CHƯƠNG 1 KIÊN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm và không gian hàm cơ bản Trong chương này chúng tôi nhắc lại một số không gian hàm cơ bản, khái niệm về đạo hàm suy rộng, không gian Sobolev và một số tính chất của nó, đồng thời, ở cuối chương chúng tôi cũng giới thiệu lại một số mô hình điều khiển tối ưu. Nội dung của chương này được chúng tôi tham khảo trong [13| [1].1 Đạo hàm suy rộng Dinh nghia 1. Gia sit u,v € Li, (Q) va mot da chi s6 œ. Ta nói rằng ø là đạo hàm suy rộng cấp œ của u nếu f uD% pdr = (—1)!“! ƒ u¿dz đúng với mọi hàm Q Q thử ¿ € Cx (Q).
Trong đó: lai D2u = ou Đưp oan 9 = (41,09, .,An); Jal = a1 Fag +. - Ham u(x) có đạo hàm thông thường liên tục cấp œ thì nó cũng có đạo hàm suy rộng cấp a. - Mét ham u(x) có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo nghĩa thông thường. - Nếu hàm có đạo hàm suy rộng cấp œ nhưng chưa chắc đã có đạo hàm cấp bé hơn hoặc bằng ơ.
- Ham u(x) c6 dao hàm suy rộng cấp œ thì đạo hàm đó là duy nhất. 10 11 - Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp œ trong miền (@ thì nó cũng có đạo hàm suy rộng cấp œ trong miền @/ C ©. Tuy nhiên, hàm này không có đạo hàm thường tại z = 0.12 Không gian Sobolev Định nghĩa 1. Không gian Sobolev là không gian bao gồm tất cả những hàm w(œ) € LP(Q), sao cho với mỗi đa chỉ số œ, œ < k đạo hàm yếu D*u tồn tại và thuộc Ƒ? (O), được trang bị chuẩn 1 > ( = fora) , 1s<ps<+too, llullwacay = la|<k 3` esø sup |D%ul, p=.
la|<k Q - Kí hiệu: WẺ (9).) là không gian Hilbert, H9(0) = 12 (9). Ta nói rằng „„ hội tụ đến trong wr (Q) néu im \| in — ullwsa) =0. Kí hiệu ưạ, > u trong wr (Q). b) Ta néi Um + u trong Wh j4.
Bao đóng của Œ§°() trong W? (©) được kí hiệu là W2(Q). Ta coi u € W4(Q) nhu là tập hợp những hàm W2 (Q) sao cho D*u =0 trên Ø9, V|a| < k— 1. Khong gian H+ (Q) , Ht (Q) la khong gian kha ly. 12 - Do L? (Q) la khéng gian phan va nên HÌ (Q) cũng là không gian phản xa.
va 1 < p < +00, không gian Sobolev wr (Q) là một không gian Banach.3 Các không gian hàm phụ thuộc vào thời gian Cho X là không gian Banach thực với chuẩn || - ||. Không gian L?(0,T; X), 1 < p < +00, gdm tất cả các hàm do được ó : [0,7] + X với chuẩn + 1/p - 8)|\ö|Ìr»(0:x) := (| | (s)II’as) — < +00 voi <p < oo, Ð)||Øllz=(oz:x) = esssup ||ó)|| < +: <t<T Khi đó L?(0,T; X) 1&4 một không gian Banach, và nó là phản xạ nếu 1 < p < +œ. Không gian liên hợp của L?(0,T; X) la L*4(0,T; X?) với 1/p + 1/q = 1. Không gian C(|0,7];X) gồm tất cả các hàm liên tục ó : |0, 7] X với chuẩn | Plloqor);x) :E joa Ilo < co.
Khi dé C((0, 7]; X) 1a một không gian Banach.2 Một số bất đẳng thức và định lý cơ bản 1.1 Một số bất đẳng thức thường dùng Dưới đây là một số bất đẳng thức sơ cấp nhưng rất quan trọng và thường xuyên được sử dụng: e Bất đẳng thức Cauchy : 2 b2 b<—+—. 6= 15 13 Bat đẳng thức Cauchy với ‹: b2 ab < ca? + TC (c> 0). 2 a2 1 1 Bât đăng thức Young: Cho 1 < p,g< œ, - +— = 1. p qd Bat đẳng thức Young với ‹: ab < caP + C(c)b1, (a,b,c > 0), với C(c) = (ep)~1*q~1, 2 at.
