Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày một số khái niệm và kiến thức cần sử dụng cho các phần sau của luận văn như Lý thuyết độ đo tích phân, Giải tích hàm, Giải tích thực. Toán tử cực đại Hardy-Littlewood và các lớp hàm trọng 4.
Trong chương này nghiên cứu về toán tử cực đại Hardy-Littlewood và tính bị chặn của nó, mô tả đặc điểm của các hảm trọng w mả toán tử cực đại Hardy — Littlewood bị chặn trên 1P(w) bằng điều kiện Ap, tính chất của các lớp hàm trọng Ap, cách xây dựng các lớp hàm trọng A; từ các lớp hàm trọng 4; và phép phân tích nhân tử từ một hàm trọng thuộc lớp 4; theo hai hàm trọng thuộc lớp 4. Lớp hàm Hölder ngược và lớp hàm trọng A. Chương này dành cho việc nghiên cứu bất đẳng thức Hölder ngược, lớp hàm Hölder ngược, lớp hàm trọng A„ và các điều kiện tương đương. KIEN THUC CHUAN BI 1.
Hàm phân bồ và các chuẩn LP Cho (X, ø) là một không gian đo được và ƒ: X —> € là một hàm đo được. Hàm được định nghĩa cho £ € (0,+©) bởi ({x € X : |ƒ(+)| > £}) là hàm phân bố của ƒ (liên kết với p). Ta có thé sir dung ham phan bé dé đại diện cho chuẩn L? () của một hàm. x 0 Đề chứng minh kết quả này, cần lưu ý rằng về trái tương đương với: If GI | Ƒ #( aau x 0 và sau đó thay đi thứ tự lấy tích phân.
Trong trường hợp đặc biệt, @(£) = £P với p > 0, ta có: [roo dự =p [ cty €X |/GÓ > t)át, (1) xX 0 Bắt đẳng thức Chebyshev: If GDI? tP uÑ%: |ƒ()| > t}) < fx: F@)I>0} du(x). Bat dang thire Jensen Bồ đề 1.2: (xem [9]) Cho p la m6t d6 do xdc suat trén X (nghia 1a p(X) = 1) va f 1a một hàm dương, khả tích trên X. Khi đó hàm: 1/S hG) =| [ Ƒ° dụ Xx la tang trong (0, oo) va lim h(s) = exp | log f du ], soot xX trong đó e~® được hiểu là 0. Bồ đề trên cho ta kết quả sau đây.
Bất đẳng thức Jensen: 1/s exp [ toes au < [ Fea x x 1. Bố đề phú Trong trường hợp một chiều ta có một bổ đề phủ đơn giản.,N} là một họ hữu hạn các khoảng trong IR. Khi đó tổn tại một họ con mà hợp của chúng bằng với hợp của các khoảng ban đầu sao cho không có điểm nào thuộc về nhiều hơn hai khoảng trong họ con được chọn. Kết quả không đúng trong trường hợp nhiều chiều.
Thay vào đó, ta có bé dé phủ Vitali sau đây mà một dạng của bổ đề này được sử dụng bởi Wiener trong [14] để giải quyết bất đẳng thức yếu (1,1) cho toán tử cực đại.4: (xem [16], trang 102) Cho {Q„ : a@ € 1} là một họ hữu hạn các hình lập phuong trong R”. Khi đó ta có thể trích từ đó một họ con {0 j:j= 1,.,N} rời nhau các hình lập phương sao cho: Le Cc [ J30,. j=1 œe44 Với Bồ đề 1.4 quá trình lựa chọn lặp phụ thuộc vào việc lấy hình lập phương lớn nhất có thể không giao với các hình lập phương được chọn trước đó. Họ các hình lập phương có được trong Bồ đề 1.4 được hình thành bởi các hình lập phương rời nhau, nhưng ta cần mở rộng chúng để phủ họ ban đầu.
