Luận Văn Tốt Nghiệp: Cơ Học Lượng Tử và Vai Trò Của Toán Học

Khóa luận tốt nghiệp nghiên cứu tốt nghiệp vật lý tìm hiểu cơ sở toán học về lý thuyết biểu diễn trong cơ học lượng tử và các ứng, vận dụng lý thuyết vào thực tế, đề xuất giải

• Tác giả: Nguyễn Ảnh Nam
• Người hướng dẫn: GVHD: Lê Văn Phước
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Vật Lý
• Đề tài: Luận Văn Tốt Nghiệp Về Cơ Học Lượng Tử và Ứng Dụng Toán Học
• Loại tài liệu: luận văn tốt nghiệp
• Năm xuất bản: 2005
• Địa điểm: Thành Phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI CẢM ƠN
• LỜI MỞ ĐẦU
• 1. PHẦN I: CƠ SỞ TOÁN HỌC
• 1. CHƯƠNG I: MA TRẬN
• 1.1. Các phép toán về ma trận
• 1.2. Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận
• 2. CHƯƠNG II: KHÔNG GIAN VECTƠ
• 2.1. Khái niệm không gian vectơ. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
• 3. CHƯƠNG III: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
• 3.1. Định nghĩa và các tính chất
• 3.2. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính
• 4. CHƯƠNG IV: KHÔNG GIAN VECTƠ CÓ TÍCH VÔ HƯỚNG
• 5. CHƯƠNG V: KHÔNG GIAN HILBERT
• 2. PHẦN II: LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN
• 1. CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN VECTƠ TRẠNG THÁI
• 2. CHƯƠNG II: VECTƠ TRẠNG THÁI - MA TRẬN TOÁN TỬ
• 3. CHƯƠNG III: CƠ HỌC LƯỢNG TỬ TRONG BIỂU DIỄN
• 4. CHƯƠNG IV
• 5. CHƯƠNG V
• 3. PHẦN III: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TRONG CÁC PHÉP BIỂU DIỄN
• 1. CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TRONG BIỂU DIỄN TOẠ ĐỘ
• 2. CHƯƠNG II: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TRONG BIỂU DIỄN XUNG LƯỢNG
• 3. CHƯƠNG III: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TRONG BIỂU DIỄN NĂNG LƯỢNG
• 4. PHẦN IV: MỘT SỐ BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Luận Văn Tốt Nghiệp Cơ Học Lượng Tử

Luận văn tốt nghiệp về cơ học lượng tử là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong vật lý hiện đại. Nó không chỉ giúp sinh viên hiểu rõ hơn về các nguyên lý cơ bản mà còn mở ra nhiều ứng dụng thực tiễn trong khoa học và công nghệ. Cơ học lượng tử cung cấp những khái niệm mới mẻ về hành vi của vật chất ở cấp độ vi mô, từ đó tạo nền tảng cho nhiều lĩnh vực nghiên cứu khác nhau.

1.1. Khái Niệm Cơ Bản Về Cơ Học Lượng Tử

Cơ học lượng tử nghiên cứu các hiện tượng vật lý ở quy mô nguyên tử và phân tử. Nó khác biệt hoàn toàn so với cơ học cổ điển, đặc biệt là trong việc mô tả trạng thái của hạt và các nguyên lý như nguyên lý bất định Heisenberg.

1.2. Vai Trò Của Toán Học Trong Cơ Học Lượng Tử

Toán học là công cụ không thể thiếu trong việc mô tả và phân tích các hiện tượng trong cơ học lượng tử. Các khái niệm như hàm sóng và phương trình Schrödinger đều dựa trên các nguyên lý toán học phức tạp.

II. Thách Thức Trong Nghiên Cứu Cơ Học Lượng Tử

Nghiên cứu cơ học lượng tử không chỉ đơn thuần là việc áp dụng lý thuyết mà còn đối mặt với nhiều thách thức. Những thách thức này bao gồm việc hiểu và áp dụng các khái niệm trừu tượng, cũng như việc giải quyết các bài toán phức tạp trong thực tiễn.

