phần mở đầu, ba chương chính và chương kết luận - kiến nghị. Trong nội dung các chương, chúng tôi sẽ lần lượt giới thiệu tổng quan các mô hình lý thuyết hiện tượng luận và vi mô mô tả mật độ mức của các hạt nhân kích thích; phương pháp khảo sát sự chuyển pha kết cặp của các hạt nhân kích thích và phân tích kết quả nghiên cứu về sự chuyển pha kết cặp của một số hạt nhân kích thích. GIỚI THIỆU TỔNG QUAN CÁC MÔ HÌNH LÝ THUYẾT MÔ TẢ MẬT ĐỘ MỨC HẠT NHÂN KÍCH THÍCH Về lý thuyết, mô hình để mô tả MĐM được chia thành hai loại gồm: mô hình hiện tượng luận [20-23] và mô hình vi mô [24–32]. Mỗi mô hình sẽ có những nhược điểm và ưu điểm riêng.
Sau đây, chúng tôi sẽ lần lượt trình bày các mô hình phổ biến được sử dụng để mô tả MĐM hạt nhân [33,60]. CÁC MÔ HÌNH VI MÔ Ở các mô hình vi mô, các hiệu ứng kết cặp, hiệu ứng dao động và hiệu ứng lớp được tính đến và được đưa vào một cách vi mô hoặc bán vi mô. Vì vậy các phương pháp này cho phép tính toán MĐM ở năng lượng kích thích bất kì. Tuy nhiên các mô hình vi mô có nhược điểm lớn là tính toán rất phức tạp và tốn rất nhiều thời gian khi tính toán cho các hạt nhân nặng.
Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi xin trình bày các mô hình vi mô gồm: mô hình Hartree-Fock kết hợp với lý thuyết siêu dẫn của Bardeen-Cooper-Schrieffer, mô hình Hartree-Fock-Bogoliubov tổ hợp và phương pháp mô phỏng Monte Carlo dựa trên mẫu lớp. Mô hình Hartree-Fock kết hợp với lý thuyết siêu dẫn của Bardeen – Cooper – Schrieffer (HFBCS) Như chúng ta đã biết, phương pháp Hartree-Fock (HF) được dùng để nghiên cứu vi mô thế trường trung bình của hệ trong hạt nhân, còn lý thuyết siêu dẫn của Bardeen–Cooper–Schrieffer (BCS) được dùng để tính toán các hiệu ứng kết cặp giữa các nucleon trong trường trung bình. Khi kết hợp lý thuyết siêu dẫn (BCS) và phương pháp (HF) tạo nên mô hình HFBCS, đây là mô hình tương tác mạnh giữa các nucleon thể hiện thông qua thế trường trung bình được tính toán từ vi mô của các bậc tự do nucleon [33]. Ở các mô hình vi mô, cấu trúc hạt nhân trong một trạng thái Vật lý được mô tả thông qua việc giải phương trình Hamiltonian của hệ, biểu diễn phương trình này trong lượng tử hóa thứ cấp gồm hai phần: phần mô tả trường trung bình 𝐻0 và phần mô tả kết cặp 𝐻𝑝𝑎𝑖𝑟 [34] có dạng: 𝐻 = 𝐻0 + 𝐻𝑝𝑎𝑖𝑟 7 = † ∑ 𝜀𝑗 (𝑎𝑗𝑚 † 𝑎𝑗𝑚 + 𝑎̃𝑗𝑚 † 𝑎̃𝑗𝑚 ) − 𝐺 ∑ ∑ 𝑎𝑗𝑚 † 𝑎̃𝑗𝑚 𝑎̃𝑗 ′ 𝑚𝑎𝑗 ′ 𝑚 (1.1) 𝑗𝑚,𝑚>0 𝑗𝑗 ′ 𝑚𝑚′ >0 † với 𝑎𝑗𝑚 (𝑎𝑗𝑚 ) là toán tử sinh (hủy) của một nucleon có moment góc j, hình † chiếu moment góc trên trục đối xứng m và năng lượng 𝜀𝑗.
