Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Dáng điệu tiệm cận và bài toán điều khiển đối với một số lớp phương trình parabolic suy biến mạnh" của nghiên cứu sinh Nguyễn Xuân Tú, thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của GS. TS Cung Thế Anh và TS Trần Văn Bằng, thuộc chuyên ngành Toán giải tích (mã số: 9 46 01 02).

Nghiên cứu xuất phát từ bối cảnh các quá trình truyền nhiệt, khuếch tán và mô hình sinh thái học quần thể trong tự nhiên thường dẫn đến các lớp phương trình parabolic. Trong khi lý thuyết định tính và lý thuyết điều khiển cho phương trình parabolic không suy biến hoặc suy biến yếu đã đạt được nhiều kết quả phong phú, các nghiên cứu tương ứng dành cho phương trình parabolic suy biến mạnh vẫn còn nhiều vấn đề mở do cấu trúc toán học phức tạp: sự thiếu hụt các định lý nhúng Sobolev compact, thiếu kết quả về tính chính quy của nghiệm, thiếu nguyên lý cực trị và các đánh giá Carleman thích hợp.

Mục đích nghiên cứu của luận án là khảo sát sự tồn tại, tính duy nhất của nghiệm, dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian tiến ra vô cùng (thông qua lý thuyết tập hút toàn cục) và tính điều khiển được cho các lớp phương trình parabolic suy biến mạnh bằng các công cụ của giải tích hàm.

Nhiệm vụ nghiên cứu của luận án được xác định cụ thể theo ba nội dung chính:

  1. Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất của nghiệm yếu và sự tồn tại của tập hút toàn cục đối với phương trình parabolic nửa tuyến tính chứa toán tử suy biến mạnh $\Delta_\lambda$ trên miền bị chặn $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ với lớp hàm phi tuyến mới không bị áp đặt điều kiện chặn trên về tăng trưởng.
  2. Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất của nghiệm yếu và sự tồn tại của tập hút toàn cục đối với phương trình parabolic chứa toán tử suy biến mạnh $P_{s,\gamma}$ trên toàn không gian $\mathbb{R}^N$ với lớp hàm phi tuyến mới không bị giới hạn bởi điều kiện tăng trưởng trên.
  3. Nghiên cứu tính điều khiển được về 0 đối với phương trình parabolic tuyến tính chứa toán tử suy biến mạnh $P_{s,\gamma}$ trong trường hợp nhiều chiều tương ứng với các mức độ suy biến khác nhau của các tham số $s$ và $\gamma$.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

  • Đối tượng nghiên cứu: Nghiệm yếu, tập hút toàn cục của hệ động lực vô hạn chiều và bài toán điều khiển tối ưu đối với phương trình parabolic chứa toán tử suy biến mạnh $\Delta_\lambda$ và $P_{s,\gamma}$.
  • Phạm vi không gian: Miền bị chặn $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \ge 2$) có biên trơn với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất và toàn không gian $\mathbb{R}^N = \mathbb{R}^{N_1} \times \mathbb{R}^{N_2} \times \mathbb{R}^{N_3}$ ($N_1, N_2, N_3 \ge 1$).
  • Phạm vi thời gian: Khảo sát dáng điệu tiệm cận khi $t \to +\infty$ và bài toán điều khiển trong khoảng thời gian hữu hạn $[0, T]$.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Tổng quan tài liệu trong luận án điểm lại các hướng nghiên cứu chính về phương trình đạo hàm riêng suy biến và lý thuyết điều khiển:

