Chương 1 ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN Cơ học chất điểm nghiên cứu chuyển động của vật mà không chú ý đến các phần khác nhau của vật, coi toàn thể vật như một điển có khối lượng của vật ( chất điểm). Có thể làm như vậy nếu kích thước của vật rất nhỏ so với quỹ đạo hoặc nếu vật chuyển động tịnh tiến, mọi điểm của vật chuyển động giống hệt nhau. Phần cơ học nghiên cứu đến hình dạng, kích thước của nó, nghĩa là xét chuyển động của toàn thể vật rắn gọi là ′′ Động lực học vật rắn′′ .1 Chuyển động tịnh tiến 1.1 Khối tâm Tọa độ khối tâm được xác định bởi: P x1 m1 + x2 m2 +. mi xi xG = = m1 + m2 + .2 Định nghĩa Chuyển động tịnh tiến của một vật rắn là chuyển động trong đó đường nối hai điểm bất kì của vật luôn luôn song song với chính nó.3 Gia tốc của chuyển động tịnh tiến Trong chuyển động tịnh tiến tất cả các điểm của vật đều chuyển động như nhau.
Nghĩa là nó có cùng một gia tốc.Vì vậy ta có thể coi vật như một chất điểm và áp dụng định luật II Newton để tính gia tốc của vật. là hợp lực tác dụng vào vật rắn, còn m là khối lượng của vật.Trong trường hợp vật chuyển động tịnh tiến thẳng, ta nên chọn hệ trục tọa độ Ox cùng − → hướng với chuyển động, rồi chiếu phương trình vectơ F = m− → a lên trục tọa độ đó.3) Trong nhiều trường hợp phương trình (1.3) không đủ để tính gia tốc a. Khi ấy cần thêm − → một phương trình nữa bằng cách chiếu phương trình vectơ F = m− →a lên trục Oy .4) ThS Trần AnhTrung 6 Luyện thi đại học Lý thuyết Vật Lý 12 Trường THPT - Phong Điền 1.4 Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến Khối tâm của vật rắn chuyển động như một chất điểm mang khối lượng của cả vật và chịu tác dụng cả tổng vector các ngoại lực tác dụng vào nó.2 Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục.1 Đặc điểm của chuyển động quay. Tốc độ góc Khi một vật rắn quay quanh một trục cố định, thì mọi điểm của vật đều quay được cùng một góc trong cùng một khoảng thời gian.
Trong khoảng thời gian ∆t như nhau, thì các điểm quét một góc ∆ϕ là như nhau. Tốc độ góc trung bình: ∆ϕ ωtb = (1.6) ∆t Tốc độ góc tức thời: dϕ ω= ≡ ϕ′ (1.7) dt Vật quay đều thì ω = const, vật quanh nhanh dần thì ω tăng dần. Vật quay chậm dần thì ω giảm dần. Kết luận: Vận tốc góc tức thời ( vận tốc góc) của vật rắn quay quanh một trục bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của tọa độ góc của vật rắn.2 Chuyển động quay đều Khi vận tốc góc của vật rắn không đổi theo thời gian, ta bảo chuyển động quay của vật vật rắn là đều.
Ta có phương trình của chuyển động quay đều: ϕ − ϕ0 = ωt với ϕ0 là tọa độ góc lúc t = 0 (1.8) Trong hệ tọa độ (ϕ, t) đồ thị phương trình chuyển động quay đều là một đường thẳng xiên góc với hệ số góc là ω.3 Gia tốc của chuyển động quay Gia tốc trung bình : ω2 − ω1 ∆ω γtb = = (1.9) t2 − t1 ∆t Gia tốc của chuyển động quay là đại lượng đặc trưng cho sự quay nhanh hay chậm của vật rắn. Được xác định là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vận tốc góc.10) dt ThS Trần AnhTrung 7 Luyện thi đại học Lý thuyết Vật Lý 12 Trường THPT - Phong Điền Lấy chiều quay của vật làm chiều dương thì: + nếu γ > 0, ω tăng: vật rắn quay nhanh dần đều; + nếu γ < 0, ω giảm: vật rắn quay chậm dần đều; 1.4 Chuyển động quay biến đổi đều Từ (1.11) Phương trình chuyển động quay biến đổi đều của vật rắn quanh một trục cố định: 1 ϕ = ϕ0 + ω0 t + γt2 (1.12) 2 Chú ý: chúng ta cũng có phương trình: ω 2 − ω02 = 2γ(ϕ − ϕ0 ) (1.5 Vận tốc và gia tốc của các điểm trên vật rắn quay Ta đã biết, vận tốc của một điểm chuyển động trên quỹ đạo tròn có bán kính r: v = ωr (1.14) Nếu vật rắn quay đều thì mỗi điểm trên vật rắn chuyển động tròn đều. Khi đó vector vận tốc ~v của mỗi điểm chỉ thay đổi về hướng mà không thay đổi về độ lớn, do đó mỗi điểm của vật có gia tốc hướng tâm với độ lớn xác định: v2 an = = ω2r (1.15) r Nếu vật rắn quay không đều thì mỗi điểm của vật rắn cũng chuyển động tròn không đều. Khi đó ~v thay đổi cả phương và độ lớn, trong trường hợp này,~a được chia thành hai thành phần: Thành phần ~an ⊥~v : đặt trưng cho sự thay đổi về phương của ~v : v2 an = = ω2r (1.16) r Thành phần ~at ≡ ~v : đặt trưng cho sự thay đổi độ lớn của ~v dv at = = r′ = (rω)′ = r.17) dt Ta có: ~a = ~an + ~at (1.18) Độ lớn: at γ q a= a2n + a2t tan α = = 2 (1.19) an ω ThS Trần AnhTrung 8 Luyện thi đại học Lý thuyết Vật Lý 12 Trường THPT - Phong Điền 1.3 Phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh một trục.
