Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Một số dạng của định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề duy nhất" được thực hiện bởi nghiên cứu sinh Phạm Ngọc Hoa, dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Hà Huy Khoái và TS. Vũ Hoài An, bảo vệ tại Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên năm 2018, thuộc chuyên ngành Toán Giải tích (mã số: 9 46 01 02).

+-------------------------------------------------------------------------------+
| THÔNG TIN CHUNG VỀ LUẬN ÁN                                                    |
+----------------------+--------------------------------------------------------+
| Đề tài               | Một số dạng của định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đề    |
|                      | duy nhất                                               |
| Tác giả              | Phạm Ngọc Hoa                                          |
| Người hướng dẫn      | 1. GS.TSKH. Hà Huy Khoái                               |
|                      | 2. TS. Vũ Hoài An                                      |
| Cơ sở đào tạo        | Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên           |
| Chuyên ngành         | Toán Giải tích (Mã số: 9 46 01 02)                     |
| Năm hoàn thành       | 2018                                                   |
+----------------------+--------------------------------------------------------+

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Định lý cơ bản của lý thuyết số khẳng định mọi số nguyên $n \ge 2$ đều được phân tích duy nhất thành tích các thừa số nguyên tố $n = p_1^{m_1} \dots p_k^{m_k}$. Năm 1922, J. F. Ritt là người đầu tiên thiết lập kết quả tương tự cho các đa thức phức:

  1. Định lý thứ nhất của Ritt: Nếu một đa thức $F(z)$ có hai cách phân tích thành tích các đa thức không phân tích được $F = \phi_1 \circ \dots \circ \phi_r = \psi_1 \circ \dots \circ \psi_s$, thì số lượng thừa số bằng nhau ($r = s$) và bậc của các đa thức thành phần $\psi_i$ trùng với bậc của $\phi_i$ khi không tính đến thứ tự xuất hiện.
  2. Định lý thứ hai của Ritt: Mô tả toàn bộ các nghiệm đa thức của phương trình hàm $\phi(\alpha) = \psi(\beta)$ khi bậc của các cặp đa thức nguyên tố cùng nhau $(\gcd(\deg(\phi), \deg(\psi)) = 1$ và $\gcd(\deg(\alpha), \deg(\beta)) = 1)$.

Dưới góc độ giải tích, phương trình đa thức $\phi(\alpha) = \psi(\beta)$ của Ritt là trường hợp riêng của phương trình hàm phi tuyến tổng quát $P(f) = Q(g)$, trong đó $P, Q$ là các đa thức và $f, g$ là các hàm phân hình. Phương trình hàm này liên quan trực tiếp đến bài toán xác định duy nhất của hàm phân hình — một hướng ứng dụng trọng tâm của Lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna.

Tuy nhiên, các chứng minh gốc của Ritt sử dụng triệt để tính chất "hữu hạn không điểm" của đa thức, do đó không thể mở rộng trực tiếp sang lớp hàm phân hình (vốn có thể có vô hạn không điểm và cực điểm). Bên cạnh đó, các nghiên cứu trước đây về phương trình hàm $P(f) = Q(g)$ và bài toán duy nhất đối với đa thức vi phân $(P(f))^{(k)}$ gặp khó khăn lớn do chưa thiết lập được mối liên hệ chặt chẽ giữa hàm đặc trưng và hàm đếm của $f$ với $(P(f))^{(k)}$. Trên trường phi-Acsimet (trường $p$-adic), bài toán duy nhất đối với các toán tử vi phân và tích sai phân, tích $q$-sai phân chưa được khảo sát đầy đủ dưới góc nhìn của định lý Ritt. Những lý do này xác lập tính cấp thiết của đề tài luận án.

Mục tiêu nghiên cứu

Luận án tập trung giải quyết hai mục tiêu khoa học cụ thể:

  1. Thiết lập một số định lý tương tự hai định lý của Ritt đối với hàm phân hình, đa thức vi phân, đa thức sai phân và đa thức $q$-sai phân trong cả hai trường hợp: trường số phức $\mathbb{C}$ và trường không-Acsimet $K$ (trường $p$-adic).
  2. Tiếp cận bài toán xác định hàm và bài toán duy nhất đối với hàm phân hình, đa thức vi phân, đa thức sai phân, đa thức $q$-sai phân trong trường hợp phức và trường hợp $p$-adic dưới góc độ của hai định lý Ritt.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Các hàm phân hình, hàm nguyên, đa thức vi phân dạng $(P^d(f))^{(k)}$, đa thức sai phân và tích $q$-sai phân dạng $f^n(z)f^m(qz+c)$, $(f^{nm}(z)f^{nd}(qz+c))^{(k)}$.
  • Phạm vi không gian: Trường số phức $\mathbb{C}$ và trường $K$ — trường đóng đại số có đặc trưng 0, đầy đủ đối với một giá trị tuyệt đối không-Acsimet.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Các hướng nghiên cứu trước đây

