Luận văn: Phát triển năng lực suy luận toán học qua dạy học Phương trình & Bất phương trình

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu các biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực suy luận toán học cho học sinh qua chủ đề phương trình và bất phương trình.

• Tác giả: Trần Văn Việt
• Người hướng dẫn: PGS. Nguyễn Anh Tuấn
• Trường học: Trường Đại học Hải Phòng
• Chuyên ngành: Lý luận & phương pháp dạy học bộ môn Toán
• Đề tài: Phát triển năng lực suy luận toán học cho học sinh trong dạy học “Phương trình và bất phương trình” (Đại số 10)
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2021
• Địa điểm: Hải Phòng

Tóm tắt

I. Năng lực suy luận toán học Nền tảng cốt lõi môn Toán 10

Năng lực suy luận toán học là một thành tố quan trọng trong cấu trúc năng lực toán học, đóng vai trò nền tảng cho việc học tập và giải quyết vấn đề. Theo Chương trình giáo dục phổ thông 2018, đây là một trong năm thành phần cốt lõi của năng lực toán học cần được hình thành và phát triển cho học sinh. Luận văn của tác giả Trần Văn Việt nhấn mạnh rằng, năng lực suy luận toán học không chỉ là khả năng thực hiện các phép tính mà là khả năng thực hiện các hoạt động suy luận logic, giải thích, lập luận, dự đoán và chứng minh. Nó liên quan mật thiết đến tư duy logic toán học và khả năng lập luận toán học, giúp học sinh không chỉ tìm ra đáp án mà còn hiểu được bản chất của vấn đề. Trong bối cảnh dạy học chủ đề “Phương trình và Bất phương trình” (PT, BPT) lớp 10, việc phát triển năng lực này trở nên đặc biệt cần thiết. Các dạng toán như giải phương trình quy về bậc hai, xét dấu của tam thức bậc hai, hay xử lý bất phương trình chứa ẩn ở mẫu đều đòi hỏi học sinh phải vận dụng các thao tác tư duy phức hợp. Một học sinh có năng lực suy luận toán học tốt sẽ có khả năng phân tích bài toán, lựa chọn phương pháp giải tối ưu, và trình bày lời giải một cách chặt chẽ, logic. Ngược lại, nếu thiếu năng lực này, học sinh dễ rơi vào tình trạng giải toán theo mẫu, máy móc và gặp khó khăn khi đối mặt với các bài toán lạ hoặc các tình huống cần mô hình hóa toán học. Do đó, việc xây dựng các biện pháp sư phạm nhằm dạy học theo định hướng phát triển năng lực này là nhiệm vụ cấp thiết, đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục và nâng cao chất lượng dạy học môn Toán.

1.1. Khái niệm và các biểu hiện của năng lực suy luận toán học

Theo định hướng nghiên cứu của luận văn, năng lực suy luận toán học được hiểu là khả năng thực hiện các hoạt động suy luận của học sinh trong học Toán. Năng lực này bao gồm ba thành tố chính: (1) Kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cơ bản như so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự; (2) Kỹ năng giải thích, lập luận để rút ra phỏng đoán hoặc kết luận; (3) Kỹ năng thực hiện các suy luận logic để định hướng và giải quyết vấn đề toán học. Các biểu hiện của năng lực suy luận ở học sinh lớp 10 trong chủ đề PT, BPT rất đa dạng. Ví dụ, khi gặp một phương trình quy về bậc hai, học sinh cần thực hiện thao tác đặc biệt hóa để đưa bài toán về dạng quen thuộc. Khi làm việc với các bài toán chứa tham số, học sinh cần sử dụng kỹ năng lập luận để biện luận các trường hợp có thể xảy ra. Năng lực này còn thể hiện qua việc học sinh có thể tự đặt câu hỏi, rèn luyện tư duy phản biện và tìm tòi nhiều hướng giải quyết khác nhau cho cùng một bài toán.

