Nghiên Cứu Về Các Mêtric Trên Siêu Không Gian

Luận văn thạc sĩ toán học phân tích toán học các mêtric trên siêu không gian, đánh giá thực trạng, chỉ ra hạn chế, đề xuất giải pháp khả thi cho thực tiễn.

• Tác giả: Lê Công Mẫn
• Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Hà Thanh
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
• Đề tài: Nghiên Cứu Về Các Mêtric Trên Siêu Không Gian
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ toán học
• Năm xuất bản: 2009
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI CÁM ƠN
• MỞ ĐẦU
• 0.1. Lý do chọn đề tài
• 0.2. Mục đích nghiên cứu
• 0.3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu
• 0.4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn
• 0.5. Cấu trúc luận văn
• 1. CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Độ đo và tích phân
• 1.1.1. Đại số, o - Đại số
• 1.1.2. Ví dụ
• 1.1.3. Hàm số đo được
• 1.1.4. Khái niệm hầu khắp nơi
• 1.1.5. Tích phân Lebesgue
• 1.1.5.1. Tích phân của hàm đơn giản đo được
• 1.1.5.2. Tích phân của hàm đo được không âm
• 1.1.5.3. Tích phân của hàm đo được bất kỳ
• 1.1.5.4. Các tính chất cơ bản của tích phân
• 1.1.6. Không gian métric
• 1.1.6.1. Không gian métric
• 1.1.6.2. Khoảng cách
• 1.1.7. Không gian tôpô
• 2. CHƯƠNG 2: NGHIÊN CỨU CÁC KHÁI NIỆM VỀ ÁNH XẠ WHITNEY VÀ CÁC HÀM PHÂN KỲ
• 3. CHƯƠNG 3: GIỚI THIỆU MỘT SỐ HÀM KHOẢNG CÁCH TRÊN CÁC SIÊU KHÔNG GIAN
• 3.1. Phần 1: Giới thiệu các hàm khoảng cách H∞, Hy, HL∞, HL, Wimax, W và so sánh các hàm này với nhau
• 3.2. Phần 2: Giới thiệu thêm các hàm khoảng cách tích phân và nghiên cứu các tính chất của các métric tích phân này
• PHẦN KẾT LUẬN

Tóm tắt

I. Tổng Quan Nghiên Cứu Về Metric Trên Siêu Không Gian

Luận văn này trình bày các vấn đề liên quan đến siêu không gian (hyperspace) và các vấn đề trên siêu không gian được nhiều nhà toán học quan tâm, như: M. Rhee, Nadler, Felix Hausdorff, LeoPold Vietoris. Vào những năm đầu của thế kỷ 20, lý thuyết siêu không gian được nghiên cứu bởi hai nhà toán học Felix Hausdorff và LeoPold Vietoris. Sau đó, J. Kelly tiếp tục phát triển một số tính chất của siêu không gian, đặc biệt là siêu không gian của một continuum. Trong khoảng thời gian từ những năm 1920 đến những năm 1930, nhiều cấu trúc cơ bản của các siêu không gian đã được xác định. Đặc biệt, năm 1931 Borsuk-Mazurkiewicz đã chứng minh được 2* và C(X) liên thông đường. Ngoài ra, trên siêu không gian còn có nhiều tính chất khác được rất nhiều nhà toán học quan tâm. Wojdyslawski là người đầu tiên nghiên cứu về tính co của các siêu không gian 2Ý và C(X).

1.1. Lịch Sử Phát Triển Nghiên Cứu Siêu Không Gian

Nghiên cứu về siêu không gian bắt đầu từ những năm đầu thế kỷ 20, với sự đóng góp của Hausdorff và Vietoris. Sau đó, Kelly tiếp tục mở rộng lý thuyết này, đặc biệt tập trung vào tính chất của siêu không gian continuum. Các công trình nghiên cứu trong giai đoạn này đã đặt nền móng cho việc xác định cấu trúc cơ bản của các siêu không gian.

1.2. Ứng Dụng Tiềm Năng Của Siêu Không Gian Trong Toán Học

Lý thuyết siêu không gian trở thành một phương tiện quan trọng để tìm kiếm thông tin về tính compact và tính liên thông của một không gian tôpô X. Điều này được thực hiện bằng cách nghiên cứu các tính chất của siêu không gian 2* ={F CX:F đóng, khác rỗng} và C(VY)= {F e2* :Ƒ liên thông}.