  • Nghiên cứu về phương trình parabolic chứa toán tử Grushin: Toán tử Grushin $G_s = \Delta_x + |x|^{2s} \Delta_y$ trên $\mathbb{R}^{N_1} \times \mathbb{R}^{N_2}$ ($s \ge 0$) được giới thiệu từ công trình của Grushin (1970). Dựa trên phép nhúng kiểu Sobolev, Kế (2013) đã mở rộng nghiên cứu với lớp số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức $C_1 |u|^p - C_0 \le f(u)u \le C_2 |u|^p + C_0$ ($p \ge 2$).
  • Nghiên cứu về phương trình parabolic chứa toán tử suy biến mạnh $P_{s,\gamma}$: Toán tử $P_{s,\gamma} = \Delta_x + \Delta_y + |x|^{2s} |y|^{2\gamma} \Delta_z$ được nghiên cứu bởi nhiều tác giả. Các kết quả về sự tồn tại nghiệm và tập hút toàn cục trên miền bị chặn với điều kiện biên Dirichlet được thiết lập cho hai lớp số hạng phi tuyến: tăng trưởng tiêu hao kiểu Sobolev hoặc kiểu đa thức. Tính chính quy của tập hút trên miền bị chặn và miền không bị chặn đã được khảo sát. Tuy nhiên, các công trình hiện có đều áp đặt điều kiện chặn trên đối với hàm phi tuyến, loại trừ các dạng hàm tăng trưởng nhanh như hàm mũ $f(u) = e^u$.
  • Nghiên cứu về phương trình parabolic chứa toán tử $\Delta_\lambda$: Toán tử $\Delta_\lambda = \sum_{i=1}^N \partial_{x_i}(\lambda_i^2 \partial_{x_i})$ do Franchi và Lanconelli giới thiệu (1984) và được phát triển tiếp bởi Kogoj và Lanconelli. Sonner đã nghiên cứu tính tồn tại nghiệm, tập hút và đánh giá số chiều fractal hữu hạn của tập hút với số hạng phi tuyến bị chặn trên.
  • Nghiên cứu về lý thuyết điều khiển hệ parabolic: Khởi đầu từ Dolecki và Russell (1977), Russell (1978), bước phát triển cơ bản được thiết lập khi J.-L. Lions (1988) đề xuất Phương pháp duy nhất Hilbert (Hilbert Uniqueness Method - HUM). Đối với phương trình parabolic không suy biến, các kết quả của Fursikov và Imanuvilov (1996), Lebeau và Robbiano (1995) đã hoàn thiện lý thuyết điều khiển nhờ bất đẳng thức Carleman. Đối với phương trình parabolic suy biến, đa số kết quả tập trung ở trường hợp một chiều; trong khi trường hợp nhiều chiều mới chỉ có một số khảo sát cho toán tử Grushin, phương trình dạng Kolmogorov hoặc lớp suy biến đặc thù.

Khoảng trống nghiên cứu mà luận án lựa chọn giải quyết bao gồm:

  1. Giải quyết bài toán tập hút toàn cục cho phương trình parabolic chứa toán tử $\Delta_\lambda$ trên miền bị chặn và $P_{s,\gamma}$ trên toàn không gian $\mathbb{R}^N$ khi hàm phi tuyến $f$ không bị khống chế bởi bất kỳ điều kiện tăng trưởng trên nào (cho phép số hạng phi tuyến kiểu mũ).
  2. Xử lý sự mất mát tính compact của các phép nhúng Sobolev khi xét bài toán trên toàn không gian $\mathbb{R}^N$.
  3. Khảo sát tính điều khiển được về 0 của hệ parabolic suy biến mạnh chứa toán tử $P_{s,\gamma}$ trong không gian nhiều chiều theo các bậc suy biến khác nhau của các biến không gian.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng khung phân tích của giải tích hàm hiện đại, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng và lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều:

