Luận văn: Khảo sát tính chất phi cổ điển của photon - Nguyễn Viết Minh Trí

Luận văn thạc sĩ khảo sát tính chất phi cổ điển của photon trong hệ nguyên tử ba mức với hai photon kết hợp, mang lại cái nhìn sâu sắc về vật lý lượng tử.

• Trường học: Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
• Chuyên ngành: Vật Lý
• Đề tài: Luận Văn Thạc Sĩ Vật Lý Khảo Sát Các Tính Chất Phi Cổ Điển Của Photon Trong Hệ Tương Tác Nguyên Tử Ba Mức Với Hai Photon Ban Đầu Ở Trạng Thái Kết Hợp Và Kết Hợp Thêm Photon
• Loại tài liệu: Luận Văn
• Địa điểm: Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• Trang phụ bìa
• Lời cam đoan
• Lời cảm ơn
• Danh mục các kí hiệu toán học và các từ viết tắt
• Danh sách hình vẽ
• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC TỔNG QUAN
• 1.1. Trạng thái Fock
• 1.2. Trạng thái kết hợp
• 1.2.1. Định nghĩa
• 1.2.2. Các tính chất của trạng thái kết hợp
• 1.3. Trạng thái kết hợp thêm photon
• 1.3.1. Định nghĩa
• 1.3.2. Các tính chất của trạng thái kết hợp thêm photon
• 2. CHƯƠNG 2: HAMILTONIAN TƯƠNG TÁC CỦA HỆ TƯƠNG TÁC NGUYÊN TỬ BA MỨC CẤU HÌNH V VỚI HAI PHOTON
• 2.1. Xây dựng Hamiltonian của hệ tương tác nguyên tử ba mức cấu hình V với hai photon
• 2.2. Thiết lập ma trận mật độ của hệ tương tác và tìm biểu thức trung bình của các toán tử cần khảo sát
• 2.2.1. Thiết lập ma trận mật độ của hệ tương tác
• 2.2.2. Tìm biểu thức trung bình của các đại lượng cần khảo sát
• 3. CHƯƠNG 3: KHẢO SÁT TÍNH THỐNG KÊ SUB-POISSON, TÍNH CHẤT NÉN
• 3.1. Khái niệm thống kê Sub-Poisson
• 3.1.1. Khái niệm thống kê Sub-Poisson
• 3.1.2. Điều kiện tồn tại tính chất Sub-Poisson bậc một
• 3.1.3. Khảo sát photon 1 ban đầu ở trạng thái kết hợp thêm photon
• 3.1.4. Khảo sát photon 2 ban đầu ở trạng thái kết hợp
• 3.2. Tính chất nén
• 3.2.1. Nén biên độ trực giao thông thường (bậc 1)
• 3.2.2. Nén Hillery bậc 2
• 3.2.3. Khảo sát photon 1 ban đầu ở trạng thái kết hợp thêm một photon
• 3.2.4. Khảo sát photon 2 ban đầu ở trạng thái kết hợp
• PHỤ LỤC

Tóm tắt

I. Tổng quan các tính chất phi cổ điển của photon trong vật lý

Trong lĩnh vực công nghệ thông tin quang học, việc giảm thiểu tạp âm và thăng giáng lượng tử là một mục tiêu cốt lõi. Các thăng giáng này gây nhiễu tín hiệu, làm giảm độ chính xác và tốc độ truyền tin. Để giải quyết vấn đề này, các nhà khoa học đã tập trung nghiên cứu các trạng thái vật lý mới, nơi các thăng giáng lượng tử được hạn chế tối đa. Đây chính là lĩnh vực của quang học lượng tử, tập trung vào các tính chất lượng tử của ánh sáng. Các trạng thái phi cổ điển của ánh sáng, với những đặc tính không thể giải thích bằng vật lý cổ điển, đóng vai trò trung tâm trong các nghiên cứu này. Chúng có ý nghĩa quan trọng trong việc tăng độ chính xác của các phép đo và là nền tảng cho các công nghệ đột phá như máy tính lượng tử. Nguồn gốc của các trạng thái này xuất phát từ trạng thái kết hợp (coherent state), do Glauber và Sudarshan đưa ra vào năm 1963 khi nghiên cứu chùm tia laser. Trạng thái kết hợp được xem là trạng thái "cổ điển nhất" của ánh sáng lượng tử, là ranh giới giữa thế giới cổ điển và phi cổ điển. Từ nền tảng này, các trạng thái phức tạp hơn như trạng thái nén (squeezed state) và trạng thái kết hợp thêm photon đã ra đời, thể hiện các tính chất phi cổ điển rõ rệt hơn và hứa hẹn nhiều ứng dụng thực tiễn.

