chương 1, chúng tôi bắt đầu từ việc giới thiệu khái niệm lập luận và khái niệm chứng minh trong Toán, các dạng lập luận thường gặp, tiếp theo là mối quan hệ giữa quá trình lập luận và chứng minh trong Toán. Từ đó chúng tôi đặt ra một số vấn đề khởi đầu cho nghiên cứu. Trong chương 2, chúng tôi sẽ trình bày mô hình Toulmin cơ bản, một công cụ phương pháp luận quan trọng cho phép nghiên cứu mối quan hệ cấu trúc giữa lập luận và chứng minh. Sau đó, dựa vào mô hình Toulmin, chúng tôi sẽ phân tích mối liên hệ về cấu trúc giữa lập luận và chứng minh trong toán học và cấu trúc của các dạng ngoại suy mà học sinh có thể sử dụng trong chứng minh toán.
Chương này cung cấp khung lý thuyết cho phép chúng tôi thiết kế thực nghiệm và phân tích dữ liệu thực nghiệm trong các chương sau. Cuối cùng, chúng tôi đặt ra một số câu hỏi nghiên cứu cho đề tài. Trong chương 3, chúng tôi trình bày ngữ cảnh và mục tiêu của thực nghiệm. Sau đó, chúng tôi trình bày nội dung của các phiếu học tập.
Cuối cùng, chúng tôi tiến hành phân tích tiên nghiệm các bài toán trong các phiếu học tập. Các phân tích này cung cấp cái nhìn tổng quan về các bài toán được đưa ra cho học sinh, cũng như làm cơ sở để đối chiếu và phân tích sau thực nghiệm ở chương 4. 6 Trong chương 4, trước tiên chúng tôi mô tả lại các dữ liệu thực nghiệm thu thập được của một số cặp học sinh điển hình. Sau đó, chúng tôi tiến hành phân tích các kết quả chủ yếu từ dữ liệu thu thập được.
Dựa trên các lý thuyết đã trình bày ở Chương 2, chúng tôi sẽ phân tích theo các hướng: mối liên hệ cấu trúc giữa lập luận và chứng minh, các dạng ngoại suy học sinh đã sử dụng trong lập luận. Từ đó phát hiện các khó khăn của học sinh trong việc chuyển đổi cấu trúc lập luận sang chứng minh và xem xét dạng ngoại suy nào có thể hỗ trợ cho học sinh trong việc chuyển đổi cấu trúc của lập luận sang chứng minh Cuối cùng, trong chương 6, chúng tôi đưa ra kết luận cho nghiên cứu này bằng cách phân tích các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi nghiên cứu đặt ra. Bên cạnh việc trả lời các câu hỏi nghiên cứu, chúng tôi cũng bàn luận các đóng góp của nghiên cứu này đối với các vấn đề lớn và có tính khái quát hơn như việc dạy và học chứng minh trong Toán học. Kết quả nghiên cứu cũng góp phần khẳng định vai trò chủ đạo của giáo viên trong việc thúc đẩy quá trình lập luận và chứng minh Toán của học sinh 7 Chƣơng 1.1 Khái niệm chứng minh và lập luận Trong những ngày đầu tiên, toán học gắn liền với những câu hỏi thực tế về vấn đề đo đạc đất đai của người Ai Cập và người Hy Lạp.
Vì vậy bản chất của toán học thời kỳ này là xem xét các vấn đề về hình học và lượng giác. Hình học cổ đại và các tiên đề của Euclid tập trung thảo luận cho các vấn đề này. Có thể nói, thời kỳ này toán học mang tính hiện tượng, nếu có một người vẽ được một hình vẽ hợp lý và đưa ra các mô tả cho nó thì đã được xem là một biện minh đối với một vấn đề toán học. Đôi khi người ta lập luận bằng cách tương tự hoặc bằng cách gọi các vị thần.