  • Các lớp toán tử suy biến mạnh:
    • Toán tử $\Delta_\lambda$-Laplace: $\Delta_\lambda := \sum_{i=1}^N \partial_{x_i} (\lambda_i^2 \partial_{x_i})$, với các hàm trọng $\lambda_i(x)$ dương ngặt ngoài các siêu phẳng tọa độ $\Pi$, thỏa mãn tính thuần nhất đối với nhóm co dãn ${\delta_t}{t>0}$ với $\delta_t(x) = (t^{\varepsilon_1}x_1, \dots, t^{\varepsilon_N}x_N)$ ($1 \le \varepsilon_1 \le \dots \le \varepsilon_N$). Số chiều thuần nhất của không gian là $Q = \sum{i=1}^N \varepsilon_i$. Theo tiêu chuẩn Hörmander, $\Delta_\lambda$ là toán tử hypoelliptic.
    • Toán tử $P_{s,\gamma}$: $P_{s,\gamma} = \Delta_x + \Delta_y + |x|^{2s} |y|^{2\gamma} \Delta_z$ trên không gian $\mathbb{R}^N = \mathbb{R}^{N_1} \times \mathbb{R}^{N_2} \times \mathbb{R}^{N_3}$, suy biến tại các siêu phẳng $x = 0$ hoặc $y = 0$. Nhóm co dãn tương ứng là $\delta_t(x, y, z) = (tx, ty, t^{1+s+\gamma}z)$ và số chiều thuần nhất $Q = N_1 + N_2 + (1+s+\gamma)N_3$.
  • Hệ thống không gian hàm:
    • Không gian Lebesgue $L^p(\Omega)$, không gian phụ thuộc thời gian $C([0, T]; X)$, $L^p(0, T; X)$.
    • Không gian Sobolev có trọng: $\mathring{W}\lambda^{1,2}(\Omega)$ với chuẩn $|u|{\mathring{W}\lambda^{1,2}(\Omega)} = |\nabla\lambda u|{L^2(\Omega)}$ (trong đó $\nabla\lambda u = (\lambda_1 \partial_{x_1}u, \dots, \lambda_N \partial_{x_N}u)$); miền xác định $D(\Delta_\lambda)$; không gian $S^1(\mathbb{R}^N)$ trang bị tích vô hướng $((u, v)){S^1(\mathbb{R}^N)} = \int{\mathbb{R}^N} (uv + \nabla_x u \cdot \nabla_x v + \nabla_y u \cdot \nabla_y v + |x|^{2s}|y|^{2\gamma} \nabla_z u \cdot \nabla_z v) dX$; và không gian $S^2(\mathbb{R}^N)$ với chuẩn $|u|{S^2(\mathbb{R}^N)}^2 = \int{\mathbb{R}^N} (|u|^2 + |P_{s,\gamma}u|^2) dX$.
  • Lý thuyết tập hút toàn cục: Nửa nhóm nghiệm ${S(t)}_{t \ge 0}$ trên không gian Banach $X$, khái niệm tập hấp thụ bị chặn $B_0$, tính compact tiệm cận của nửa nhóm, và định lý xác định tập hút toàn cục $\mathcal{A} = \omega(B_0)$.
  • Lý thuyết điều khiển tuyến tính: Phương pháp duy nhất Hilbert (HUM) của J.-L. Lions, chuyển đổi tính điều khiển được về 0 của hệ trạng thái sang bất đẳng thức quan sát được của hệ liên hợp: $$|\phi(0)|{L^2(\Omega)}^2 \le C \int_0^T |B^* \phi(t)|{L^2(\omega)}^2 dt.$$

Các phương pháp nghiên cứu chính:

  1. Chứng minh sự tồn tại nghiệm: Phương pháp xấp xỉ Galerkin trên cơ sở các hàm riêng của toán tử, kết hợp phương pháp năng lượng và phương pháp compact (sử dụng Bổ đề Aubin-Lions-Simon và Bổ đề Strauss).
  2. Chứng minh tính duy nhất và tính liên tục của nghiệm: Sử dụng kỹ thuật ánh xạ cắt Nemytskii $B_k(s)$ của Fabrie et al. (để xử lý trường hợp $f(u) \in L^1(Q_T)$ khi $u \notin L^\infty(Q_T)$).
  3. Chứng minh tập hút toàn cục: Đánh giá tiên nghiệm tiệm cận, thiết lập tập hấp thụ bị chặn qua các bất đẳng thức Gronwall vi phân, tích phân và Gronwall dạng đều; chứng minh tính compact của phép nhúng $D(\Delta_\lambda) \hookrightarrow \mathring{W}_\lambda^{1,2}(\Omega)$ trên miền bị chặn hoặc kỹ thuật phân chia miền trên toàn không gian.
  4. Chứng minh tính điều khiển được: Kết hợp phương pháp HUM với phép khai triển Fourier theo các biến không gian, đẳng thức Bessel-Parseval, thiết lập các bất đẳng thức Carleman mới và đánh giá tốc độ tán xạ của chuỗi nghiệm.

Nguồn tư liệu nghiên cứu: Toàn bộ dữ liệu nghiên cứu là các mô hình phương trình đạo hàm riêng giải tích thuần túy, các định lý giải tích hàm và công trình khoa học chuyên ngành.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 1 hệ thống hóa các khái niệm và kết quả bổ trợ nền tảng phục vụ cho ba chương nội dung sau:

  • Định nghĩa chi tiết cấu trúc giải tích và hình học của hai lớp toán tử suy biến mạnh $\Delta_\lambda$ và $P_{s,\gamma}$, bao gồm nhóm co dãn ${\delta_t}_{t>0}$ và số chiều thuần nhất $Q$.
  • Xây dựng hệ thống các không gian hàm Sobolev có trọng $\mathring{W}\lambda^{1,2}(\Omega)$, $D(\Delta\lambda)$, $S^1(\mathbb{R}^N)$, $S^2(\mathbb{R}^N)$, $S_0^1(\Omega)$, đồng thời nhắc lại các tính chất nhúng liên tục và nhúng compact tương ứng.
  • Trình bày lý thuyết tập hút toàn cục cho hệ động lực vô hạn chiều tiêu hao $(X, S(t))$, các khái niệm tập hấp thụ bị chặn, tính compact tiệm cận, và Định lý 1.1 khẳng định sự tồn tại tập hút toàn cục compact, liên thông $\mathcal{A} = \omega(B_0)$.
  • Trình bày lý thuyết điều khiển được của hệ parabolic tuyến tính $\partial_t u = Au + Bv$, định nghĩa các dạng điều khiển (điều khiển chính xác, điều khiển chính xác đến quỹ đạo, điều khiển về 0, điều khiển xấp xỉ).
  • Thiết lập phương pháp duy nhất Hilbert (HUM) của J.-L. Lions: chứng minh tương đương giữa tính điều khiển được về 0 của hệ ban đầu và tính quan sát được của hệ liên hợp $\partial_t \phi + A^* \phi = 0$ thông qua cực tiểu hóa phiếm hàm $J(\phi_T)$.
  • Tổng hợp các công cụ giải tích bổ trợ: Bất đẳng thức Cauchy, Hölder, Gronwall vi phân, Gronwall tích phân, Gronwall dạng đều; Bổ đề compact Aubin-Lions-Simon (Định lý 1.2); Bổ đề Strauss (Định lý 1.3); Đẳng thức Bessel-Parseval và công thức tọa độ cầu trong $\mathbb{R}^N$.

Chương 2: Tập hút toàn cục của một lớp phương trình parabolic suy biến mạnh trên miền bị chặn

Chương 2 nghiên cứu bài toán parabolic nửa tuyến tính suy biến mạnh: $$\begin{cases} u_t - \Delta_\lambda u + f(u) = g(x), & x \in \Omega, t > 0, \ u(x, t) = 0, & x \in \partial\Omega, t > 0, \ u(x, 0) = u_0(x), & x \in \Omega, \end{cases}$$ trên miền bị chặn $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N \ge 2$) với biên trơn $\partial\Omega$. Ngoại lực $g \in L^2(\Omega)$, điều kiện ban đầu $u_0 \in L^2(\Omega)$, và hàm phi tuyến $f \in C^1(\mathbb{R})$ thỏa mãn: $$f'(u) \ge -\ell,$$ $$f(u)u \ge \mu u^2 - C_1,$$ trong đó $C_1, \ell > 0$ và $0 < \mu < \gamma_1$ ($\gamma_1 > 0$ là giá trị riêng thứ nhất của toán tử $-\Delta_\lambda$ với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất). Điểm then chốt là $f(u)$ không bị giới hạn bởi bất kỳ điều kiện tăng trưởng trên nào.

Các kết quả và luận điểm chính của chương:

  • Chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu (Định lý 2.1):
    • Sự tồn tại nghiệm: Sử dụng xấp xỉ Galerkin theo hệ hàm riêng ${e_j}{j=1}^n$ của toán tử $-\Delta\lambda$. Thiết lập đánh giá tiên nghiệm trong $L^\infty(0, T; L^2(\Omega)) \cap L^2(0, T; \mathring{W}_\lambda^{1,2}(\Omega))$. Để xử lý khó khăn khi $f(u) \in L^1(Q_T)$, tác giả xét hàm $h(s) = f(s) - f(0) + \gamma s$ ($\gamma > \ell$), chứng minh $f(u_n)$ bị chặn trong $L^1(Q_T)$, từ đó áp dụng Bổ đề Aubin-Lions-Simon và Bổ đề Strauss để chuyển qua giới hạn, thu được nghiệm yếu $u$.
    • Tính duy nhất và tính phụ thuộc liên tục: Do $u \notin L^\infty(Q_T)$, tác giả áp dụng hàm cắt $B_k(s)$ ($B_k(s) = s$ khi $|s| \le k$ và $B_k(s) = \pm k$ khi $|s| > k$) cùng toán tử Nemytskii $\hat{B}k(w)$ với $w = u - v$, kết hợp bất đẳng thức Gronwall tích phân suy ra $|w(t)|{L^2(\Omega)}^2 \le |w(0)|_{L^2(\Omega)}^2 e^{2\ell T}$.
  • Thiết lập sự tồn tại tập hấp thụ bị chặn:
    • Bổ đề 2.1: Chứng minh nửa nhóm ${S(t)}{t \ge 0}$ có tập hấp thụ bị chặn trong $L^2(\Omega)$ thỏa mãn $|u(t)|{L^2(\Omega)}^2 \le \rho_1$ với mọi $t \ge T_1$.
    • Bổ đề 2.2: Chứng minh nửa nhóm có tập hấp thụ bị chặn trong $\mathring{W}\lambda^{1,2}(\Omega)$ thỏa mãn $|u(t)|{\mathring{W}_\lambda^{1,2}(\Omega)}^2 \le \rho_2$ với mọi $t \ge T_2$.
  • Tính compact tiệm cận và sự tồn tại tập hút toàn cục (Định lý 2.2):
    • Bổ đề 2.3: Bằng cách đạo hàm phương trình theo thời gian, chứng minh $|u_t(t)|{L^2(\Omega)}^2 \le \rho_3$ và $|\Delta\lambda u(t)|{L^2(\Omega)}^2 \le \rho_4$ với mọi $t \ge T_3$, từ đó chỉ ra sự tồn tại tập hấp thụ bị chặn trong $D(\Delta\lambda)$.
    • Bổ đề 2.4: Chứng minh phép nhúng $D(\Delta_\lambda) \hookrightarrow \mathring{W}_\lambda^{1,2}(\Omega)$ là compact.
    • Định lý 2.2 khẳng định nửa nhóm ${S(t)}{t \ge 0}$ có một tập hút toàn cục $\mathcal{A}$ compact, liên thông trong không gian $\mathring{W}\lambda^{1,2}(\Omega)$.