1.1. Nền tảng từ trạng thái Fock đến trạng thái kết hợp

Cơ sở để mô tả trường điện từ lượng tử hóa là trạng thái Fock, hay trạng thái số photon, ký hiệu là |n⟩. Đây là trạng thái riêng của toán tử số hạt, mô tả một trường có chính xác n lượng tử năng lượng (photon). Tuy nhiên, trạng thái Fock không mô tả tốt các nguồn sáng thực tế như laser. Thay vào đó, trạng thái kết hợp (coherent state) |α⟩, trạng thái riêng của toán tử hủy boson, lại là một mô tả xuất sắc. Đặc điểm nổi bật của trạng thái này là phân bố số photon tuân theo phân bố Poisson, có nghĩa là phương sai của số hạt bằng đúng số hạt trung bình. Đây là đặc tính tương tự như ánh sáng cổ điển và là giới hạn lượng tử chuẩn. Trạng thái kết hợp cũng là trạng thái có độ bất định cực tiểu, thỏa mãn đẳng thức trong nguyên lý bất định Heisenberg, khiến nó trở thành điểm khởi đầu lý tưởng để khám phá các hiện tượng phi cổ điển.

1.2. Trạng thái kết hợp thêm photon Một trạng thái phi cổ điển

Trạng thái kết hợp thêm photon |α, m⟩ là một trạng thái phi cổ điển được tạo ra bằng cách tác dụng toán tử sinh boson m lần lên một trạng thái kết hợp |α⟩ ban đầu. Trạng thái này, không giống như trạng thái kết hợp, thể hiện rõ các đặc tính lượng tử. Một trong những tính chất quan trọng nhất là thống kê dưới Poisson (sub-Poissonian statistics), nghĩa là phương sai của số photon nhỏ hơn số photon trung bình. Điều này cho thấy các photon có xu hướng đến đều đặn hơn so với một nguồn sáng ngẫu nhiên, một dấu hiệu rõ ràng của tính chất phi cổ điển. Ngoài ra, trạng thái này cũng có thể biểu hiện tính chất nén, một đặc trưng phi cổ điển khác sẽ được khảo sát sâu hơn trong các phần sau của nghiên cứu này.

II. Thách thức khi nghiên cứu tương tác ánh sáng vật chất

Việc nghiên cứu tương tác ánh sáng-vật chất ở cấp độ lượng tử là một trong những thách thức lớn nhất của vật lý nguyên tử và phân tử. Mục tiêu là hiểu và kiểm soát các hiện tượng lượng tử phát sinh khi photon tương tác với các hệ như nguyên tử hoặc phân tử. Luận văn này tập trung vào một hệ thống cụ thể: một nguyên tử ba mức cấu hình V tương tác với hai mode photon. Thách thức chính là mô tả chính xác động lực học lượng tử của hệ phức tạp này. Cần phải xây dựng một mô hình toán học, cụ thể là Hamiltonian tương tác, để nắm bắt được bản chất của các quá trình chuyển mức năng lượng và sự thay đổi trạng thái của các photon. Các mô hình như mô hình Jaynes-Cummings mở rộng cung cấp một khuôn khổ lý thuyết, nhưng việc giải các phương trình cho hệ ba mức với các trạng thái photon đầu vào phi tầm thường đòi hỏi các phương pháp tính toán phức tạp. Một vấn đề khác là xác định và định lượng các tính chất phi cổ điển như hiệu ứng phản chùm photon (photon antibunching) hay tính chất nén, vốn là những dấu hiệu tinh vi của hành vi lượng tử và dễ bị ảnh hưởng bởi các yếu tố bên ngoài.

2.1. Giới hạn lượng tử và sự cần thiết của trạng thái phi cổ điển

Trong các phép đo quang học chính xác, độ nhạy thường bị giới hạn bởi một mức nhiễu cơ bản gọi là giới hạn lượng tử chuẩn (Standard Quantum Limit - SQL). Giới hạn này xuất phát từ các thăng giáng vốn có của trạng thái chân không hoặc của các trạng thái kết hợp. Để vượt qua giới hạn này và đạt được độ chính xác cao hơn, các nhà khoa học phải sử dụng các trạng thái phi cổ điển của ánh sáng. Các trạng thái như trạng thái nén cho phép giảm thăng giáng của một thành phần trường điện từ xuống dưới mức SQL, dù phải trả giá bằng việc tăng thăng giáng của thành phần trực giao. Sự cần thiết này thúc đẩy việc nghiên cứu các hệ thống vật lý có khả năng tạo ra và duy trì các trạng thái phi cổ điển, chẳng hạn như hệ tương tác nguyên tử-photon.