Momen quán tính của vật rắn hình trụ tròn và hình cầu đối với trục của nó 1.1 Momen của lực. Mức quán tính trong chuyển động quay a. Momen của lực − → Giả sử tác dụng vào vật rắn một lực F tại một điểm M nằm trong mặt phẳng chứa − → điểm M. Ta có thể phân tích lực F thành hai thành phần Fn và Ft.
Thành phần lực xuyên tâm Fn không có tác dụng làm quay vật rắn, nó bị khử bởi phản lực của trục. Thành phần tiếp tuyến Ft có tác dụng làm quay. Gọi R là bán kính của đường tròn. Momen của lực F đối với trục quay là tích của thành phần tiếp tuyến với bán kính của điểm đặt M = ±Ft R (1.20) Dấu + nếu Ft có xu hướng làm vật quay theo chiều dương; Dấu − nếu Ft có xu hướng làm vật quay theo chiều âm.
Mức quán tính trong chuyển động quay Trong chuyển động quay quanh một trục, mọi vật cũng có mức quán tính như trong chuyển động tịnh tiến. Khi tác dụng cùng một mômen lực nên các vật khác nhau, tốc độ góc của vật nào tăng chậm hơn thì vật đó có mức quán tính lớn hơn và ngược lại. Các thí nghiệm cho thấy: Mức quán tính của một vật quay quanh một trục phụ thuộc vào khối lượng của vật và vào sự phân bố khối lượng đó đối với trục quay, khối lượng của vật càng lớn và được phân bố càng xa trục quay thì mômen quán tính càng lớn và ngược lại. Thí nghiệm còn cho thấy khi một vật đang quay là chỉ một mômen cản thì vật quay chậm lại.
Vật nào có mức quán tính lớn hơn thì tốc độ góc của vật đó giảm chậm hơn và ngược lại.2 Phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh một trục Điều kiện cân bằng của vật rắn có trục quay là: M=0 (1.21) Nếu tổng momen của vật rắn băng 0 thì vật rắn đứng yên hoặc quay đều. Điều này gọi là quán tính quay của vật rắn. Gọi I là momen quán tính của vật rắn. Gia tốc góc của vật rắn quay quanh một trục tỉ lệ với momen lực tác dụng lên vật rắn và tỉ lệ ngược với momen quán tính của vật.
Phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh một trục M γ= hay M = Iγ (1.22) I ThS Trần AnhTrung 9 Luyện thi đại học Lý thuyết Vật Lý 12 Trường THPT - Phong Điền 1.3 Momen quán tính của vật rắn hình trụ tròn và hình cầu đối với trục của nó a. Định nghĩa Momen quán tính của một chất điểm có khối lượng mi chuyển động trên đường tròn có bán kính Ri là tích của khối lượng và bình phương bán kính. Ii = mi Ri2 (1.23) Momen quán tính I của vật rắn quay quanh một trục là tổng các momen quán tính của các điểm của nó.24) X I= mi Ri2 i Momen quán tính là đại lượng vô hướng dương và có tính chất cộng được. Đơn vị của momen quán tính là kg.
Momen quán tính của vật rắn phụ thuộc vào sự phân bố các phần của vật đối với trục quay. Vật có nhiều phần càng nặng và nhất là càng xa trục quay thì momen quán quán tính càng lớn. Momen quán tính của một số vật đồng chất Nếu vật là một vành tròn có bán kính R, bề dày nhỏ, thì có thể chia vành thành các phần rất nhỏ có khối lượng m, tất cả đều ở khoảng cách R so với trục z của vành. *Momen quán tính của vành: M: Khối lượng của vành (1.25) X X I= mi R 2 = R 2 mi = M R 2 i i Kết quả này cũng áp dụng cho thành bên mỏng của một hình trụ rỗng.
* Đĩa tròn bán kính R: Phép tính tích phân cho chúng ta thấy, momen quán tính của đĩa tròn bán kính R, khối lượng M có dạng: 1 I = M R2 (1.26) 2 Kết quả này cũng áp dụng hình trụ đặc có bán kính R, khối lượng M. * Thanh có tiết diện nhỏ, chiều dài l, khối lượng M : Momen quán tính đối với đường trung trực: 1 I = M l2 (1.27) 12 * Thanh có tiết diện nhỏ, chiều dài l, khối lượng M : Momen quán tính đối với trục đi qua một đầu thanh: 1 I = M l2 (1.28) 3 ThS Trần AnhTrung 10 Luyện thi đại học Lý thuyết Vật Lý 12 Trường THPT - Phong Điền * Hình cầu đặc có bán kính R, khối lượng M : Momen quán tính đối với đường kính: 2 I = M R2 (1.29) 5 Chú ý: Các công thức trên chỉ áp dụng cho vật đồng chất.4 Momen động lượng. Định luật bảo toàn momen động lượng 1.1 Momen động lượng Phương trình (1.22) có thể viết lại dưới dạng khác nếu biến đổi vế phải: dω d(Iω) Iγ = I = vì: I là hằng số dt dt Ta đi tìm hiểu ý nghĩa vật lý của đại lượng L = Iω = mi vi2. Đối với mỗi chất điểm i, P vi ta có: ω = , vi là vận tốc dài của chất điểm.
Vậy: Ri X vi X L= mi vi2 = Ri m i vi Ri − → với L i = mi − → vi là vector động lượng của chất điểm. Vậy: Li = Ri pi (1.30) là momen động lượng của chất điểm đối với trục quay.