Chương 3: Tập hút toàn cục của một lớp phương trình parabolic suy biến mạnh trên toàn không gian

Chương 3 mở rộng bài toán sang toàn không gian $\mathbb{R}^N = \mathbb{R}^{N_1} \times \mathbb{R}^{N_2} \times \mathbb{R}^{N_3}$ ($N \ge 2$): $$\begin{cases} \partial_t u - P_{s,\gamma} u + f(X, u) + \lambda u = g(X), & X \in \mathbb{R}^N, t > 0, \ u(X, 0) = u_0(X), & X \in \mathbb{R}^N, \end{cases}$$ với $\lambda > 0$, $u_0 \in L^2(\mathbb{R}^N)$, $g \in L^2(\mathbb{R}^N)$, hàm $f \in C^1(\mathbb{R}^N \times \mathbb{R})$ thỏa mãn $f_u'(X, u) \ge -\ell$, $f(X, u)u \ge \mu u^2 - C_1(X)$ với $0 < \mu < \lambda$ và $C_1 \in L^1(\mathbb{R}^N) \cap L^2(\mathbb{R}^N)$.

Các nội dung và kết quả chính:

  • Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu trên toàn không gian (Định lý 3.1):
    • Do xét trên toàn không gian $\mathbb{R}^N$, phép nhúng Sobolev không còn compact. Tác giả tiếp cận bằng cách xét dãy bài toán xấp xỉ trên các hình cầu bị chặn $B_R = {X \in \mathbb{R}^N : |X| < R}$: $$\partial_t u_R - P_{s,\gamma} u_R + f(X, u_R) + \lambda u_R = g(X), \quad X \in B_R, \quad u_R|_{\partial B_R} = 0.$$
    • Nghiệm $u_R$ được thác triển lên toàn không gian qua hàm cắt trơn $\psi_R(|X|)$: $\hat{u}{r_j}(X) = u{r_j}(X)\psi_{r_j}(|X|)$ trên $B_{r_j}$ và bằng 0 trên $\mathbb{R}^N \setminus B_{r_j}$.
    • Chứng minh dãy ${\hat{u}{r_j}}$ bị chặn trong $L^\infty(0, T; L^2(\mathbb{R}^N)) \cap L^2(0, T; S^1(\mathbb{R}^N))$. Dùng phép chiếu $u_j^k = L_k \hat{u}{r_j}$ trên hình cầu cố định $B_{r_k}$ và Bổ đề Aubin-Lions-Simon để chuyển qua giới hạn khi $r_j \to +\infty$, chứng minh nghiệm giới hạn $u_\infty$ là nghiệm yếu duy nhất của bài toán trên $\mathbb{R}^N$.
    • Tính duy nhất và phụ thuộc liên tục được chứng minh bằng kỹ thuật hàm cắt $B_k(w)$ tương tự Chương 2.
  • Sự tồn tại của tập hút toàn cục trong $L^2(\mathbb{R}^N)$ và $S^1(\mathbb{R}^N)$:
    • Thiết lập các tập hấp thụ bị chặn của nửa nhóm ${S(t)}_{t \ge 0}$ trong $L^2(\mathbb{R}^N)$ và $S^1(\mathbb{R}^N)$.
    • Khắc phục sự mất tính compact của phép nhúng trên miền không bị chặn bằng phương pháp ước lượng đuôi tích phân (tail estimates) ngoài hình cầu bán kính lớn.
    • Chứng minh tính compact tiệm cận của nửa nhóm và xác lập sự tồn tại tập hút toàn cục $\mathcal{A}$ trong các không gian trọng $L^2(\mathbb{R}^N)$ và $S^1(\mathbb{R}^N)$.

