chương 1, luận văn này nhằm nghiên cứu ứng xử động học của dầm dự ứng lực nằm trên nền đàn hồi dưới tác dụng của tải trọng di động. Lý thuyết dầm sử dụng trong luận văn là lý thuyết dầm Bernoulli, tức là thỏa mãn các giả thiết Kirchhoff. Như vậy, độ võng và góc quay của dầm là các hàm phụ thuộc lẫn nhau. Dự ứng lực trong dầm được tạo ta bởi lực dọc trục, trong quá trình chế tạo dầm nhằm làm tăng khả năng sử dụng hữu hiệu vật liệu.
Trong lĩnh vực cơ học kết cấu, có nhiều mô hình khác nhau có thể sử dụng để mô phỏng ảnh hưởng của nền đất tới kết cấu dầm. Chi tiết của các mô hình cùng với các ưu, nhược điểm được Dutta và Roy trình bày kỹ lưỡng trong [22]. Mô hình toán học cho hệ dầm-nền trình bày trong nghiên cứu này dựa trên giả thiết liên kết giữa dầm và nền là lý tưởng và như vậy nền không bị tách ta khỏi dầm ngay cả khi nó bị kéo. Luận văn này sử dụng mô hình nền Pasternak, một mô hình có độ chính xác cao hơn mô hình truyền thống Winkler và được sử dụng trong các tài liệu [8, 15, 16] trong nghiên cứu ứng xử động học của dầm trên nền đàn hồi chịu tải trọng di động.
Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng, công thức phần tử hữu hạn trong [15, 16] được xây dựng trên cơ sở phương pháp năng lượng, khác với phương pháp Galerkin trình bày dưới đây.1 Đặt bài toán Xét bài toán dầm trên nền đàn hồi chịu tải trọng di động điều hòa f (t ) f 0 cos t như minh họa trên Hình 2.1 cho trường hợp dầm tựa giản đơn. Ký hiệu L, A, EI , lần lượt là tổng chiều dài, diện tích thiết diện ngang, độ cứng chống uốn và mật độ khối lượng.1: Mô hình dầm dự ứng lực nằm trên nền đàn hồi Pasternak LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 12 Vận tốc của lực f (t ) được giả định thay đổi theo thời gian. Hàm s(t ) mô tả vị trí hiện tại của lực f (t ) tính từ đầu trái dầm, được tính bởi công thức 1 1 v v s (t ) vL at 2 vL R L t 2 (2.1) 2 2 T trong đó v L , vR tương ứng là vận tốc của lực f (t ) tại đầu trái và đầu phải của dầm; a là gia tốc của lực di động, được giả thiết là không đổi; T là tổng thời gian cần thiết để lực f (t ) đi hết chiều dài dầm; t là thời gian hiện tại, tính từ khi tải bắt đầu vào dầm. Nền đàn hồi được mô hình bởi nền Pasternak, đặc trưng bởi hai tham số k1 và k 2 , trong đó k1 đặc trưng cho khả năng chịu nén được mô tả bởi các lò xo Winkler còn k 2 đặc trưng cho sự trượt [22].
Việc đưa vào tham số k 2 nhằm tính tới ảnh hưởng tương tác giữa các lò xo Winkler mà mô hình nền Winkler thiếu vắng. Dầm dự ứng lực được đặc trưng bởi lực dọc trục N , đặt chính tâm tại hai đầu dầm. Lực N thường được đưa vào trong quá trình chế tạo dầm, vì thế là giá trị của lực dọc trục N không thay đổi trong suốt quá trình làm việc của dầm. Với sự có mặt của lực dọc trục các đặc trưng động học của dầm, kể cả tần số dao động riêng, biên độ dao động thay đổi.
Vì vậy, các hệ số động học cho độ võng, mô-men của dầm khi chịu tải trọng di động cũng thay đổi theo. Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số tải trọng, lực dọc trục và độ cứng nền tới các đặc trưng động học của dầm.2 Mô hình dầm Bernoulli Dầm xem xét trong luận án được giả định tuân theo lý thuyết dầm Bernoulli, tức là thỏa mãn các giả thiết cơ bản Kirchhoff [23]: Thiết diện ngang của dầm không biến dạng Chuyển dịch ngang trên thiết diện ngang đồng nhất, và để đơn giản các chuyển dịch này được giới hạn trong mặt phẳng (oxz) Một thiết diện trước biến dạng thẳng và vuông góc với đường trung hoà thì sau biến dạng vẫn thẳng và vuông góc với đường trung hoà của dầm. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.2: Giả thiết Kirchhoff và lý thuyết dầm Bernoulli Từ các giả thiết Kirchhoff và với lý thuyết chuyển vị nhỏ từ Hình 2.2 ta có thể xác định các thành phần chuyển vị tại một điểm nằm cách trục trung hòa một khoảng z như sau: w u ( x , z ) z z ; v 0 ; w w(x) (2.2) x trong đó là góc quay của thiết diện ngang của dầm. Độ cong của dầm được định nghĩa là sự thay đổi của góc quay theo chiều dài dầm 2 w (2.3) x x 2 Từ phương trình (2.2), biến dạng dọc trục của dầm Bernoulli được tính bởi u 2w x z 2 z (2.4) x x 2w Trong đó là độ cong của dầm.