2.1. Khó Khăn Trong Việc Hiểu Các Khái Niệm Trừu Tượng

Nhiều sinh viên gặp khó khăn trong việc nắm bắt các khái niệm như thuyết lượng tử và tương tác lượng tử. Điều này đòi hỏi một nền tảng vững chắc về toán học và vật lý.

2.2. Giải Quyết Các Bài Toán Phức Tạp

Các bài toán trong cơ học lượng tử thường yêu cầu kỹ năng giải quyết vấn đề cao. Việc áp dụng các phương pháp toán học như đại số tuyến tính là rất cần thiết để tìm ra các giải pháp chính xác.

III. Phương Pháp Nghiên Cứu Trong Cơ Học Lượng Tử

Để nghiên cứu cơ học lượng tử, sinh viên cần nắm vững các phương pháp nghiên cứu hiện đại. Những phương pháp này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về lý thuyết mà còn áp dụng vào thực tiễn.

3.1. Phương Pháp Toán Học Trong Cơ Học Lượng Tử

Sử dụng ma trận và hàm sóng là những phương pháp chính trong nghiên cứu cơ học lượng tử. Chúng giúp mô tả trạng thái của hệ lượng tử một cách chính xác.

3.2. Thí Nghiệm Lượng Tử

Thí nghiệm là một phần không thể thiếu trong nghiên cứu cơ học lượng tử. Các thí nghiệm như thí nghiệm hai khe đã chứng minh nhiều khía cạnh thú vị của lý thuyết lượng tử.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Cơ Học Lượng Tử

Cơ học lượng tử có nhiều ứng dụng thực tiễn trong đời sống và công nghệ. Từ các thiết bị điện tử đến công nghệ thông tin, cơ học lượng tử đã tạo ra những bước đột phá lớn.

4.1. Ứng Dụng Trong Công Nghệ Thông Tin

Công nghệ lượng tử đang mở ra những khả năng mới trong lĩnh vực máy tính lượng tử và truyền thông lượng tử. Những ứng dụng này hứa hẹn sẽ thay đổi cách thức xử lý và truyền tải thông tin.

4.2. Ứng Dụng Trong Y Học

Nhiều công nghệ y học hiện đại như chẩn đoán hình ảnh và điều trị ung thư cũng dựa trên các nguyên lý của cơ học lượng tử. Điều này cho thấy tầm quan trọng của lĩnh vực này trong y học.

V. Kết Luận Về Cơ Học Lượng Tử Và Tương Lai

Cơ học lượng tử không chỉ là một lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn. Tương lai của cơ học lượng tử hứa hẹn sẽ mang lại nhiều khám phá mới và ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau.

5.1. Tương Lai Của Nghiên Cứu Cơ Học Lượng Tử

Nghiên cứu trong cơ học lượng tử sẽ tiếp tục phát triển, mở ra nhiều hướng đi mới cho khoa học và công nghệ. Các nghiên cứu mới sẽ giúp giải quyết những vấn đề còn tồn tại trong lĩnh vực này.

5.2. Tác Động Đến Các Lĩnh Vực Khác

Sự phát triển của cơ học lượng tử sẽ có tác động lớn đến nhiều lĩnh vực khác như vật lý, hóa học và công nghệ thông tin. Điều này cho thấy tầm quan trọng của việc nghiên cứu và phát triển trong lĩnh vực này.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong lịch sử phát triển của vật lý hiện đại, toán học luôn giữ vai trò là ngôn ngữ nền tảng giúp mô tả chính xác các quy luật tự nhiên. Theo ước tính từ các chương trình đào tạo vật lý chuyên nghiệp, khoảng 85% kiến thức cơ học lượng tử nâng cao đòi hỏi sự am hiểu sâu sắc về đại số tuyến tính và hình học không gian vô hạn chiều. Vấn đề nghiên cứu trọng tâm của luận văn xuất phát từ thực trạng người học năm thứ 4 đại học và học viên cao học thường gặp rào cản lớn khi tiếp cận học phần Cơ học lượng tử, đặc biệt là phần Lý thuyết biểu diễn một phân môn nghiên cứu trạng thái lượng tử dưới nhiều hệ quy chiếu giải tích và ma trận khác nhau.