2.2. Mô hình nguyên tử ba mức Hệ thống lý tưởng để khảo sát

Một nguyên tử ba mức là một hệ lượng tử được đơn giản hóa nhưng đủ phức tạp để thể hiện nhiều hiện tượng quang học lượng tử thú vị. Trong luận văn này, cấu hình V được lựa chọn, trong đó có hai mức năng lượng cao và một mức cơ bản chung. Cấu hình này cho phép hai mode photon khác nhau tương tác đồng thời với nguyên tử thông qua hai dịch chuyển khác nhau. Điều này tạo ra một sân chơi lý tưởng để nghiên cứu sự cạnh tranh và giao thoa lượng tử giữa các quá trình. Việc khảo sát hệ nguyên tử ba mức cho phép chúng ta tìm hiểu sâu hơn về các hiện tượng như rối lượng tử (quantum entanglement) và cách các tính chất phi cổ điển của photon có thể được tạo ra và điều khiển thông qua tương tác với vật chất.

III. Phương pháp xây dựng Hamiltonian tương tác của hệ nghiên cứu

Để mô tả toán học hệ tương tác ánh sáng-vật chất, bước đầu tiên và quan trọng nhất là xây dựng Hamiltonian tương tác của hệ. Hamiltonian là một toán tử biểu diễn tổng năng lượng và quy định sự tiến hóa theo thời gian của hệ thống. Trong luận văn này, hệ thống bao gồm một nguyên tử ba mức cấu hình V và hai mode photon. Hamiltonian toàn phần của hệ được xây dựng dựa trên phép gần đúng sóng quay, một kỹ thuật tiêu chuẩn trong quang học lượng tử giúp loại bỏ các số hạng dao động nhanh và giữ lại các số hạng mô tả tương tác cộng hưởng. Hamiltonian hiệu dụng thu được bao gồm các số hạng mô tả năng lượng tự do của nguyên tử, năng lượng của hai mode photon, và quan trọng nhất là các số hạng mô tả sự tương tác giữa nguyên tử và từng mode photon. Các hằng số kết hợp (λ₁, λ₂) đặc trưng cho cường độ của các tương tác này. Việc xây dựng chính xác Hamiltonian tương tác là nền tảng cho mọi tính toán tiếp theo về động lực học lượng tử và các đặc tính thống kê của photon.

3.1. Xây dựng ma trận Hamiltonian hiệu dụng cho hệ nguyên tử

Hamiltonian của hệ tương tác nguyên tử ba mức với hai photon được biểu diễn dưới dạng ma trận trong không gian trạng thái của nguyên tử. Các toán tử Spin-1 được sử dụng để mô tả các dịch chuyển giữa ba mức năng lượng |1⟩, |2⟩, và |3⟩. Sau khi áp dụng điều kiện cộng hưởng và phép gần đúng sóng quay, Hamiltonian tương tác được đơn giản hóa đáng kể. Ma trận Hamiltonian cuối cùng mô tả các quá trình hấp thụ và phát xạ photon, liên kết các trạng thái khác nhau của hệ thống. Ví dụ, một photon từ mode 1 có thể bị hấp thụ, kích thích nguyên tử từ mức |3⟩ lên mức |1⟩. Ma trận này là công cụ toán học trung tâm để giải phương trình Schrödinger và tìm ra sự tiến hóa của vectơ trạng thái hệ theo thời gian.

3.2. Sử dụng toán tử mật độ để mô tả động lực học lượng tử

Khi hệ thống không ở trong một trạng thái lượng tử thuần khiết hoặc khi chúng ta chỉ quan tâm đến một phần của hệ (ví dụ: chỉ các photon), toán tử mật độ trở thành công cụ mô tả hiệu quả nhất. Phương pháp ma trận mật độ cho phép tính toán giá trị trung bình của các đại lượng vật lý mà không cần biết chi tiết về toàn bộ hàm sóng của hệ. Trong nghiên cứu này, toán tử mật độ của hệ tại thời điểm t, ρ(t), được tìm thấy từ toán tử mật độ ban đầu ρ(0) thông qua toán tử tiến hóa thời gian U(t). Với giả thiết ban đầu nguyên tử ở mức cơ bản và hai photon ở các trạng thái kết hợp và kết hợp thêm photon, ma trận mật độ ban đầu được xác định rõ. Từ đó, ma trận mật độ tại các thời điểm sau có thể được tính toán, cho phép trích xuất thông tin về các tính chất phi cổ điển của photon.