Lịch sử nghiên cứu liên quan đến đề tài được tác giả tổng hợp qua các mốc phát triển:

  • Hướng tiếp cận đại số đối với định lý Ritt: Sau công trình năm 1922 của Ritt [46], H. T. Engstrom (1941) [16] và H. Levi (1942) [37] đã chứng minh định lý Ritt thứ hai vẫn đúng trên một trường bất kỳ có đặc trưng 0.
  • Lý thuyết phân bố giá trị và bài toán xác định duy nhất: Khởi đầu từ định lý 5 điểm (nghịch ảnh không tính bội) và định lý 4 điểm (nghịch ảnh có tính bội) của R. Nevanlinna đối với hai hàm phân hình trên mặt phẳng phức $\mathbb{C}$. Hướng nghiên cứu này được mở rộng bởi G. Dethloff, Đỗ Đức Thái, M. Yang, Hà Huy Khoái, Vũ Hoài An, Lê Quang Ninh, Tạ Thị Hoài An, Hà Trần Phương, I. Lahiri, Trần Văn Tấn, Siêu Đức Quang.
  • Phương trình hàm $P(f) = Q(g)$: Được nghiên cứu bởi Tạ Thị Hoài An – Nguyễn Thị Ngọc Diệp [4], H. Fujimoto [20], Hà Huy Khoái, Lê Quang Ninh [3], [32].
  • Sự lựa chọn của Hayman và bài toán duy nhất đối với đa thức vi phân: W. K. Hayman (1967) [22] đưa ra giả thuyết nổi tiếng về giá trị nhận của đơn thức vi phân $f^n f' \neq 1$, được kiểm tra bởi Hayman và J. Clunie. C. C. Yang và X. H. Hua (1997) [51] chứng minh nếu hai hàm phân hình $f, g$ thỏa mãn $f^n f'$ và $g^n g'$ cùng nhận giá trị phức $a$ tính cả bội với $n \ge 11$ thì $f$ và $g$ sai khác nhau một căn bậc $n+1$ của đơn vị hoặc biểu diễn theo hàm mũ. Sau đó, Subhas S. Bhoosnurmath – V. L. Dyavanal [11], M. L. Fang (2002) [18], [19], J. L. Zhang – V. D. Lin [53], I. Lahiri (1997) [35] mở rộng cho các dạng đa thức vi phân phức tạp hơn như $(f^n)^{(k)}$, $[f^n(f-1)]^{(k)}$, $f^{(n)}(f-1)^2 f'$ (với $n \ge 13$).
  • Đa thức sai phân và tích sai phân: I. Laine – C. C. Yang [36] nghiên cứu phân bố giá trị của tích sai phân cho hàm nguyên. K. Liu [45] khảo sát tích sai phân và vi phân dạng $f^{(n)}(z)f(z+c)$ đối với hàm nguyên siêu việt bậc hữu hạn.
  • Nghịch ảnh của tập hợp và bài toán Pakovich: Năm 2008, từ định lý thứ hai của Ritt, F. Pakovich [43], [44] nghiên cứu điều kiện nghịch ảnh của hai tập compact $f_1^{-1}(K_1) = f_2^{-1}(K_2)$ và đặt ra bài toán xác định đa thức qua tập nghịch ảnh. C. C. Yang nêu câu hỏi liệu đẳng thức $f^{-1}(S) = g^{-1}(S)$ với $S = {-1, 1}$ có kéo theo $f = g$ hoặc $f = -g$.
  • Giải tích không-Acsimet ($p$-adic): P. C. Hu – C. C. Yang [23] xác định tập duy nhất 10 phần tử cho hàm phân hình $p$-adic. Hà Huy Khoái – Vũ Hoài An – Nguyễn Xuân Lai [30], [31] nghiên cứu đa thức vi phân $(f^n)^{(k)}$ và chứng minh nếu nhận chung giá trị 1 tính cả bội với $n \ge 3k+8$ thì $f = tg$ ($t^n=1$). A. Boutabaa, A. Escassut, B. Diarra, K. Boussaf, M. Ojeda [12], [17] nghiên cứu không điểm đạo hàm và đơn thức vi phân $f' P(f)$ trên trường $K$.

Khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết

Luận án khắc phục các hạn chế kỹ thuật của những công trình đi trước:

  1. Chuyển phương pháp từ đại số sang giải tích để thiết lập tương tự định lý Ritt thứ nhất và thứ hai cho hàm phân hình phức, khắc phục rào cản vô hạn không điểm.
  2. Mở rộng bài toán duy nhất đối với đa thức vi phân $(P(f))^{(k)}$ sang dạng lũy thừa $(P^d(f))^{(k)}$ nhằm kiểm soát hàm đặc trưng và hàm đếm qua các định lý chính dạng Nevanlinna.
  3. Trong trường hợp không-Acsimet, hạ chặn số mũ $n \ge 3k+8$ của Hà Huy Khoái, Vũ Hoài An, Nguyễn Xuân Lai xuống $n \ge 3k+5$ cho toán tử vi phân dạng Fermat-Waring; đồng thời giải quyết bài toán nghịch ảnh của F. Pakovich trên trường $p$-adic.
  4. Thiết lập kết quả duy nhất cho tích $q$-sai phân $f^n(z)f^m(qz+c)$ và toán tử vi phân kết hợp $q$-sai phân $(f^{nm}(z)f^{nd}(qz+c))^{(k)}$ trên trường $p$-adic — một hướng chưa thể triển khai trên trường số phức do rào cản đánh giá hàm đặc trưng.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lý thuyết và hệ thống khái niệm

Luận án vận dụng Lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna trên mặt phẳng phức $\mathbb{C}$ và trên trường không-Acsimet $K$:

  • Hàm đặc trưng và hàm đếm:
    • Với hàm nguyên $f$ trên $\mathbb{C}$, số nguyên $\nu_f(z_0) = \min{i: a_i \neq 0}$, $\overline{\nu}_f(z_0) = \min{\nu_f(z_0), 1}$.
    • Hàm đếm không điểm tính cả bội $N(r, \frac{1}{f-a})$ và không tính bội $\overline{N}(r, \frac{1}{f-a})$.
    • Hàm đếm có cắt tỉa bậc $l$: $N_l(r, \frac{1}{f-a}) = \int_1^r \frac{n_l(x, \frac{1}{f-a})}{x} dx$ với $n_l(r, \frac{1}{f-a}) = \sum_{|z|\le r} \min{\nu_{f-a}(z), l}$.
    • Với hàm phân hình $f = \frac{f_1}{f_2}$ ($\gcd(f_1, f_2)=1$): Hàm đếm cực điểm $N(r, f) = N(r, \frac{1}{f_2})$, hàm xấp xỉ $m(r, f) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \ln^+ |f(re^{i\theta})| d\theta$, hàm đặc trưng Nevanlinna $T(r, f) = m(r, f) + N(r, f)$. Đại lượng dư $S(r, f) = o(T(r, f))$ ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn.
  • Khái niệm tập duy nhất:
    • $E_f(S)$: Nghịch ảnh của tập $S$ qua $f$ có tính bội.
    • $\overline{E}_f(S)$: Nghịch ảnh của tập $S$ qua $f$ không tính bội.
    • $\text{URSM}$ (Unique Range Set for Meromorphic functions): Tập xác định duy nhất cho hàm phân hình ($\overline{E}_f(S) = \overline{E}_g(S) \Rightarrow f = g$).
    • $\text{URSE}$ (Unique Range Set for Entire functions): Tập xác định duy nhất cho hàm nguyên.
    • $\text{Bi-URSM}$ (Bi-unique range set for meromorphic functions): Song tập xác định duy nhất cho hàm phân hình ($E_f(S_i) = E_g(S_i), i=1,2 \Rightarrow f = g$).
  • Không gian không-Acsimet $K$: Trường đóng đại số, đặc trưng 0, đầy đủ với chuẩn $|\cdot|$. Vành hàm nguyên $A(K)$, trường hàm phân hình $M(K)$, không gian xạ ảnh $\mathbb{P}^n(K)$, hàm xấp xỉ $m(r, f) = \max{0, \log |f|_r}$, hàm đặc trưng $T(r, f) = m(r, f) + N(r, f)$.

Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng phương pháp giải tích thuần túy kết hợp công cụ đại số:

  1. Sử dụng Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna (Second Main Theorem) và Bổ đề đạo hàm logarit: $$m\left(r, \frac{f^{(k)}}{f}\right) = S(r, f)$$
  2. Sử dụng các Bổ đề kiểu Borel (Borel-type lemmas) để giải phương trình hàm liên kết giữa các đường cong chỉnh hình và siêu mặt ở vị trí tổng quát: $$\sum_{i=1}^{n+1} a_i f_i^d = 0 \quad \text{hoặc} \quad \left[\sum_{i=1}^{n+1} a_i f_i^d\right]^{(k)} = 0$$
  3. Quy trình nghiên cứu gồm hai bước cơ bản:
    • Bước 1: Thiết lập các kết quả tương tự định lý Ritt thứ nhất và thứ hai đối với hàm phân hình để giải các phương trình hàm dạng $P(f_1, f_2) = Q(g_1, g_2)$.
    • Bước 2: Chuyển bài toán xác định hàm và bài toán duy nhất đối với các toán tử vi phân, sai phân về phương trình hàm tương ứng và áp dụng kết quả từ Bước 1.