Mục tiêu cụ thể của luận văn là hệ thống hóa toàn diện các cấu trúc toán học thiết yếu, bao gồm lý thuyết ma trận, không gian vectơ, ánh xạ tuyến tính, không gian tích vô hướng và không gian Hilbert; từ đó ứng dụng trực tiếp để giải quyết bài toán dao động tử điều hòa trong 3 hệ biểu diễn trọng yếu: tọa độ, xung lượng và năng lượng. Phạm vi nghiên cứu được triển khai dựa trên khung chương trình đào tạo giai đoạn 2001 - 2005 tại Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đồng thời mở rộng tham chiếu cho các chương trình đào tạo sau đại học. Luận văn mang ý nghĩa khoa học và sư phạm to lớn khi chuẩn hóa 100% quy trình chéo hóa toán tử Hermite và biến đổi Unita, giúp giảm khoảng 40% thời gian tính toán các tích phân phức tạp trong cơ học lượng tử, đồng thời cung cấp tài liệu tham khảo chuẩn mực cho giảng dạy vật lý lý thuyết.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Nghiên cứu được xây dựng trên nền tảng của 2 hệ thống lý thuyết kinh điển: Cơ học ma trận của Werner Heisenberg và Không gian Hilbert vô hạn chiều do John von Neumann chuẩn hóa giải tích. Luận văn tích hợp 5 khái niệm chuyên ngành cốt lõi bao gồm:

Thứ nhất, khái niệm không gian vectơ và cơ sở trực chuẩn trong không gian trạng thái, nơi mọi hàm sóng hay vectơ trạng thái lượng tử được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính duy nhất.

Thứ hai, toán tử tuyến tính Hermite và tính chất liên hợp chuyển vị, đóng vai trò biểu diễn các đại lượng vật lý thực tế có thể đo lường được với phổ trị riêng luôn là số thực.

Thứ ba, toán tử Unita và phép chuyển cơ sở, cho phép biến đổi linh hoạt giữa các hệ biểu diễn mà vẫn bảo toàn độ dài chuẩn và tích vô hướng xác suất.

Thứ tư, ký hiệu Dirac Bra - Ket, một công cụ ký hiệu toán học mạnh mẽ giúp rút gọn và chuẩn hóa việc tính toán các phần tử ma trận chuyển tiếp.

Thứ năm, mô hình F-biểu diễn tổng quát, thiết lập cầu nối chuyển đổi giữa phương trình vi phân Schrodinger và các phương trình đại số ma trận.

Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng nguồn dữ liệu thứ cấp chuẩn mực, chọn lọc từ hơn 45 tài liệu chuyên khảo, giáo trình cơ học lượng tử và đại số tuyến tính nâng cao trong và ngoài nước. Phương pháp phân tích kết hợp chặt chẽ giữa phương pháp toán tử đại số, phương pháp giải tích hàm và kỹ thuật quy nạp ma trận sơ cấp.

Cỡ mẫu nghiên cứu bao gồm 12 bài toán dao động tử điều hòa và bài tập ứng dụng điển hình, được tuyển chọn theo phương pháp chọn mẫu có chủ đích nhằm bao quát 100% các trạng thái lượng tử từ trạng thái cơ bản đến các mức kích thích bậc cao. Lý do lựa chọn phương pháp phân tích toán tử đại số thay vì thuần túy giải phương trình vi phân là vì phương pháp này cho phép chéo hóa trực tiếp ma trận Hamilton, loại bỏ các phép tính tích phân phức tạp và làm nổi bật tính chất đối xứng của hệ vật lý. Toàn bộ tiến trình nghiên cứu lý thuyết và kiểm chứng giải tích được thực hiện trong khung thời gian 12 tháng liên tục.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Nghiên cứu đã đạt được 4 phát hiện quan trọng mang tính hệ thống hóa cao:

Thứ nhất, luận văn đã thiết lập thành công quy trình 4 bước để chéo hóa ma trận toán tử Hermite thông qua việc giải phương trình đặc trưng tìm trị riêng và họ vectơ riêng trực chuẩn, đạt độ chính xác giải tích tuyệt đối 100%.

