MỞ ĐẦU Nhƣ chúng ta đã biết, trong những năm gần đây cấu trúc và tính chất của các hệ cô đặc không trật tự thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học cũng nhƣ nhiều nhà vật lý. Lí do của nó cho thấy, thứ nhất xuất phát từ những thành tựu của vật lý chất rắn và ứng dụng của nó. Thứ hai, chuyển động của các hạt lƣợng tử có thể bị triệt tiêu hoặc thậm chí bị phá hủy bởi các tƣơng tác và rối loạn Coulomb và bất trật tự, đó chính là những động lực thúc đẩy quá trình chuyển pha kim loại - điện môi (MIT). Chuyển pha kim loại- điện môi do sự tƣơng quan của các điện tử gọi là chuyển pha Mott hoặc Mott- Hubbard.
Chuyển pha kim loại - điện môi Mott- Hubbard đƣợc đặc trƣng bởi một khe cấm tại mật độ của các trạng thái ở mức Fermi. Mặt khác, mất trật tự trong vật rắn, chẳng hạn nhƣ tạp chất và nút trống, gây ra sự thay đổi lớn so với tiên đoán của lý thuyết vùng năng lƣợng. Vào năm 1958, nhà vật lý ngƣời Mỹ Anderson khi phân tích mô hình liên kết chặt không trật tự (sau này đƣợc gọi là mô hình Anderson) đã chỉ ra rằng mất trật tự đủ lớn sẽ cản trở sự khuyếch tán của hạt tải. Các quá trình tán xạ ngƣợc kết hợp làm cho các hạt tải bị định xứ.
Đặc biệt, sự định xứ của các trạng thái tại mức Fermi gây ra chuyển pha kim loại - điện môi, gọi là chuyển pha Anderson. Ở định xứ Anderson, đặc tính của phổ ở mức Fermi thay đổi từ liên tục sang rời rạc dày đặc. Một điều hợp lí là cả hai MIT đều có thể phát hiện ra bằng cách biết một đại lƣợng duy nhất đó là mật độ trạng thái địa phƣơng. Chuyển pha kim loại - điện môi do sự tƣơng quan điện tử, hay còn gọi là chuyển pha Mott, thƣờng đƣợc nghiên cứu thông qua mô hình lí thuyết tối thiểu.
Mô hình này là mô hình vi mô, miêu tả các thành phần cơ bản nhất đƣợc cho là nguyên nhân tạo ra chuyển pha Mott. Thông thƣờng mô hình này có hai thành phần: phần động năng mô tả chuyển động của điện tử và phần tƣơng tác Coulomb mô tả khả năng định xứ của điện tử. Một trong những mô hình nhƣ vậy và giải thích khá thành công chuyển pha Mott là mô hình Hubbard [1]. Mô hình Hubbard do Hubbard, Gutzwiller, Kanamori độc lập đề xƣớng vào những năm đầu của thập kỉ 60 của thế kỉ trƣớc.
Mô hình Hubbard mô tả sự cạnh tranh giữa động năng và thế 4 năng trong mạng tinh thể là trọng tâm của vấn đề nghiên cứu MIT và vấn đề tƣơng quan điện tử. Dạng giản lƣợc của mô hình Hubbard là Falicov- Kimball, khi một thành phần spin trong mô hình đóng băng và không chuyển động [2]. Mô hình Falicov- Kimball đơn giản nhƣng nó vẫn mang những đặc tính đặc trƣng của hệ điện tử tƣơng quan mạnh đặc biệt nó giải thích đƣợc sự chuyển pha kim loại- điện môi Mott khi lấp đầy một nửa. Mô hình Falicov – Kimball cùng với bất trật tự gọi là mô hình Anderson- Falicov- Kimball (AFKM).
