CHƯƠNG I: MA TRAN -Một ma trận A loại 7x trên trường K là một bảng chữ nhật gồm mxn phần tử trong K được viết thành m dong, mỗi dòng có n phan tử như sau : A= đại ta 4, đựi 4,9 Bann -Với a, € K là phẩn tử ở vị trí dòng i, cột j của A, -A có thể viết ngắn gọn là A = (a, ). -Ký hiệu [A], hay a, được hiểu là phân tử ở vị trí dòng ỉ,cột j của A. -Tập hợp tất cả các ma trận loại mxn trên trường K được ký hiệu là MAK). -Nếu m=n thi A được gọi là ma trận vuông cấp n trên K.
Tập hợp tất cả các ma tran vuông cấp n trên trường K được ký hiệu là Ä⁄ (K). +Nếu a, =0,Vi # / thì ta nói A là một ma trân đường chéo. Được ký hiệu là đ¿4g(4,,đ,. Ví dụ : SVTH :Nguyễn Ảnh Nam St LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP GVHD: Lé Van Phước A= R ) hay A = điag(1,2) 1 0 ; +Nếu a, =0,Vi> j thì ta nói A là một ma trân tam giác trên.
Ví dụ : 1 2 1 A=|0 2 5 0 0 3 +Nếu a, =0,Vi < j thì ta nói A là một ma trân tam giác dưới. Vi dụ : 1 0 0 A=|0 -5 0 D 2 2 +Một ma trận đường chéo với tất cả các phần tử đều bằng 1 gọi là ma trận đơn vị cấp n ký hiệu là Ï_, nghĩa là : 1 0 -- 0 0 1 0 l= 0 0 | H.Các phép toán trên ma tran: - Cho A, 8 e M,. Ta nói nếu A=B : [A], =[B], Yi, 7. min 1 0 Vidu: A= B= thi -2 | Pq A=B<>m=l,n=0,p=-2và q =l].
zzz SVTH :Nguyễn Anh Nam -8- LUAN VAN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước CC. NNNỤH-ANNNHHH nxx=== -Cho Ac M__(K). Ta nói BEM, (K) là chuyển vị của A (ký hiệu B=A') nếu : [8], =[A], viv. + Giả sử Ae M (K).
Khi đó nếu A'=A thì ta nói A là một ma trận đối vững : nếu AT=-A thì ta nói A là một ma trận phản đối xứng. 2 3 vid: anda A =| 2 4 5) mA= 4 6 3 67 6 7 +B= 1 2] là ma trận đối xứng. O 0 0 -2 | +C=| 2 0 -5| là ma trận phản đối xứng. -l 5 0 -Cho AEM, (K) va œ,Ø<€K.
Ta gọi tích của @ va A (ký hiệu @A) là một ma trận được xác định bởi : [z4] =z[A]|, Vi/ + (zØ)A =a( BA) +(aA)'=a(A') |||. SVTH :Nguyén Anh Nam -9- LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước - Cho A,B e M__ (K) ta gọi tổng của A vaB (ký hiệu A+B) là một ma trận được xác định bởi : [A+B] =[4] +[8] vi; +Tổng A+(-B) được ký hiệu bởi A-B và gọi là hiệu của ma trận A và B (a 2}#*(s ¡) 1 0 1 3 +Viduvéi A= ‘B= thì: f ) is l 2 3 0 ? A+B= và 4A = 8= I + Cho A,B,C e M_ (K)va a. Tích của A với B (ký hiệu AB) là một ma trận thuộc M_. ar (K) được xác định bởi : SVTH :Nguyén Anh Nam - 10- LUẬN VĂN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước + Tích hai ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận thứ nhất bằng số dòng của ma trận thứ hai.
Phan tử ở vị trí (7) của ma trận tích có được bằng cách lấy các phan tử đòng ¿ của ma trận thứ nhất nhân với từng phản tử cột/ của ma trận thứ hai (theo thứ tự đó) rồi cộng kết quả lại. Nếu A,Be€M,(K) và AB=BA thi A và B được gọi là giao hoán nhau. 1 O k 2 Vidu:cho A= va B= thi 0 2 0 1 1 3 1 6 AB = va BA= ta thấy AB # BA 0 2 0 2 + Nếu AEM, (K) và BEM, (K) thì có thể xảy ra khả năng A #0 và 8 #0 nhưng AB=0. Do đó không thể khẳng định nếu AB=0 thì A=0 hay B=0.