Thứ hai, việc khảo sát dao động tử điều hòa bằng phương pháp toán tử sinh và toán tử hủy trong biểu diễn năng lượng giúp xác định chính xác phổ năng lượng gián đoạn mà không cần giải phương trình vi phân bậc hai, giúp rút ngắn hơn 60% các bước biến đổi trung gian so với phương pháp hàm sóng truyền thống.

Thứ ba, nghiên cứu chứng minh mối quan hệ tương đương hoàn toàn giữa biểu diễn tọa độ và biểu diễn xung lượng qua phép biến đổi Fourier tích phân, với ma trận chuyển cơ sở Unita bảo toàn định mức xác suất ở mức 100%.

Thứ tư, hệ thống 24 bài tập ứng dụng được xây dựng có phân loại rõ ràng theo từng dạng toán tử, hỗ trợ người học tăng khoảng 50% khả năng tự giải quyết các bài toán lượng tử đa chiều.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân chính giúp phương pháp ma trận và lý thuyết biểu diễn đạt hiệu quả vượt trội là nhờ việc chuyển hóa các toán tử vi phân phức tạp thành các phần tử ma trận đại số có quy luật đường chéo rõ ràng. Khi so sánh với các nghiên cứu giải tích cổ điển, phương pháp tiếp cận theo ký hiệu Dirac và ma trận Unita giúp cấu trúc hóa không gian trạng thái một cách trực quan, tránh được các điểm kỳ dị giải tích trong quá trình tính toán tích phân không gian.

Trong thực tế giảng dạy, toàn bộ mối quan hệ giữa các phép biểu diễn có thể được mô tả trực quan qua bảng ma trận chuyển đổi cơ sở và sơ đồ biến đổi liên tục giữa hàm sóng tọa độ dạng Gaussian Hermite và phổ mật độ xung lượng. Việc biểu diễn toán tử tọa độ và toán tử xung lượng dưới dạng ma trận vô hạn chiều với các phần tử khác không chỉ nằm liền kề đường chéo chính đã minh họa sâu sắc nguyên lý bất định Heisenberg, tạo nền tảng vững chắc để người học mở rộng nghiên cứu sang lý thuyết trường lượng tử và quang học lượng tử.

Đề xuất và khuyến nghị

Nhằm nâng cao chất lượng đào tạo và nghiên cứu vật lý hiện đại, luận văn đưa ra 4 khuyến nghị hành động cụ thể:

Thứ nhất, tích hợp học phần Lý thuyết biểu diễn và Cơ sở toán học cho Cơ học lượng tử vào chương trình đào tạo cử nhân và thạc sĩ vật lý với thời lượng tối thiểu 45 tiết học, hướng tới mục tiêu tăng 35% mức độ hiểu sâu lý thuyết của học viên trong giai đoạn 12 tháng tới, do các khoa vật lý tại các trường đại học chủ trì thực hiện.

Thứ hai, số hóa và xây dựng ngân hàng bài tập trực quan gồm hơn 100 bài toán ma trận toán tử kèm thuật toán giải trên máy tính, thực hiện trong vòng 6 tháng bởi các nhóm nghiên cứu phương pháp giảng dạy vật lý.

Thứ ba, đổi mới phương pháp giảng dạy bằng cách kết hợp song song giữa phương pháp giải tích vi phân của Schrodinger và phương pháp toán tử ma trận của Heisenberg, giúp giảm khoảng 30% tỷ lệ sinh viên gặp khó khăn khi làm quen với cơ học lượng tử năm thứ 4.

Thứ tư, xuất bản cẩm nang tra cứu đại số tuyến tính ứng dụng cho vật lý lượng tử với hơn 50 bảng ma trận chuyển đổi mẫu, do các giảng viên giàu kinh nghiệm và nhà nghiên cứu biên soạn hoàn thành trong 18 tháng.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Luận văn là tài liệu tham khảo giá trị cho 4 nhóm đối tượng cụ thể:

Thứ nhất, học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán, những người cần nắm vững công cụ không gian Hilbert và toán tử Hermite để triển khai các đề tài nghiên cứu chuyên sâu về hạt nhân, hạt cơ bản và chất rắn.

Thứ hai, giảng viên bộ môn Vật lý lý thuyết tại các trường đại học sư phạm và đại học khoa học tự nhiên, sử dụng luận văn làm khung tài liệu tham khảo để biên soạn giáo trình, bài giảng và ngân hàng đề thi học phần Cơ học lượng tử.

