Chương 1. MOT PHAN TÍCH THE CHE VE DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH, BÁT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Mục đích của chương là nghiên cứu về mối quan hệ thể chế với đối tượng phương trình, bất phương trình mũ và logarit cũng như các vấn đề liên quan đến các kiểu nhiệm vụ xuất hiện trong các đề minh họa của bộ giáo dục, qua đó chúng tôi đi tim các yếu tô dé trả lời cho câu hỏi nghiên cứu 1: CHI: Trong thé chế dạy học toán lớp 12 hiện hành, có các kĩ thuật nào ứng với các kiêu nhiệm vụ giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit theo hình thức tự luận và hình thức trắc nghiệm khách quan? Yếu tố công nghệ - lí thuyết ứng với các kĩ thuật này là gì? Chúng tôi giới hạn các kiêu nhiệm vụ về phương trình, bất phương trình mũ và logarit như sau: - Kiểu nhiệm vụ T¡: Giải phương trình mũ dạng z/“”=b, với a>0, z1. -_ Kiểu nhiệm vụ To: Giải BPT mũ dang a! | dấu BĐT |b, voi a>0,a#1. - Kiểu nhiệm vụ T,: Giải phương trình logarit dang log, f(x)+log, g(x) =b, VỚI a>0,az1.
- Kiểu nhiệm vụ Tạ: Giải BPT logarit dang log, ƒ(x)| dấu BĐT | b, VỚI >0, z1. -_ Kiểu nhiệm vụ Ts: Giải BPT logarit dang log, f(x)| dấu BĐT | log, g(x), VỚI a>0, al. Trong đó dấu BĐT | là các dấu >,<,>,<. Các kiểu nhiệm vụ này xuất hiện trong đề minh họa và đề chính thức của Bộ Giáo dục.
Đề thực hiện việc nghiên cứu chúng tôi quan tâm đến thé chế dạy học toán lớp 12 hiện hành, dựa vào các tài liệu sau: - Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng Cao (Doan Quynh, 2009). - Sách bài tập Giải tích 12 Nang Cao (Đoàn Quynh, 2009). - Sách giáo viên Giải tích 12 Nâng Cao (Đoàn Quynh, 2009). - Sách giáo khoa Giải tích 12 Cơ Bản (Trần Van Hao, 2009).
- Sách bài tập Giải tích 12 Co Bản (Trần Văn Hạo, 2009). - Sách giáo viên Giải tích 12 Cơ Ban (Trần Văn Hạo, 2009). - Sách giáo khoa Đại số 10 Cơ Bản (Tran Văn Hạo, 2009). - Các dé thi minh hoa của Bộ Giáo dục.
Phân tích các kiểu nhiệm vụ được chọn trong SGK, SBT hiện hành với hình thức tự luận Trong phạm vi giới hạn của dé tài nghiên cứu, chúng tôi chọn một số kiểu nhiệm vụ về phương trình, bất phương trình mũ và logarit sau: 1. Kiểu nhiệm vụ Tì Giải phương trình mũ dạng a‘ =b với a>0,a#l Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản có bài toán liên quan đến kiểu nhiệm vụ này như sau: “1, Giải các phương trình mũ: c) 2”**#? =4” [8, tr. Và sách giáo viên đưa ra lời giải: “Giải, 2" 9 =2? nên x? -3x4+2=2. Vậy x=0,x=3 là các nghiệm” [9, tr.
Từ lời giải trên, chúng tôi đưa ra kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này như sau: Kĩ thuật7,”: - Biến đổi b= a“ (via =log, b) dé đưa phương trình về dạng a!“ =a’. - Giải phương trình ƒ(+) =a. - Kết luận nghiệm của phương trình. Công nghệ g” : - Tính chất của logarit: a” =b (a,b>0,a#)).
- Tinh chat của hàm số mũ: a” =a" ©m=n (a>0,a#)). - Khái niệm phương trình và cách tìm nghiệm của các phương trình quen thuộc xuất hiện trong SGK (ví dụ: Phương trình bậc nhất, bậc hai một an). Kiểu nhiệm vụ T› Giải bat phương trình mũ dạng a/“| đấu BĐT |b,với a>0,a#l. Kiểu nhiệm vụ này xuất hiện trong SGK Giải tích 12 cơ bản với lời giải đi kèm như sau: Ví dụ 2.