1.2. Vai trò trong Chương trình giáo dục phổ thông 2018

Chương trình giáo dục phổ thông 2018 đặt ra yêu cầu chuyển đổi từ dạy học trang bị kiến thức sang phát triển phẩm chất và năng lực người học. Trong môn Toán, năng lực tư duy và lập luận toán học được xem là năng lực lõi. Việc phát triển năng lực suy luận toán học trực tiếp đáp ứng mục tiêu này. Nó giúp học sinh không chỉ làm chủ kiến thức về PT, BPT mà còn hình thành phương pháp tư duy khoa học, khả năng suy luận chặt chẽ và logic. Đây là những kỹ năng thiết yếu không chỉ trong môn Toán mà còn trong nhiều lĩnh vực khác của khoa học và đời sống. Việc tích hợp các phương pháp dạy học tích cực để rèn luyện năng lực này giúp học sinh trở nên chủ động, sáng tạo hơn, từ đó hình thành năng lực giải quyết vấn đề một cách hiệu quả và bền vững.

II. Thách thức khi rèn luyện tư duy logic toán học cho học sinh

Mặc dù vai trò của năng lực suy luận toán học là không thể phủ nhận, thực tiễn dạy học tại các trường THPT hiện nay cho thấy việc rèn luyện năng lực này còn đối mặt với nhiều thách thức. Luận văn của Trần Văn Việt đã chỉ ra một thực trạng đáng lo ngại thông qua khảo sát tại các trường THPT. Kết quả cho thấy, một bộ phận không nhỏ giáo viên vẫn dạy theo lối mòn, tập trung vào việc truyền đạt kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải các dạng toán cụ thể để đối phó với thi cử. Phương pháp dạy học tích cực chưa được áp dụng rộng rãi. Điều này dẫn đến tình trạng học sinh học vẹt, giải toán theo mẫu mà thiếu đi sự tư duy sâu sắc và khả năng lập luận toán học. Các em có thể giải thành thạo các dạng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn quen thuộc nhưng lại lúng túng khi gặp các bài toán đòi hỏi sự biến đổi và suy luận linh hoạt. Bên cạnh đó, áp lực về thời lượng chương trình và sĩ số lớp học đông cũng là rào cản lớn. Giáo viên khó có đủ thời gian để tổ chức các hoạt động dạy học theo định hướng phát triển năng lực, vốn đòi hỏi sự tương tác sâu và quan tâm đến từng cá nhân. Quá trình đánh giá năng lực học sinh cũng còn nhiều bất cập, thường chỉ tập trung vào kết quả cuối cùng (đáp án đúng) mà chưa chú trọng đến quá trình tư duy, lập luận để đi đến kết quả đó. Những hạn chế này làm cho mục tiêu phát triển tư duy logic toán học và tư duy phản biện cho học sinh trở nên khó đạt được.

2.1. Thực trạng dạy học phương trình và bất phương trình PT BPT

Khảo sát thực tiễn cho thấy, việc dạy học chủ đề PT, BPT thường nghiêng về rèn luyện thuật toán giải. Giáo viên cung cấp các dạng bài và công thức giải nhanh, học sinh chỉ cần áp dụng một cách máy móc. Cách tiếp cận này hạn chế sự phát triển tư duy logic toán học. Học sinh ít có cơ hội để phân tích, so sánh các phương pháp giải, hay rèn luyện tư duy phản biện thông qua việc tìm lỗi sai trong một lời giải. Theo tác giả luận văn, "tình trạng HS học tủ, học vẹt, học vì điểm số, học kiểu đối phó với việc kiểm tra và thi cử là phổ biến". Điều này làm giảm đi ý nghĩa của việc học toán, biến nó thành một chuỗi các công thức cần ghi nhớ thay vì là một công cụ để rèn luyện trí tuệ.

2.2. Hạn chế trong phương pháp đánh giá năng lực học sinh

Phương pháp kiểm tra, đánh giá hiện hành, đặc biệt là hình thức thi trắc nghiệm khách quan, góp phần làm gia tăng những hạn chế kể trên. Học sinh chỉ cần chọn đúng đáp án mà không cần trình bày quá trình suy luận. Điều này làm cho việc đánh giá năng lực học sinh một cách toàn diện trở nên khó khăn. Năng lực lập luận, khả năng trình bày một chứng minh logic, hay khả năng sáng tạo trong việc tìm ra cách giải mới thường bị bỏ qua. Để khắc phục, cần có sự thay đổi trong cả cách dạy và cách đánh giá, xây dựng một khung năng lực toán học rõ ràng và sử dụng các công cụ đánh giá đa dạng hơn, chú trọng vào quá trình tư duy của người học.