II. Vì Sao Cần Nghiên Cứu Metric Trên Siêu Không Gian

Đề tài về siêu không gian là một đề tài được nhiều nhà toán học quan tâm. Một trong những vấn đề được quan tâm trên siêu không gian là các hàm khoảng cách trên siêu không gian và sự ứng dụng của các hàm khoảng cách này. Chẳng hạn, ta có thể dùng các hàm khoảng cách trên siêu không gian để đo quá trình phát triển của một robot. Bằng phương pháp gắn cho khối lập thể ban đầu trong R một hệ tọa độ và dùng các hàm khoảng cách trên **siêu không gian** của các tập con đóng trong Iầđể biến khối lập thể ban đầu trong IR thành hình dạng mong muốn (khối lập thể khác trong R). Quá trình này gọi là quá trình phát triển của robot.

2.1. Hạn Chế Của Metric Hausdorff Trong Ứng Dụng Thực Tế

Ví dụ về robot điêu khắc cho thấy rằng metric Hausdorff không phải lúc nào cũng là hàm khoảng cách tốt để đo quá trình phát triển. Khoảng cách Hausdorff giữa phần điêu khắc chưa xong và thành phẩm cần đạt được có thể không đổi, mặc dù trên thực tế hàm khoảng cách này có tiến bộ nhất định. Điều này gợi ý cần xác định các hàm khoảng cách thích hợp hơn.

2.2. Xác Định Hàm Khoảng Cách Phù Hợp Trên Siêu Không Gian

Nghiên cứu này tập trung vào việc xác định các hàm khoảng cách thích hợp hơn để sử dụng cho các mục đích cụ thể, như đo tiến trình phát triển của robot. Việc này đòi hỏi phải nghiên cứu và phát triển các metric mới trên siêu không gian.

III. Cách Xác Định Các Hàm Khoảng Cách Trên Siêu Không Gian

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu một số vấn đề trên siêu không gian. Đề tài nghiên cứu là “các metric trên các siêu không gian”. Mục đích nghiên cứu là nghiên cứu các metric trên các siêu không gian. Đối tượng và nội dung nghiên cứu là các metric và các hàm khoảng cách trên các siêu không gian. Ý nghĩa khoa học thực tiễn là dùng các hàm khoảng cách trên các siêu không gian để đo tiến trình phát triển của robot. Cấu trúc luận văn gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết luận.

3.1. Nghiên Cứu Về Ánh Xạ Whitney và Hàm Phân Kỳ

Luận văn tập trung vào việc nghiên cứu các khái niệm về ánh xạ Whitney, các hàm phân kỳ và các tính chất của chúng. Đây là những công cụ quan trọng để xây dựng và phân tích các metric trên siêu không gian.

3.2. Giới Thiệu Các Hàm Khoảng Cách Trên Siêu Không Gian

Nội dung chương này gồm hai phần. Phần 1, giới thiệu các hàm khoảng cách H„„„, Hy, HL„„v, HL., Wimax, W, và so sánh các hàm này với nhau. Phần 2, giới thiệu thêm các hàm khoảng cách tích phân và nghiên cứu các tính chất của các mêtric tích phân này.

IV. So Sánh Các Hàm Khoảng Cách Trên Siêu Không Gian

Trong chương này, chúng ta sẽ so sánh các hàm khoảng cách H„„„, Hy, HL„„v, HL., Wimax, W trên siêu không gian. Việc so sánh này giúp xác định ưu và nhược điểm của từng hàm, từ đó lựa chọn hàm phù hợp cho từng ứng dụng cụ thể. Đồng thời, chương này cũng giới thiệu thêm các hàm khoảng cách tích phân và nghiên cứu các tính chất của các mêtric tích phân này.

4.1. Ưu Điểm Của Hàm Khoảng Cách H và Hy

Hàm H„„„ và Hy có một số ưu điểm nhất định trong việc đo khoảng cách trên siêu không gian. Tuy nhiên, cần xem xét kỹ lưỡng các tính chất của chúng để đảm bảo phù hợp với yêu cầu của bài toán.

4.2. Nghiên Cứu Tính Chất Của Mêtric Tích Phân

Các mêtric tích phân có những đặc điểm riêng biệt so với các hàm khoảng cách khác. Việc nghiên cứu tính chất của chúng giúp mở rộng khả năng ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau.

V. Ứng Dụng Thực Tế Của Metric Trên Siêu Không Gian

Một ứng dụng cụ thể của các hàm khoảng cách trên siêu không gian là đo tiến trình phát triển của robot, đặc biệt là trong lĩnh vực điêu khắc. Bằng cách sử dụng các hàm khoảng cách phù hợp, ta có thể đánh giá và tối ưu hóa quá trình làm việc của robot, từ đó tạo ra những sản phẩm chất lượng cao hơn.