1 1 Z Bat dang thiic Holder : Gia thiệt 1 < p,g < œ, — + — = 1. Khi đó nêu Pp ùc€ P(Q),uc€ L1(Ó) thì ta có: | [uolde < |lullzecoylloll coc Q Bat đẳng thức Gronwall: Giả sử x(t) 1A mot ham liên tục tuyệt đối trên (0; 7] va thỏa mãn d. Khi đó t a(t) < a(0)eF + | eCO-CO) h(s)ds, 0 với 0< # <7, ở đó Nói riêng, nếu ø và b là các hằng số và da +6 — <ax › dt , thi 14 e Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân: Cho £(£) là một hàm khả tích, không âm trên [0, 7] và thỏa mãn với hầu khắp £ bất đẳng thức tích phân cí)<@ | “€(s)ds + C2, với Œ\, Cy 1A cdc hang s6 khong âm. Khi đó E(t) < Co(1 + Cite), với hầu khắp t,0<t<T.
e Bất đẳng thức Poincaré. Giả sử O = {x ER: a¡< #ø¿< Ù¡, 0= 1,n}.2 Một số định nghĩa và định lý Định nghĩa 1. Ta nói rằng không gian Banach được nhúng liên tục vào không gian Banach Ƒ' nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục từ vào F. Giá sử © la mién bi chan trong R" va 1 < p<n.
Khi đó không 0 gian Wh (Q) duoc nhiing lién tuc vao không gian Le (Q). Hon nt&a, vdi moi 0 hàm u € W} (Q) ta có bất đẳng thức llul|, ne, 9) < Cl|Vullro@, C= C(n,p) ( - hằng số chỉ phụ thuộc vao n va p. Một không gian Banach # được nhúng compact vào không gian Banach #' (kí hiệu: € Ƒ') nếu tồn tại toán tử tuyến tính đơn trị từ E vào Ƒ, biến một tập bị chặn trong # thành một tập tiền compact trong Ƒ. Giá sử ©Q là miền bị chan trong R".
Khi dé khong gian we (Q) nhtiing compact vao a) khong gian L4(Q) nếu q < np/(n-p),p<n; Ùb) không gian Œ (Q) néup>n. ([I7| Chung 1]) Cho Xo, X va X, la ba khong gian Banach vdi Xo va X1 la không gian phản xa. Gia sit Xo nhting compact trong X va X nhúng liên tục trong ÄX\. Với Ì < p,q < +c0, ta dat: W= {u € 1(0,T; Xo) |Opu € 11(0,T; XI)}.
Khi đó W nhúng compact trong LP(0,T; X). Ta nhắc lại một điều kiện đủ cho sự hội tụ yếu trong L? (9). Gid st Q là một miền bị chặn trong R? xR¿ oà một day {gn} cho trước, gạ € L4(Q),1 < q < œ. Giả sử rằng Ìø»|Ìrsoạ < C, ới Ở là hằng số dương, gu, — g (n — oo) hầu khắp noi trong Q va g € L4(Q).
Khi do Gn 2 g (n > œ) trong L*(©). Cho X là không gian Banach thực. Ta nói dãy {uz }pe, C X hoi tu yéu dén w nếu (u*, uy) + (u*,u) voi moi phiém hàm tuyến tính bị chặn u* € X”. Một dãy {/„} trong X* gọi là hội tụ x - yếu tới ƒ € X* nếu với mọi w € X ta có (u, ƒa — ƒ) — 0 khi ® — œ.