III. Phương pháp tạo động lực rèn luyện năng lực suy luận toán học

Để vượt qua các thách thức, việc tạo động lực học tập là biện pháp nền tảng giúp khơi dậy hứng thú và tính tích cực của học sinh trong quá trình rèn luyện năng lực suy luận toán học. Luận văn đề xuất biện pháp sư phạm đầu tiên là tập trung vào việc xây dựng một môi trường học tập hấp dẫn, nơi học sinh thấy được ý nghĩa và vẻ đẹp của toán học. Thay vì bắt đầu bài học bằng những công thức khô khan, giáo viên có thể sử dụng các yếu tố lịch sử, kể những câu chuyện về sự ra đời của các định lý liên quan đến PT, BPT, hoặc tiểu sử của các nhà toán học vĩ đại. Cách tiếp cận này khơi gợi sự tò mò và giúp học sinh có thêm niềm tin, ý chí học tập. Một yếu tố quan trọng khác là kết nối kiến thức với thực tiễn. Khi học sinh nhận thấy các bài toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có thể được dùng để giải quyết các vấn đề trong kinh tế, vật lý, hay các bài toán về bất phương trình liên quan đến tối ưu hóa chi phí, các em sẽ có động lực mạnh mẽ hơn để tìm hiểu và chinh phục kiến thức. Việc áp dụng phương pháp dạy học tích cực thông qua các trò chơi học tập cũng là một chiến lược hiệu quả. Các trò chơi như "Ô số may mắn" hay "Ai nhanh hơn" không chỉ giúp củng cố kiến thức một cách nhẹ nhàng mà còn rèn luyện khả năng phản xạ, làm việc nhóm và tạo ra không khí học tập sôi nổi, giảm bớt sự căng thẳng của môn Toán.

3.1. Gắn kết bài toán PT BPT với các tình huống thực tiễn

Việc đưa các bài toán thực tiễn vào giảng dạy là một cách hiệu quả để thực hiện mô hình hóa toán học. Giáo viên có thể xây dựng các tình huống vấn đề yêu cầu học sinh thiết lập phương trình, hệ phương trình hoặc bất phương trình để giải quyết. Ví dụ, một bài toán về lập kế hoạch sản xuất để lợi nhuận tối đa có thể dẫn đến việc giải một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Qua đó, học sinh không chỉ học cách giải toán mà còn hiểu được giá trị ứng dụng của kiến thức, từ đó nâng cao năng lực giải quyết vấn đề và thấy việc học toán trở nên có ý nghĩa hơn.

3.2. Sử dụng yếu tố lịch sử và trò chơi học tập để tăng hứng thú

Lồng ghép yếu tố lịch sử và tổ chức trò chơi học tập là cách để phá vỡ sự đơn điệu trong giờ học. Một câu chuyện về nhà toán học Viète và công trình của ông về phương trình bậc hai có thể làm cho phần định lý Viète trở nên sống động hơn. Tương tự, một trò chơi đồng đội để giải nhanh các bài toán về dấu của tam thức bậc hai có thể tạo ra sự cạnh tranh lành mạnh và hào hứng. Những hoạt động này không chỉ giúp củng-cố kiến thức mà còn phát triển các kỹ năng mềm, góp phần vào mục tiêu dạy học theo định hướng phát triển năng lực một cách toàn diện. Đây là một trong những sáng kiến kinh nghiệm toán 10 được đánh giá cao về tính hiệu quả.