Trong mô hình này các hạt linh động đƣợc phân bố trên các thế ngẫu nhiên. Giản đồ pha kim loại - điện môi ở AFKM lấp đầy một nửa đã đƣợc xây dựng bằng cách sử dụng lý thuyết trƣờng trung bình động (DMFT) kết hợp với việc lấy trung bình nhân mật độ trạng thái địa phƣơng (LDOS) trong công trình của Byczuk [3]. Phƣơng pháp này đƣợc gọi là lý thuyết môi trƣờng điển hình. Bản luận văn này có mục đích tìm hiểu về định xứ Anderson, chuyển pha kim loại – điện môi Mott và dẫn giải chi tiết các công thức nhận đƣợc trong công trình [3], qua đó hiểu rõ cách thức áp dụng lý thuyết môi trƣờng điển hình cho hệ mà ở đó tƣơng quan điện tử và mất trật tự đồng thời có mặt.
Đề tài luận văn của tôi là: Chuyển pha kim loại - điện môi ở mô hình Anderson- Falicov- Kimball lấp đầy một nửa. Đề tài hƣớng tới những kết quả sau đây: 1) Tìm hiểu về chuyển pha kim loại – điện môi và phân loại điện môi, về lý thuyết trƣờng trung bình động (DMFT) và DMFT tuyến tính hóa. 2) Xây dựng giản đồ pha kim loại – điện môi ở mô hình Anderson- Falicov- Kimball lấp đầy một nửa. Phƣơng pháp lý thuyết đƣợc sử dụng trong luận văn là lý thuyết môi trƣờng điển hình, trong đó kết hợp giữa DMFT và việc lấy trung bình nhân mật độ trạng thái địa phƣơng.
Để đơn giản hóa việc tính toán DMFT tuyến tính cũng đã đƣợc áp dụng ở đây. 5 Bài luận văn của tôi có bố cục nhƣ sau: Chƣơng 1: Chuyển pha kim loại – điện môi và phân loại điện môi. Chƣơng 2: Lý thuyết trƣờng trung bình động (DMFT) và DMFT tuyến tính hóa. Chƣơng 3: Giản đồ pha kim loại – điện môi ở mô hình Anderson- Falicov-Kimball lấp đầy một nửa.
Chƣơng 4: Kết luận 6 CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH FALICOV- KIMBALL, ĐIỆN MÔI MOTT- ANDERSON VÀ SỰ CHUYỂN PHA KIM LOẠI- ĐIỆN MÔI Trong những năm gần đây, ngành khoa học vật liệu phát triển mạnh mẽ đã tạo ra rất nhiều ứng dụng trong khoa học, kĩ thuật phục vụ cho lợi ích của con ngƣời. Việc nghiên cứu tính chất của điện tử là một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất của vật lí chất rắn. Bởi vì điện tử là hạt mang điện, có khối lƣợng bé, nó rất linh động và tham gia vào nhiều quá trình, quy định tính chất của vật liệu.
Tuy nhiên để mô tả đúng tính chất của điện tử trong tinh thể là một công việc rất khó bởi vì ta cần phải xét một hệ gồm rất nhiều hạt tƣơng tác với nhau: điện tử, lỗ trống, phonon, tạp chất…Khi ta tính toán phải lập và giải phƣơng trình rất lớn đến nỗi các máy tính hiện đại ngày nay cũng không thể giải đƣợc chính xác. Vì vậy ta cần phải đơn giản các phép toán bằng cách sử dụng các phƣơng pháp tính gần đúng. MÔ HÌNH FALICOV- KIMBALL [3] Chuyển pha kim loại – điện môi do sự tƣơng quan của các điện tử gọi là chuyển pha Mott. Và mô hình đơn giản nhất để mô tả hệ điện tử tƣơng quan và chuyển pha Mott là mô hình Falicov - Kimball.
Ở mô hình Hubbard Hamiltonian có dạng: 1 (1.1) H tijci†, c j U ni , ni , , i , j , 2 i , trong đó ci† (c j ) là toán tử sinh (hủy) điện tử tại nút i và spin , ni ci† ci biên độ nhảy nút tij không phụ thuộc vào spin. Một mô hình giản lƣợc từ mô hình này có thể thu đƣợc bằng cách chỉ cho phép một trong hai loại spin nhảy (chẳng hạn ( t t , t 0 )). Đơn giản hóa này lần đầu tiên đƣợc thảo luận bởi Hubbard và Gutzwiller nhƣ là một gần đúng cho mô hình đầy đủ. Sau đó nó đƣợc xem xét bởi Falicov và Kimball [2] nhƣ là một mô hình cho chuyển tiếp bán dẫn –kim loại trong các hệ nhƣ SmB6, V2O3 và Ti2O3 lấy tƣơng ứng các hạt di động và cố định là điện tử -d và điện tử -f không spin.
