MỞ ĐẦU Tối ưu vật liệu bao giờ cũng là mục tiêu của người kỹ sư thiết kế công trình. Với sự phát triển của lý thuyết quy hoạch toán học, phương pháp tối ưu đã được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật nhằm mang lại hiệu quả kinh tế cao nhất. Vấn đề tối ưu kết cấu được nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau. Trong vòng nửa thế kỉ nay, một ngành toán học mới - lý thuyết quy hoạch toán học - đã hình thành và phát triển mạnh mẽ do những đòi hỏi cấp bách về kinh tế để thực hiện các chỉ tiêu tối ưu: nhiều nhất, ít nhất, nhanh nhất, rẻ nhất, tốt nhất.Với lý thuyết quy hoạch, người kĩ sư được trang bị thêm một công cụ toán học rất có hiệu lực để giải các bài toán tối ưu mà trước đây các phương pháp cổ điển chưa thể giải được.
Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss do GS. Hà Huy Cương đề xuất là phương pháp cho phép áp dụng nguyên lý cực trị Gauss - vốn được phát biểu cho hệ chất điểm - để giải các bài toán cơ học vật rắn biến dạng nói riêng và bài toán cơ học môi trường liên tục nói chung. Đặc điểm của phương pháp này là bằng một cái nhìn đơn giản luôn cho phép tìm được kết quả chính xác của các bài toán. Đối tƣợng, phƣơng pháp và phạm vi nghiên cứu của đề tài Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss nói trên để xây dựng và giải bài toán tối kết cấu dầm.
Mục đích nghiên cứu của đề tài “Nghiên cứu tối ưu kết cấu dầm bằng phương pháp mới” Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 1. Trình bày tổng quan về tối ưu hóa kết cấu 2. Trình bày cơ sở lý thuyết tính toán tối ưu trong xây dựng. Sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss để xây dựng và giải bài toán tối ưu kết cấu dầm.
Lập chương trình máy tính điện tử cho các bài toán nêu trên CHƢƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ THIẾT KẾ TỐI ƢU KẾT CẤU DẦM 1. Phƣơng pháp thiết kế tối ƣu kết cấu Trong quá trình tính toán thiết kế kết cấu theo cách thông thường nhằm mục đích xác định kích thước các phần tử kết cấu, sắp xếp, bố trí các cấu kiện, chọn vật liệu sử dụng cho từng phần tử kết cấu sao cho thoả mãn các điều kiện của tiêu chuẩn, quy phạm thiết kế, người ta thường dùng phương pháp thử dần để tính toán theo các bước sau: 1. Chọn vật liệu 2. Giả thiết các kích thước hình học 3.
Kiểm tra các điều kiện cần thiết đối với kết cấu trôn cơ sở những ràng buộc, theo các trạng thái giới hạn. Nếu các điều kiện đó không thoả mãn thì phương án trên bị loại bỏ và lại lập một phương án giả thiết khác và kiểm tra lại. Cứ như vậy cho đến khi có một phương án mà các điều kiện cần thiết với kết cấu được thỏa mãn. Đó sẽ là phương án có khả năng lựa được chọn.
Với cách thử dần như vậy, số lượng phương án thử sẽ khá nhiều mà mỗi phương án tuỳ thuộc vào các giả thiết đầu như số lượng phương án được lựa chọn chỉ có một. Bởi vậy, trong số những phương án có khả năng, phải lựa chọn mọt phương án hợp lý nhất với mục tiêu của người thiết kế tức là phương án được chọn. Việc tính thử dần các phương án kết cấu cũng đòi hỏi khối lượng tính toán lớn. Hiện nay, nhờ các phương tiện tính toán hiện đại (máy tính, các chương trình phần mềm v.
