I. Nghiên cứu điều khiển tối ưu
Nghiên cứu điều khiển tối ưu là một lĩnh vực quan trọng trong toán học ứng dụng, đặc biệt trong việc tối ưu hóa các hệ thống động học. Bài toán điều khiển tối ưu xuất hiện từ những năm 1950 với các công trình tiêu biểu của các nhà toán học Xô Viết, đứng đầu là L. Pontriagin. Phương trình khuếch tán không cổ điển chứa nhớ là một lớp phương trình đạo hàm riêng phức tạp, đòi hỏi các phương pháp toán học hiện đại để giải quyết. Mục tiêu của nghiên cứu này là chứng minh sự tồn tại nghiệm tối ưu và thiết lập các điều kiện cần và đủ cho bài toán điều khiển tối ưu.
1.1. Mô hình khuếch tán
Mô hình khuếch tán được sử dụng để mô tả các quá trình truyền nhiệt, truyền chất, và các hiện tượng vật lý khác. Trong nghiên cứu này, phương trình khuếch tán không cổ điển chứa nhớ được xem xét, nơi các yếu tố quá khứ ảnh hưởng đến hiện tại. Điều này làm cho mô hình trở nên phức tạp hơn so với các mô hình khuếch tán cổ điển. Các phương pháp toán học như phương pháp Compact và phương pháp năng lượng được sử dụng để phân tích và giải quyết bài toán.
1.2. Hệ thống điều khiển
Hệ thống điều khiển là một tập hợp các thành phần tương tác để đạt được mục tiêu cụ thể. Trong bài toán này, hệ thống điều khiển được mô tả bởi phương trình khuếch tán không cổ điển chứa nhớ. Việc tìm ra các điều kiện cần và đủ để đạt được điều khiển tối ưu là mục tiêu chính của nghiên cứu. Các kết quả này có thể được áp dụng trong các lĩnh vực như kỹ thuật, vật lý, và cơ học.
II. Phương pháp điều khiển
Phương pháp điều khiển được sử dụng trong nghiên cứu này bao gồm các phương pháp toán học hiện đại như phương pháp Compact, phương pháp đánh giá tiên nghiệm tiệm cận, và phương pháp năng lượng. Các phương pháp này giúp chứng minh sự tồn tại nghiệm tối ưu và thiết lập các điều kiện cần và đủ cho bài toán điều khiển tối ưu. Tính toán khuếch tán và tính toán tối ưu là các bước quan trọng trong quá trình nghiên cứu.
2.1. Tính toán khuếch tán
Tính toán khuếch tán liên quan đến việc giải các phương trình khuếch tán phức tạp, đặc biệt là các phương trình chứa nhớ. Trong nghiên cứu này, các phương pháp số và phân tích được sử dụng để giải quyết các bài toán khuếch tán không cổ điển. Các kết quả thu được giúp hiểu rõ hơn về quá trình khuếch tán trong các vật liệu nhất định, chẳng hạn như chất lỏng có độ nhớt cao ở nhiệt độ thấp.
2.2. Tính toán tối ưu
Tính toán tối ưu là quá trình tìm kiếm các giá trị tối ưu của các biến điều khiển để đạt được mục tiêu cụ thể. Trong bài toán này, các điều kiện cần và đủ cho điều khiển tối ưu được thiết lập thông qua các phương pháp toán học hiện đại. Các kết quả này có thể được áp dụng trong các bài toán thực tiễn như điều khiển máy bay, ô tô, và tàu hỏa.
III. Ứng dụng điều khiển tối ưu
Ứng dụng điều khiển tối ưu trong các lĩnh vực kỹ thuật, vật lý, và cơ học là một trong những mục tiêu chính của nghiên cứu này. Các kết quả thu được từ việc nghiên cứu phương trình khuếch tán không cổ điển chứa nhớ có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán thực tiễn, đặc biệt là các bài toán liên quan đến điều khiển các hệ thống động học. Phân tích điều khiển và mô phỏng khuếch tán là các bước quan trọng trong quá trình ứng dụng các kết quả nghiên cứu.
3.1. Phân tích điều khiển
Phân tích điều khiển là quá trình đánh giá và tối ưu hóa các hệ thống điều khiển. Trong nghiên cứu này, các điều kiện cần và đủ cho điều khiển tối ưu được phân tích và đánh giá. Các kết quả này giúp hiểu rõ hơn về cách thức điều khiển các hệ thống động học phức tạp, đặc biệt là các hệ thống chịu ảnh hưởng của các yếu tố quá khứ.
3.2. Mô phỏng khuếch tán
Mô phỏng khuếch tán là quá trình sử dụng các mô hình toán học để mô phỏng các quá trình khuếch tán trong thực tế. Trong nghiên cứu này, các mô hình khuếch tán không cổ điển chứa nhớ được mô phỏng để hiểu rõ hơn về quá trình khuếch tán trong các vật liệu nhất định. Các kết quả mô phỏng giúp đưa ra các dự đoán và giải pháp cho các bài toán thực tiễn.