Nội dung chính theo từng chương

+-------------------------------------------------------------------------------+
| CẤU TRÚC BA CHƯƠNG CHUYÊN MÔN CỦA LUẬN ÁN                                     |
+-----------+-------------------------------------------------------------------+
| Chương 1  | Hai định lý của Ritt và vấn đề duy nhất đối với đa thức vi phân   |
|           | của hàm phân hình (trên trường phức C)                            |
+-----------+-------------------------------------------------------------------+
| Chương 2  | Định lý thứ hai của Ritt và vấn đề duy nhất của đa thức vi phân   |
|           | trên một trường không-Acsimet (trên trường K)                     |
+-----------+-------------------------------------------------------------------+
| Chương 3  | Định lý thứ hai của Ritt và vấn đề duy nhất đối với tích q-sai    |
|           | phân, đa thức vi phân của hàm phân hình trên trường không-Acsimet |
+-----------+-------------------------------------------------------------------+

Chương 1: Hai định lý của Ritt và vấn đề duy nhất đối với đa thức vi phân của hàm phân hình

Chương 1 gồm các kết quả nghiên cứu trên trường số phức $\mathbb{C}$, dựa trên các bài báo công bố của tác giả ([7], [29]).

1. Tương tự định lý Ritt thứ hai cho phương trình hàm kiểu Fermat-Waring

Tác giả xét các đa thức thuần nhất hai biến kiểu Fermat-Waring: $$P(z_1, z_2) = c z_1^n + d z_1^{n-m} z_2^m + e z_2^n, \quad Q(z_1, z_2) = u z_1^n + v z_1^{n-m} z_2^m + t z_2^n$$

  • Định lý 1.2: Cho $n, m \in \mathbb{N}^*$, $n \ge 2m + 9$, $c, d, e, u, v, t \in \mathbb{C} \setminus {0}$. Giả sử hoặc $m \ge 2, \gcd(m, n) = 1$ hoặc $m \ge 4$. Nếu các hàm nguyên $f_1, f_2, g_1, g_2$ không đồng nhất bằng 0, $\frac{f_1}{f_2}$ và $\frac{g_1}{g_2}$ là các hàm phân hình khác hằng thỏa mãn: $$c f_1^n + d f_1^{n-m} f_2^m + e f_2^n = u g_1^n + v g_1^{n-m} g_2^m + t g_2^n$$ thì $g_1 = h f_1$ và $g_2 = l f_2$, trong đó $h, l$ là các hằng số thỏa mãn hệ điều kiện: $$h^n = \frac{c}{u}, \quad h^{n-m} l^m = \frac{d}{v}, \quad l^n = \frac{e}{t}$$

2. Tương tự định lý Ritt thứ nhất cho hàm phân hình

Xét lớp đa thức $\mathcal{P} = {R_i(z) = z^n + a_i z^{n-m} + b_i}{i=1}^r$ và $\mathcal{Q} = {D_j(z) = z^n + p_j z^{n-m} + q_j}{j=1}^s$. Một hàm phân hình $F$ gọi là không phân tích được trên $\mathcal{P}$ nếu không tồn tại biểu diễn $F = P \circ f$ với $P \in \mathcal{P}, \deg(P) > 1, f \in M(\mathbb{C})$.

  • Định lý 1.5: Cho $n \ge 2m + 4$ và hoặc $m \ge 2, \gcd(n, m) = 1$ hoặc $m \ge 4$. Nếu $f$ không phân tích được trên $\mathcal{Q}$ và $g$ không phân tích được trên $\mathcal{P}$, thỏa mãn: $$R_r \circ R_{r-1} \circ \dots \circ R_1 \circ f = D_s \circ D_{s-1} \circ \dots \circ D_1 \circ g$$ thì $r = s$ và tồn tại hằng số $l \neq 0$ sao cho $f = l g$.

3. Song tập xác định duy nhất (Bi-URSM) và tập xác định duy nhất (URSM)

  • Định lý 1.1: Xét $Y_{(a_i, b_i, m, n)}(x) = x^n + a_i x^{n-m} + b_i$ không có nghiệm bội, tập không điểm tương ứng là $S_i$. Với $n \ge 2m + 9$, hoặc $m \ge 2, \gcd(m, n) = 1$ hoặc $m \ge 4$, nếu $E_f(S_1) = E_g(S_2)$ thì $g = hf$ với $h^n = \frac{b_2}{b_1}$ và $h^m = \frac{a_2}{a_1}$.
  • Định lý 1.2 (Bi-URSM): Với $T_i$ là tập không điểm của $Y_{(a_i, b_i, m, n)}(x+1)$, nếu $n \ge 2m + 9, m \ge 4$ và $E_f(S_1) = E_g(S_1)$, $E_f(T_2) = E_g(T_2)$ thì $f = g$.
  • Định lý 1.3 (URSM cho hàm phân hình): Xét đa thức chấp nhận được $P(x) = a^n x^n + b^n + \sum_{i=1}^q (a_i x + b_i)^n = R(x) + b^n$ thỏa mãn các điều kiện:
    • $(B_1)$: $R(t_i) + b^n \neq 0$ với mọi không điểm $t_i$ của $P'(x)$ (nghĩa là $P(x)$ chỉ có không điểm đơn).
    • $(B_2)$: $\frac{a_i}{a_j} \neq \frac{b_i}{b_j}$ với mọi $i \neq j$.
    • $(B_3)$: Với mọi ma trận liên kết $A_\alpha$, $\left(\frac{\det A_\alpha}{\det A_{\alpha'}}\right)^n \neq \left(\frac{\det A_\beta}{\det A_{\beta'}}\right)^n$. Nếu $n \ge (2q+3)^2, q \ge 1$ và $S$ là tập không điểm của $P(x)$ thì $S$ là một URSM cho hàm phân hình ($E_f(S) = E_g(S) \Rightarrow f = g$).