5.1. Đo Tiến Trình Phát Triển Của Robot Điêu Khắc

Việc sử dụng hàm khoảng cách trên siêu không gian giúp theo dõi và đánh giá quá trình phát triển của robot điêu khắc một cách chính xác. Điều này cho phép các nhà nghiên cứu và kỹ sư điều chỉnh các thông số hoạt động của robot để đạt hiệu quả tốt nhất.

5.2. Tối Ưu Hóa Quá Trình Làm Việc Của Robot

Thông qua việc phân tích dữ liệu thu được từ các hàm khoảng cách trên siêu không gian, ta có thể xác định những điểm yếu trong quá trình làm việc của robot và đưa ra các giải pháp tối ưu hóa. Điều này giúp nâng cao năng suất và chất lượng sản phẩm.

VI. Kết Luận Về Nghiên Cứu Metric Trên Siêu Không Gian

Luận văn đã nghiên cứu một số vấn đề về các metric trên các siêu không gian. Kết quả nghiên cứu góp phần vào việc hiểu sâu hơn về cấu trúc và tính chất của siêu không gian. Đồng thời, các ứng dụng thực tiễn, như trong lĩnh vực robot, cũng được đề cập đến, mở ra những hướng nghiên cứu mới trong tương lai.

6.1. Tóm Tắt Kết Quả Nghiên Cứu

Luận văn đã trình bày các kiến thức cơ bản về siêu không gian, các hàm khoảng cách trên siêu không gian, và ứng dụng của chúng trong lĩnh vực robot. Các kết quả nghiên cứu này là tiền đề cho những nghiên cứu sâu hơn trong tương lai.

6.2. Hướng Nghiên Cứu Tiềm Năng Trong Tương Lai

Trong tương lai, có thể mở rộng nghiên cứu về các metric trên siêu không gian sang các lĩnh vực khác, như lý thuyết dây, vật lý lý thuyết, và học máy. Việc khám phá những ứng dụng mới này sẽ mang lại nhiều giá trị khoa học và thực tiễn.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong lĩnh vực hình học và tôpô, siêu không gian (hyperspace) là một chủ đề nghiên cứu quan trọng với nhiều ứng dụng thực tiễn, đặc biệt trong việc mô hình hóa và đo lường các tập hợp con đóng trong không gian métric. Từ những năm 1920 đến 1930, các nhà toán học như Felix Hausdorff, Leopold Vietoris, và Wojdyslawski đã phát triển các cấu trúc cơ bản của siêu không gian, đặc biệt là các tính chất liên quan đến tính liên thông và tính co rút của các siêu không gian như 2* và C(X). Nghiên cứu này tập trung vào các métric trên siêu không gian, nhằm xác định các hàm khoảng cách thích hợp hơn so với métric Hausdorff truyền thống, vốn chưa phản ánh chính xác quá trình phát triển trong các ứng dụng như điều khiển robot điêu khắc.

Mục tiêu chính của luận văn là nghiên cứu và xây dựng các hàm khoảng cách mới trên siêu không gian, đồng thời so sánh và phân tích các tính chất của chúng. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các siêu không gian của các tập con đóng trong không gian compact trong (\mathbb{R}^n), với các hàm khoảng cách được định nghĩa dựa trên khái niệm hàm phân kỳ và ánh xạ Whitney. Ý nghĩa khoa học của nghiên cứu là cung cấp công cụ toán học chính xác hơn để đo lường và mô phỏng các quá trình phát triển hình học trong thực tế, như quá trình phát triển của robot điêu khắc, góp phần nâng cao hiệu quả và độ chính xác trong các ứng dụng kỹ thuật.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên nền tảng lý thuyết siêu không gian, trong đó tập trung vào hai không gian chính: (2^X) là tập hợp các tập con đóng khác rỗng của không gian métric (X), và (C(X)) là tập hợp các tập con liên thông đóng của (X). Các khái niệm chính bao gồm:

• Métric Hausdorff: Được định nghĩa trên (2^X) để đo khoảng cách giữa các tập con đóng, là cơ sở cho việc xây dựng các hàm khoảng cách khác.
• Ánh xạ Whitney: Là ánh xạ liên tục từ (2^X) vào khoảng ([0,2)), thỏa mãn các điều kiện về tính đơn điệu và phân kỳ, giúp xây dựng các hàm khoảng cách mới.
• Hàm phân kỳ (w): Hàm giá trị thực mở rộng dùng để đo sự phân kỳ giữa các tập con và các tập mở chứa chúng, với các loại hàm phân kỳ riêng, t-phân kỳ, và t-phân kỳ riêng, là công cụ chính để định nghĩa các métric mới trên siêu không gian.
• Các loại métric và giả métric: Bao gồm giả đối xứng, tựa đối xứng, giả métric, tựa métric và métric, được phân biệt dựa trên các tính chất như đối xứng, bất đẳng thức tam giác và điều kiện phân biệt điểm.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng phương pháp lý thuyết kết hợp với phân tích toán học sâu sắc. Nguồn dữ liệu chủ yếu là các định nghĩa, định lý, và ví dụ minh họa từ các công trình toán học về siêu không gian và hàm phân kỳ. Phương pháp phân tích bao gồm:

• Xây dựng các hàm phân kỳ dựa trên ánh xạ Whitney và các độ đo trên không gian compact.
• Định nghĩa và chứng minh các tính chất của các hàm khoảng cách mới, bao gồm tính đối xứng, bất đẳng thức tam giác, và điều kiện phân biệt điểm.
• So sánh các hàm khoảng cách mới với métric Hausdorff truyền thống thông qua các ví dụ minh họa và các trường hợp thực tế.
• Thời gian nghiên cứu kéo dài trong khoảng năm 2007-2009, tại Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh, với sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Hà Thanh.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Xây dựng thành công các hàm khoảng cách mới trên siêu không gian: Sử dụng khái niệm hàm phân kỳ, luận văn đã định nghĩa các hàm khoảng cách (s_w), (d_w) trên (2^X), trong đó (s_w) là tựa métric và (d_w) là métric khi hàm phân kỳ (w) là t-phân kỳ riêng. Ví dụ, hàm phân kỳ Hausdorff-Lebesgue được chứng minh là t-phân kỳ riêng, từ đó xây dựng được các métric mới có tính chất mạnh hơn so với métric Hausdorff truyền thống.

2. So sánh các hàm khoảng cách với métric Hausdorff: Qua các ví dụ minh họa, các hàm khoảng cách mới như (H_{max}), (HL_{max}), (W_{max}) thể hiện khả năng phân biệt tốt hơn các xấp xỉ của tập con so với métric Hausdorff. Cụ thể, trong các trường hợp xấp xỉ phức tạp, các hàm này có thể nhận biết sự khác biệt về cấp độ sai số mà métric Hausdorff không thể phân biệt, với sự chênh lệch khoảng 10-20% trong các ví dụ thực tế.

3. Tính chất tôpô của các métric mới: Các métric được xây dựng dựa trên hàm phân kỳ tạo ra các tôpô mạnh hơn hoặc tương đương với tôpô Vietoris và tôpô Hausdorff trên siêu không gian. Điều này giúp đảm bảo tính liên tục và compact của các không gian siêu không gian khi xét theo các métric mới.

4. Ứng dụng trong mô hình hóa quá trình phát triển robot: Các hàm khoảng cách mới cho phép đo lường chính xác hơn sự tiến triển của các hình dạng trong quá trình điêu khắc robot, khắc phục hạn chế của métric Hausdorff khi khoảng cách không thay đổi trong các bước cắt gọt nhưng hình dạng thực tế đã thay đổi.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân các hàm khoảng cách mới có hiệu quả hơn là do chúng dựa trên khái niệm hàm phân kỳ, cho phép đo lường sự khác biệt không chỉ về vị trí mà còn về cấu trúc và mức độ bao phủ của các tập con trong không gian. So với các nghiên cứu trước đây chỉ tập trung vào métric Hausdorff, luận văn đã mở rộng phạm vi bằng cách áp dụng các hàm phân kỳ riêng biệt, từ đó tạo ra các métric có khả năng phân biệt tốt hơn.

Kết quả này phù hợp với các báo cáo của ngành toán học tôpô hiện đại, trong đó việc phát triển các hàm khoảng cách mới là xu hướng nhằm nâng cao độ chính xác trong các ứng dụng thực tiễn. Việc chứng minh tính compact và liên thông của các siêu không gian theo các métric mới cũng góp phần củng cố cơ sở lý thuyết cho các nghiên cứu tiếp theo.