Chương 4: Tính điều khiển được của lớp phương trình parabolic suy biến mạnh

Chương 4 nghiên cứu bài toán điều khiển cho phương trình parabolic tuyến tính chứa toán tử $P_{s,\gamma}$ trên miền tích $\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2 \times \Omega_3 \subset \mathbb{R}^{N_1} \times \mathbb{R}^{N_2} \times \mathbb{R}^{N_3}$ với tập tác động điều khiển $\omega = \omega_1 \times \Omega_2 \times \Omega_3$ ($\omega_1 \subset \Omega_1$ là tập con mở khác rỗng): $$\begin{cases} \partial_t u - P_{s,\gamma} u = 1_\omega v, & (x, y, z) \in \Omega, t \in (0, T), \ u(x, y, z, t) = 0, & (x, y, z) \in \partial\Omega, t \in (0, T), \ u(x, y, z, 0) = u_0(x, y, z), & (x, y, z) \in \Omega, \end{cases}$$ trong đó $v \in L^2(0, T; L^2(\omega))$ là hàm điều khiển, $u_0 \in L^2(\Omega)$, $1_\omega$ là hàm đặc trưng của miền $\omega$.

Lược đồ giải quyết và các phát hiện chính:

  • Hệ liên hợp và phương pháp HUM: $$\begin{cases} -\partial_t \phi - P_{s,\gamma} \phi = 0, & (x, y, z) \in \Omega, t \in (0, T), \ \phi = 0, & (x, y, z) \in \partial\Omega, t \in (0, T), \ \phi(T) = \phi_T, & (x, y, z) \in \Omega. \end{cases}$$
  • Khai triển Fourier và phân tích theo tần số: Phân tích nghiệm $\phi$ theo cơ sở trực chuẩn của toán tử Laplace trên $\Omega_2 \times \Omega_3$ ứng với các giá trị riêng để đưa phương trình về họ các phương trình vi phân đạo hàm riêng một chiều theo biến $x$ phụ thuộc các tham số tần số $(\lambda, \mu)$. Áp dụng đẳng thức Bessel-Parseval để quy bài toán quan sát nhiều chiều về bài toán quan sát đều theo tần số.
  • Xây dựng bất đẳng thức Carleman mới và đánh giá tốc độ tán xạ nghiệm tương ứng với trọng lượng suy biến $|x|^{2s} |y|^{2\gamma}$.
  • Phân loại tính điều khiển được theo mức độ suy biến (Định lý 4):
Trường hợp tham số Mức độ suy biến Kết quả tính điều khiển được về 0
$s + \gamma \in (0, 1/2)$ Suy biến yếu Điều khiển được về 0 tại mọi thời điểm $T > 0$.
$s = \gamma = 1/2$ Suy biến mạnh Điều khiển được về 0 khi và chỉ khi thời gian điều khiển đủ lớn $T \ge T^$ ($T^$ là thời gian tới hạn).
$s + \gamma > 1$ Suy biến quá mạnh Không điều khiển được về 0 với bất kỳ thời gian $T > 0$ nào.
  • Chứng minh tính không điều khiển được khi $s + \gamma > 1$: Tác giả xây dựng dãy dữ kiện ban đầu khiến nghiệm của hệ liên hợp tập trung cao độ tại vùng suy biến và triệt tiêu rất nhanh bên ngoài vùng quan sát $\omega$, dẫn đến bất đẳng thức quan sát không thể xảy ra với bất kỳ hằng số $C > 0$ nào.