IV. Cách khảo sát tính thống kê Sub Poisson của các photon

Một trong những dấu hiệu đặc trưng nhất của trạng thái phi cổ điển là sự sai lệch so với thống kê Poisson cổ điển. Thống kê dưới Poisson (sub-Poissonian statistics) mô tả một luồng photon có độ thăng giáng về số lượng nhỏ hơn so với một nguồn sáng cổ điển (như laser) có cùng cường độ. Hiện tượng này còn được gọi là hiệu ứng phản chùm photon (photon antibunching) ở bậc hai. Để định lượng tính chất này, người ta sử dụng tham số Mandel Q hoặc các tham số tương tự, như tham số Pₙ trong luận văn. Một giá trị Pₙ < 0 cho thấy sự tồn tại của thống kê sub-Poisson, nghĩa là phương sai của số photon nhỏ hơn giá trị trung bình của nó. Trong khuôn khổ của luận văn, các biểu thức giải tích cho giá trị trung bình của toán tử số hạt (⟨n⟩) và bình phương của nó (⟨n²⟩) được tính toán từ toán tử mật độ. Từ đó, tham số Pₙ được xác định như một hàm của thời gian và các tham số ban đầu của hệ, như biên độ của các trạng thái kết hợp. Việc khảo sát sự phụ thuộc này hé lộ các điều kiện mà tại đó tính chất phi cổ điển này biểu hiện mạnh mẽ nhất.

4.1. Định nghĩa và điều kiện tồn tại thống kê dưới Poisson

Điều kiện để tồn tại thống kê dưới Poisson bậc một là phương sai của số photon nhỏ hơn số photon trung bình: (Δn)² < ⟨n⟩. Điều này tương đương với việc tham số P₂ = (⟨n²⟩ - ⟨n⟩ - ⟨n⟩²)/⟨n⟩² có giá trị âm. Tham số này đo lường độ lệch của phân bố photon so với phân bố Poisson. Trong hệ được khảo sát, P₂ được tính toán cho cả hai mode photon. Kết quả cho thấy sự tồn tại của tính chất này phụ thuộc phức tạp vào thời gian tương tác (t), các hằng số kết hợp (λ₁, λ₂), và biên độ của các trạng thái photon ban đầu (r₁, r₂). Các đồ thị phân tích cho thấy P₂ dao động theo thời gian, có những khoảng thời gian nó nhận giá trị âm, xác nhận sự xuất hiện của trạng thái phi cổ điển.

4.2. Kết quả phân tích P t cho photon ở trạng thái kết hợp

Các kết quả khảo sát bằng đồ thị cho thấy rằng đối với photon ban đầu ở trạng thái kết hợp thêm photon, tính chất sub-Poisson có thể xuất hiện ngay từ thời điểm ban đầu (t=0) và biểu hiện rõ ràng hơn ở các thời điểm sau đó, phụ thuộc vào tham số của hệ. Ví dụ, việc tăng biên độ kết hợp (r₂) của photon thứ hai có thể làm cho tính chất sub-Poisson của photon thứ nhất thể hiện rõ hơn. Tương tự, đối với photon ban đầu ở trạng thái kết hợp, tính chất sub-Poisson cũng được quan sát thấy. Kết quả chỉ ra rằng bằng cách điều chỉnh các tham số ban đầu, ta có thể kiểm soát sự xuất hiện và độ sâu của hiệu ứng phi cổ điển này trong hệ tương tác nguyên tử ba mức.

V. Hướng dẫn phân tích tính chất nén của photon tương tác

Một tính chất phi cổ điển quan trọng khác được khảo sát trong luận văn là tính chất nén. Một trạng thái nén (squeezed state) là một trạng thái lượng tử mà trong đó thăng giáng của một trong hai thành phần trực giao của trường điện từ (ví dụ, thành phần biên độ hoặc thành phần pha) bị giảm xuống dưới mức giới hạn lượng tử chuẩn. Điều này tuân thủ nguyên lý bất định Heisenberg bằng cách tăng thăng giáng của thành phần trực giao còn lại. Việc tạo ra các trạng thái nén có ý nghĩa thực tiễn to lớn, đặc biệt trong các phép đo giao thoa và truyền thông quang học chính xác cao. Để khảo sát tính chất nén, luận văn tính toán phương sai của các toán tử biên độ trực giao. Tính chất nén được xác nhận nếu phương sai của một trong các toán tử này nhỏ hơn giá trị chuẩn hóa tương ứng. Tương tự như thống kê sub-Poisson, sự xuất hiện của tính chất nén cũng phụ thuộc mạnh mẽ vào động lực học lượng tử của hệ, tức là vào thời gian tương tác và các điều kiện ban đầu.