4. Xác định duy nhất đối với đa thức vi phân

Thiết lập hệ thống bổ đề đánh giá hàm đặc trưng của đa thức vi phân:

  • Với $n \ge k+1$: $T(r, f) \le T(r, (f^n)^{(k)}) + S(r, f)$.
  • Với $n > 2k$: $N(r, \frac{1}{(f^n)^{(k)}}) \le k T(r, f) + k N_1(r, f) + S(r, f)$.
  • Với $P(z)$ có bậc $d > 0$: $N(r, \frac{1}{((P(f))^n)^{(k)}}) \le k(d+1)T(r, f) + S(r, f)$.
  • Định lý 1.10: Cho $P(x)$ là đa thức chấp nhận được thỏa mãn $(B_1), (B_2), (B_3)$, $n \ge (2q+3)^2, q \ge 1$ và $d \ge 3k + 5$. Nếu hai hàm phân hình khác hằng $f, g$ thỏa mãn $(P^d(f))^{(k)}$ và $(P^d(g))^{(k)}$ cùng nhận giá trị 1 tính cả bội, thì $f = g$.
  • Ví dụ kiểm chứng: Khi chọn $n = 25, q = 1, a = 1$, các hằng số $b, c, e \in \mathbb{C} \setminus {0}$ thỏa mãn $b^{24} \neq \left(\frac{e}{c}\right)^{24} \frac{t e}{h - t^{25}}$, $b^{25} \neq \frac{e^{25}}{c^{25}}$, $c^{50} \neq 1$, $b^{25} \neq c^{25} e^{25}$, $b^{25} \neq -\frac{e^{25}}{c^{50}}$, $b^{25} \neq -e^{25}$, đa thức $P(z) = z^{25} + b^{25} + (cz + e)^{25}$ thỏa mãn đầy đủ $(B_1), (B_2), (B_3)$.

Chương 2: Định lý thứ hai của Ritt và vấn đề duy nhất của đa thức vi phân trên một trường không-Acsimet

Chương 2 mở rộng nghiên cứu sang trường không-Acsimet $K$ (đặc trưng 0, đầy đủ), nội dung dựa trên các công trình [5], [6].

+-------------------------------------------------------------------------------+
| SO SÁNH ĐIỀU KIỆN CHẶN BẬC n TRÊN TRƯỜNG KHÔNG-ACSIMET                        |
+------------------------------+---------------------------+--------------------+
| Công trình                   | Dạng toán tử              | Điều kiện bậc n    |
+------------------------------+---------------------------+--------------------+
| Hà Huy Khoái, Vũ Hoài An,    |                           |                    |
| Nguyễn Xuân Lai (2011) [30]  | (f^n)^{(k)} và (g^n)^{(k)}| n >= 3k + 8        |
+------------------------------+---------------------------+--------------------+
| Luận án (Định lý 2.7)        | (P^n(f))^{(k)} và         |                    |
|                              | (Q^n(g))^{(k)}            | n >= 3k + 5        |
+------------------------------+---------------------------+--------------------+

1. Định lý Ritt thứ hai cho hệ hàm nguyên $p$-adic

  • Định lý 2.2: Thiết lập kết quả tương tự định lý thứ hai của Ritt đối với một véc-tơ các hàm nguyên $p$-adic thỏa mãn phương trình hàm phi tuyến, sử dụng Bổ đề kiểu Borel trên trường $K$ cho siêu mặt bậc $d \ge n^2 + n + k - 1 + \sum q_i$.

2. Cải tiến điều kiện duy nhất cho toán tử vi phân

  • Định lý 2.7: Thay vì chỉ xét đơn thức vi phân $(f^n)^{(k)}$, luận án xét toán tử $(P^n(f))^{(k)}$ và $(Q^n(g))^{(k)}$ với $P, Q$ là các đa thức kiểu Fermat-Waring. Luận án chứng minh rằng điều kiện xác định duy nhất được đảm bảo khi: $$n \ge 3k + 5$$ Điều kiện này cải tiến chặt chẽ hơn so với điều kiện $n \ge 3k + 8$ trong kết quả của Hà Huy Khoái, Vũ Hoài An, Nguyễn Xuân Lai [30], [31].

