉ có ở con người và tư duy chỉ xuất hiện khi con người phản ánh và nhận thức thế giới hiện thực. Đặc trưng và biểu hiện - Tư duy (xem như là nội dung) và ngôn ngữ (xem như là hình thức bên ngoài của tư duy) có liên hệ mật thiết (giữa nội dung và hình thức). Ngôn ngữ toán học có 3 ưu điểm là tính gọn gàng, chính xác và khái quát; gồm có 2 mặt ngữ nghĩa (nghĩa của ngôn ngữ) và cú pháp (hình thức của ngôn ngữ). - TD và nhiệm vụ nhận thức: Tư duy chỉ nảy sinh khi có vấn đề, có nhiệm vụ nhận thức.
- TD và HĐ: TD được tiến hành qua HĐ, với 6 giai đoạn là Tạo ra môi trường HS hoạt động nảy sinh tình huống có cách giải quyết tìm ra bản chất tri thức. - TD và kiến thức: Trên cơ sở kiến thức phù hợp (theo lý thuyết về vùng lân cận - phát triển gần nhất của Vưgôtxki [35]). Theo đó: Kiến thức (đã biết) là cơ sở để tư duy và ngược lại nhờ tư duy mà con người có thêm những kiến thức mới. - TD và những đặc điểm nhân cách: Nhu cầu, hứng thú, động cơ, tập trung cao độ sẽ tạo điều kiện cho quá trình TD đạt hiệu quả cao (chẳng hạn như Acsimet tìm ra quy luật vật lý.
Tư duy và lập luận toán học 1. Tư duy toán học Theo Nguyễn Bá Kim (2017), toán học có đối tượng là “những hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của thế giới khách quan” [17]. Do đó từ quan niệm của Phạm Minh Hạc về tư duy trong [9], chúng ta thấy: Tư duy toán học phản ánh “hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của thế giới hiện thực”. Theo Nguyễn Anh Tuấn (2012), tư duy toán học thể hiện qua hình thức là những khái niệm, phán đoán (trong đó có tiên đề, định lý) và suy luận [33].
Trong đó: + “Khái niệm là một hình thức tư duy của loài người, giúp người ta hiểu được những đặc trưng chung, chủ yếu của các sự vật và hiện tượng của hiện thực khách quan” (Ro-den-tan M., Từ điển Triết học, dẫn theo [33]). + Phán đoán là “một hình thức tư duy trong đó khẳng định một dấu hiệu nào đó thuộc hay không thuộc về một đối tượng”. Biểu hiện của phán đoán dưới dạng “một câu (hay mệnh đề) phản ánh đúng hay sai thực tế khách quan. Mỗi phán đoán có giá trị chân lí hoặc đúng, hoặc sai” [33].
+ Suy luận được hiểu là “Suy luận là hình thức của tư duy, để rút ra một phán đoán mới từ một hay nhiều phán đoán đã có. Các phán đoán đã có gọi là tiền đề, phán đoán mới được rút ra gọi là kết luận của suy luận” [33]. Khin xin, tư duy toán học có 5 đặc trưng: “- Suy luận theo sơ đồ logic chiếm ưu thế - Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất đến đích - Phân chia rành mạch các bước suy luận - Sử dụng chính xác các kí hiệu - Lập luận có căn cứ đầy đủ”. (dẫn theo [11]) Phân tích, nhận xét: 15 - Nhờ tư duy, con người rút ra khái niệm về đối tượng, sự vật; đưa ra những phán đoán về dấu hiệu, mối quan hệ giữa những sự vật, hiện tượng; sau đó suy luận để chứng minh hoặc bác bỏ phán đoán.
Trong quá trình tư duy toán học, các qui luật suy luận (hợp) lôgic được coi là công cụ, phương tiện để tư duy. - Phán đoán là một hình thức của tư duy toán học nên có mối liên quan chặt chẽ với NL TDLLTH trong giải bài tập toán. Ban đầu HS cần đến phán đoán để dự kiến kết quả và lựa chọn hướng giải bài toán, tiếp theo các em tức là lập luận để tiến hành giải tìm đến được kết quả hoặc hủy bỏ con đường không hợp lý, tiếp tục tìm hướng giải quyết khác. Như vậy, sản phẩm của tư duy toán học là kết quả của sự trừu tượng hoá thế giới hiện thực, chuyển về đối tượng “số và hình cùng với các mối quan hệ giữa chúng”.
Theo Nguyễn Bá Kim (2017), HĐ trí tuệ trong học Toán thể hiện qua những thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa,. Trong toán học, có thể kể đến những loại hình tư duy như sau: Tư duy lôgic, tư duy sáng tạo, tư duy hàm, tư duy phê phán, tư duy số học, tư duy đại số, tư duy hình học, tư duy thống kê. Một số loại hình tư duy trong toán học a) Tư duy lôgic Tư duy logic là loại hình tư duy dựa trên cách giải quyết vấn đề bằng cách áp dụng các quy tắc suy luận hợp lôgic để rút ra một kết luận [33]. Phân tích, nhận xét: Như vậy, quá trình tư duy lôgic đã thực hiện các thao tác tư duy với điều kiện đảm bảo đó là những suy luận hợp lôgic - trong toán học thường gọi là lập luận toán học (suy luận diễn dịch).
