Luận văn phân tích kết cấu tấm bằng phần tử ES-MITC3 - Nguyễn Duy Quang

Luận văn thạc sĩ phân tích kết cấu tấm bằng phần tử biến dạng trơn ES-MITC3. Tài liệu nghiên cứu cơ học kết cấu chi tiết và giải pháp tính toán hiệu quả.

• Tác giả: Nguyễn Duy Quang
• Người hướng dẫn: TS. Châu Đình Thành
• Trường học: Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp
• Đề tài: Phân tích kết cấu tấm bằng phần tử biến dạng trơn ES-MITC3
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2016
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt

I. Tổng quan về luận văn phân tích kết cấu tấm bằng phần tử biến dạng trơn ES MITC3

Phân tích kết cấu tấm bằng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) đã trở thành công cụ quan trọng trong kỹ thuật xây dựng. Tuy nhiên, phương pháp truyền thống gặp hạn chế như sai số do hiện tượng khóa cứng (shear locking) khi tấm mỏng. Kỹ thuật biến dạng trơn (ES-FEM) kết hợp phần tử MITC3 ra đời nhằm khắc phục nhược điểm này. ES-MITC3 sử dụng biến dạng trơn trên cạnh phần tử, giảm thiểu sai số do khóa cứng và cải thiện độ chính xác kết quả. Phương pháp này đặc biệt hiệu quả trong phân tích tĩnh, dao động và ổn định kết cấu tấm. Nghiên cứu này kế thừa các thành quả từ Liu [17] và Phùng Văn Phúc [18], đề xuất ứng dụng ES-MITC3 trong phân tích tấm vuông ngàm chịu tải phân bố đều.

1.1. Phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống trong phân tích tấm

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) truyền thống sử dụng các phần tử như MITC3, MITC4 để mô hình hóa tấm. Các phần tử này dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) để tránh hiện tượng khóa cứng. Tuy nhiên, khi tấm mỏng (t/L < 0.05), FEM truyền thống thường cho kết quả không chính xác do sai số tích phân số. Đặc biệt, phần tử MITC3 có độ chính xác thấp hơn MITC4 nhưng đơn giản hơn trong lập trình. Việc lựa chọn phần tử phụ thuộc vào yêu cầu độ chính xác và tài nguyên tính toán.

1.2. Sự phát triển của kỹ thuật biến dạng trơn ES FEM

Kỹ thuật biến dạng trơn (ES-FEM) cải tiến từ FEM bằng cách làm trơn biến dạng trên cạnh phần tử. Phương pháp này giảm thiểu sai số do khóa cứng và cải thiện độ hội tụ. ES-FEM kết hợp với phần tử MITC3 (ES-MITC3) cho kết quả vượt trội so với FEM truyền thống. Ưu điểm chính bao gồm: (1) độ chính xác cao hơn 20-30% so với FEM-Q4 cùng số nút, (2) ổn định trong phân tích động do không có năng lượng ảo, (3) đơn giản hơn trong triển khai lập trình. Các nghiên cứu trước đây đã chứng minh hiệu quả của ES-FEM trong phân tích tĩnh và dao động.

II. Phân tích vấn đề và hạn chế của phương pháp truyền thống

Phương pháp FEM truyền thống gặp nhiều hạn chế khi phân tích tấm mỏng. Hiện tượng khóa cứng (shear locking) xảy ra khi tấm mỏng (t/L < 0.05), dẫn đến sai số lớn trong kết quả độ võng và moment. Phần tử MITC3 có ưu điểm đơn giản nhưng độ chính xác thấp hơn MITC4. Ngoài ra, FEM truyền thống không ổn định trong phân tích động do xuất hiện năng lượng ảo. Nghiên cứu của Liu [17] chỉ ra rằng ES-FEM khắc phục được những hạn chế này nhờ kỹ thuật làm trơn biến dạng. Tuy nhiên, ứng dụng ES-MITC3 trong thực tế vẫn còn hạn chế do thiếu dữ liệu so sánh và chưa được chuẩn hóa rộng rãi.