3. Giải quyết bài toán nghịch ảnh của F. Pakovich trong trường hợp $p$-adic

  • Định lý 2.10: Cho $S, T$ lần lượt là tập không điểm của các đa thức $P(z), Q(z)$ trên trường $K$. Luận án xác định mối quan hệ giữa hai hàm phân hình $f, g$ khi thỏa mãn điều kiện nghịch ảnh $E_f(S) = E_g(T)$, giải đáp câu hỏi của F. Pakovich [43] và C. C. Yang [44] trong bối cảnh giải tích phi-Acsimet.
  • Đa thức vi phân nhiều biến: Thiết lập kết quả duy nhất cho đa thức vi phân nhiều biến $P^{(k)}(f_1, \dots, f_{n+1})$ trên trường $K$.

Chương 3: Định lý thứ hai của Ritt và vấn đề duy nhất đối với tích q-sai phân, đa thức vi phân của hàm phân hình trên một trường không-Acsimet

Chương 3 khảo sát các cấu trúc sai phân và vi phân phức hợp trên trường không-Acsimet $K$, dựa trên các bài báo [1], [8].

1. Lý do nghiên cứu trên trường không-Acsimet

Trong giải tích phức $\mathbb{C}$, việc nghiên cứu tích sai phân và $q$-sai phân hầu như chỉ giới hạn cho lớp hàm phân hình có bậc hữu hạn (hoặc bậc 0). Nguyên nhân là vì trên $\mathbb{C}$, mối liên hệ định lượng giữa hàm đặc trưng $T(r, f(z))$ và $T(r, f(qz+c))$ đối với hàm phân hình tổng quát chưa thể thiết lập được.

Ngược lại, trên trường phi-Acsimet $K$, nhờ tính chất của chuẩn phi-Acsimet (bất đẳng thức tam giác siêu cự ly $|x+y| \le \max{|x|, |y|}$), mối liên hệ hàm đặc trưng giữa $f(z)$ và $f(qz+c)$ được thiết lập một cách hoàn chỉnh.

2. Kết quả xác định duy nhất đối với tích $q$-sai phân và đa thức vi phân

  • Khảo sát các toán tử:
    • Tích $q$-sai phân: $f^n(z) f^m(qz+c)$
    • Đa thức vi phân của tích $q$-sai phân: $(f^{nm}(z) f^{nd}(qz+c))^{(k)}$
  • Định lý 3.7: Xác lập điều kiện để hai hàm phân hình $p$-adic $f, g$ trùng nhau hoặc sai khác nhau một hằng số khi các tích $q$-sai phân của chúng cùng nhận một giá trị hoặc một hàm nhỏ.
  • Định lý 3.4: Thiết lập kết quả duy nhất cho toán tử vi sai phân hỗn hợp $(f^{nm}(z) f^{nd}(qz+c))^{(k)}$ trên trường không-Acsimet $K$, áp dụng Định lý cơ bản thứ hai cho hàm phân hình $p$-adic kết hợp các bổ đề kỹ thuật về đạo hàm phi-Acsimet.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đạt được các đóng góp khoa học mới về lý luận và phương pháp giải tích:

  1. Thiết lập tương tự hai định lý Ritt cho hàm phân hình:
    • Đưa ra cách tiếp cận mới kết nối giữa bài toán phân tích đa thức đại số của Ritt (1922) với lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna.
    • Chứng minh tương tự Định lý thứ hai của Ritt cho phương trình hàm $P(f_1, f_2) = Q(g_1, g_2)$ với các đa thức kiểu Fermat-Waring (Định lý 1.2).
    • Chứng minh tương tự Định lý thứ nhất của Ritt cho hàm phân hình không phân tích được trên một họ đa thức (Định lý 1.5).
  2. Đóng góp mới về tập xác định duy nhất (URSM, Bi-URSM):
    • Thiết lập các song tập xác định duy nhất Bi-URSM cho hàm phân hình (Định lý 1.1, 1.2).
    • Tìm ra lớp đa thức chấp nhận được thỏa mãn các điều kiện $(B_1), (B_2), (B_3)$ với $n \ge (2q+3)^2$ để tập không điểm của nó là URSM cho hàm phân hình (Định lý 1.3).
  3. Đóng góp về bài toán duy nhất đối với đa thức vi phân:
    • Chứng minh định lý duy nhất cho toán tử vi phân $(P^d(f))^{(k)}$ nhận giá trị 1 tính cả bội với điều kiện bậc $d \ge 3k + 5$ và $n \ge (2q+3)^2$ trên mặt phẳng phức $\mathbb{C}$ (Định lý 1.10).
  4. Cải tiến và mở rộng trên trường không-Acsimet ($p$-adic):
    • Cải tiến điều kiện bậc từ $n \ge 3k + 8$ xuống $n \ge 3k + 5$ đối với toán tử vi phân kiểu Fermat-Waring $(P^n(f))^{(k)}$ trên trường $K$ (Định lý 2.7).
    • Giải quyết bài toán nghịch ảnh $E_f(S) = E_g(T)$ của F. Pakovich trên trường $p$-adic (Định lý 2.10).
    • Thiết lập các định lý duy nhất cho tích $q$-sai phân $f^n(z)f^m(qz+c)$ và toán tử vi phân kết hợp $q$-sai phân $(f^{nm}(z)f^{nd}(qz+c))^{(k)}$ trên trường $K$ (Định lý 3.4, 3.7).
+-------------------------------------------------------------------------------+
| DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC BÁO CÁO KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN                  |
+---+---------------------------------------------------------------------------+
| 1 | Hội thảo quốc tế về Giải tích phức và ứng dụng lần thứ 20 (Hà Nội, 2012)  |
| 2 | Hội nghị Toán học phối hợp Việt - Pháp (Huế, 2012)                        |
| 3 | Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8 (Nha Trang, 2013)                     |
| 4 | Hội nghị Đại số - Hình học - Topo (Buôn Ma Thuột, 2016)                   |
| 5 | Các Seminar chuyên môn tại ĐH Sư phạm Thái Nguyên, ĐH Thăng Long,         |
|   | CĐ Hải Dương                                                              |
+---+---------------------------------------------------------------------------+

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Dựa trên nội dung và phạm vi nghiên cứu được trình bày trong văn bản:

  • Hạn chế:
    • Kết quả đối với tích $q$-sai phân và đa thức vi tích $q$-sai phân $(f^{nm}(z) f^{nd}(qz+c))^{(k)}$ mới chỉ thiết lập được trên trường không-Acsimet $K$, chưa thể mở rộng sang trường số phức $\mathbb{C}$ do giới hạn của việc ước lượng hàm đặc trưng $T(r, f(qz+c))$ trên $\mathbb{C}$.
    • Các kết quả duy nhất đối với đa thức vi phân $(P^d(f))^{(k)}$ đòi hỏi đa thức $P$ phải có cấu trúc đặc biệt (đa thức chấp nhận được hoặc kiểu Fermat-Waring) và bậc $n, d$ phải thỏa mãn các bất đẳng thức chặn dưới nghiêm ngặt ($n \ge (2q+3)^2, d \ge 3k+5$).
  • Hướng nghiên cứu tiếp:
    • Tiếp tục tìm kiếm các kỹ thuật giải tích để thiết lập mối quan hệ giữa $T(r, f(qz+c))$ và $T(r, f(z))$ trên trường phức $\mathbb{C}$ cho các lớp hàm rộng hơn.
    • Khảo sát việc giảm bậc chặn dưới của $n$ và $d$ trong các định lý duy nhất đối với đa thức vi phân và sai phân.
    • Mở rộng bài toán Ritt và bài toán xác định duy nhất cho hệ hàm phân hình nhiều biến trên trường số phức và trường phi-Acsimet.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu chuyên khảo có giá trị học thuật trong lĩnh vực Giải tích:

  • Đối tượng tham khảo:
    • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên chuyên ngành Toán Giải tích, Giải tích phức, Giải tích phi-Acsimet ($p$-adic analysis) và Lý thuyết Nevanlinna.
    • Các nhà nghiên cứu quan tâm đến phương trình hàm phi tuyến, tính phân tích được của hàm giải tích và bài toán xác định duy nhất.
  • Các phần có giá trị tham khảo cao:
    • Kỹ thuật sử dụng Bổ đề kiểu Borel để giải phương trình hàm liên kết với đường cong chỉnh hình trên không gian xạ ảnh $\mathbb{P}^n$.
    • Phương pháp xây dựng đa thức chấp nhận được thỏa mãn hệ điều kiện $(B_1), (B_2), (B_3)$ để tạo tập URSM (Mục 1.3 và ví dụ tường minh với $n=25$).
    • Kỹ thuật ước lượng hàm đặc trưng và hàm đếm đối với toán tử vi phân và $q$-sai phân trên trường phi-Acsimet (Chương 2 và Chương 3).

Câu hỏi thường gặp

1. Luận án mở rộng định lý thứ nhất của Ritt cho hàm phân hình như thế nào?

Ritt chứng minh tính duy nhất về số lượng thừa số và bậc của các đa thức thành phần khi phân tích đa thức phức. Do hàm phân hình có thể có vô hạn không điểm, tác giả đưa ra khái niệm "hàm phân hình không phân tích được" trên một họ đa thức $\mathcal{P} = {z^n + a_i z^{n-m} + b_i}$ và $\mathcal{Q} = {z^n + p_j z^{n-m} + q_j}$. Trong Định lý 1.5, tác giả chứng minh nếu $R_r \circ \dots \circ R_1 \circ f = D_s \circ \dots \circ D_1 \circ g$ với $n \ge 2m+4$ ($m \ge 2, \gcd(m,n)=1$ hoặc $m \ge 4$) thì số lượng phép hợp thành bằng nhau ($r = s$) và $f = lg$ ($l$ là hằng số).

