Chương I. NHUNG VAN DE CHUNG GVHD: Th. Nguyén Anh Tuan Trang 2 Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên 1. Lý do chọn đề tài Kê từ khi ra đời cho đến ngày nay, máy vi tinh đã là một công cụ phục vụ đắc lực cho các nghiên cửu khoa học.
Máy vỉ tính hiện diện trong mọi lĩnh vực nghiên cứu, từ toán học, hoá học, sinh học.dén ca các nghiên cứu xã hội học. Với khả năng tính toán nhanh chóng và chính xác, may tính đã giúp tiết kiệm thời gian và công sức trong các lĩnh vực nghiên cứu. Quá trình học tập và nghiên cứu vật lý đòi hỏi rất nhiêu kiến thức toán học, phải thực hiện các phép toán phức tạp và kết quả thu được là những phương trình, những biểu thức với các rat nhiều ky hiệu. Điều đó tạo cho chúng ta cảm giác vật lý học là một khoa học khô khan và nhằm chan.
Ngày nay điều này không còn nữa. “Dé giỏi vật lý, bạn không cần phải giỏi về tính toán nữa”, đó là lời tựa của tác giả phầm mềm Mathematica, Stephen Wolfram, dé tựa cho quyền sách Mathematica for Physics. Đúng vậy, các tính toán chúng ta hoàn toàn có thé thực hiện bằng máy tinh bằng những phan thích hợp và ta chi phải tập trung vào ý nghĩa vật lý của vấn để ta quan tâm hơn là những phép toán phức tạp. Hiện tại, việc ứng dụng các thành tựu của tin học vào việc phục vụ cho công tác giảng dạy và nghiên cứu vật lý và các khoa học khác rat phổ biến trên thé giới.
Với khả năng thực hiện các phép toán nhanh chóng và chính xác, máy tính đã giải phóng việc học và nghiên cứu khoa học khỏi việc thực hiện các phép toán phức tạp một cách thủ công. Để sử lý công việc, máy tính cần có các phần mềm. Tuỳ theo mục đích sử dụng ma có các phần mềm khác nhau. Có phần mềm chỉ chuyên dùng dé soạn thảo văn ban, để tạo phim hoạt hình, dé sử lý anh,.
Để thực hiện các yêu cầu sử lý và biểu diễn các kết quả trong các lĩnh vực khoa học, có những phần mềm chuyên dụng như MatLap, Maple, Mathematica,. và các phần mềm khác.Trong số các phần mêm đó nổi bậc là Mathematica. Với khả năng sử lý các ký hiệu, tính số, sử lý đồ họa và khả năng lập trình, Mathematica là một lựa chọn tuyệt vời trong việc thực hiện các công việc không chỉ của riêng của vật lý mà còn của những khoa học khác, Nó có thể giải nhanh GVHD; Th. Nguyễn Anh Tuan Trang | Khióa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyễn chóng và chính xác các phương trinh, phân tích dit liệu và cho ra kết quả và nhiều công việc khác.
Ké từ khi ra đời, Mathematica da được ứng dụng rộng rai vào trong các nghiên cứu vật lý, đặc biệt là trong các nghiên cứu vật lý hiện đại Việc ứng dụng phần mềm này trong việc dạy và học cũng như trong việc nghiên cứu:vật lý mở ra một hướng giải quyết mới các van dé của vật lý. Do đó, việc nghiên cứu và ứng dụng Mathematica vao vật lý là một việc làm rất thiết thực và cần thiết. Người nghiên cứu hy vọng dé tài này sẽ đóng góp phần nhỏ trong việc day và học vật lý. Mục đích nghiên cứu.
Tìm hiểu ngôn ngữ Mathematica và các ứng dụng của nó trong vật lý học + Xây dựng một số hàm phục vụ cho công việc tính toán các bài toán vật lý bằng Mathematica + Ung dụng ngôn ngữ Mathematica vào giải một số bài toán vật lý cụ thé. Nhiệm vụ nghiên cứu. ®& Nghiên cứu phần mềm Mathematica và img dụng giải các bài toán vật lí. + Xây dựng gói hàm thực hiện các phép toán tensor.