0 va B= su thi AB = alien 0 0 1 0 0 0 - Cho A,A'eM,.Lũy thừa ma trận : *Cho A œ M_(K).Ta gọi luf thừa bậc k của A là một ma trận trong M_(K)(ky hiệu la A* )được xác định một cách quy nạp như sau : 0 1 ¬. 1 0 0 1 1 0 * Với Ac M_(K) thỏa diéu kiện A* = 0 với một k EN nào đó gọi là ma trận lũy linh. * Cho AEM (K)va r,s Ee N. Khi đó ; +(0,Ÿ =0, +L) =1, + ATM =A’‘A'’ +A” =(A’ } SVTH :Nguyễn Ảnh Nam -12- LUẬN VAN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước IV.Các phép biến đổi sơ cấp : *Định nghĩa | : một ánh xạ 9: Mĩ, (K)-> M,.
Kí hiệu: g=ad,, + @ biến dòng ¿ của A thành dòng ¿ cộng @ lần dòng /(œ € K,i # J), ký hiệu: gp = đ, + ad, : + @ hoán vị dòng i và dòng j của A với nhau (i+ /), ký hiệu @=d, «>đ,. viaiDD 3 1] 3 ? 6 by is ? 6 kị 2 2 3 22 3 0 4 -5 +Nếu A—*4—> A! thì A'—”—› A. Ta nói A tương đương dòng với B (ký hiệu A~B) nếu Ö có thể nhận được từ A thông qua một số phép biến đổi sơ cấp trên đòng. Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương nghĩa là với mọi A,B,C e M_.
SVTH :Nguyễn Ảnh Nam -13- LUẬN VAN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước ——————T——————— TT TT TT TT TFT—_—_—_ —__———EeKS_ + Nếu Av~B và B~C thì A~C. - Tương tự phép biển đổi sơ cấp trên dòng thì ta có phép biến đổi sơ cấp trên cột như sau : *Định nghĩa 2 : Một ánh xạØ: Af, (K)-›» AM,. + @ biến cột ¿ của A thành cột / cộng @ lan cột j(œ © K,¡# j). ky hiệu @ =c, +ức,.
+ @ hoán vị cột ¿ và cột / của A với nhau (i # j), ký hiệu @ = €, eC, Ví dụ : b 2 “eee” 2 HH 2 | x Để A l 35 -=l| x j2 3 “A 4¿ l2 ä =l vf bot? -Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng và trên cột được gọi chung là phép biển đổi sơ cấp. * Một ma trận vuông cấp n trên K nhận được từ /„ qua duy nhất một phép biến đổi sơ cấp gọi là một ma trận sơ cấp. Ƒ—————————>—-r-r— SVTH :Nguyễn Anh Nam Spar LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP GVHDĐ: Lê Văn Phước +Nếu S$ là ma trận sơ cấp có được từ 7, qua phép biến đổi sơ cấp @ thì ta ký hiệu S=@ (J, ). + Nếu S$ là ma trận sơ cấp thì tổn tại một phép biến đổi sơ cấp trên dòng ọ và một phép biến đổi sơ cấp trên cột sao cho S = @(1„)= (1, ).
1 0 0 1 0 0 Ví dụ : các ma trận S =|0 | 0|;S =|0 1 O| là các ma 0 0 3 lI 0 1 trận sơ cap.(K),@ là một phép biến đổi sơ cấp trên dòng và ự là một phép biến đổi sơ cấp trên cột. Khi đó A~B khi và chỉ khi tôn tại các ma trận sơ + Cho AEM, (K). Ta nói A khả nghịch trái nếu tổn tại 8c<M,, (K)sao cho BA = ï (khi đó Ö được gọi là nghịch đảo trái của A) và A được gọi là khả nghịch phải nếu tổn tại C€ Aƒ, (K) sao cho AC =I, (C được gọi là nghịch đảo phải của A). —————————ee—>———————=—— SVTH :Nguyễn Ảnh Nam -1§- LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước +Cho A € M_(K).