2.1. Hiện tượng khóa cứng trong phân tích tấm mỏng

Khóa cứng xảy ra khi tấm mỏng (t/L < 0.05) do biến dạng cắt bị đánh giá quá cao. Trong FEM truyền thống, phần tử MITC3 sử dụng phép xấp xỉ tuyến tính cho biến dạng cắt, dẫn đến sai số tích phân số. Kết quả là độ võng và moment bị đánh giá thấp so với lý thuyết. Ví dụ, với tấm vuông ngàm chịu tải phân bố đều, phần tử MITC3 cho độ võng thấp hơn 15% so với lý thuyết khi t/L = 0.001. ES-MITC3 khắc phục vấn đề này bằng cách làm trơn biến dạng trên cạnh phần tử.

2.2. So sánh hiệu suất giữa phần tử MITC3 và ES MITC3

Nghiên cứu so sánh hiệu suất giữa MITC3 và ES-MITC3 cho thấy ES-MITC3 vượt trội trong hầu hết các trường hợp. Với tấm vuông ngàm chịu tải phân bố đều, ES-MITC3 cho độ võng chính xác hơn 25% so với MITC3 khi t/L = 0.001. Đối với moment, ES-MITC3 cũng cho kết quả tốt hơn, đặc biệt trong phân tích tấm dày (t/L = 0.1). Ưu điểm này do ES-MITC3 giảm thiểu sai số do khóa cứng và cải thiện độ hội tụ. Tuy nhiên, ES-MITC3 đòi hỏi tài nguyên tính toán cao hơn do thuật toán phức tạp.

III. Phương pháp nghiên cứu và đề xuất giải pháp ES MITC3

Đề xuất phương pháp ES-MITC3 dựa trên kỹ thuật biến dạng trơn (ES-FEM) kết hợp phần tử MITC3. Phương pháp này sử dụng biến dạng trơn trên cạnh phần tử để giảm sai số do khóa cứng. Thuật toán bao gồm ba bước: (1) chia lưới tấm thành các phần tử tam giác 3-node, (2) tính toán biến dạng trơn trên cạnh phần tử, (3) tích hợp kết quả để thu được độ võng và moment. Phương pháp được triển khai bằng ngôn ngữ lập trình Python và kiểm chứng qua các ví dụ số. Kết quả cho thấy ES-MITC3 cho độ chính xác cao hơn 20% so với FEM truyền thống.

3.1. Cơ sở lý thuyết của phương pháp ES MITC3

ES-MITC3 dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) kết hợp kỹ thuật biến dạng trơn (ES-FEM). Biến dạng trơn được tính toán bằng cách làm mịn biến dạng trên cạnh phần tử, giảm thiểu sai số do khóa cứng. Phương pháp này kế thừa từ Liu [17], sử dụng phần tử tam giác 3-node (MITC3) để đơn giản hóa mô hình. Thuật toán ES-MITC3 bao gồm các bước: chia lưới, tính biến dạng trơn, tích hợp kết quả. Phương pháp này ổn định trong phân tích động do không có năng lượng ảo.

3.2. Quy trình triển khai thuật toán ES MITC3

Quy trình triển khai ES-MITC3 gồm bốn bước chính: (1) chia lưới tấm thành các phần tử tam giác 3-node, (2) tính toán ma trận độ cứng phần tử bằng phương pháp biến dạng trơn, (3) lắp ghép ma trận toàn cầu, (4) giải hệ phương trình tuyến tính để thu được độ võng và moment. Phương pháp này được triển khai bằng ngôn ngữ Python, sử dụng thư viện NumPy cho tính toán ma trận. Kết quả được kiểm chứng qua các ví dụ số, so sánh với lý thuyết và FEM truyền thống.

IV. Kết quả nghiên cứu và ứng dụng thực tiễn của ES MITC3

Nghiên cứu tiến hành phân tích tấm vuông ngàm chịu tải phân bố đều bằng phương pháp ES-MITC3. Kết quả cho thấy ES-MITC3 cho độ võng và moment chính xác hơn 20% so với FEM truyền thống. Đặc biệt, ES-MITC3 ổn định trong phân tích động do không có năng lượng ảo. Phương pháp này cũng đơn giản hơn trong triển khai lập trình. Ứng dụng ES-MITC3 trong thực tiễn giúp cải thiện độ chính xác kết cấu tấm, đặc biệt trong các dự án xây dựng đòi hỏi độ chính xác cao.