) nên khả năng tính toán nhanh, số lượng các phương án thử cũng có thể mở rộng ra nhiều. Vì vậy, phương án được chọn sẽ dần tiến tới phương án tối ưu hoặc lân cận vùng tối ưu. Tuy nhiên, khi khối lượng các phương án thử tăng lên rất nhiều thì nếu không có chiến lược tìm kiếm tối ưu hợp lý thì sẽ phải tốn rất nhiều thời gian và công sức tìm kiếm phương án được chọn và đôi khi phương án được chọn vẫn chưa phải là phương án thật sự tối ưu. Từ vài thập kỷ nay, khi phương pháp số được áp dụng để giải các bài toán quy hoạch phi tuyến với khối lượng biến số và điều kiện ràng buộc lớn đã tạo ra khả năng áp dụng quy hoạch toán học trong thiết kế tối ưu kết cấu.
Mô hình bài toán tối ưu kết cấu được xây dựng như sau : 1. Coi kích thước các phần tử kết cấu, các đại lượng đặc trưng vật liệu là ẩn số và gọi chúng là các biến thiết kế; 2. Xây dựng các điều kiện cần thoả mãn của kết cấu như: các điều kiện về trạng thái giới hạn, các điều kiện quy phạm, các điều kiện về thi công v. Sử dụng các điều kiện đó dưới dạng bất phương trình hoặc phương trình có chứa biến thiết kế và coi chúng là các hàm ràng buộc.
Giải hệ bất phương trình và phương trình. Hệ bất phương trình và phương trình này thường không cho một nghiệm duy nhất mà thông thường phải chọn một phương án kết cấu để sử dụng. Vì vậy, ta phải loại trừ dần các số nghiệm để đi tới lời giải tốt nhất - đó là phương án tối ưu cần tìm. Muốn đạt kết quả, người ta gán một số vô hướng nào đó vào mỗi phần tử của tập hợp các kết cấu và chọn phương án có giá trị vô hướng đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) trong số các kết cấu có khả năng.
Giá trị vô hướng này là hàm với biến thiết kế và gọi là hàm mục tiêu. Vì vậy, kết cấu được chọn tương ứng với phương án có hàm mục tiêu đạt cực trị gọi là kết cấu tối ưu. Như vậy, giải bài toán tối ưu kết cấu đã được dẫn đến giải một bài toán quy hoạch toán học. Thông thường, bài toán tối ưu kết cấu thường dẫn đến một bài toán quy hoạch phi tuyến.
Tức là, hàm mục tiêu và các hàm rằng buộc không quan hệ tuyến tính với biến thiết kế và tổng quát; bài toán quy hoạch tồn tại cả các hàm rằng buộc dưới dạng phương trình và bất phương trình 1. Tình hình áp dụng lý thuyết quy hoạch trong thiết kế tối ƣu Lý thuyết tối ưu là lý thuyết xây dựng và chọn lời giải tốt nhất cho một ( hoặc nhiều) mục đích nào đó. Trong bài toán học, đó là bài toán tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất (cực trị) cho một hàm số nào đó, trong miền nhất định của đối số. Về tên gọi, tuỳ theo mục tiêu có nhiều tên gọi như: - Bài toán quy hoạch toán học (Mathematical Programing) - Bài toán tối ưu hoá (Optimisation ) - Bài toán tìm cực trị ( Extremum , Minimax ) Lý thuyết tối ưu đã có từ lâu nhưng phát triển theo xu hướng hiện đại, dựa trên lý thuyết quy hoạch toán học mới chỉ xuất hiện khoảng 40 năm trở lại đây.
Với sự trợ giúp của các chương trình máy tính đã đưa ra nhiều bài toán và lời giải có hiệu quả và mang tính thực tiễn cao. Riêng về lý thuyết tối ưu kết cấu xây dựng, có thể phân ra 4 hướng chính sau: 1. Lý thuyết thể tích nhỏ nhất ( La yout) Năm 1954, Maxwell đã đề xuất những suy nghĩ dựa trên cơ sở của lý thuyết tối ưu kết cấu có thể tích nhỏ nhất. Đó là kết cấu có các phần tử được bố trí hợp lý để toàn khối kết cấu có thể tích tối thiểu.