IV. Hướng dẫn các thao tác tư duy để giải quyết vấn đề toán học

Biện pháp sư phạm trọng tâm thứ hai được luận văn đề xuất là tập trung rèn luyện cho học sinh sử dụng thành thạo các thao tác tư duy cơ bản. Đây là chìa khóa để nâng cao năng lực suy luận toán học một cách bài bản và có hệ thống. Thay vì chỉ đưa ra lời giải, giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách tư duy để tìm ra lời giải đó. Quá trình này bao gồm việc tập luyện các cặp thao tác tư duy biện chứng như phân tích và tổng hợp, so sánh và tương tự, khái quát hóa và đặc biệt hóa. Ví dụ, khi đối mặt với một bài toán chứng minh phức tạp, phương pháp phân tích đi lên giúp học sinh lần mò từ kết luận ngược về giả thiết, tìm ra các mắt xích logic cần thiết. Sau khi đã có định hướng, thao tác tổng hợp được sử dụng để trình bày lại lời giải một cách chặt chẽ. Việc rèn luyện tư duy phản biện cũng cực kỳ quan trọng. Giáo viên có thể đưa ra một lời giải có lỗi sai và yêu cầu học sinh tìm ra và sửa chữa. Hoạt động này buộc học sinh phải xem xét cẩn thận từng bước lập luận, đối chiếu với các định lý, tính chất đã học, từ đó củng cố vững chắc khả năng lập luận toán học. Việc rèn luyện các thao tác này không chỉ áp dụng cho các bài toán về phương trình quy về bậc hai mà còn hữu ích cho toàn bộ chuyên đề dạy học toán 10 và các cấp học cao hơn.

4.1. Kỹ thuật phân tích tổng hợp trong giải phương trình BPT

Thao tác phân tích - tổng hợp là công cụ tư duy nền tảng. Khi giải một bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, học sinh cần phân tích bài toán thành các bước nhỏ hơn: tìm điều kiện xác định, lập bảng xét dấu, kết luận tập nghiệm. Mỗi bước đều đòi hỏi sự chính xác và logic. Ngược lại, sau khi giải quyết các trường hợp riêng, học sinh cần tổng hợp lại để đưa ra kết luận cuối cùng cho bài toán. Giáo viên cần thiết kế các phiếu học tập hoặc các câu hỏi gợi mở để dẫn dắt học sinh thực hiện tuần tự các thao tác này, giúp các em hình thành thói quen tư duy có cấu trúc.

4.2. Rèn luyện tư duy phản biện qua so sánh tương tự và khái quát hóa

Sau khi giải xong một bài toán, giáo viên nên khuyến khích học sinh nhìn lại quá trình giải, so sánh với các bài toán tương tự đã làm để nhận ra những điểm chung và riêng. Từ đó, học sinh có thể rút ra phương pháp giải tổng quát cho một dạng toán (khái quát hóa). Ví dụ, từ việc giải một vài phương trình quy về bậc hai cụ thể, học sinh có thể tự mình xây dựng thuật giải chung. Hoạt động này giúp phát triển tư duy logic toán học ở mức độ cao hơn, giúp học sinh không chỉ là người giải toán mà còn là người kiến tạo tri thức.

V. Kết quả thực nghiệm Đánh giá năng lực học sinh hiệu quả

Để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất, tác giả luận văn đã tiến hành thực nghiệm tại hai trường THPT. Kết quả thu được cho thấy sự tiến bộ rõ rệt ở các lớp thực nghiệm so với các lớp đối chứng, cả về mặt định tính và định lượng. Về mặt định tính, không khí học tập ở các lớp thực nghiệm trở nên sôi nổi và tích cực hơn. Học sinh mạnh dạn đặt câu hỏi, tham gia thảo luận và thể hiện khả năng lập luận toán học một cách tự tin. Các em không còn học một cách thụ động mà đã chủ động tham gia vào quá trình khám phá kiến thức. Các lỗi sai logic trong quá trình giải PT, BPT giảm đáng kể, và các bài làm có sự trình bày chặt chẽ, mạch lạc hơn. Điều này chứng tỏ các biện pháp tập trung vào việc rèn luyện tư duy phản biện và các thao tác tư duy đã mang lại hiệu quả. Về mặt định lượng, kết quả các bài kiểm tra cho thấy điểm số trung bình của học sinh ở lớp thực nghiệm cao hơn hẳn so với lớp đối chứng. Tỷ lệ học sinh đạt điểm khá, giỏi tăng lên, trong khi tỷ lệ học sinh yếu, kém giảm xuống. Những số liệu này cung cấp minh chứng thuyết phục rằng việc áp dụng các phương pháp dạy học tích cực và dạy học theo định hướng phát triển năng lực không chỉ giúp nâng cao năng lực suy luận toán học mà còn cải thiện trực tiếp kết quả học tập. Quá trình đánh giá năng lực học sinh qua thực nghiệm đã khẳng định sự thành công của đề tài.