+ Nêu bật được khả năng ứng dụng của Mathematica vao vật lý o Cơ học lý thuyết o Thuyết tương đối + Dé xuất hướng phát triển dé tài. Phạm vi của đề tài. Ứng dung Mathematica vào giải các bai toán cơ học lý thuyết và thuyết tương đối. + Phan cơ học lý thuyết giải quyết một số bài toán về phương trình Lagrange, phương trình Hamilton và các bài toán quỹ đạo.
® Phan thuyết tương đối giải quyết một số bài toán trong thuyết tương đối hẹp, thuyết tương đổi rộng và vũ trụ học. Dự thảo nội dung.Những van dé chung. Nguyễn Anh Tuần Trang 2 Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyễn Chương 2. Ung dụng Mathematica vao trong cơ học lý thuyết Chương 3.
Ung dụng Mathematica vào trong thuyết tương đi Chương 4. Hướng phát triển của đẻ tài. Sơ lược về phần mềm Mathematica Mathematica là một phan mẻm tính toán ra đời năm 1988, tác giá la Stephen Wolfram. Dén nay Mathematica đã ra đến phiên ban thứ 5.
So với phiên ban đầu tiên, phiên bản này đã có rat nhiều thay đổi nhằm đáp ứng cho việc tinh toán trong các lĩnh vực khác nhau. Đây là một trong những phan mềm tính toán được sử dụng rộng rãi trên thế giới bên cạnh các phần mẻm tính toán khác như Matlab, Mapble. Mathematica là một phần mềm tính toán rit mạnh, có thé sử lý nhiều kiểu dữ liệu khác nhau, từ số, kí hiệu tượng trung,.ké cả các dữ liệu hình ánh và âm thanh. Ngay tử khi ra đời, nó đã được ứng dụng rit rộng rãi trong nhiễu lĩnh vực nghiên cứu khác nhau của khoa học, nhất là vật lý và toán học.
Ưu điểm của Mathematica là cấu trúc các câu lệnh tuân theo một qui cách chung, câu lệnh kha gan với ngôn ngữ tự nhiên do đó tạo điều kiện thuận lợi cho việc học va sử dung ngôn ngữ này. Tuy nhiên, các lệnh của Mathematica thường gây những khó khăn nhất định khi mới làm quen với ngôn ngữ này, nhất là các cách viết thu gọn của Mathematica. Mathematica là một phần mềm có rat nhiều hàm dựng sẵn và các gói hàm được xây dựng từ các hàm dựng sẵn này phục vụ cho các mục đích tính toán khác nhau. Khả năng tạo các gói ham của Mathematica đã được ứng dụng tạo ra những gói ham rất lớn phục vụ cho các vấn dé riêng biệt của các lĩnh vực khác nhau Bên cạnh khả năng tính toán, Mathematica còn có một khả năng đặc biệt khác lả khả năng lập trình.
Mathematica có các lệnh lập trình từ đơn gián đến phức tạp, cho phép người sử dụng lập trình và giải quyết các vấn dé theo các yêu cau khác nhau. Với những khả năng ưu việt, và không ngừng thay đổi, Mathematica ngày cảng trở nên phổ biến và được ứng dụng rất nhiều trong các khác nhau. Nguyễn Anh Tuần Trang 3 Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên Chương II. PHƯƠNG TRINH LAGRANGE - HAMILTON Trong chương nảy, chúng ta sẽ dùng Mathematica giải quyết một số bài toán của cơ học lý thuyết: phương trình Lagrange, phương trình Hamilton và các bài toán quỹ đạo.