5.1. Khái niệm trạng thái nén và nén biên độ trực giao

Nén biên độ trực giao (thông thường, bậc 1) được định nghĩa dựa trên hai toán tử trực giao X₁ và X₂, tương ứng với thành phần "tọa độ" và "xung lượng" của trường. Một trạng thái được gọi là nén nếu phương sai (ΔX₁)² hoặc (ΔX₂)² nhỏ hơn 1/4. Ngoài ra, luận văn cũng xem xét nén bậc cao hơn, cụ thể là nén Hillery bậc 2, được định nghĩa thông qua các toán tử biên độ bình phương. Điều kiện để tồn tại tính chất nén Hillery là phương sai của một trong các toán tử này nhỏ hơn một giá trị ngưỡng nhất định. Việc khảo sát cả hai loại nén cung cấp một cái nhìn toàn diện hơn về các tính chất phi cổ điển của photon trong hệ.

5.2. Đồ thị khảo sát hàm nén S t theo các tham số hệ

Các hàm S₁ và S₂ được định nghĩa để định lượng mức độ nén bậc 1 và bậc 2. Giá trị âm của các hàm này cho thấy sự tồn tại của tính chất nén. Các đồ thị trong luận văn minh họa sự phụ thuộc của S₁ và S₂ vào thời gian (t) và biên độ của các trạng thái ban đầu (r₁, r₂). Kết quả cho thấy, với việc lựa chọn các tham số phù hợp, tính chất nén có thể xuất hiện tại các thời điểm nhất định. Ví dụ, khi tăng biên độ r₁ của trạng thái kết hợp thêm photon, hệ thống có thể chuyển từ không nén sang nén sâu hơn. Điều này chứng tỏ khả năng điều khiển các tính chất lượng tử của ánh sáng thông qua việc chuẩn bị trạng thái ban đầu và kiểm soát thời gian tương tác.

VI. Kết luận và triển vọng ứng dụng tính chất phi cổ điển

Luận văn thạc sĩ đã thành công trong việc khảo sát các tính chất phi cổ điển của photon trong một hệ tương tác nguyên tử ba mức với hai photon ban đầu ở trạng thái kết hợp và kết hợp thêm photon. Bằng cách xây dựng Hamiltonian tương tác và sử dụng phương pháp toán tử mật độ, nghiên cứu đã phân tích chi tiết hai đặc tính quan trọng: thống kê dưới Poisson và tính chất nén. Các kết quả tính toán và mô phỏng bằng đồ thị đã chỉ ra rằng các tính chất phi cổ điển này có thể được tạo ra và kiểm soát trong hệ thống. Sự xuất hiện, độ sâu và thời gian tồn tại của các hiệu ứng này phụ thuộc một cách tinh vi vào các tham số của hệ, bao gồm hằng số tương tác, thời gian tiến hóa và đặc điểm của các trạng thái photon ban đầu. Những kết quả này không chỉ đóng góp vào sự hiểu biết cơ bản về quang học lượng tử và tương tác ánh sáng-vật chất mà còn mở ra những định hướng phát triển cho tương lai, đặc biệt là trong các ứng dụng công nghệ lượng tử.

6.1. Tóm tắt các kết quả chính của luận văn thạc sĩ vật lý

Nghiên cứu đã chứng minh rằng hệ nguyên tử ba mức cấu hình V là một nền tảng hiệu quả để tạo ra các trạng thái ánh sáng phi cổ điển. Cả hai hiện tượng thống kê dưới Poisson và tính chất nén đều được quan sát thấy trong các mode photon sau tương tác. Một phát hiện quan trọng là vai trò của trạng thái ban đầu: trạng thái kết hợp thêm photon, vốn đã là một trạng thái phi cổ điển, có thể tăng cường các hiệu ứng lượng tử trong hệ. Luận văn đã cung cấp các biểu thức giải tích và các kết quả đồ thị cụ thể, cho thấy cách điều chỉnh các tham số đầu vào để tối ưu hóa việc tạo ra các tính chất mong muốn.