𝑎𝑗𝑚 (𝑎𝑗𝑚 ) cũng là các toán tử sinh (hủy) một nucleon với moment góc j nhưng hình chiếu –m. Hệ số G đặc trưng cho cường độ tương tác cặp và các tương tác cặp này thường xét cho một cặp hai nucleon cùng loại. Trong mô hình vi mô HFBCS, MĐM tại spin J được tính theo mật độ trạng thái cho hạt nhân cầu có dạng [29]: 2𝐽 + 1 𝐽(𝐽+1) (1. 2 2 𝑗 MĐM của hạt nhân biến dạng được tính thông qua biểu thức [29]: 𝐽 1 1 2 2 2 2 𝜌𝑑𝑒𝑓 (𝐸 ∗ , 𝐽) = ∑ 𝑒 −[𝐽(𝐽+1)/(2𝜎⊥ )+𝐾 (1/𝜎 −1/𝜎⊥ )/2] 𝜔(𝐸 ∗), (1.4) 2 √2𝜋𝜎 2 𝐾=−𝐽 với 𝜎⊥ gọi là hệ số cắt spin vuông góc.
Lúc này MĐM hạt nhân tổng cộng được tính theo công thức [36]: 𝜌(𝐸 ∗ ) = ∑ 𝜌(𝐸 ∗ , 𝐽).5) 𝐽 Theo lý thuyết HFBCS, thì giá trị MĐM thu được từ công thức trên sẽ được chuẩn hóa với số liệu thực nghiệm thông qua 𝛿 𝑣à 𝛼 như sau [29]: 8 ∗ ( ) 𝐸𝑒𝑓𝑓 𝑇 = 𝐸 ∗(𝑇) − 𝛿, (1.7) trong đó đại lượng 𝛿 làm khớp số tích lũy các mức năng lượng của lý thuyết 𝑁(𝐸 ∗ ) với thực nghiệm trong vùng năng lượng thấp, 𝛼 có giá trị sao cho số liệu về khoảng cách mức trung bình lý thuyết tại năng lượng liên kết neutron 𝐷𝑡ℎ𝑒𝑜𝑟𝑦 (𝐵𝑛 ) trùng với số liệu thực nghiệm tương ứng. Mô hình vi mô HFBCS đã được sử dụng tính toán MĐM cho khoảng 8000 hạt nhân. Mặc dù HFBCS là mô hình vi mô được sử dụng rộng rãi, nó vẫn dùng các thông số làm khớp như trình bày ở trên để thu được các giá trị MĐM lý thuyết phù hợp với số liệu thực nghiệm. Bên cạnh đó, phương pháp HFBCS chưa tính đến các thăng giáng nhiệt xuất hiện do sự hữu hạn của hệ hạt nhân nguyên tử.
Do đó mô hình này vẫn chưa hoàn toàn vi mô và còn tồn tại một số hạn chế [37, 38]. Mô hình Hartree-Fock-Bogoliubov tổ hợp (HFBC) Một mô hình vi mô khác đã được đề xuất bới Goriely và các cộng sự có tên là Hartree-Fock-Bogoliubov tổ hợp (HFBC). Nhằm khắc phục những nhược điểm của mô hình HFBCS trong việc mô tả hiệu ứng kết cặp. Mô hình này vẫn dựa trên phương pháp của Hartree-Fock nghiên cứu vi mô trong thế trường trung bình của hệ hạt nhân.