Nguyễn Anh Tuấn Trang 4 Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyên A, Tóm Tắt Lý Thuyết Xét Tên động của hệ gồm N chất điểm trong hệ qui chiếu quán tính. Những hạn chê về hình học hoặc động học đối với vị tri va vận tốc của các chat điểm của hệ gọi là nhhững liên kết. Cơ hệ có chứa các liên kết gọi là cơ hệ không tự do. Các liên kết được biểu diễn bằng các phương trình liên k fk (t, È ti) = 0 với ¡ = 1,.,œ œ là số liên kết F, £ là vị trí và vận tốc của các chất điểm thứ i.
Nếu các vận tốc Z không có mặt trong các phương trình liên kết thì liên kết được gọi là liên kết hình học hoặc liên kết hữu hạn hoặc liên kết holonom. Phương trình liên kết có dạng i (t, f) = 0 Nếu mọi liên kết trong cơ hệ đều là holonom thi cơ hệ được gọi là holonom. Nếu các phương trình liên kết có chứa những yếu tố động học không thé khử được khỏi các phương trình liên kết nhờ việc tích phân thì liên kết được gọi là liên kết động học không khá tích. Cơ hệ tương ứng gọi là cơ hệ phi holonom.
Ta chỉ xét các cơ hệ holonom a. nai 11) Di chuyển khả df của một chất điểm là di chuyển vô cùng bé phù hợp với liên kết và diễn ra trong một khoảng thời gian vô cùngbé Di chuyển ảo của một chất điểm là di chuyển vô cùng bé & phù hợp với liên kết tại thời điểm đang xét b. Hệ chất điểm Tap hợp các vector di chuyển vô cùng bé dF thoả các phương trình liên kết gọi là những di chuyển khả di. Tập hợp các vector di chuyển vô cùng bé & thoả các phương trình liên kết tại thời điểm đang xét gọi là những di chuyển do.
Số bậc tự do. Toa đô suy rông Hệ N cat điểm có 3N bậc tự do. Nếu hệ chịu tác dụng của œ phương trình liên kết holonom thì hệ có s = 3N ~œ di chuyên độc lập. Dé xác định vị trí cơ hệ, ta can s = 3N —œ số biến độc lap.s gọi là số bậc tự do của cơ hệ.
Nếu cơ hệ là phi holonom thi số các tọa độ độc lập dé xác định vị trí của cơ hệ lớn hơn số bậc tự do của cơ hệ. Các thông sẽ độc lập đủ để xác định vi trí của cơ hệ gọi là các tọa độ suy rộng, kí hiệu q, L4. Liên ket lý tưởng GVHD: Th. Nguyễn Anh Tuần Trang 5 Khóa luận tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Vũ Nguyễn O tại một vị trí đã cho vào một thời điểm xác định, hệ N chất điểm chịu tác dụng của các lực Ế,.
còn các đi chuyến ảo của hệ là & thì Xét hệ N chất điểm chịu các liên két lý tưởng đặt lên nó. F, là lực hợp lực của các lực hoạt độngtác dụng lên chất điểm mụ. R, là hợp lực các phan lực liên kết tác dụng lên nó. Theo định luật Il Newton Fy + R, = my & = >Fy -m&+ Ấy = 0 Cổ định thời điểm t va cho hệ thực hiện các di chuyển ảo &,.
Nhân vô hướng mỗi phương trình trên với &, rồi lấy tong N N >i (Fe- mi) Ot + D> ÑyổW = 0 kel kel N => (f,-my#y)6f, = 0 kel Phương trình nảy được gọi là phương trình tổng quát của động lực học. Các phương trình này không chứacác phản lực liên kết. Đặt - m,a, = Ể,*: lực quán tính tác dụng lên chất điểm thứ k N = > vik +Fy*) ony =0 k=1 = >6A+dA% =0 Với ải = 3 #,#, Công của lực hoạt động MM" < 5ˆ#,“#, Công của lực quán tính Nguyện lý trên gọi là nguyên lý D’Alembert - Lagrange: Tại mỗi thời điểm của chuyên động của cơ hệ chịu liên kết lý tưởng, tong công của các lực hoạt động va các lực quán tính trong di chuyển áo bit ki bằng không.