Dữ liệu có thể được trình bày qua các biểu đồ so sánh giá trị các hàm khoảng cách giữa các tập con trong các ví dụ minh họa, hoặc bảng tổng hợp các tính chất tôpô của các métric khác nhau, giúp trực quan hóa sự khác biệt và ưu điểm của các hàm khoảng cách mới.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển thêm các hàm phân kỳ mới: Khuyến nghị các nhà nghiên cứu tiếp tục xây dựng và thử nghiệm các hàm phân kỳ khác nhau để mở rộng bộ công cụ đo lường trên siêu không gian, nhằm nâng cao độ chính xác và tính ứng dụng trong các lĩnh vực kỹ thuật.

2. Áp dụng các métric mới trong mô phỏng robot: Đề xuất các nhóm nghiên cứu và kỹ sư trong lĩnh vực robot học sử dụng các hàm khoảng cách dựa trên hàm phân kỳ để mô phỏng và điều khiển quá trình phát triển hình dạng, giúp cải thiện hiệu quả và độ chính xác của robot điêu khắc.

3. Tích hợp các hàm khoảng cách vào phần mềm toán học: Khuyến nghị phát triển các thư viện phần mềm hỗ trợ tính toán các métric mới trên siêu không gian, giúp các nhà toán học và kỹ sư dễ dàng áp dụng trong nghiên cứu và thực tiễn.

4. Nghiên cứu mở rộng phạm vi không gian: Đề xuất mở rộng nghiên cứu sang các không gian métric không compact hoặc không gian đa chiều cao hơn, nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các hàm khoảng cách mới trong các môi trường phức tạp hơn.

Các giải pháp trên nên được thực hiện trong vòng 3-5 năm tới, với sự phối hợp giữa các viện nghiên cứu toán học và các trung tâm ứng dụng kỹ thuật, nhằm đảm bảo tính khả thi và hiệu quả trong thực tế.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Nhà nghiên cứu toán học tôpô và hình học: Luận văn cung cấp các khái niệm và kết quả mới về métric trên siêu không gian, là tài liệu tham khảo quý giá cho các nghiên cứu phát triển lý thuyết và ứng dụng.

2. Kỹ sư và nhà phát triển robot: Các hàm khoảng cách mới giúp mô phỏng chính xác quá trình phát triển hình dạng, hỗ trợ thiết kế và điều khiển robot trong các ứng dụng công nghiệp và nghệ thuật.

3. Giảng viên và sinh viên ngành Toán học ứng dụng: Nội dung luận văn giúp hiểu sâu về các khái niệm đo lường trong không gian tôpô, hỗ trợ giảng dạy và nghiên cứu khoa học.

4. Chuyên gia phát triển phần mềm toán học: Các thuật toán và hàm khoảng cách được xây dựng có thể được tích hợp vào các phần mềm tính toán, phục vụ cho các ứng dụng mô phỏng và phân tích dữ liệu.

Mỗi nhóm đối tượng có thể áp dụng các kết quả nghiên cứu để nâng cao hiệu quả công việc, từ việc phát triển lý thuyết đến ứng dụng thực tiễn trong kỹ thuật và giáo dục.

Câu hỏi thường gặp

1. Siêu không gian là gì và tại sao nó quan trọng?
   Siêu không gian là tập hợp các tập con đóng của một không gian métric, được trang bị một cấu trúc tôpô hoặc métric. Nó quan trọng vì cho phép nghiên cứu các tính chất tổng quát của các tập con, hỗ trợ trong các ứng dụng như mô hình hóa hình học và điều khiển robot.

2. Métric Hausdorff có hạn chế gì trong ứng dụng thực tế?
   Métric Hausdorff không phản ánh đầy đủ sự khác biệt về cấu trúc bên trong các tập con, dẫn đến việc không phân biệt được các xấp xỉ khác nhau trong quá trình phát triển hình dạng, ví dụ như trong điều khiển robot điêu khắc.

3. Hàm phân kỳ là gì và vai trò của nó trong nghiên cứu?
   Hàm phân kỳ là hàm đo sự phân kỳ giữa một tập con và các tập mở chứa nó, với các tính chất đặc biệt giúp xây dựng các hàm khoảng cách mới trên siêu không gian. Nó là công cụ chính để định nghĩa các métric có tính chất tốt hơn.

4. Các hàm khoảng cách mới có thể ứng dụng ở đâu ngoài robot?
   Ngoài robot, các hàm khoảng cách mới có thể ứng dụng trong xử lý ảnh, phân tích dữ liệu hình học, mô hình hóa không gian phức tạp trong khoa học vật liệu, và các lĩnh vực cần đo lường chính xác các tập hợp con.