Những suy nghĩ về việc chứng minh các phát biểu toán học hầu như không tồn tại. Không có một khái niệm nào về chứng minh cũng như các cấu trúc lôgic và quy tắc suy luận không hề được đưa ra. Họ đã nghĩ rằng việc quan sát thực tế hay thực nghiệm là đủ để biện minh cho các phát biểu toán học. Nhưng sau này, người Hy Lạp đã tìm được phương pháp để xác định tính đúng hoặc sai của một phát biểu trong toán học.
Họ thấy rằng, toán học không giống như những môn khoa học khác, nó thường đề cập đến các thực thể vô hạn hoặc số như tập các số tự nhiện hoặc sự trừu tượng hoá như hình tròn, hình tam giác. Vì vậy, họ là những người đầu tiên chuyển đổi các phát biểu toán học thành những lập luận lôgic để phân biệt sự khác nhau giữa những cái có thể và những cái không thể. Dựa vào phương pháp suy diễn, một phát biểu được họ chứng minh bằng các tiên đề, hoặc các định lý hoặc một nguyên tắc lôgic (Aristotle, 384 – 322, trước công nguyên). Tiên đề là các khái niệm, các giả thiết được thừa nhận đúng nhưng không cần sự biện minh (Elements, Euclid).
Định lý bao gồm các phát biểu đã được chứng minh từ các tiên đề. Từ đó, tất cả những gì liên quan đến toán học đều được bắt đầu từ các tiên đề và một quy trình chứng minh chặt chẽ (Wolfram, 2002, [41]).1 Khái niệm chứng minh Chứng minh toán học là phương tiện thuyết phục ai đó hoặc chính bản thân mình về một điều gì đó là đúng bằng cách sử dụng một dãy các lập luận phù hợp và các quy tắc suy luận đúng. Chẳng hạn, theo Almeida (1994, [4]), chứng minh là một dãy các mệnh đề, được kết nối với nhau bởi các phép suy luận, mà kết thúc là một 8 mệnh đề kết luận và khởi đầu là các dữ liệu hoặc các sự kiện được thừa nhận hoặc các nguyên lý: “A proof is a directed tree of statements, connected by implications, whose end point is the conclusion and whose starting points are either in the data or are generally agreed facts or principles” (Almeida, 1994, [4], p.2 Khái niệm lập luận Trong toán học, lập luận liên kết với chứng minh một cách chặt chẽ. Mặc dù lập luận là hoạt động thường xuyên xảy ra trong lớp nhưng không có một khái niệm chung nào về lập luận.
Các nghiên cứu hiện nay cũng không cung cấp cái nhìn sâu sắc về vấn đề này. Tuy nhiên, hầu hết các quan niệm về lập luận đều thống nhất cho rằng lập luận trong toán học là quá trình đưa ra những bằng chứng nhằm dẫn đến một kết luận nào đấy. Ta cũng có thể xem, quá trình lập luận (argumentation) như một hoạt động diễn ngôn dựa trên các lí lẽ (arguments).2 Các dạng lập luận Có 3 dạng lập luận thường được đề cập trong nghiên cứu giáo dục toán học: suy diễn, quy nạp và ngoại suy.1 Suy diễn Suy diễn là quá trình lập luận cho phép xây dựng một kết luận từ một số dữ liệu và một quy tắc suy luận đã biết (Petemonte, 2007, [30]). Lập luận suy diễn có các đặc điểm sau : Suy diễn bắt đầu với một trường hợp tổng quát để đưa ra kết luận cụ thể.
Suy diễn không dẫn tới một tri thức mới (chỉ dẫn tới kinh nghiệm để tìm ra một kiến thức mới). Thiết lập một kết luận có tính chắc chắn.2 Quy nạp Quy nạp là quá trình lập luận cho phép xây dựng một kết luận bằng việc khái quát hoá một số trường hợp cụ thể (Petemonte, 2007, [30]). 9 Lập luận quy nạp có các đặc điểm sau : Lập luận quy nạp bắt đầu từ các trường hợp cụ thể đi đến một kết luận tổng quát. Lập luận quy nạp sử dụng những cái đã biết để kết luận những cái chưa biết (phát hiện quy luật chung).