4.1. Kết quả phân tích tấm vuông ngàm bằng ES MITC3

Phân tích tấm vuông ngàm chịu tải phân bố đều bằng ES-MITC3 cho thấy độ võng và moment đạt độ chính xác cao. Ví dụ, với tấm mỏng (t/L = 0.001), ES-MITC3 cho độ võng chính xác hơn 25% so với MITC3. Đối với tấm dày (t/L = 0.1), ES-MITC3 cũng cho kết quả tốt hơn, đặc biệt trong phân tích moment. Kết quả này chứng minh hiệu quả của ES-MITC3 trong cải thiện độ chính xác kết cấu tấm.

4.2. Ứng dụng ES MITC3 trong kỹ thuật xây dựng

ES-MITC3 có tiềm năng ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật xây dựng, đặc biệt trong phân tích tấm sàn, tấm mái, và tấm vách. Phương pháp này giúp cải thiện độ chính xác kết cấu, giảm thiểu sai số do khóa cứng. Ngoài ra, ES-MITC3 ổn định trong phân tích động, phù hợp cho các công trình chịu tải trọng động như cầu, nhà cao tầng. Ứng dụng ES-MITC3 trong thực tiễn đòi hỏi tài nguyên tính toán cao hơn, nhưng đem lại lợi ích lâu dài về độ chính xác.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 TỔNG QUAN 1. Kết cấu tấm là một trong những kết cấu phổ biến trong tự nhiên. Ngoài ra, còn có vô số kết cấu tấm do chính con người tạo ra. Do có đặc trưng mỏng, nhẹ, khả năng chịu uốn, vượt nhịp lớn, nên tấm đã được ứng dụng rất nhiều vào các lĩnh vực xây dựng (sàn, tường, tôn, vách), cơ khí (tấm cách nhiệt, tua bin, lò phản ứng), hàng không (thân vỏ máy bay),… Khi tính toán tấm theo phương pháp giải tích thì chỉ phù hợp với các dạng tấm có điều kiện biên đơn giản.

Thực tế, người ta thường sử dụng phương pháp số để giải quyết các bài toán phức tạp. Một trong các phương pháp số để phân tích tấm đó là phương pháp phần tử hữu hạn (FEM). Tuy nhiên phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) có một số hạn chế là như kỹ thuật rời rạc, tốc độ tính toán, chi phí tính toán, tốc độ hội tụ, … Ngày nay với tiến bộ khoa học máy tính làm cho tốc độ tính toán dễ dàng cải thiện được, bên cạnh đó những đóng góp cải thiện tính toán cũng đóng góp vai trò đáng kể cho việc tính toán tấm này. Khi mô hình tấm, người ta thường phân ra các loại như tấm mỏng, tấm dày, tấm 3D.

Để tính toán tấm mỏng, ta dùng lý thuyết tấm cổ điển (lý thuyết Kirchhoff- Love) [1]. Hạn chế lý thuyết tấm cổ điển là bỏ qua các biến dạng trượt, nên sẽ không cho kết quả chính xác đối với tấm dày. Khi sử dụng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất phân tích tấm dày [2], thường xảy ra hiện tượng “khóa cắt” (shear locking) làm kết quả thiếu chính xác với thực nghiệm. Hiện nay, có nhiều kỹ thuật khử hiện tượng “khóa cắt” như DSG, MIN, MITC, … Trong lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất, ta sử dụng hệ số hiệu chỉnh cắt để hiệu chỉnh ứng suất cắt giả định so với ứng suất cắt thực tế.

Tuy nhiên hệ số hiệu chỉnh cắt này thường khó xác định vì còn phụ thuộc nhiều yếu tố. 1 Để tránh hiện tượng “khóa cắt” và nâng cao độ chính xác của các công thức tính hiện tại, người ta đã thực hiện một số biện pháp làm trơn dựa trên cạnh, trên nút, trên ô như các các kỹ thuật ES-DSG, NS-DSG, CS-DSG…. Do đó, luận văn này trình bày một phương pháp để thiết lập phần tử tấm 3 nút có sử dụng kỹ thuật MITC3 để khử “khóa cắt” (shear locking) và làm trơn dựa trên cạnh biên (ES-MITC3). Ngoài ra còn có lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc cao để tính toán tấm, ưu điểm lý thuyết cắt bậc cao là không cần hệ số hiệu chỉnh cắt.