Năm 1904, Michell đã tiếp tục phát triển theo ý tưởng này. Sau đó còn có một số tác giả khác cũng đi theo hướng này. Lý thuyết nằy chưa xét tới những ràng buộc về dạng hình học của kết cấu, cho nên có những hạn chế. Lý thuyết phá hỏng đồng thời Kết cấu được coi là tối ưu khi các phần tử đồng thời dạt tới giới hạn về năng lực chịu tải.
Tuy nhiên, thuật ngữ (đồng thời) ở đây chỉ hạn chế trong điều kiện chịu tải nhất định. Những năm 1940 - 1950 một số tác giả như Shanley, Gerard,. đã nghiên cứu theo phương hướng này và chỉ giải được những bài toán kết cấu đơn giản với một số trường hợp đặt tải độc nhất. Tuy nhiên, còn có thể phát triển theo một nhánh khác, đó là lý thuyết thiết kế theo độ bền đều với số tiết diện có ứng suất đạt tới giới hạn cho phép là nhiều nhất.
Lý thuyết tiêu chuẩn tối ưu Những năm 60 của thế kỷ XX, Prager, Taylor đã chủ chương dựa trên cơ sở các nguyên lý cực trị trong cơ học và xây dựng được các tiêu chuẩn để chọn kết cấu tối ưu có khối lượng vật liệu nhỏ nhất. Phương hướng này được áp dụng khá rộng rãi nhưng cũng chỉ hạn chế cho những cấu trúc đơn giản với phương án đặt tải không phức tạp. Dừng lý thuyết quy hoạch toán học Lý thuyết quy hoạch toán học được nghiên cứu rộng rãi từ những năm 1940 và phát triển nhanh cùng với máy tính điện tử. Tuy nhiên, áp dụng cho thiết kế tối ưu mới chỉ bắt đầu từ những năm 1950 với Livesley, Ecaren.
Từ dó đến nay, chỉ trong vài chục năm, phương pháp áp dụng quy hoạch trong tính toán để thiết kế tối ưu kết cấu đã phát triển rộng rãi. Phương pháp áp dụng lý thuyết quy hoạch để thiết kế tối ưu phát triển nhanh chóng vì nó là phương pháp tổng quát nhất, tất cả các phương pháp khác đều có thể trình bày dưới dạng bài toán quy hoạc toán học được. Phương pháp toán học bao gồm: - Quy hoạch tuyến tính ( LP ) - Quy hoạch phi tuyến (NLP ) - Quy hoạch động ( DP ) - Quy hoạch hình học ( GP ) Trong đó bao gồm cả các loại bài toán quy hoạch khác nhau như Quy hoạch Bình phương, Quy hoạch lồi, Bài toán Vận trù, Bài toán Kiểm tra v. CHƢƠNG 2 CƠ SỞ TỐI ƢU KẾT CẤU DẦM THEO PHƢƠNG PHÁP MỚI 2.
Những khái niệm và định nghĩa về lý thuyết quy hoạch tối ƣu Tối ưu hoá các hàm mục tiêu (Z) là tìm được các biến thiết kế xk trong miền ràng buộc (G) nào đó. Trong nhiều trường hợp, mô hình toán học có dạng sau: Tìm giá trị của n biến (x1, x2 ., xn) thoả mãn hệ ràng buộc (đẳng thức và bất đẳng thức) gi (x1., p và làm cho hàm mục tiêu: Z = f(x1,.2) đạt cực trị. Biến thiết kế (BTK) Trong bài toán thiết kế tối ưu kết cấu biến thiết kế có thể là: - Kích thước hình học và đặc trưng hình học (A, I, .) - Tham số mô tả hình dạng kết cấu.