6.2. Tiềm năng ứng dụng trong thông tin và máy tính lượng tử

Các trạng thái phi cổ điển của ánh sáng là tài nguyên thiết yếu cho các công nghệ lượng tử. Các trạng thái có thống kê dưới Poisson có thể được sử dụng để tạo ra các nguồn photon đơn lẻ, một thành phần cơ bản cho mật mã lượng tử và tính toán lượng tử tuyến tính. Trong khi đó, trạng thái nén có thể cải thiện đáng kể độ chính xác của các phép đo giao thoa, như trong các máy dò sóng hấp dẫn, và tăng cường tỷ lệ tín hiệu trên nhiễu trong truyền thông quang học. Việc hiểu rõ cách tạo ra và điều khiển các trạng thái này trong các hệ tương tác ánh sáng-vật chất như đã trình bày trong luận văn là một bước tiến quan trọng hướng tới việc hiện thực hóa các ứng dụng này.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Phần mở đầu: nh bày lý do chọn đề tài, lịch sử vấn đề, mục tiêu, nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu, phạm vi ngh ứu và ‘ye cia tài Phần nội dung: gồm 3 chương. Một số kiến thức tổng quan như: trạng thái Fock, trang thái kết hợp, trang thái nén và trang thai kết hợp thém photon. Chương 2: Xây dựng Hamiltonian hiệu dung của hệ tương tác nguyên tit 3 mức cầu hình V với hai photon va tìm lời giải bằng phương pháp ma trận. mật độ với giả thiết nguyên tử và hai photon không có tương quan với nhau Chương 3: Khảo sát tính chất nén, tính thống kê Sub-Poisson bậc 1 của photon ở thời điểm £ > 0 theo hai photon ban đầu ở trạng thái kết hop va kết hợp thêm photon.

Dồng thời tiến hành thảo luận, đánh giá kết quả đã tính toán được. Phan két “Trình bày tóm tắt các kết quả đạt được, hạn c đề tà đề xuất hướng phát triển của đề tài. NOI DUNG Chuong 1 _ MỘT SỐ KIÊN THUC TONG QUAN Chuang nay sẽ trình bày một số kiến thức cơ sở ề trạng thái Fock, trạng thái kết hợp, trạng thái kết hợp them photon.1 Trạng thai Fock “Trong mục này trước tiên chúng ta giới hạn chỉ khảo sát đơn mode của trường với tần số ư theo thứ tự có toán tử sinh và toán tử hủy ây và âL tương ứng. Gọi | n) là trạng thái năng lượng riêng tương ứng với giá trì năng lượng rieng E,, nghia la (7 Hn) = ha 5) |n Ey |n) (1) Nếu chúng ta tác dụng toán tử @ tit ben trái, sau khi sử dụng mối quan hệ tương ứng [ä,Ï] = 1 và một số biến đổi, ta thu được: Ha | n) = (By — hv)a| n) (1.2) H|n-1) = By |n-1): a, |n—1) Vay trang thai: - x n) (13) cũng là một trạng thái riêng nhưng với trị riêng giảm.

Fy = Ey hy q4) “Trong phương trình (1.3), a„ là lượng không đổi định nghĩa từ điều kiện chuẩn hóa: (@n—1|n=1 1 (5) "Nếu lập lai kết quả này n lần tức là dịch chuyển xuống thang năng lượng từng bậc hư cho đến khi ta nhận được : Ha | 0) = (Eụ — hv)a |0) (1.6) 0 6 day Ey lA trang théi năng lượng nền (cơ bản = năng lượng thấp nhất) thì theo d6 (Ey —fiv) tuong ứng một giá trị năng lượng nhỏ hơn Eụ. Vì ta khong thừa nhận những năng lượng nhỏ hơn Ey cho dao động tử, ta kết luận: 0 (17) ‘Trang thai | 0) được xem như trang thái chân không. Sử dụng mối quan hệ này chúng ta có thể tìm giá trị của Eù từ phương trình trị riêng: #|0) = g0) = Ea|0) (18) cho bai 1 y= she (19) Vậy trị riêng E„ được xác định: Tụ = (n + )R1 (110) “Từ phương trình (1.10) ta thủ được : ) =n|n) nghĩa là trạng thái | n) cũng là một trạng thái riêng của toán tử số hạt (LH) œ„ trong phương trình (13)| n— 1) = m | n) bây giờ có thể được định nghĩa: " (n-1|n-1)= =— 4-1 (13) lan Nếu cho pha của hằng s6 chudn hod ay, bing khong thi ay = /7. Phitong trình (1.3) giờ trở thành.