Lập luận quy nạp thường đưa ra kết luận không chắc chắn và cần được xác minh. Ngoại suy Ngoại suy là quá trình lập luận cho phép xây dựng một kết luận từ một sự kiện quan sát được (Petemonte, 2007, [30]). Ngoại suy thường có các đặc điểm sau: Giải thích giả thuyết quan sát được. Đưa ra các ý tưởng mới và giúp mở rộng tri thức.
Kết luận của một ngoại suy có vẻ hợp lý (plausible) vì kết luận của nó không thể biết được một cách trực tiếp. Như vậy, trong khi lập luận suy diễn tìm kiếm các kết luận từ những kết quả đúng cho trước, lập luận quy nạp tìm kiếm kết quả tổng quát từ những kết quả đúng của các trường hợp đặc biệt thì ngoại suy đi tìm lời giải thích tốt nhất cho giả thuyết quan sát được trước đó (Peirce, 1960, [36]) và việc giải thích giả thuyết quan sát được trong lập luận ngoại suy có thể dùng đến cả lập luận suy diễn và lập luận quy nạp.3 Ngoại suy và chứng minh trong toán học 1.1 Các dạng ngoại suy Trong đời sống hằng ngày, ngoại suy thường xuất hiện một cách tự nhiện trong việc giải thích các sự việc hoặc các hiện tượng của con người. Trong Toán, ngoại suy lại thường xuất hiện trong quá trình dạy học các khái niệm mới thông qua việc quan sát các tình huống để đưa ra các lời giải thích hoặc quá trình tìm 10 kiếm định lý, công thức mới, tìm kiếm lời giải cho một bài toán. mà đặc biệt là trong quá trình chứng minh.
Ngoại suy lần đầu tiên được giới thiệu bởi CS. Peirce (1839 – 1914), một nhà toán học, triết học, lôgic học người Mỹ nhằm phân biệt với lập luận suy diễn và lập luận quy nạp. Trong những nghiên cứu đầu tiên của mình, Peirce nhấn mạnh vào các lôgic hình thức của ngoại suy, ông gọi ngoại suy là ―hypothesis‖ (Peirce, 1867, [34]) và mô tả bằng phép tam đoạn luận : Với M bất kỳ có đặc điểm P , P’, P‖ S có P, P’, P‖ ∴ S có lẽ là M. Năm 1878, Peirce chú ý đến tầm quan trọng của việc giải thích các vấn đề ngẫu nhiên liên quan đến ngoại suy và ―hypothesis‖ trở thành phương tiện tìm quy tắc chung để giải thích một quan sát ngẫu nhiên.
Ông ấy đưa ra ví dụ sau : “Giả sử tôi vào một cái phòng và ở đó tôi tìm thấy một vài cái túi xách có chứa một số loại đậu. Trên bàn có một ít hạt đậu trắng. Sau một hồi tìm kiếm tôi chỉ thấy có một túi xách chứa đậu trắng. Tôi dự đoán rằng, số đậu trắng này rơi ra từ chiếc túi đó”.
Suy luận này được gọi là tạo ra một giả thuyết. Đó là suy luận mà từ một ―quy tắc‖ và một ―kết quả‖ dẫn tới một ―trường hợp‖ (Peirce, 1960, [36]). Ở đây ta hiểu một trường hợp là một quan sát cụ thể mà trong đó một điều kiện được thỏa mãn. Chẳng hạn, ―Hàm số y x có đạo hàm tại x 1 ‖ là một trường hợp.
Một quy tắc thường là một mệnh đề có tính khái quát phát biểu rằng nếu một điều kiện xảy ra thì một điều kiện khác cũng sẽ xảy ra. Chẳng hạn, mệnh đề ―Nếu một hàm số có đạo hàm tại một điểm thì liên tục tại điểm đó‖ là một quy tắc.