Bổ đề phủ Besicovich gần hơn với Bồ đề phủ một chiều 1.3, nhưng nó cần một giả thiết đặc biệt để bắt đầu hình thành họ các hình lập phương.5: (xem [12]) Tôn tại một hằng số Œ„ chỉ phụ thuộc vào m với tính chất sau: Cho E là một tập con bị chặn cua R”. Giả sử rằng với mỗi x € E ta có một hình lập phương Ợ„ có tâm là x. Khi đó có thê chọn từ các hình lập phương Q„ một họ (có thể hữu hạn) các hình lập phương phủ E sao cho với mỗi điểm x € E thì x thuộc tôi đa C,, hinh lap phương trong họ được chọn. Nội suy Ta phát biêu các định lý nội suy thường được sử dụng, định lý Marcinkiewicz và định lý Riesz-Thorin.
Định lý thứ hai được áp dụng cho các toán tử tuyến tính, định lý thứ nhất được áp dụng cho các toán tử dưới tuyến tính. Ta nhắc lại rằng một toán tử T là dưới tuyến tính nếu: ITH + ACO SITGI@I! +ITAIGI, TANG) = ITM G@),4 € Œ.6: (Dinh ly ndi suy Marcinkiewicz) Cho (X,) va (Y,v) la cac kh6ng gian độ do. Cho 1 < pp < py, < ~. Gia str toán tử dưới tuyến tính T được định nghĩa trên !°(X,w) + LP+(X,w) thỏa các bất đẳng thức dạng yếu: 1 sup t[v({x € Y : |TƒŒ)| > £})]?/ < 4/llfllp,„ „j = 0,1.) Khi đó T bị chặn từ LP(X, đến L?(Y,v) voi py <p <p, .7: (Định lý nội suy Rlesz- Thorin) Cho 1 < 7Øạ,Ø¡ € ®, 1 < qạ, q¡ < œ và cho 0 < Ø < 1.
Ta định nghĩa ø và q bởi: 1 1-9 68 1 1-0 6 P PP MP 4 WM 4 Cho T 1a m6t toan tir tuyén tinh trén L?9 (yz) + LP+(0 sao cho: IT/llu„ < M|ƒ lp,„ với ƒ € 12/0) ,j = 041. Khi đó: ITF lau < Mo PME lip. Chứng minh có thé tìm thay trong [9].8: Yêu cầu tính chất tuyến tính của định lý nội suy Riesz-Thorin đôi khi có thể tránh bằng cách sử dụng khái niệm "tuyến tính hóa" của toán tử. Một toán tử S được định nghĩa trong một không gian Banach Ö là khả tuyến tính nếu với mỗi ƒ € B tồn tại một toán tử tuyến tính 7 phụ thuộc vào ƒ sao cho: ITg(Œ)I < |Sg()|.
với mọi ø e B, và |Tƒ(œ)| = |SƒŒœ)I. Nếu Š thỏa mãn giả thiết của định lý nội suy Riesz-Thorin, thì 7 cũng thỏa bởi bất đăng thức thứ nhất. Định lý nội suy Riesz-Thorin được áp dụng cho toán tử tuyến tính 7T, và kết luận đúng cho Š. Trong thực hành ta thậm chí không cần |Tƒ(Œ| = |Sƒ()|, chỉ cần có |Tƒ()| > e|Sƒ(+){ là đủ, với c phụ thuộc vào ƒ.
Hội tụ từng điểm từ các bất đẳng thức dạng yếu Định lý 1. Bat dang thirc Kolmogorov Bồ đề 1.10: Cho T là một toán tử thỏa mn bat đẳng thức dạng yếu: sup tu(x + [TƒG)| > £}) < Alflli„- (1.2) > Cho 0 < ổ < 1, và một tập — đo được hữu hạn E. Khi đó: 6 1-6 | rfl? du <——p(E) If I, (1.2) ta cd œ | |TƒlŠ dụ = ö | tÊ~1u({x : [TF(x)| > th) dt E 0 f A <8 Í r"* min (gŒ),c lu) dt 0 Al/II1,/uŒ) œ = | t8~!u(E) dt + ô | t?2Allflla, đt. _ 0 ` Allflli,u/w(Œ) Từ đây ta suy ra bât đăng thức cân chứng minh.