Do với không gian phản xạ X ta có X = (X*)* nên sự hội tụ + - yếu trùng với sự hội tụ yếu.3 Giới thiệu mô hình điều khiến tối ưu Bài toán điều khiển tối ưu xuất hiện từ những năm 50 của thế kỉ XX với một loạt công trình tiêu biểu của các nhà Toán học Xô Viết, đứng đầu là L. Pontriagin về nguyên lí cực đại để tìm điều kiện cần các quá trình tối ưu [S|. Phát triển từ những bài toán tối ưu hóa cổ điển như bài toán biến phân, bài toán quy hoạch động. bài toán điều khiển tối ưu là bài toán tìm các quá trình tối ưu cho các hệ điều khiển mô tả bởi các phương trình toán học.
Cho đến nay, lí thuyết điều khiển tối ưu đã phát triển và thu được nhiều kết quả rộng lớn, sâu sắc. 16 Các hệ điều khiển (hay cụ thể là các hệ thống có đối tượng điều khiển) được sử dụng nhiều trong các bài toán thực tiễn hoặc trong ứng dụng khoa học và công nghệ, như mô hình điều khiển máy bay, ôtô, tàu hỏa, mà ở đó người ta điều khiển được các đối tượng để làm ảnh hưởng đến sự vận hành của hệ thống và phục vụ mục đích tối ưu của con người. Sau đây chúng tôi xin đưa ra ví dụ về một số mô hình kế hoạch hóa tài chính như: Mô hình cân đối sản xuất - tiêu dùng, Mô hình vốn đầu tư. Ngoài ra còn rất nhiều mô hình như: Mô hình phân bổ lao động và vốn đầu tư, Bài toán điều tiết nguồn nước.1 Mô hình cân đối sản xuất - tiêu dùng Giả sử ta sử dụng kg thóc giống để gieo trồng, đến kì thu hoạch ta sẽ được một lượng sản phẩm là Ƒ() kg.
Vào thời kì tiếp theo, ta mang một phần thóc e ra để tiêu dùng. Với số thóc được sử dụng để tiêu dùng e, sau khi đã trừ chỉ phí, ta thu được một lợi tức là g(c) (bằng tiền hay để sản xuất sức lao động). Phần còn lại ta mang ra gieo trồng tiếp cho vụ sau. Như vậy, nếu ta gọi #; là số thóc được dùng để gieo trồng ở thời điểm £ thì ta có mô hình động học bị điều khiển sau đây: e Xét trên khoảng thời gian t = m,m+1,.,n e Tại thời điểm £ ta có ; kg thóc mang gieo trồng và œ kg thocs mang ra tiêu dùng.
e Mối liên hệ giữa thời kì £ và thời kì tiếp theo # + 1 là #¡¡ = (0) — G41, t=m,m+l1,. e Lợi tức thu được ở thời điểm ¢ 1a q(cz); loi tite thu dude trén khoang thdi gian m,?n + 1,.n bằng tổng lợi tức của từng thời kì J = q(6m+1) + đ(Gm+3) T -. đ(Cn)- 17 Mục đích của chúng ta là hãy đưa ra chiến lược tiêu thụ sản phẩm Cm+1sCm+2) +n để làm cực đại phiếm hàm lợi tức J. Hiển nhiên chiến lược được đưa ra phải chịu những ràng buộc nhất định.
Thí dụ như nếu không được quyền vay mượn gì thì ta phải có 0 > œ < (1) VỚI mỌI Ý = m,1n -+ Ì,., Thong thường, số thóc thu được sau một thời kì phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên như mây mưa, bão lụt. nên mô hình chịu ảnh hưởng của các yếu tố ngẫn nhiên, và khi đó, số thóc thu được sẽ là hàm Ƒ(, s¿1), trong đó (s¿) là một quá trình ngẫu nhiên thỏa mãn những giả thiết nào đó. Trong trường hợp này việc mô tả động học của mô hình được cho bởi phương trình sai phân ngẫu nhiên +1 = F() — Ga, £ =m,1m + T,.2 Mô hình vốn đầu tư Giả sử chúng ta có một số tiền và muốn đầu tư vào một (hay nhiều) lĩnh vực kinh tế để thu lãi. Thí dụ ta đầu tư vào thị trường tài chính.