Điểm mạnh của mô hình là hiệu ứng kết cặp đã được mô tả một cách tốt hơn dựa trên lý thuyết giả hạt và kết hợp với phương pháp tổ hợp. Ở phương pháp HFBC này, các toán tử sinh và hủy của Bogoliubov vẫn † xác định dựa trên các toán tử sinh hạt 𝑎𝑗𝑚 và hủy hạt 𝑎𝑗𝑚 trên quỹ đạo thứ j [39]: † † † (1.9) từ các toán tử sinh hạt và hủy hạt trên ta có kí hiệu ~ chỉ toán tử nghịch đảo thời gian, còn m là hình chiếu spin trạng thái j lên trục đối xứng z. Từ hai biểu 9 † thức (1.21), thì toán tử 𝛼̃𝑗𝑚 là sự kết hợp đồng bộ giữa một trạng thái |𝑗𝑚⟩ có biên độ 𝑢𝑗𝑚 với một trạng thái |𝑗 − 𝑚⟩ có biên độ 𝑣𝑗𝑚 , nên ta gọi toán tử này là toán tử sinh giả hạt, còn toán tử 𝛼𝑗𝑚 là toán tử hủy giả hạt [39]. Các trạng thái đơn hạt và lỗ được lần lượt định nghĩa [40-44]: 𝜀𝑖1 = 𝜀𝑍+1 𝜋 − 𝜀𝑍𝜋 𝑚1𝑖 = 𝑚𝑍+𝑖 𝜋 (1.13) , 𝑖 = 1, … , 𝐼4, 𝑝𝑖4 = 𝑝𝑁−𝑖+1 𝑣 4 𝑣 { ∆𝑖 = ∆𝑁−𝑖+1 trình bày lần lượt cho trạng thái của các hạt proton, trạng thái lỗ của proton, trạng thái hạt và trạng thái lỗ của hạt neutron.
Với các kí hiệu 𝜀, 𝑚, 𝑝, ∆ là năng lượng các mức kích thích, hình chiếu moment góc, chẵn lẻ và khe năng lượng kết cặp. Còn các chỉ số 𝐼1,𝐼2, 𝐼3 , 𝐼4 là số các trạng thái rời rạc cho từng loại hạt- lỗ. Trong các biểu thức trên thì dấu "-" biểu thị hình chiếu moment góc của các trạng thái lỗ luôn cùng phương nhưng ngược chiều với hình chiếu moment góc của trạng thái tạo ra trạng thái lỗ đó. Những trạng thái này được sử dụng để tính mật độ trạng thái hạt-lỗ, mật độ trạng thái tổng cộng và xây dựng hàm phân chia [45].
Vậy MĐM tính cho các hạt nhân có hình dạng cầu dựa trên công thức có dạng sau [32]: 10 𝜌𝑠𝑝ℎ (𝐸 ∗ , 𝐽, 𝑃) = 𝜔 (𝐸 ∗, 𝑀 = 𝐽, 𝑃) − 𝜔 (𝐸 ∗ , 𝑀 = 𝐽 + 1, 𝑃), (1.14) trong đó 𝜔 là mật độ trạng thái tổng cộng. Còn MĐM đối với hạt nhân biến dạng có dạng [32]: 1 𝐽 𝐽,𝑀 𝜌𝑑𝑒𝑓 (𝐸 ∗, 𝐽, 𝑃) = [∑ 𝜔(𝐸 ∗ − 𝐸𝑟𝑜𝑡 , 𝑀, 𝑃)] 2 𝑀=−𝐽,𝑀≠0 𝐽,0 (1.15) −𝛿(𝐽,𝑒𝑣𝑒𝑛)𝛿(𝑃=+) 𝜔(𝐸 ∗ − 𝐸𝑟𝑜𝑡 , 0, 𝑃) 𝐽,0 +𝛿(𝐽,𝑜𝑑𝑑)𝛿(𝑃=−) 𝜔(𝐸 ∗ − 𝐸𝑟𝑜𝑡 , 0, 𝑃), với 𝛿(𝑥) nhận giá trị 1 nếu 𝑥 thỏa mãn điều kiện J là chẵn (lẻ) hoặc P là dương 𝐽,𝑀 (âm) và nhận giá trị 0 cho các trường hợp khác. Còn 𝐸𝑟𝑜𝑡 là năng lượng được sinh ra do chuyển động quay của hạt nhân quanh trục vuông góc với trục đối xứng. Khi có sự kết hợp với các hiệu ứng bên ngoài thì MĐM toàn phần của hạt nhân được tính theo công thức sau [36]: 𝜌(𝐸 ∗) = ∑ 𝜌(𝐸 ∗ , 𝐽, 𝑃).16) 𝐽,𝑃 Tuy mô hình HFBC mô tả tốt hiệu ứng kết cặp hơn so với HFBCS, nó vẫn còn nhược điểm là bị vi phạm nguyên lý bảo toàn số hạt như đã chỉ ra trong nhiều nghiên cứu [21, 39, 46-48].