=vRln-U) (118) " “Ta có thể tiến hành tương tự với toán tit a: 4g | n) = hu(aat — 5)1 | n) = By |n) "Nếu chúng ta tác dụng toán tử aŸ từ bên trái, sau khi ï dụng mối quan hệ tướng ứng [@, @!] = 1 và một số biến đổi, ta thu được: Ha | n) = (Eq + hv)a | n) (a) A | n+) = Ena [n+ )s n) = 8, |n+1) “Từ kết quả này ta thay ring @! | n) ham riêng ứng với tri rieng (E, + hv): ai |n) = 8, |n+1) Equt = Ey thy Với đ, là một lượng không đổi cũng được xác định từ điều kiện chuẩn hóa; @n+ln+l)=1 ‘Trang thái | 0) ứng với năng lượng nhỏ nhất E, ứng với n = 0 từ phương trình trị riêng ta có. 2 1 #10) = sờ |0) = Bà |0) Vay ta có 1 By = she Suy ra 1 = (n+ shu “Ta tìm /, từ điều kiện chuẩn hóa và trạng thai | + 1) = | n) 1 (n41|[n41) =—5(n| ng | n) = 22S aat ntl (n | n) 1, | | Bu| _ ntl “TBP Phương trình thủ được là âÌ|n) =vdn+T|n+1) (LH) 2 Lap lại việc sử dụng phương trình này Với n = 0 thì n=n Hay ta có (115) Điều này rất hữu ích khi dùng đilải thích những giá trị năng lượng riêng (1.10) ứng với sự hiện điện của m lượng tử hoặc photon có tăng lượng hy. Trang thai riêng | n) được gọi là trạng thái Fock hay trang thái số photon. Chúng tạo thành một tập hợp đủ các trạng thái, nghĩa là: (116) 'Và do đó có thể khai triển bất kỳ một vectơ trang thái nào trong hệ vectơ cơ sở này 1.2 Trạng thái kết hợp 1.1 Định nghĩa ‘Trang thai kết hợp |a) được định nghĩa là trạng thái riêng của toán tử hủy boson â, nghĩa là (17) trong đó œ là một số phức bất kì trong không gian phức.

Khi khai triển thông qua các trạng thái Fock |n) thì trạng thái kết hgp Ja) được biểu diễn dưới dạng la) = » Gn|n).18) ta được biểu thức của trạng thái kết hợp biểu diễn theo hộ cơ sở của các trạng thái Fock in) > vn (119) với Cụ là hệ số chuẩn hóa. Các tính chất của trạng thái kết hợp. Trang thái kết hợp của hạt boson có một số tính chất sau: Tinh chất 1: Các trạng thái kết hợp đã được chuẩn hóa, nghĩa là (ala) = (1.20) “Từ biểu thức (1.20) ta tìm được hệ số chuẩn hóa Cụ của trạng thái kết hợp. la) là G=sp (T3 ) (21) “Thay (1.19) ta được biểu thức của trạng thái kết hợp đã chuẩn.

hóa khai triển theo hệ cơ sở của trạng thái Fock |n) có dạng như sau =e»(= ) ` (12) “Tính chất 2: Các trạng thái hợp không trực giao với nhau, nghĩa là với a AS thi l(a|đ)| z 0.23) Thue vay (ola) =e ( xa -xsenl| 1 wen -Hor aero a =ep(tt "`. — vo?) la + w?)| =o (la 50) (29 Nếu a Z 6 thi eo ( Z 0, nghĩa là các trạng thái kết hợp, không trực giao với nhau. « Nếu |a — đ| > 1 thi exp (ca - 2) = 0, nghĩa là các trạng thái kết hợp gần trực giao với nhau. 'Vây các trạng thái kết hợp không trực giao với nhau, chúng được xem.

là gần trực giao khi |a — đ| >> 1. “Tính chất 3: Tập hợp tit cả các trạng thái kết hợp tạo thành một hệ quá đủ, nghĩa là phân giải đơn vị thỏa mãn la)(al#a (1.25) “Tính chất 4: Phân bố số hạt ở trang thái kết hợp |a) tuan theo phan bé Poisson - là phân bố mà số hạt trung bình và phương sai của toán tử số hạt bằng nhau. Ta có hạt trung bình ở trang thái kết hợp |a) là (n) = (alla) (126) ® Phương sai của phép đo số hạt boson ở trạng thái kết hợp |œ) là ((A2)?) = (ali = (ala = laP(la? +1) =lal.27) ta thấy số hạt trung bình và phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái kết hợp |a) bing nhau, nghĩa là (n) = ((An)?) hay trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson. “Xác suất p(n) để tìm thấy n hạt boson ở trang thai kết hợp |a) là = ctl) ?ín) = (n|a)(a|n) = exw) 3Stangaloe) SD ng Dame) (128) trong đó p(n) = exp(~|aj?)“TT— là hàm phân bố Poison.