Chú ý rằng: Trong toán học, lập luận toán học chỉ được chấp nhận khi đảm bảo chỉ dùng những suy luận hợp lôgic và chỉ sử dụng những tiền đề (căn cứ) đúng đắn. 16 Khi đó người ta có một phép chứng minh. Tức là kết luận rút ra được chắc chắn đúng. Tuy nhiên, ở một số trường hợp (chẳng hạn như: khi tìm tòi hướng giải bài toán), người ta có thể dùng những suy luận (lập luận) ở dạng quy nạp (chứ không phải suy luận diễn dịch), tức là những suy luận mà kết quả có thể đúng hay sai (mặc dù các căn cứ dựa vào đều đúng đắn).
Chẳng hạn: Căn cứ vào 33 chia hết cho 3; 63 chia hết cho 3; 93 chia hết cho 3; HS rút ra 133, 163, 193 cũng chia hết cho 3. b) Tư duy thuật toán Phân tích, nhận xét: Như vậy, có thể hiểu tư duy thuật toán là kiểu tư duy để nhận thức và GQVĐ bằng cách phân chia quá trình thành các bước và tiến hành theo một trình tự nhất định. c) Tư duy sáng tạo Theo Đoàn Quang Mạnh, Nguyễn Minh Giang (2022), tư duy sáng tạo là “là loại tư duy có khuynh hướng phát hiện và giải thích bản chất sự vật theo lối mới, hoặc tạo ra ý tưởng mới, cách giải quyết mới không theo tiền lệ đã có” [21]. Tham khảo những công trình đã có về tư duy sáng tạo, có thể thấy những thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo như sau: 1.
Tính mềm dẻo (Flesibility): Chuyển từ HĐ trí tuệ này sang khác. Tính nhuần nhuyễn (Fluency): Tìm được nhiều giải pháp, xét nhiều phương diện 3. Tính độc đáo (Originality): Tìm kiếm và quyết định phương thức mới. Tính hoàn thiện (Elaboration): Lập kế hoạch , phối hợp các HĐ.
Tính nhạy cảm vấn đề (Problem’s Censibility): Nhanh chóng phát hiện vấn đề, liên tưởng tốt. d) Tư duy hàm 17 Có thể hiểu tư duy hàm là “các HĐ trí tuệ liên quan đến sự tương ứng giữa các phần tử của một, hai hay nhiều tập hợp, phản ánh mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử của các tập hợp đó, trong sự vận động của chúng” [31]. Tư duy hàm thể hiện qua những HĐ: Phát hiện hoặc thiết lập những sự tương ứng; Nghiên cứu những sự tương ứng; Ứng dụng kết quả từ nghiên cứu sự tương ứng [17]. Phân tích, nhận xét: Như vậy, tư duy hàm dựa trên việc giải quyết vấn đề bằng cách phát hiện, nghiên cứu, lợi dụng mối quan hệ tương ứng (tương quan hàm) giữa một vấn đề, hiện tượng này và một vấn đề hiện tượng khác.
Trong giải toán, HS có thể vận dụng tư duy hàm để tìm cách giải bài toán bằng “phương pháp hàm”. e) Tư duy phản biện và phê phán Theo Phan Thị Luyến (2008), có thể hiểu “tư duy phản biện là một quá trình tích cực chủ động mà người suy nghĩ hiệu quả về suy nghĩ của chính mình, liên tục đánh giá suy nghĩ và tự sửa chữa. Tư duy phê phán là một quá trình thụ động mà trong đó người suy nghĩ hành động theo mong muốn, suy nghĩ định kiến hoặc cảm xúc mà không có bất kỳ tiêu chí đánh giá nào” [20]. Trong toán học, cần đến tư duy phản biện và phê phán để phán đoán, chứng minh hoặc bác bỏ.
Đặc biệt là khi giải toán, ở bước 4 của G.Polya, HS dùng tư duy phê phán để đánh giá toàn bộ quá trình tư duy và lập luận để GQVĐ [26]. g) Tư duy số học và tư duy đại số trong tư duy toán học Theo nghĩa từ điển, danh từ “Đại số - đại số học” được hiểu là “Ngành toán học khái quát số học, trong đó dùng các chữ thay các số”; “Ngành toán học nghiên cứu các phép toán dưới dạng trừu tượng” ([25]). Trong cuốn Từ điển Toán học thông dụng, “Đại số bắt nguồn từ phép tính thực hành trên các số. Đại số học (đại số) được hình thành trên cơ sở thay 18 thế các số bằng các chữ và chuyển từ phép tính các công thức sang phép giải các phương trình, và dần dần tách ra khỏi cội nguồn của nó để trở thành một ngành toán học độc lập” [19].
Như vậy, giữa Số học và Đại số có mối liên quan chặt chẽ, gắn bó; trong đó Số học được xem là cội nguồn để phát triển Đại số và Toán học. Từ đó, tư duy số học giữ vị trí nền tảng, tạo cơ sở cho việc học Đại số, học môn Toán và phát triển tư duy toán học, NL toán học - nói riêng là NL TDLLTH. Tư duy số học là loại tư duy dựa trên những số và phép tính cụ thể; còn tư duy đại số dựa trên những chữ và phép toán với chữ (đại diện cho các số). h) Tư duy thống kê Theo Nguyễn Anh Tuấn - Trần Đức Chiển, tư duy thống kê là loại hình tư duy dùng để nhận thức, phản ánh và vận dụng các quy luật thống kê (biểu thị mối liên hệ giữa tất yếu và ngẫu nhiên, giữa chất và lượng của đám đông các hiện tượng ngẫu nhiên) [32].