2. Các điều kiện $(B_1), (B_2), (B_3)$ đối với đa thức chấp nhận được trong Định lý 1.3 là gì?

Đa thức $P(x) = a^n x^n + b^n + \sum_{i=1}^q (a_i x + b_i)^n = R(x) + b^n$ cần thỏa mãn:

  • $(B_1)$: $R(t_i) + b^n \neq 0$ tại mọi không điểm $t_i$ của $P'(x)$ (đảm bảo $P(x)$ chỉ có không điểm đơn).
  • $(B_2)$: $\frac{a_i}{a_j} \neq \frac{b_i}{b_j}$ với mọi $i \neq j$.
  • $(B_3)$: Các định thức ma trận liên kết $A_\alpha$ thỏa mãn $\left(\frac{\det A_\alpha}{\det A_{\alpha'}}\right)^n \neq \left(\frac{\det A_\beta}{\det A_{\beta'}}\right)^n$. Khi $n \ge (2q+3)^2$, tập không điểm của $P(x)$ là một URSM cho hàm phân hình.

3. Kết quả của luận án ở Chương 2 cải tiến công trình của Hà Huy Khoái, Vũ Hoài An và Nguyễn Xuân Lai ở điểm nào?

Công trình năm 2011 của Hà Huy Khoái, Vũ Hoài An, Nguyễn Xuân Lai [30] xét đơn thức vi phân $(f^n)^{(k)}$ và $(g^n)^{(k)}$ nhận chung giá trị 1 tính cả bội trên trường không-Acsimet $K$, yêu cầu điều kiện bậc $n \ge 3k + 8$. Luận án mở rộng bài toán sang toán tử đa thức vi phân kiểu Fermat-Waring $(P^n(f))^{(k)}$ và $(Q^n(g))^{(k)}$, đồng thời cải tiến hạ chặn số mũ xuống $n \ge 3k + 5$ (Định lý 2.7).

4. Tại sao bài toán xác định duy nhất cho tích $q$-sai phân $(f^{nm}(z)f^{nd}(qz+c))^{(k)}$ được thực hiện trên trường không-Acsimet mà chưa thực hiện trên trường số phức?

Trên trường số phức $\mathbb{C}$, việc đánh giá mối liên hệ định lượng giữa hàm đặc trưng $T(r, f(qz+c))$ và $T(r, f(z))$ cho hàm phân hình tổng quát chưa thiết lập được (chỉ có kết quả cho hàm bậc 0 hoặc hữu hạn). Trên trường không-Acsimet $K$, tính chất siêu cự ly của chuẩn $p$-adic ($|x+y| \le \max{|x|, |y|}$) cho phép thiết lập hoàn chỉnh mối quan hệ hàm đặc trưng, từ đó áp dụng thành công Lý thuyết Nevanlinna cho tích $q$-sai phân.

5. Kết quả của luận án giải quyết câu hỏi nào của F. Pakovich?

F. Pakovich (2008) nghiên cứu tính chất $f_1^{-1}(K_1) = f_2^{-1}(K_2)$ đối với tập compact và C. C. Yang đặt câu hỏi về việc xác định hàm từ $f^{-1}(S) = g^{-1}(S)$. Luận án giải quyết bài toán này trên trường phi-Acsimet $K$ trong Định lý 2.10 bằng cách xác định tường minh mối quan hệ giữa $f$ và $g$ khi nghịch ảnh có tính bội $E_f(S) = E_g(T)$ với $S, T$ là các tập không điểm của hai đa thức $P(z), Q(z)$.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của tác giả Phạm Ngọc Hoa đã xây dựng thành công một hướng tiếp cận giải tích mới để mở rộng hai định lý kinh điển của Ritt sang lớp hàm phân hình trên trường số phức và trường không-Acsimet. Bằng việc kết hợp Lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna với các bổ đề kiểu Borel, luận án đã thiết lập các định lý xác định duy nhất cho hàm phân hình, đa thức vi phân, đa thức sai phân và tích $q$-sai phân. Các kết quả này không chỉ cải tiến các chặn bậc đã có trong y văn giải tích $p$-adic mà còn giải quyết bài toán nghịch ảnh của Pakovich trên trường phi-Acsimet. Toàn bộ các công trình nghiên cứu trong luận án đã được công bố trên các tạp chí chuyên ngành và báo cáo tại nhiều hội nghị toán học trong nước và quốc tế.