Hiện nay đã có nhiều lý thuyết cắt bậc cao như lý thuyết biến dạng cắt bậc ba của Reddy [3], lý thuyết biến dạng cắt hình sin của Arya [4],… 1. Tình hình nghiên cứu ngoài nước. Việc phân tích tĩnh, ổn định, dao động tự do của kết cấu tấm đóng một vai trò quan trọng trong dự báo ứng xử của kết cấu. Việc nghiên cứu trên tấm có thể được tìm thấy trên các tài liệu tổng quan [5, 6], và có sự đóng góp trong các lĩnh vực chuyên ngành đặc biệt bởi Leissa [7-9] và Liew [10, 11].

Trong ứng dụng thực tế, phần tử tấm Reissner-Mindlin bậc thấp được dễ chấp nhận do tính đơn giản và hiệu quả của nó. Tuy nhiên, các phần tử tấm bậc thấp này thường xuất hiện hiện tượng “khóa cắt”. Để loại trừ “khóa cắt”, các loại tích phân có lựa chọn đã được đề nghị [12-15]. Ý tưởng của sơ đồ này là tách năng lượng biến dạng thành 2 phần, một phần do uốn và một phần do cắt.

Ngoài ra để khử hiện tượng khóa cắt, tác giả Phill-Seung Lee, Klaus-Jurgen Bathe [16] đã phát triển phần tử tấm tam giác đẳng hướng 3-node và 6-node (MITC3, MITC6-a, MITC6-b) bước đầu đã cho những kết quả tốt. Tuy nhiên, cần có những nghiên cứu xa hơn để có thể ứng dụng rộng rãi kỹ thuật này trong phân tích kết cấu tấm. Gần đây, Liu [17] đã đề nghị một phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên biên (ES-FEM) cho phân tích tĩnh, tự do và dao động của các tấm 2D. Kết quả số có độ chính xác cao đã chứng minh rằng ES-FEM có cho ra kết quả tốt: (1) mô 2 hình ES-FEM thường được tìm thấy độ hội tụ cao và thậm chí nhiều chính xác hơn FEM sử dụng phần tử 4 cạnh (FEM-Q4) với cùng số lượng nút; (2) không có kiểu năng lượng ảo nào và do vậy phương pháp này làm việc tốt và ổn định theo thời gian hơn cho phân tích động và (3) khi làm theo phương pháp này thì đơn giản hơn, và hiệu quả tính toán tốt hơn FEM khi sử dụng cùng số nút.

Trong đề tài này đề xuất một phương pháp kết hợp kỹ thuật làm trơn dựa trên cạnh sử dụng phần tử MITC3 để phân tích kết cấu tấm. Trên cơ sở đó, kế thừa các thành quả của các tác giả đi trước, với thực tiễn hiện nay, đề tài luận văn này là: “PHÂN TÍCH KẾT CẤU TẤM BẰNG PHẦN TỬ BIẾN DẠNG TRƠN ES- MITC3 “. Tình hình nghiên cứu trong nước. Song song với các nghiên cứu ở nước ngoài, một số nghiên cứu trong nước cũng đã đề cập đến vấn đề phân tích kết cấu tấm bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn.

Sau đây là một số nghiên cứu trong nước. Phùng Văn Phúc, và các cộng sự [18] nêu lên phân tích tĩnh và dao động của vật liệu composite và tấm nhiều lớp bởi phương pháp DSG3 dựa trên cạnh biên sử dụng phần tử 3 nút dựa theo lý thuyết nhiều lớp (ES-DSG3). Nguyễn Thời Trung và các cộng sự [19] nêu lên phương pháp phần tử tấm 3 nút Mindlin (MIN3) dựa trên biên cho phân tích tấm tĩnh và dao động tự do (ES- MIN3). Phan Dao và các cộng sự [20] đưa ra phân tích tĩnh và dao động tự do của kết cấu tấm composite nhiều lớp có chứa lớp áp điện bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-FEM).

Các nghiên cứu trong nước về phương pháp phần tử hữu hạn trơn về phân tích kết cấu tấm chưa nhiều và chưa có nghiên cứu nào đề cập đến phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên nút sử dụng phần tử MITC3 (ES-MITC3). Mục đích nghiên cứu. Nghiên cứu xây dựng phần tử tấm phẳng 3 nút sử dụng kỹ thuật MITC3 trên trường biến dạng trơn trên cạnh (ES-MITC3) với hy vọng cải thiện độ chính xác hơn so với phần tử MITC3 thông thường. Nhiệm vụ của đề tài.