Kết quả và những đóng góp mới

Các đóng góp mới về mặt lý luận được luận án công bố gồm:

  1. Thiết lập sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu và chứng minh sự tồn tại của tập hút toàn cục trong không gian Sobolev có trọng $\mathring{W}\lambda^{1,2}(\Omega)$ cho phương trình parabolic nửa tuyến tính chứa toán tử suy biến mạnh $\Delta\lambda$ trên miền bị chặn với lớp hàm phi tuyến tổng quát không bị giới hạn bởi điều kiện tăng trưởng trên (cho phép hàm phi tuyến tăng trưởng kiểu mũ $f(u) = e^u$).
  2. Thiết lập sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu và chứng minh sự tồn tại của tập hút toàn cục trong các không gian $L^2(\mathbb{R}^N)$ và $S^1(\mathbb{R}^N)$ cho phương trình parabolic chứa toán tử suy biến mạnh $P_{s,\gamma}$ trên toàn không gian $\mathbb{R}^N$ với hàm phi tuyến tổng quát, giải quyết triệt để khó khăn do mất tính compact của phép nhúng Sobolev bằng phương pháp xấp xỉ hình cầu và đánh giá đuôi tích phân.
  3. Thiết lập bức tranh hoàn chỉnh về tính điều khiển được về 0 đối với phương trình parabolic tuyến tính chứa toán tử suy biến mạnh $P_{s,\gamma}$ trong không gian nhiều chiều: xác định điều kiện cần và đủ theo tổng số mũ suy biến $s + \gamma$, chỉ ra ngưỡng thời gian tới hạn $T^*$ khi $s = \gamma = 1/2$ và chứng minh tính không điều khiển được khi mức độ suy biến quá mạnh $s + \gamma > 1$.

Về mặt công bố khoa học, các kết quả của luận án đã được công bố trong 02 bài báo khoa học trên các tạp chí quốc tế thuộc danh mục ESCI/Scopus và 01 bản thảo hoàn thiện gửi đăng.

Kiến nghị và giải pháp đề xuất từ luận án:

  • Kiến nghị tiếp tục phát triển các kỹ thuật giải tích của luận án để nghiên cứu bài toán điều khiển cho phương trình parabolic nửa tuyến tính (phi tuyến) chứa toán tử $P_{s,\gamma}$.
  • Đề xuất mở rộng nghiên cứu bài toán dáng điệu tiệm cận và điều khiển cho các lớp toán tử suy biến cấp cao hoặc phương trình hyperbolic, phương trình sóng suy biến tương ứng.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của luận án:

  • Luận án mới chỉ khảo sát sự tồn tại và tính trơn của tập hút toàn cục cho lớp hàm phi tuyến không bị chặn điều kiện tăng trưởng, chưa đánh giá được số chiều fractal và số chiều Hausdorff của tập hút toàn cục trong trường hợp này.
  • Bài toán điều khiển mới được giải quyết hoàn chỉnh cho phương trình tuyến tính chứa toán tử $P_{s,\gamma}$ với miền điều khiển có dạng trụ $\omega = \omega_1 \times \Omega_2 \times \Omega_3$, chưa xét được cho miền điều khiển có hình học tổng quát bất kỳ và chưa xét cho trường hợp hệ nửa tuyến tính.

Hướng nghiên cứu tiếp:

  • Nghiên cứu tính hữu hạn chiều (chiều fractal, chiều Hausdorff) của tập hút toàn cục đối với phương trình parabolic chứa toán tử $\Delta_\lambda$ và $P_{s,\gamma}$ với số hạng phi tuyến tăng trưởng kiểu mũ.
  • Mở rộng bài toán điều khiển được về 0 cho phương trình parabolic nửa tuyến tính suy biến mạnh.
  • Nghiên cứu tính điều khiển được đối với miền kiểm soát $\omega$ tổng quát không có cấu trúc tích.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu chuyên khảo có giá trị học thuật dành cho:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên chuyên ngành Toán giải tích, Phương trình vi phân và đạo hàm riêng, Lý thuyết hệ động lực và Lý thuyết điều khiển.
  • Các nhà nghiên cứu quan tâm đến kỹ thuật ước lượng tiên nghiệm tiệm cận đối với hàm phi tuyến không thỏa mãn điều kiện tăng trưởng Sobolev (Chương 2 và Chương 3).
  • Các nhà nghiên cứu lý thuyết điều khiển PDEs quan tâm đến phương pháp khai triển Fourier kết hợp ước lượng Carleman nhiều chiều cho các hệ suy biến (Chương 4).

Câu hỏi thường gặp

1. Toán tử $\Delta_\lambda$ và toán tử $P_{s,\gamma}$ có mối quan hệ như thế nào?

Toán tử $\Delta_\lambda = \sum_{i=1}^N \partial_{x_i}(\lambda_i^2 \partial_{x_i})$ là lớp toán tử elliptic suy biến tổng quát do Franchi và Lanconelli giới thiệu. Lớp toán tử này bao hàm cả toán tử Grushin $G_s = \Delta_x + |x|^{2s}\Delta_y$ và toán tử suy biến mạnh $P_{s,\gamma} = \Delta_x + \Delta_y + |x|^{2s}|y|^{2\gamma}\Delta_z$ như các trường hợp riêng khi lựa chọn các hàm trọng $\lambda_i$ tương ứng. Cả hai lớp toán tử đều có tính chất hypoelliptic theo tiêu chuẩn Hörmander nhưng không elliptic đều trên toàn miền.