Với giả thiết ứng xử đàn hồi tuyến tính, x 2 năng lượng biến dạng sinh ra do uốn dầm Bernoulli được tính bởi L L 1 2 1 2 2 1 2w UB dx (2.5) 2 V 2 0 A 2 0 x 2 E x dx dx Ez dA EI Trong đó E là mô-đun đàn hồi vật liệu dầm; I là mô-men quán tính bậc hai của thiết diện ngang dầm.3 Mô hình nền Pasternak Như đã trình bày trên, mô hình nền Pasternak được đặc trưng bởi hai tham số là k1 và k 2. Tham số k1 là độ cứng của mô hình nền Winkler, trong đó nền được lý tưởng hóa bằng các lò xo tuyến tính, độc lập với nhau.3 minh LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 14 họa mô hình vật lý của nền Winkler trong đó biến dạng của nền dưới tác động của tải ngoài chỉ giới hạn trong miền đặt lực. Mối liên hệ giữa áp lực p và chuyển vị nền w tại điểm bất kỳ cho bởi: p k1w (2.6) trong đó, k1 là tham số đặc trưng cho độ cứng của nền, thường được biết đến với tên "độ cứng của lò xo Winkler".3: Mô hình nền Winkler Từ mối liên hệ (2.6), năng lượng biến dạng tích lũy khi nền Winkler biến dạng do tác động trên miền có chiều dài L cho bởi: L 1 U1 k1w2 dx (2.7) 20 Tuy nhiên, trên thực tế ngoài đặc tính chịu nén các lớp của nền đất còn trượt tương đối với nhau và mô hình nền Winkler không xét tới ảnh hưởng trượt này. Nói cách khác, hạn chế của mô hình nền Winkler là không tính tới ảnh hưởng tương tác giữa các lò xo Winkler.
Để khắc phục hạn chế này, nhiều mô hình nền khác nhau đã được đưa ra [22], trong số đó mô hình nền Pasternak hiện được sử dụng rộng rãi hơn cả. Trong mô hình nền Pasternak, lớp trượt với độ cứng k 2 được đưa vào để đặc trưng cho sự tương tác của các lò xo Winkler. Lực w trượt k 2 tạo ra năng lượng đàn hồi trong quá trình nền biến dạng cho bởi [24] x L 2 1 w U 2 k2 dx (2.4 Năng lượng biến dạng màng Công của lực dọc trục N được tích lũy dưới dạng năng lượng biến dạng màng U N [24]. Công của lực dọc trục N được tính trên cơ sở xác định biến dạng màng của dầm khi có lực dọc trục tác dụng lên dầm.
LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.4: Mối liên hệ hình học cho phân tố vi phân dx Xét phân tố vi phân có độ dài dx như trên Hình 2. Độ dài mới của phân tố sau biến dạng có thể xấp xỉ bởi 1 w 2 2 ds dx1 (2.9) x Như vậy, biến dạng màng được tính bởi 2 ds dx 1 w m (2.10) dx 2 x Như đã nói ở trên, trong quá trình biến dạng tạo ra độ võng nhỏ w(x) lực dọc trục N không đổi. Mỗi phân tố dx bị co lại một khoảng m dx , và như vậy lực dọc trục sinh ra một công có độ lớn N m dx .10), năng lượng biến dạng màng tích lũy trong dầm do lực dọc trục N gây ra là L 2 1 w U N N dx (2.11) 2 0 x trong đó N nhận giá trị dương khi nó là lực kéo và nhận giá trị âm khi nén.5 Động năng Động năng T của dầm được tính theo công thức: 2 2 2 1 u v w T dV (1.12) 2 V t t t Trong đó V là thể tích của dầm. Từ phương trình (2.14) 2 0 t t LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 16 Trong phương trình (2.14) số hạng thứ nhất mô tả động năng quay của thiết diện ngang của dầm, số hạng thứ hai là động năng cho chuyển vị theo phương z.
Trong lý thuyết dầm Bernoulli ảnh hưởng của quán tính quay thường được bỏ qua [17,20] tức là bỏ qua số hạng thứ nhất trong vế phải của phương trình (2. Vì vậy, biểu thức động năng cho dầm Bernoulli đưa về dạng giản đơn: L 2 1 w T A dx (2.6 Nguyên lý Hamilton và phương trình chuyển động Nguyên lý Hamilton cho một cơ hệ cơ học được viết dưới dạng t2 Ldt 0 (2.16) t1 với các ràng buộc: w(t1) = w(t2) = 0 (2.17) Trong phương trình (2.16), L là hàm Lagrange của hệ, được định nghĩa bởi L = T - = T – (U+V) (2.18) Trong đó = U+V, với U là năng lượng biến dạng đàn hồi, V là thế của lực ngoài. Với hệ dầm và nền mô tả trong mục 2.2, năng lượng biến dạng đàn hồi U có dạng U = U1+U 2+ UB+UN (2.19) với UB, U1, U2, U N tương ứng cho bởi các phương trình (2. Thế của lực ngoài f(t) được tính bởi V = -f(t)w(x,t)(x – s(t)) (2.20) Trong đó: là hàm Delta Dirac, x là hoành độ, tính từ nút trái của dầm.
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần ta tính được: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.