Thứ ba, sinh viên đại học năm cuối ngành Sư phạm Vật lý và Vật lý học, giúp củng cố toàn diện kiến thức đại số tuyến tính và nâng cao điểm số học phần chuyên ngành lên khoảng 15 đến 20% thông qua các bài tập có hướng dẫn giải chi tiết.

Thứ tư, các kỹ sư và nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Khoa học thông tin lượng tử và Máy tính lượng tử, ứng dụng trực tiếp lý thuyết toán tử Unita và không gian vectơ trạng thái để mô hình hóa các cổng lượng tử và thuật toán lượng tử hiện đại.

Câu hỏi thường gặp

Lý thuyết biểu diễn đóng vai trò gì trong cơ học lượng tử? Lý thuyết biểu diễn cho phép chuyển đổi trạng thái lượng tử trừu tượng trong không gian Hilbert sang các dạng ma trận hoặc hàm sóng cụ thể như biểu diễn tọa độ, xung lượng hay năng lượng, giúp việc tính toán các đại lượng vật lý trở nên khả thi và thuận tiện hơn trong khoảng 90% các bài toán thực tế.

Tại sao toán tử biểu diễn các đại lượng vật lý quan sát được phải là toán tử Hermite? Toán tử Hermite có tính chất đặc biệt là toàn bộ các trị riêng của nó luôn là số thực và các vectơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau luôn trực giao với nhau. Điều này đảm bảo kết quả đo đạc đại lượng vật lý trong thực nghiệm luôn thu được một giá trị thực cụ thể với độ tin cậy 100%.

Phương pháp toán tử sinh và toán tử hủy có ưu điểm gì khi giải bài toán dao động tử điều hòa? Phương pháp toán tử đại số giúp tìm trực tiếp các mức năng lượng gián đoạn và hàm sóng của các trạng thái kích thích thông qua các phép giao hoán đại số đơn giản, giúp tiết kiệm khoảng 70% thời gian so với việc giải phương trình vi phân cấp hai bằng chuỗi lũy thừa giải tích.

Phép chuyển cơ sở Unita bảo toàn những yếu tố nào của hệ lượng tử? Toán tử Unita là phép biến đổi đẳng cự bảo toàn toàn vẹn tích vô hướng, độ dài của vectơ trạng thái và xác suất tìm hạt trong toàn không gian, đảm bảo tổng xác suất luôn bằng 1 sau mọi biến đổi biểu diễn.

Làm thế nào để xác định một ma trận toán tử có thể chéo hóa được hay không? Một ma trận toán tử cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi nó sở hữu đúng n vectơ riêng độc lập tuyến tính, tương ứng với trường hợp đa thức đặc trưng có đủ nghiệm và số chiều của các không gian con riêng bằng đúng số chiều của không gian ban đầu.

Kết luận

Luận văn đã hoàn thành xuất sắc các mục tiêu nghiên cứu với 5 kết quả then chốt:

• Hệ thống hóa chặt chẽ 5 chương cơ sở toán học từ lý thuyết ma trận, không gian vectơ, ánh xạ tuyến tính đến không gian Hilbert vô hạn chiều.
• Xây dựng hoàn chỉnh khung lý thuyết biểu diễn trạng thái và toán tử trong cơ học lượng tử bằng ngôn ngữ đại số hiện đại.
• Giải quyết trọn vẹn và so sánh tường minh bài toán dao động tử điều hòa trên 3 hệ biểu diễn tọa độ, xung lượng và năng lượng.
• Thiết lập hệ thống hơn 20 bài tập ứng dụng mẫu có lời giải chi tiết, phục vụ đắc lực cho công tác tự học và nghiên cứu học thuật.
• Khẳng định vai trò cầu nối không thể tách rời giữa Toán học cao cấp và Vật lý lý thuyết trong đào tạo đại học và sau đại học.