Giải bất phương trình 3°" <9, Giải: Bất phương trình đã cho có thể viết ở dạng 3°" <3, Vì cơ số 3 lớn hơn 1 nén x”—x<2. Đây là bất phương trình bậc hai quen thuộc. Giải bất phương trình này ta được —l<x<2. Vậy tập nghiệm của bat phương trình đã cho là khoảng (-1; 2) [8, tr.
Từ lời giải trên, chúng tôi đưa ra kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này như sau: Kĩ thuật 7," : - Biến đổi b=a“(với œ =log,b) để đưa BPT về dạng af | dấu BĐT | a”, - Nếu cơ số a>1 thì giải BPT f(x) không đổi dẫu BĐT | œ. Nếu cơ số 0<a<l thì giải BPT f(x) đổi dấu BĐT a. - Kết luận tập nghiệm của bat phương trình. Trong đó | đổi dau BĐT là > thay bằng<, > thay bằng < và ngược lai.
Công nghệ or : - Tinh chat của logarit: Cho hai số đương a va b,a #1. - Tinh chất của hàm số mũ: +Nếu >1 thì hàm số y=z* luôn đồng biến. +Néu O<a<1 thìhàm số y=a* luôn nghịch biến. - Khái niệm bat phương trình và cách tìm nghiệm của các bất phương trình quen thuộc xuất hiện trong SGK (ví dụ: Bat phuong trinh bac nhất, bậc hai một 4n.
Kiểu nhiệm vụ T› Giải phương trình logarit dạng log , f(x)+log, g(x) =b với a>0,a41 Kiểu nhiệm vụ này xuất hiện trong SGK Giải tích 12 cơ bản, ví dụ như: “Giải phương trình logarit: log, (x—5)+log,(x+2) =3” [8, tr. Va SGV đã đưa ra lời giải “Với điều kiện x >5, ta có log,|(x-5)(+x+2)|=3 hay (x-5)(x+2)=8. Giải phương trình bậc hai này, ta tìm được nghiệm x=6 thỏa mãn điều kiện trên” [9, tr. Từ lời giải trên, chúng tôi đưa ra kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ nay như sau: Kĩ thuật z7“: - Đặt điều kiện cho phương trình là ƒ(x)>0 và g(x)>0.
- Đưa phương trình về dạng log, [ƒ(). - Giải phương trình f(x).g(x) =a’ - Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình. Công nghệ 0”: - Định nghĩa logarit: “Cho hai số dương a, b với ø#l.Số ø thỏa mãn đăng thức a“ =b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log, b. - Tính chất của logarit: “Cho ba số dương a,b,,b, với a#1,ta có log,(bb,) =log, b, +log, b,” [8, tr.
- Khái niệm phương trình và cách tìm nghiệm của các phương trình quen thuộc xuất hiện trong SGK (ví dụ: Phương trình bậc nhất, bậc hai một an. Kiểu nhiệm vu T4 Giải bat phương trình logarit dang log, f(x) bvới a>0,azl Kiểu nhiệm vụ này xuất hiện trong SGK Giải tích 12 cơ bản, ví dụ như: “2, Giải các bất phương trình logarit: a) log,(4—2x) = 2;”[8, tr. Và sách giáo viên đưa ra lời giải như sau: “2. a) Bất phương trình đã cho tương đương với 4—2x > 64.
Vậy nghiệm của bất phương trình là x <—30” [9, tr. Từ bài giải trên, chúng tôi đưa ra kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này như sau: Kĩ thuật 7“: - Đặt điều kiện cho phương trình là ƒ(+) >0. - Nếu cơ số a>1 tagiảiBPT f(x)| Không đổi dấu BĐT | a’. - Nếu cơ số 0<a<1 ta giả BPT f(x) đôi dấu BĐT | a’.
- Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của BPT. Công nghệ or : - Dinh nghia logarit: “Cho hai số đương a, b với ø#l.Số a@ thỏa mãn đăng thức a“ =b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log„b. - Tính chất của hàm số y=log, x (a>0, a#)). + Tập xác định của hàm số D=(0;+0).