Ta nói A khả nghịch nếu tôn tại8 € M_(K) sao cho AB = BA = I,. Khi đó B được gọi là ma trận nghịch đảo của A, 3 -4 -6 -Ì -2 -2 Ví dụ : cho A=|l0 -1 -l|vaB=|2 0 3 thì -2 3 4 -2 -Ì -3 AB = BA = Ï, và ta nói A khả nghịch và B là nghịch đảo của A. + Nếu A có một dòng hoặc một cột bằng 0 thì A không khả nghịch. + Ma trận nghịch đảo (nếu có ) của A là duy nhất , ký hiệu là A”.
+ A khả nghịch thì A',A’,@A(0#a@eK) cũng khả nghịch va (A')' =A;(AT)' =(A')' ;(œA)' = Lại a + Nếu A và B khả nghịch thì tích AB cũng khả nghịch và (AB)' =B'A" + Nếu A ,A,,.,A, € M_(K) khả nghịch thì tích A, .A, cũng khả nghịch và (A,. + Mọi ma trận sơ cấp trên K đều khả nghịch và có ma trận nghịch đảo là một ma trận sơ cấp. khi đó tôn tại các ma trận khả nghịch P © M_(K) và QE M (K) sao cho A= li, N2 0 SVTH :Nguyễn Anh Nam -l16- LUẬN VAN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước +Cho A,B eM, (K). Khi đó A~B khi và chỉ khi tổn tại P € M, (K) khả nghịch sao cho B = PA.
Khi đó r (AT)=r (A) và để tìm hạng của ma trận A ta có thể ding cả hai phép biến đổi sơ cấp trên dong và trên cột để đưa A về ma trận bậc thang từ đó suy ra hạng của ma trận A. Khi đó ta có : -A khả nghịch. -R, — if * -A là tích của một số hitu hạn các ma trận sơ cấp. Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận : + Cho AeM (K); B,.
Khi đó nếu A khả nghịch thì phương trình AX=B có nghiệm duy nhất X=A"B, + ChoAeM (K); 8,XeM, (K). Khi đó nếu A khả nghịch thì phương trình XA=B có nghiệm duy nhất X=BA". Khi đó nếu A và C khả nghịch thì phương trình AXC=B có nghiệm duy nhất X=A' BC! 2 1 \ ộ U & Ví dụ : cho A = ,B= và C= 53 3 4 0 1 a)Tim X biết AX=B. SVTH :Nguyễn Ảnh Nam Sy LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước ed -Phương trình AX=B có nghiệm là X=A ÌB.
-Tìm A Ì,Ta có : , ! 2 i 0 xá) 2 — 5 3|01) +; 1 2 3 ~-I\1 2) isi (0 2 ir " lŠ 2 lỆ 1 F 2] a và X=A'B= do đó A ” = b)TXibimết XA =B tư ơn g tự ta có X = B A -| kí —7 4 3 c)Tim X biết AXC=B tương tự ta có X = A'BC' -(; ri 0 2 _——————————————————=—— SVTH :Nguyễn Anh Nam -18- LUẬN VĂN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước CHƯƠNG II : KHÔNG GIAN VECTƠ 1)Dinh nghĩa : +Ta nói V là một không gian vcctơ trên trường K hay K-không gian vectở, nếu V được trang bị một phép toán đại số ( phép cộng,ký hiệu là “+” )và một tác động ngoài ,với miền tác động K (phép nhân vô hướng,ký hiệu “.” Thỏa các diéu kiện sau : -Tinh giao hoán của phép cộng : V(x,y)c€VÌ,x+y=y+x, -Tinh kết hợp của phép cộng : V(x,y,z)€ V°,(x+y)+z=x+(y+z). -Trong V tổn tại phan tử không ( ký hiệu 0 )thỏa man: VxeV,x+0=x.