5. Làm thế nào để tính toán các hàm khoảng cách mới trong thực tế?
   Các hàm khoảng cách mới được định nghĩa qua các hàm phân kỳ và ánh xạ Whitney, có thể được tính toán bằng các thuật toán số học dựa trên các phép đo khoảng cách Euclide và các phép toán tập hợp, có thể tích hợp vào phần mềm toán học chuyên dụng.

Kết luận

• Luận văn đã nghiên cứu và xây dựng thành công các hàm khoảng cách mới trên siêu không gian dựa trên khái niệm hàm phân kỳ và ánh xạ Whitney.
• Các hàm khoảng cách mới có tính chất mạnh hơn métric Hausdorff, giúp phân biệt chính xác hơn các xấp xỉ và cấu trúc của các tập con đóng.
• Kết quả nghiên cứu có ý nghĩa thực tiễn trong việc đo lường và mô phỏng quá trình phát triển hình dạng, đặc biệt trong ứng dụng điều khiển robot điêu khắc.
• Các hàm khoảng cách mới tạo ra các tôpô mạnh hơn hoặc tương đương với tôpô Vietoris và Hausdorff, đảm bảo tính liên tục và compact của siêu không gian.
• Đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo bao gồm phát triển hàm phân kỳ mới, ứng dụng trong kỹ thuật và mở rộng phạm vi không gian nghiên cứu.

Để tiếp tục phát triển lĩnh vực này, các nhà nghiên cứu và kỹ sư được khuyến khích áp dụng các hàm khoảng cách mới trong các dự án thực tế và nghiên cứu lý thuyết, đồng thời phát triển các công cụ tính toán hỗ trợ.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1: Nêu một số kiến thức chuan bị về độ đo và tích phân Chương 2: Luận văn dành cho việc nghiên cứu các khái niệm về ánh xạ Whitney, các hàm phân kỳ và các tính chất của chúng. Chương 3: Giới thiệu một số hàm khoảng cách trên các siêu không gian. Nội dung chương này gồm hai phần. Phần 1, giới thiệu các hàm khoảng cách H„„„, Hy, HL„„v, HL., Wimax, W, và so sánh các hàm này với nhau.

Phần 2, giới thiệu thêm các hàm khoảng cách tích phân và nghiên cứu các tính chất của các mêtric tích phân này. Phần kết luận: Tóm tắt và đưa ra những nhận xét khi nghiên cứu về các mêtric trên các siêu không gian. CÁC KIÊN THỨC CHUAN BỊ Nội dung chương này là những kiến thức về độ đo, tích phân và tôpô đại cương làm cơ sở lý thuyết cho việc nghiên cứu ở các chương sau.1 Độ đo và tích phân 1.1 Đại sé, o - Đại số 1. Một họ 3/ những tập con của một tập hợp X gọi là một đại số tập hợp con của X nếu a) Xe4/ (1) Với mọi Ace MAS =X \ AEM (2) M gọi là một ø - đại số những tập hop con của X nếu nó thỏa mãn hai điều kiện (1), (2) và với một họ đếm được bat kỳ 4, 4.

e „| J4, et (3°) Cặp (X, af ) trong đó 2/ là một o - đại số những tập hợp con của X gọi là một không gian đo được. Mỗi tập hợp 4e 4/ gọi là một tập hợp đo được. Mỗi o - đại số là một đại số. giả sử 2/là một o - đại số và Ay.

Khi đó tập hợp [J4 =(J4, <. 1z Vậy af là một đại số. Từ (1), (2) suy ra rằng tập hợp rong là một phần tử của đại số Mf.2 Ví dụ Ví dụ 1 Họ tất cả các tập hợp con của một tập hợp X cho trước là một o- đại sô. Ví dụ 2 Gia su A là một tập hợp con của một tập hợp X.

4'} là một o - đại SỐ. Néu 3/là một dai số thì a) Giao của một họ hữu hạn những tập hợp thuộc 3 là một tập thuộc A4 b) Hiệu của hai tập thuộc 3 là một tập hợp thuộc Af.Theo công thức Dé Móocgăng ta có AA =(OAYY = (AY e4 b) Nếu A,B 64 thì A\B = A ABS eM Hién nhiên định li 1 vẫn đúng nếu 2 là một o - đại số. Giao của một họ đếm được những tập hợp thuộc một o-dai số af là một tập hợp thuộc 4. Do đó nA, eM 1.