+ >1 hàm số luôn đồng biến; 0<a<1 hàm số luôn nghịch biến. - Khái niệm bất phương trình và cách tìm nghiệm các bất phương trình quen thuộc xuất hiện trong SGK (ví dụ: Bất phương trình bậc nhất, bậc hai một ân. Kiéu nhiệm vụ Ts Giải bất phương trình logarit dang log, f(x) | dấuBĐT |log, g(x) với a>O,a#l. Kiểu nhiệm vụ nay xuất hiện trong SGK Giải tích 12 cơ bản va đi kèm lời giải như sau: Ví dụ 5.
Giải bất phương trình log, ,(5x+10) < log,„(x” +6x+8). Điều kiện của bất phương trình đã cho là R +6x+8>0 po x>-2 5x+10>0 2 <©4lx<-4<x>-2. Vi cơ số 0,5 bé hơn 1 nên với điều kiện đó, bất phương trình đã cho tương đương với bat phương trình 5x+10>x° +6x+8 Oxrtx-2<002<x<. Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của bat phương trình đã cho là khoảng (—2:1) [8, tr.
Từ bài giải ở trên, chúng tôi đưa ra kĩ thuật giải cho kiểu nhiệm vụ này như sau: Kĩ thuật 72": - Đặt điều kiện cho bat phương trình là ƒ(x)>0 và g(x) >0. - Nếu cơ số a>1 tagiảiBPT f(x) Không đổi dấu BDT | s(Œœ) - Nếu cơ số O<a<1 tagiảiBPT f(x) | đổi dầu BĐT | g(x) - Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bat phương trình. Công nghệ Ø” : - Tính chất của hàm số y=log, x (a>0, a#1). + Tập xác định của hàm số D= (0;+œ).
+a>1: Hàm số luôn đồng biến; 0<a<1: Hàm số luôn nghịch biến. - Định nghĩa logarit. - Khái niệm bat phương trình và cách tìm nghiệm của các bất phương trình quen thuộc trong SGK (ví dụ: Bất phương trình bậc nhất, bậc hai một an. 10 Qua phân tích các kiểu nhiệm vụ liên quan đến phương trình, bất phương trình mũ va logarit trong SGK va SBT được cho dưới dạng tự luận chúng tôi nhận thấy: - Để giải bài toán tự luận học sinh phải huy động các kiến thức về ham số mũ, hàm số logarit, các công thức biến đổi và các công thức liên hệ giữa hàm số mũ và hàm số logarit.
- Công cụ MTCT chỉ được sử dung dé hỗ trợ giải các phương trình, bất phương trình quen thuộc (ví dụ: phương trình, bất phương trình bậc hai,. Phân tích các kiểu nhiệm vụ được chọn trong các SGK, SBT hiện hành với hình thức trắc nghiệm Qua khảo sát SGK và SBT, chúng tôi nhận thấy có 6 bài tập trắc nghiệm được cho ở phần ôn tập chương. Tuy nhiên theo giới hạn của nghiên cứu, chúng tôi chỉ phân tích một số bài tập có liên quan đến các kiểu nhiệm vụ được chọn ở trên. Kiểu nhiệm vụ Ty Tim số nghiệm của phương trình dang a!) =b với a>0,a¥l.
f Kiểu nhiệm vụ này xuất hiện trong SGK Giải tích 12 cơ bản, vi dụ như bai toán sau: “Số nghiệm của phương trình 25 —1 là (A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3” [8, tr. Với cach đặt câu hỏi như trên, các lựa chon không phải là nghiệm của phương trình nên kĩ thuật giải băng phương pháp thử nghiệm không thé sử dụng được. Chúng tôi dự kiến một số kĩ thuật giải như sau: Kĩ thuật Tọ : Dùng kĩ thuật lê sau đó đếm số nghiệm của phương trình. Cu thé chúng tôi xin áp dụng cho bài toán trên như sau: x=l 22x 2 7x+5 Ta có =l©2x-7x+5=0<© = x= 2 Phương trình có 2 nghiệm.
Công nghệ: Trùng với công nghệ đƒ”. Ngoài kĩ thuật z/“ ở trên, chúng ta còn có thé sử dụng kĩ thuật sau: 11 Ki thuật z ““”: Sử dụng chức năng tìm nghiệm (SOLVE) của MTCT dé tim nghiệm của phương trình. Cụ thé chúng tôi áp dụng cho bài toán trên như sau: Bước 1. Nhập phương trình 2?~7*!5 =1, Bước 2.