5.1. Phân tích kết quả định tính từ thực nghiệm sư phạm

Kết quả định tính được thu thập thông qua dự giờ, phỏng vấn giáo viên và học sinh. Học sinh ở lớp thực nghiệm cho biết các em cảm thấy hứng thú hơn với môn Toán khi được tiếp cận qua các tình huống thực tiễn và trò chơi. Các em hiểu sâu hơn bản chất của các phép biến đổi phương trình, bất phương trình thay vì chỉ nhớ công thức. Giáo viên tham gia thực nghiệm cũng nhận thấy học sinh đã có sự chuyển biến tích cực trong tư duy, đặc biệt là trong việc phát hiện và giải quyết các vấn đề mới, thể hiện sự cải thiện trong năng lực giải quyết vấn đề.

5.2. Số liệu định lượng chứng minh hiệu quả của các biện pháp

Số liệu định lượng từ các bài kiểm tra trước và sau thực nghiệm là bằng chứng khách quan nhất. Bảng so sánh kết quả cho thấy sự chênh lệch có ý nghĩa thống kê về điểm số giữa hai nhóm. Cụ thể, ở bài kiểm tra cuối kỳ, điểm trung bình của lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng, và độ phân tán điểm số cũng nhỏ hơn, cho thấy sự tiến bộ đồng đều. Những con số này khẳng định rằng các sáng kiến kinh nghiệm toán 10 được áp dụng là hoàn toàn có cơ sở khoa học và mang lại hiệu quả thực tiễn, góp phần vào việc đổi mới phương pháp dạy học theo tinh thần của Chương trình giáo dục phổ thông 2018.

VI. Tương lai dạy học theo định hướng phát triển năng lực toán học

Nghiên cứu về phát triển năng lực suy luận toán học cho học sinh lớp 10 thông qua chủ đề PT, BPT đã mở ra những định hướng quan trọng cho tương lai của việc dạy và học Toán. Kết quả của luận văn không chỉ cung cấp một bộ các biện pháp sư phạm cụ thể, hiệu quả mà còn khẳng định tính đúng đắn của xu hướng dạy học theo định hướng phát triển năng lực. Để nhân rộng thành công này, cần có sự thay đổi đồng bộ từ nhận thức của cán bộ quản lý, giáo viên đến nội dung chương trình và phương pháp kiểm tra đánh giá. Các sáng kiến kinh nghiệm toán 10 như đã trình bày cần được chia sẻ, thảo luận và áp dụng rộng rãi trong các tổ chuyên môn. Các trường sư phạm cần chú trọng hơn nữa việc rèn luyện cho sinh viên các kỹ năng dạy học hiện đại, đặc biệt là kỹ năng thiết kế các hoạt động học tập nhằm phát triển tư duy logic toán học và năng lực giải quyết vấn đề. Cần xây dựng các chuyên đề dạy học toán 10 theo hướng tích hợp, gắn kết kiến thức với thực tiễn, tạo nhiều cơ hội hơn cho học sinh được thực hành mô hình hóa toán học. Cuối cùng, hệ thống kiểm tra, đánh giá năng lực học sinh cần được cải tiến để đo lường được cả quá trình và sản phẩm tư duy, thay vì chỉ tập trung vào kết quả cuối cùng. Tương lai của giáo dục toán học nằm ở việc đào tạo ra những con người có khả năng tư duy độc lập, sáng tạo và biết vận dụng kiến thức để giải quyết các vấn đề của cuộc sống.

6.1. Tổng kết những sáng kiến kinh nghiệm toán 10 hiệu quả

Nghiên cứu đã tổng kết được các kinh nghiệm quý báu: (1) Tạo động lực là bước đi đầu tiên và quan trọng nhất; (2) Rèn luyện có hệ thống các thao tác tư duy là con đường bền vững để phát triển năng lực; (3) Gắn kết chặt chẽ giữa hai mặt ngữ nghĩa và cú pháp giúp học sinh hiểu sâu sắc kiến thức. Những sáng kiến kinh nghiệm toán 10 này có thể được xem như một cẩm nang hữu ích cho giáo viên trong quá trình đổi mới phương pháp giảng dạy, đặc biệt là khi triển khai Chương trình giáo dục phổ thông 2018.