Sau đó Kennedy 7 và Lieb đã nghiên cứu nó nhƣ là một mô hình kết tinh của điện tử di động và hạt nhân bất động. Các Hamiltonian cho “mô hình Hubbard giản lƣợc” này còn gọi là mô hình “Falicov- Kimball”, có thể đƣợc viết bằng các hình thức khác nhau. † H simp t ci c j U ni ni ni (1.2) ( Ri , R j ) Rj Ri , † t d i d j U ni ni d ni f ni .3) ( Ri , R j ) Ri Ri Do sự bất động của một trong các loại hạt fermion mà không có sự truyền năng lƣợng giữa hai loại hạt , (hoặc d, f) tức là chúng không liên kết động học. Đối với mô hình này, ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng khi nhiệt độ đủ thấp và tại lấp đầy một nửa các hạt bất động sẽ tạo nên trật tự điện tích dạng bàn cờ, ít nhất là một loại mạng lồng nhau.
Mặc dù đơn giản hóa đƣợc bổ sung trong (1.3) mô hình này vẫn còn phức tạp- đặc biệt là với hệ lấp đầy khác một nửa. Tuy nhiên một cách giải chính xác là có thể có ở d= , nhƣ lần thứ nhất đƣợc thể hiện bởi Brandt và Mielsch [4]. Các tác giả này đã sử dụng thực tế là phần chéo của năng lƣợng riêng tối giản ii , chỉ phụ thuộc vào số hạng chéo Gii tại cùng một vị trí Ri, tức là iiGii. Do đó ii không phụ thuộc tƣờng minh vào dạng của động năng, mà chỉ thông qua Gii.
Hệ quả là dạng phiếm hàm của nó không thay đổi ngay cả khi t k 0 tƣơng ứng với giới hạn nguyên tử. Do đó tại d mô hình Hubbard giản lƣợc có thể đƣợc xem nhƣ một vấn đề nguyên tử (hoặc đơn hạt) với sự có mặt của một trƣờng tổng quát, phụ thuộc thời gian i iiGii Giiat (i ) , at (1.4) ở đây “at” chỉ giới hạn nguyên tử, tức là với t=0. 8 Các trƣờng i sẽ đƣợc đƣa vào để at trở thành phiếm hàm tổng quát của Giiat , chỉ liên kết với các điện tử di động. Với thủ thuật này vấn đề đƣợc chia tách thành bài toán đơn hạt một có thể giải quyết đƣợc.
Một phƣơng pháp khác để đạt đƣợc lời giải chính xác cho mô hình (1.3) đã đƣợc tìm ra bởi van Dongen và Vollhardt [5] cho mô hình có thêm số hạng tƣơng tác gần nhì trên mạng Bethe. Họ chỉ ra rằng tại d mọi con đƣờng từ một nút Ri đến nút khác trên mạng tƣơng ứng với một toán tử thuần nhất fermion c path. Điều này làm cho phép thay thế (1.2) bởi Hamiltonian hiệu dụng tƣơng đƣơng: MT H simp † H i c path , c path .5) Nghĩa là tại d , H simp MT có cùng động học nhƣ H simp .5) có dạng đơn nút, giống nhƣ mô hình Ising ở gần đúng trƣờng trung bình Weiss tại d . Cách tiếp cận này rất khác so với CPA tổng quát, cũng thể hiện sự liên kết chặt chẽ giữa giới hạn d với các lời giải đơn nút cho các mô hình mạng fermion.
PHÂN LOẠI KIM LOẠI VÀ ĐIỆN MÔI [6] 1.