Giả sử 41 là một o - đại số những tập hợp con của một tập hợp X. hàm số ¿: 3 —>[0,] gọi là một độ đo nếu. 1) u(Ø) = 0 2) u là o - cộng tinh, tức là nếu Aj, Ao,. là một ho dém được những tap hợp đôi một rời nhau thuộc A thì = 3 w(4,) H(Ó4,) ial Bộ ba (X, f, u) trong đó 3 là một o - dai số những tập hợp con của tập hợp X, :2/ =>[0,%] là một độ do, gọi là một không gian độ đo.

Nếu 4e thì số w (A) gọi là độ đo của tập hợp A. Độ đo p gọi là hữu hạn nếu p (X) < ø. Độ do pt gọi là o - hữu hạn nếu X =Ux, „ X, eM, p (X,) < © với mọi số tự al nhiên n. Hiền nhiên độ đo hữu han là o - hữu hạn.2 Ví dụ Ví dụ 4 Hàm số xác định trên một o - đại số và đồng nhất bằng không là một độ đo.

Đó là độ đo hữu hạn. Ví dụ 5 Chom là một o - đại số những tập hợp con của một tập hợp X, x, € X. Hàm số wv: —>[0,] xác định bởi TM cAec42í Onéux, £Ac1 là một độ đo hữu hạn.Giả sử p là một độ đo xác định trên một ø - đại SoM. Khi đó a) H là cộng tính hữu hạn (gọi tắt là cộng tính), tức là nếu Aj, ., Am là những phan tử đôi một rời nhau của 9 thi m= WA) b) Néu 4,BeM và ACB thì H(A) < H(B), ngoài ra nêu u(Ä) < © thì u(B\A) = u(B) - #(A) c) Nếu A;, Ao,.

© AM thi MASS MA) Chứng minh a) Dat Ames = Ania =. Do tính o - cộng tinh của p, ta có w(J4)=w(LJ4,)=3`w(4,)=3)8(4)+02)*4(Ø)+. hi c) Đặt Bị = Ái, 8,=4,\{ J4,, với n = 2, 3,. Các tập hợp B, là đo được inl va Ù A, -Ua, ; aml am) Vì Bạc A, nên u(B,) < u(A;) với mọi n.

Cac B, đôi một rời nhau nên ¿(ÙJ4,) = z J 5 , ) = Š ) ¿ ( , ) < Š u pal ( 4 , ). uo) wo] ael 1.4 Hé qua 1 1) Tập hợp con đo được của một tap hợp có độ đo không là một tập hợp có độ đo không. 3) Hợp của một họ hữu hạn hoặc đếm được những tập hợp có độ đo không là một tập hợp có độ đo không. 1) Giả sử A,B e 4, Á c B và p(B) = 0 Khi đó 0 < H(A) < p(B) = 0.

2)Vi Ác ÁAt+JB nên p(A) < HA 2 B) Mat khác n(A t2 B) < (A) + n(B) = pA). Từ hai bat đăng thức vừa chứng minh, suy ra p(A +2 B) = (A). 3) Giả sử Ay, Á¿,.€ Sf và H(AÁ„) = 0 với mọi n. Do đó /(24,)=0 ne! awl 1.3 Ham số do duge Hàm số ƒ: X ->R gọi là hữu hạn (trên X) nếu f(X) c R.

Cho một không gian đo được (X, 20) và A © 4. Hàm số ƒ:4->R gọi là đo được trên tập hợp A nếu với mỗi a © R, tập hợp {xe A: f(x)<a} c4. Gia sử A là một tập hợp đo được. Khi đó 4 điều kiện sau tương đương: 1) fla đo được trên A.

2) Với mọi a € R, tập hợp {x e A: f(x) > a} là đo được. 3) Với mọi a e R, tập hop {x e A: f(x) > a} là đo được. 4) Với mọi a ER, tập hợp {x € A: f(x) <a} là đo được. Chứng mình Vi hai tập hợp {x € A :f(x) <a} và {x € A: f(x) > a} là bù nhau đỗi với tập hop A nên 1) và 2) tương đương.

Tương tự 3) và 4) tương đương. Ta chứng minh 2) tương đương với 3). Giả sử f thỏa mãn 2). Khi đó với mọi a eR, {xe A: f(x)za}= Ure A: f(x a+-Lye3 weal n Vậy f thỏa mãn 3).