Mặt khác, với hàm phân chia tính theo phương pháp tổ hợp chỉ đóng góp cho các trạng thái của một hạt - một lỗ mà không xét đến các trạng thái kích thích bậc cao hơn, những trạng thái này đóng vai trò vô cùng quan trọng khi năng lượng kích thích hạt nhân có giá trị lớn. Từ đó để tạo sự phù hợp với các kết quả thực nghiệm, người ta đã thực hiện thêm yếu tố mới là chuẩn hóa kết quả tính toán lý thuyết với số liệu thực nghiệm thông qua hai hệ số làm khớp. Vì vậy mô hình HFBC cũng không hoàn toàn vi mô. Phương pháp mô phỏng Monte Carlo dựa trên mẫu lớp (SMMC) So với hai mô hình HFBCS và HFBC thì phương pháp mô phỏng Monte Carlo dựa trên mẫu lớp (SMMC) đã thành công trong việc mô tả MĐM thực nghiệm của một loạt các hạt nhân có khối lượng nhẹ tới trung bình như trong tài liệu tham khảo [25-28, 49-51].
Tuy nhiên phương pháp SMMC này vẫn có hai hạn chế cơ bản. Hạn chế đầu tiên là thời gian tính toán khá lớn, đặc biệt đối với các hạt nhân nặng. Hạn chế thứ hai là vẫn sử dụng một hệ số 𝜎𝑐 để làm khớp MĐM lý thuyết với số liệu thực nghiệm. Ở phương pháp này, Hamiltonian sử dụng trong mẫu lớp có dạng [49, 52]: 1 𝐻 = ∑ 𝜀𝑗 𝜌̂𝑗 + ∑ 𝑣𝑗 𝜌̂𝑗2 , (1.17) 2 𝑗 𝑗 trong đó 𝜀𝑗 gọi là năng lượng đơn hạt, 𝑣𝑗 là đại lượng đặc trưng cho tương tác, 𝜌̂𝑗 là toán tử một hạt, 𝜌̂𝑗 là tổ hợp tuyến tính của toán tử 𝜌̂𝑗𝑗 ′ = 𝑎𝑗†.
Khi 𝑇 ≠ 0 ở nhiệt độ hữu hạn, các tính chất của hệ cũng được mô tả bằng hàm phân chia có dạng [49]: 𝑍 = 𝑇𝑟(𝑒 −𝛽𝐻 ), (1.18) với giá trị 𝛽 = 1/𝑇.19) 𝑗 𝑗 Khi sử dụng biến phụ 𝜎𝑗 (𝜏𝑛 ) là trường ngoài phụ thuộc vào thời gian ảo 𝜏𝑛 với 𝜏𝑛 = 𝑛∆𝛽 (0≤ 𝜏 ≤ 𝛽), ta có [49, 52]: 12 1 ̂2 ∆𝛽|𝑣𝑗 | 1 |𝜎2 𝑒 −2∆𝛽𝑣𝑗 𝜌𝑗 = √ ∫ 𝑑𝜎𝑗 𝑒 −2∆𝛽|𝑣𝑗 𝑗 𝑒 −∆𝛽|𝑣𝑗 |𝑠𝑗 𝜎𝑗 𝑝̂𝑗 , (1.20) 2π với 𝑠𝑗 = ±1 cho 𝑣𝑗 < 0 và 𝑠𝑗 = ±𝑖 cho 𝑣𝑗 > 0. Khi đó giá trị trung bình của một đại lượng quan sát được có thể tính dựa vào biểu thức sau [25-28, 49, 50]: 𝑇𝑟(𝑂𝑒 −𝛽𝐻 ) ∫ 𝐷 [𝜎]𝑊𝜎 Φ𝜎 〈𝑂〉𝜎 〈𝑂〉 = = , (1.