2. Khó khăn toán học lớn nhất khi hàm phi tuyến $f(u)$ không bị chặn trên bởi điều kiện tăng trưởng là gì và tác giả đã xử lý thế nào?

Khi không có điều kiện chặn trên về tăng trưởng, số hạng phi tuyến $f(u)$ chỉ thuộc không gian $L^1(Q_T)$ thay vì các không gian $L^p$ chuẩn mực, và nghiệm $u$ không thuộc $L^\infty(Q_T)$. Điều này khiến các phép thử nghiệm tiêu chuẩn và việc chuyển qua giới hạn trong phương trình Galerkin không thực hiện được trực tiếp. Tác giả đã vượt qua bằng cách:

  • Xét hàm phụ trợ $h(s) = f(s) - f(0) + \gamma s \ge 0$ để chứng minh tính bị chặn trong $L^1(Q_T)$, sau đó dùng Bổ đề Strauss và Bổ đề Aubin-Lions-Simon để chuyển qua giới hạn.
  • Sử dụng hàm cắt Nemytskii $B_k(w)$ của Fabrie et al. để chứng minh tính duy nhất và phụ thuộc liên tục của nghiệm mà không đòi hỏi $w \in L^\infty$.

3. Tại sao bài toán tập hút trên toàn không gian $\mathbb{R}^N$ phức tạp hơn trên miền bị chặn $\Omega$?

Trên miền bị chặn $\Omega$, phép nhúng Sobolev $\mathring{W}_\lambda^{1,2}(\Omega) \hookrightarrow L^2(\Omega)$ là compact, giúp nửa nhóm $S(t)$ có tính compact trực tiếp. Trên toàn không gian $\mathbb{R}^N$, tính compact của các phép nhúng Sobolev bị mất hoàn toàn. Để giải quyết, tác giả phải giải bài toán xấp xỉ trên các hình cầu $B_R$, dùng hàm cắt trơn $\psi_R$ thác triển nghiệm lên $\mathbb{R}^N$, và kết hợp kỹ thuật đánh giá năng lượng đuôi tích phân ngoài hình cầu lớn để khôi phục tính compact tiệm cận.

4. Kết quả điều khiển phương trình parabolic chứa $P_{s,\gamma}$ phụ thuộc vào các tham số $s$ và $\gamma$ ra sao?

Khả năng điều khiển được về 0 của hệ phụ thuộc trực tiếp vào tổng $s + \gamma$:

  • Khi $s + \gamma \in (0, 1/2)$ (suy biến yếu): Hệ điều khiển được về 0 với mọi thời gian $T > 0$.
  • Khi $s = \gamma = 1/2$ (suy biến mạnh): Hệ chỉ điều khiển được về 0 khi thời gian điều khiển đủ lớn $T \ge T^*$.
  • Khi $s + \gamma > 1$ (suy biến quá mạnh): Hệ hoàn toàn không thể điều khiển được về 0 tại bất kỳ thời điểm $T > 0$ nào do năng lượng của nghiệm hệ liên hợp bị suy giảm quá nhanh trong vùng suy biến.

Kết luận

Luận án của nghiên cứu sinh Nguyễn Xuân Tú đã giải quyết trọn vẹn các bài toán đặt ra về sự tồn tại, tính duy nhất của nghiệm yếu và sự tồn tại tập hút toàn cục đối với hai lớp phương trình parabolic suy biến mạnh chứa toán tử $\Delta_\lambda$ trên miền bị chặn và toán tử $P_{s,\gamma}$ trên toàn không gian trong trường hợp hàm phi tuyến không bị chặn trên. Đồng thời, công trình đã thiết lập các điều kiện phân loại chính xác về tính điều khiển được về 0 cho phương trình parabolic suy biến mạnh nhiều chiều theo các mức độ suy biến của toán tử $P_{s,\gamma}$. Các kết quả nghiên cứu đã làm phong phú thêm lý thuyết định tính và lý thuyết điều khiển cho phương trình đạo hàm riêng suy biến, thể hiện qua các bài báo khoa học công bố trên các tạp chí quốc tế uy tín.