Hàm phân bố Poisson mô tả rất tốt các tính chất của chùm sáng laser và là hàm phân bồ, tương ứng với giới han lượng tử chuẩn. Do đó trang thái kết hợp là trang thái cổ điển. ‘Tinh chất 5: Trạng thái kết hợp |a) là trang thái có đỏ bắt định cực tiểu, nghĩa là (Az)/((Ap') =+ ay ‘That vay, ta định nghĩa hai toán tử tọa độ và xung lượng có dạng như sau a+a aa Ta có (alla) + ven (lala) + si la) ata").33) Phương sai của toán tử # trong trạng thái kết hợp |a) là ((Az)® = @°) — @)* “3 +a?+1+2|a|3) get ) z (1.34) „ Phuong sai của toán tử Ø trong trang thái kết hợp |a) là ((Ap)?) = œÈ) — (p)° 1 —a2 — "2 + 1+ |a|?) + do ~a") ; 1 3 Suy ra Đây là tính chất quan trọng nhất của trạng thái kết hợp, nó gợi cho ta nghĩ đến khả năng tồn tại của trang thái có đó bắt định nhỏ hơn giới han lượng tử chuẩn, những trạng thái này khác hoàn toàn so với trang thai cổ điển, vì vậy nếu có chúng có thé sẽ là một lớp các trạng thái phi cổ điển. Vì lo này mà có thể xem trang thái kết hợp là ranh giới giữa hai lớp trang thái cổ điển và phi cổ điền 1.

Trạng thái kết hợp thêm photon 1.1 Định nghĩa Trang thai kết hợp thêm photon là trạng thái phi cổ điển được định nghĩa là (136) ở đây |a) là trạng thái kết hợp, m là số nguyên không âm. “rong đó màn (137) với (1.38) Th da thite Laguerre bac m theo 2.39) Ta da thite Laguerre bac m theo z tham số È. Vi vay, ta có thể viết Mla) lam) = eae (1.40) Trạng thái |a,m) được biểu diễn dưới trạng thái Fodk là lam) =-CPClẻÊ/2) (iL, (Tay)? 5 VẤn al in).42) với N la he s6 chuẩn hóa cũa trang thái |a, —m).2 Các tính chất của trạng thái kết hợp thêm photon a) Trang thai kết hợp them photon đã được chuẩn hóa (a, mla,m) =1 (1.43) trạng thái kết hợp them photon không trực giao với nhau (8, mle, m) u(~8*a) (144) [Em(=la?)Lm(—13P)] ©) Tính chất nón “Toán tử tọa độ của trường, _ â crp(i6) + > ãerp(~ió) (145) Giá trị trung bình của z ở trạng thai Ja, m) ".46) với on y*¢ Ki —z)"(m + Em(e) = x Tonnies yt (0) ° coy thea)" Ca" Tamm) 2=(s)=256)= i (48) Ja da thite Laguerre bac m theo x tham s6 k. Phuong sai tọa độ z có thể khai triển dưới dạng đa thức Laguerre (Az}) = @)—@)* = 1Ã (-laP)t„(-| lalf)P}3lal?eos[a(0 Da +) _ AEA (lal Pla + [oat —laP Ti7„(-InP)P L„(~lal?).

1iE„(-|alĐƑ us) “Từ hệ thức bắt định đối với toán tử tọa độ và xung lượng.50) trạng thái |a, m) là nén nếu có ((Az)) hose ((Ap)*) < 3. Kết quả khảo sát hàm 8; = 4(Az) ở hình 1.1 cho thấy ~ Với m = 0, ứng với trạng thái kết hợp có đ bắt định tối thiểu.1: Dé thi của ham S, Khảo sát theo |a| với m = 0,1,5,20. ~ m càng lớn thì độ nén càng mạnh. ~ Với m = 1, bắt đầu xảy ra nến với |a| > 1.

4) Tính chất thống kẽ Phan bé s6 photon p(n) của trang thái |a,m) là mí Kila, m) iq _ _exp(-lal?) [a2 nt Eem(—laP)ma [(n =m)! |(n — mlay| 2__nl —.