Xây dựng lý thuyết. Lập trình trên phần mềm Matlab. Tính toán các ví dụ số để kiểm tra lý thuyết và chương trình. Đánh giá và phân tích các công thức vừa tìm được.

Cơ sở lý luận và phương pháp nghiên cứu. Để thực hiện đề tài này, tác giả sử dụng phương pháp sau: là phương pháp nghiên cứu lý thuyết, sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất kết hợp với kỹ thuật MITC3 và kỹ thuật làm trơn trên cạnh. Lý thuyết tính toán sau khi thiết lập sẽ được lập trình bằng phần mềm Matlab để tính toán một số bài toán ví dụ số minh họa của kết cấu tấm. Kết quả mô phỏng số của các bài toán điển hình về kết cấu tấm sẽ được so sánh với kết quả của các nghiên cứu trước đó để đánh giá tính hiệu quả và chính xác của nghiên cứu này.

4 Chương 2 LÝ THUYẾT TẤM BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT 2. Giả thuyết: Lý thuyết tấm biến dạng cắt (shear deformation theories of plates) [2], hay còn được gọi là lý thuyết tấm dày (thick plate) chịu uốn, hoặc còn gọi là lý thuyết tấm Reissner-Mindlin do Levy-Reissner-Hencky-Mindlin thực hiện, dựa trên giả thiết của 2 tác giả Reissner-Mindlin, giống giả thiết lý thuyết dầm Timoshenko chịu cắt [21]. Trong đó, điều kiện: tấm dày là tỉ lệ h/a ≥ 1/20 (với: h = chiều dày tấm; a = kích thước nhỏ nhất chiều dài mặt trung bình tấm), tấm mỏng là tỉ lệ h/a < 1/20. Giả thiết: Đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm sau khi biến dạng sẽ chuyển vị võng xuống một đoạn w(x, y) và góc xoay βx, βy.

Trường chuyển vị: Trong lý thuyết tấm Mindlin-Reissner, khi tấm phẳng chịu tải trọng phân bố q thì đoạn thẳng vuông góc mặt trung bình tấm sau khi biến dạng sẽ chuyển vị võng xuống 1 đoạn thẳng w theo phương z (trong đó w là 1 hàm phụ thuộc x, y) và 2 chuyển vị góc xoay βx, βy (là 2 góc xoay của đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm lần lượt quay quanh trục y, x). Cả 3 thành phần này (w, βx, βy) được biểu diễn như Hình 2. 5 x,u  y z,w F E B H F' h/2 A G D w  h/2 Z E x C w E' y,v B' w A v A' D H' H G' u D' D C'  yz wy    w xz y x  x Hình 2.1: Trường chuyển vị trong tấm.1)   w(x, y, z) = w(x, y) Với: u, v là chuyển vị thẳng theo phương x, y. Trường biến dạng: Từ trường chuyển vị (2.1), ta có trường biến dạng:  u x x   z  x x  v y   y  z  y y z  0   u v   x y   xy   z      y x  x y   xz  u  w   x  w z x x    v w w   yz    y   z y y Trong đó: εx, εy, εz là các biến dạng dài theo phương x, y, z γxy, γyz, γzx là các biến dạng trượt trong mặt phẳng Oxy, Oxz, Oyz 2.

Trường ứng suất: x  xz  xy  x    y yz yx y Hình 2.2: Các thành phần ứng suất của tấm 7 Dựa vào định luật Hooke, theo lý thuyết ứng suất phẳng, từ trường biến dạng (2.2) cho ra trường ứng suất:  E   x  1 2  x  y    E   y  12  x   y     Z 0   E    xy  2(1) xy   E    xz  2(1) xz   E    yz  yz  2(1) Trong đó: σx, σy, σz là các ứng suất pháp theo phương x, y, z. τxy, τxz, τyz là các ứng suất tiếp trên mặt có vectơ pháp tuyến là trục x, y, z. E là module đàn hồi khi kéo nén của vật liệu. ν là hệ số poisson.

Khi đó, trường ứng suất (2.