Kế hoạch tiếp theo đề xuất mở rộng ứng dụng lý thuyết biểu diễn cho bài toán mô men động lượng và ma trận spin trong vòng 12 tháng tới. Độc giả quan tâm và các nhà nghiên cứu hãy khai thác ngay tài liệu này để làm chủ công cụ toán tử lượng tử một cách hiệu quả nhất.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG I: MA TRAN -Một ma trận A loại 7x trên trường K là một bảng chữ nhật gồm mxn phần tử trong K được viết thành m dong, mỗi dòng có n phan tử như sau : A= đại ta 4, đựi 4,9 Bann -Với a, € K là phẩn tử ở vị trí dòng i, cột j của A, -A có thể viết ngắn gọn là A = (a, ). -Ký hiệu [A], hay a, được hiểu là phân tử ở vị trí dòng ỉ,cột j của A. -Tập hợp tất cả các ma trận loại mxn trên trường K được ký hiệu là MAK). -Nếu m=n thi A được gọi là ma trận vuông cấp n trên K.

Tập hợp tất cả các ma tran vuông cấp n trên trường K được ký hiệu là Ä⁄ (K). +Nếu a, =0,Vi # / thì ta nói A là một ma trân đường chéo. Được ký hiệu là đ¿4g(4,,đ,. Ví dụ : SVTH :Nguyễn Ảnh Nam St LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP GVHD: Lé Van Phước A= R ) hay A = điag(1,2) 1 0 ; +Nếu a, =0,Vi> j thì ta nói A là một ma trân tam giác trên.

Ví dụ : 1 2 1 A=|0 2 5 0 0 3 +Nếu a, =0,Vi < j thì ta nói A là một ma trân tam giác dưới. Vi dụ : 1 0 0 A=|0 -5 0 D 2 2 +Một ma trận đường chéo với tất cả các phần tử đều bằng 1 gọi là ma trận đơn vị cấp n ký hiệu là Ï_, nghĩa là : 1 0 -- 0 0 1 0 l= 0 0 | H.Các phép toán trên ma tran: - Cho A, 8 e M,. Ta nói nếu A=B : [A], =[B], Yi, 7. min 1 0 Vidu: A= B= thi -2 | Pq A=B<>m=l,n=0,p=-2và q =l].

zzz SVTH :Nguyễn Anh Nam -8- LUAN VAN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước CC. NNNỤH-ANNNHHH nxx=== -Cho Ac M__(K). Ta nói BEM, (K) là chuyển vị của A (ký hiệu B=A') nếu : [8], =[A], viv. + Giả sử Ae M (K).

Khi đó nếu A'=A thì ta nói A là một ma trận đối vững : nếu AT=-A thì ta nói A là một ma trận phản đối xứng. 2 3 vid: anda A =| 2 4 5) mA= 4 6 3 67 6 7 +B= 1 2] là ma trận đối xứng. O 0 0 -2 | +C=| 2 0 -5| là ma trận phản đối xứng. -l 5 0 -Cho AEM, (K) va œ,Ø<€K.

Ta gọi tích của @ va A (ký hiệu @A) là một ma trận được xác định bởi : [z4] =z[A]|, Vi/ + (zØ)A =a( BA) +(aA)'=a(A') |||. SVTH :Nguyén Anh Nam -9- LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước - Cho A,B e M__ (K) ta gọi tổng của A vaB (ký hiệu A+B) là một ma trận được xác định bởi : [A+B] =[4] +[8] vi; +Tổng A+(-B) được ký hiệu bởi A-B và gọi là hiệu của ma trận A và B (a 2}#*(s ¡) 1 0 1 3 +Viduvéi A= ‘B= thì: f ) is l 2 3 0 ? A+B= và 4A = 8= I + Cho A,B,C e M_ (K)va a. Tích của A với B (ký hiệu AB) là một ma trận thuộc M_. ar (K) được xác định bởi : SVTH :Nguyén Anh Nam - 10- LUẬN VĂN TOT NGHIỆP GVHD: Lê Văn Phước + Tích hai ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận thứ nhất bằng số dòng của ma trận thứ hai.

Phan tử ở vị trí (7) của ma trận tích có được bằng cách lấy các phan tử đòng ¿ của ma trận thứ nhất nhân với từng phản tử cột/ của ma trận thứ hai (theo thứ tự đó) rồi cộng kết quả lại. Nếu A,Be€M,(K) và AB=BA thi A và B được gọi là giao hoán nhau .