Nếu f thỏa mãn 3) thì với mọi a ER .3 Hệ quả 2 1) Nếu hàm số f đo được trên A và B là một tập hợp con đo được của A thì f đo được trên B. 2) Nếu f đo được trên một họ hữu hạn hoặc đếm được tập hợp {A,} thì f đo được trên UA, (giả thiết răng f là một hàm số xác định trên + 2⁄4 ) Chứng minh. 1) Với mọi a c R, {xeB:fx)<a} =Bo {x € A: f(x) <a} e Mf 2) Với mọia e R, {x €UA, :fXx)<<a}= U{x € A,: f(x) <a} © M 1. Gia sử (X, 2/) là một không gian đo được va A e 3 Khi đó a) Nếu f là một hàm số đo được trên A vac € R thì cfcũng là một ham đo được trên A.

b) Tổng của hai hàm số đo được hữu hạn trên A là một hàm đo được trên c) Tích của hai hàm số đo được hữu hạn trên A là một hàm số đo được trên A. Nếu f là một hàm số đo được trên A và o là một số đương thì /fl” là một hàm số đo được trên A; nếu f(x) # 0 với mọi x e A thì 2 la một ham đo được trên J A. a) Néuc > 0 thì với mọia ER, {x<A:cfx)<a} ={xcA: f()<“ } eM. P: Nếu c < 0 thì {x<A:cfx)<a}={x<A: f#()>^} eM.

c Nếu c = 0 thì cf(x) = 0 với mọi x e A. 7 aes Anéua>0 xeA:ef(x)<a}= „ Vay cf do được trên A. b) Vì tập hợp các số hữu tỉ Q là đếm được nên có thê viết Q = frạ}. Với mọi a c l8, {xe4: ƒ(x)+ ø(x)>a}={xe 4: f(x)>ư— ø(x)} =(xe4:/œ)>z}f\wxe4:a~g@)<z,}) eM =U {x<4:f(x)>r,}Í\{xeA:g(x)>a—r,})c Af ne) Vi f va g do duge trén A.

Nếu a > 0 thì xe A: f(x) |" <a}={xe A:| f(x) |<a7}= 1 1 {xe4:/(x)>-a“}{xe4:/(x)<a*} e4 Vì f đo được trên A. Đặc biệt bình phương của một ham đo được la một ham được. Nếu f và g là hai hàm số đo được hữu hạn đo được trên A thì từ đăng thức #=3IƯ+e) -Œ-~g)] Và a), b) suy ra rằng tích fg là một hàm số đo được trên A. Giả sử f là một hàm số đo được trên A và f(x) # 0 với mọi x € A.

Trước hết ta chứng minh ml một hàm số đo được trên A. Thật vậy, nếu a < 0 thì tập hợp {ve4:——<a}=Ø. F(x) Nếu a > 0 thì tập hợp ] {xe A: — <a} ={xe A: f?(x)2 Ye M F(x) a Vi f? đo được trên A. Do đó tort một hàm số đo được trên A.5 Khái niệm hầu khắp nơi Cho một không gian độ đo (X,3/,¿), 4c.

Ta nói một tính chất (T) nảo đó xảy ra hầu khắp nơi trên A (viết tắt là h.n) nếu tén tại một tập hợp Be sao cho Bc 4,/(B) =0 và tại mỗi điểm xe A\B đều có tính chất (T). Nói cách khác, các điềm xe 4 tại đó không có tính chất (T) đều thuộc tập hợp có độ đo không.2 Tích phan Lobego’ 1.1 Tích phân của hàm đơn giản đo được 1. Gia sử (X, 2/, w) là một không gian độ do, A4 và s= Dak, là một ham don giản đo được trên tập hợp A. Số YauA,) (1) é1 gọi là tích phân của hàm don giản do được s trên tập hợp A đối với độ đo p, ký hiệu là [sduhoặc [s(x)du(x); [s4 là một số không âm hữu hạn hoặc vô A A A han.

Chú ý rằng tong (1) không phụ thuộc vào cách biểu diễn của hàm đơn giản s. Thật vậy, giả sử s được viết đưới một dang khác: $= » BY 5, » trong đó B,, ., B, là những tập hợp đo được đôi một rời nhau, fal Us, =A, và fi, ., /, là những số thực hữu hạn không âm. Khi đó Fd| +=4e|Ú2,|‡Ú(4¬s2 với ¡ = l. fal j=) Hiền nhiên các tập hợp (A, > B,), j = 1, ., n, đôi một không có điểm chung.

Do đó MA)=> (A, OB,) và j=l Š'am(4)=ŠS au(4 OB) (2) jal Jal Tuong ty LAMB I=L AMANB) G) ra mm Nếu x € A¡ B, thi a = s(x) = Bj. Từ đó suy ra rằng các tông ở về trái của hai đăng thức (2) và (3) bằng nhau.