Cotlar quan sát thấy rằng mệnh đề đảo cũng đúng: nếu (1.3) đúng với 0 < ổ < 1 nào đó, thì khi đó (1. Thật vậy, nếu E, = {x: |Tƒ()| > t}, ITF? rễ đu, uŒ,) < | thì bằng cách sử dụng (1.3) ta có bất đẳng thức dạng yếu. TOÁN TỬ CỰC ĐẠI HARDY-LITTLEWOOD VÀ CÁC LỚP HÀM TRỌNG 4, 2. Toán tử cực đại Hardy-Littlewood Ta định nghĩa toán tử cực đại Hardy-Littlewood cho một hàm khả tích địa phương ƒ trén IR” nhu sau: Mf (x) = supa | Ifl, (2.1) Q xEQ trong đó cận trên đúng được lấy trên tat cả những hình lap phuong trong R” chia x.
Nếu thay vì lấy cận trên đúng trên tất cả các hình lập phương chứa z, ta chỉ lẫy cận trên đúng cho các hình lập phương có tâm là x, thi ta gọi toán tử thu được là toán tử cực đại trung tâm, ký hiệu là M“. Hai cách định nghĩa toán tử ở trên là tương đương với nhau khi xét đến tính bị chặn, bởi vì ta có bất đẳng thức từng điểm sau: M“ƒ(z) < Mƒ(z) < 2"M*ƒ(z). Một kiểu định nghĩa khác sử dụng các quả cầu Euclide thay vì các hình lập phương. Xây dựng dựa vào các quả cầu cũng có thể phân thành trung tâm hay không trung tâm tương tự như dùng hình lập phương, và các toán tử thu được đều tương đương với các cách xây dựng dùng hình lập phương.
Toán tử cực đại Hardy-Littlewood được giới thiệu bởi G. Littlewood nim 1930 trong trường hợp một chiều (thực ra là trong (0,+e)) và được mở rộng lên trường hợp nhiều chiều bởi N. Các tính chat bị chặn cơ bản của M đã được đề cập đến trong các tài liệu đó: e _ Với 1< < œ,M là bị chặn trên LP, nghĩa là, ||Mƒ ||; < Œp||ƒ llp: ° M thuộc dạng yếu (1,1), nghĩa là, sup £|{x € R° : Mƒ(x) > £}| < Œ|Iƒll:- (2.2) t>0 Tính bị chặn trong L1 của toán tử cực đại Hardy-Littlewood không thỏa và bất đẳng thức dạng yếu (2.2) là sự thay thế tốt. Dễ dàng kiểm tra rằng toán tử cực đại Hardy-Littlewood có thể không thỏa tính bị chặn trong !” trên toàn cục, bởi vì Mf (x) = C|x|-™ với x lớn.
Toán tử này cũng có thê không thỏa địa phương: nếu f(x) = x71 (logx)-?x 1/2] trong R, thi Mf khong kha tích gần gốc. Chứng minh thông thường của dạng yếu (1,1) sử dụng bổ đề phủ thích hợp. Khi d6 tén tại € > 0 chỉ phụ thuộc vào ø sao cho với mọi t > 0 taco: Kxeemp@>alss — f I@)l& (2. Khi đó tồn tại C > 0 chỉ phụ thuộc vào ? va p sao cho: lIMƒllp < €Ilfll;.
Giả sử ƒ là một hàm không âm trong 11. Dat E, = {x : Mf (x) > th.Suy ra: SUP 19] gj| 760>t (f(y) > 0). 2 IQ Khi đó tồn tại một hình lập phương Q chứa x sao cho: ri wai) fO)dy >t.4) Dé dé ap dung có thê viết (2.4) dudidang: 1< al J f(y) dy. Néu K là một tap con compact cua E; thi ta cd thé phu K với một họ hữu hạn các hình lập phương thỏa mãn (2.
Áp dung bé dé phu Vitali (Bồ đề 1.4) ta có thể chọn ra một tập hữu hạn các hình lập phương {0 i} rời nhau có kích thước gấp 3 lần phủ K. Khi đó: 1s Yel=) al <> dee [foen [ foray a UJ=; 9; 3n <= | foray. lam Lấy cận trên đúng trên các tập con compact K chứa trong E¿, ta có bất đẳng 10 thức dạng yếu (2. Để đạt được bất đẳng thức cải tiến (2.3) ta tiến hành như sau.
Phân tích ƒ = ƒ + ƒ;, trong đó ƒ(+) = ƒ(+) nếu ƒ(%) < £/2, và ƒ¡(x) = 0 trong trường hợp còn lại.