6.2. Khuyến nghị cho việc cải tiến chuyên đề dạy học toán 10

Dựa trên kết quả nghiên cứu, luận văn đưa ra các khuyến nghị: cần tiếp tục nghiên cứu và xây dựng hệ thống bài tập đa dạng, phân hóa theo các mức độ phát triển năng lực suy luận toán học; tăng cường các hoạt động ngoại khóa, các cuộc thi về giải toán và lập luận để tạo sân chơi cho học sinh; và đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin trong việc thiết kế các bài giảng tương tác. Việc cải tiến các chuyên đề dạy học toán 10 theo hướng này sẽ góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toán học một cách toàn diện và bền vững.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Một số vấn đề về tư duy và năng lực suy luận toán học 1. Tư duy Con người nhận thức thế giới bằng suy nghĩ của mình.

Nói cách khác quá trình nhận thức của con người về tự nhiên và xã hội gọi là tư duy. Theo từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận, tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là quá trình như trừu tượng hóa, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thuyết, những ý niệm.

Kết quả của những quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”. Theo tác giả Nguyễn Quang Cẩn: “Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất, mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết” [4]. Nhà triết học cổ Hy lạp Pitago (576 – 496 trước công nguyên) đã đề cao vai trò của tư duy “Tư duy cao hơn mọi thứ ở con người trên thế gian”. Đối với tác giả Piaget: “Tư duy Toán học là chất keo dán toàn bộ nhận thức lại với nhau”.

Nhờ quá trình tư duy, con người thu được các khái niệm, phán đoán, suy luận và biểu đạt chúng dưới hình thức ngôn ngữ. Quá trình tư duy đi từ cảm giác trực quan - tri giác - nhận thức lý tính trừu tượng. Dù cho tư duy có khái quát và trừu tượng đến đâu thì trong nội dung -9- cuả tư duy cũng vẫn chưá đựng những thành phần cảm tính, do đó nhà tâm lí học X. Rubinstêin đã phát biểu: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trưù tượng, tựa hồ như làm thành chổ dựa cho tư duy”.

Tư duy có những đặc điểm cơ bản như sau: - Là sản phẩm chỉ có ở não người, là sự phản ánh thế giới khách quan. - Sản phẩm của quá trình tư duy là ý nghĩ, biểu đạt bằng ngôn ngữ. - Quá trình tư duy đòi hỏi, phụ thuộc vào mức độ tích cực và sáng tạo của chủ thể con người. Trong toán học, tư duy cũng có những điểm chung, ngoài ra còn có một số đặc điểm đặc trưng đối với khoa học Toán học.

Tham khảo trong [16], có một số quan niệm về tư duy toán học: Theo A.M Phridman: “Tư duy toán học là tư duy lý thuyết trừu tượng cao nhất, các đối tượng của nó có thể được mô hình hóa, vứt bỏ tất cả các tính vật chất và chỉ giữ lại những quan hệ đã cho giữa chúng” Theo I.Khin chin, tư duy toán học có 4 đặc điểm: • “Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế. • Tính rút gọn của quá trình suy luận. • Tính phân chia rõ ràng của quá trình suy luận. • Tính hết sức chính xác của các kí hiệu được sử dụng trong quá trình suy luận”.

Theo tác giả Nguyễn Cảnh Toàn: “Muốn rèn luyện khả năng sáng tạo trong môn Toán cần hình thành, phát triển và rèn luyện bảy loại hình tư duy cho học sinh” [53]. Đặc biệt trong giải toán nói chung – giải phương trình nói riêng rất cần thiết phải rèn luyện các loại hình tư duy cơ bản như: Tư duy hàm; Tư duy thuật toán (tư duy thuật giải); Các tư duy thuộc năng lực sáng tạo Toán học như: tư duy sáng tạo, tư duy logic,. Năng lực Năng lực – một thuật ngữ quen thuộc với mỗi chúng ta, vốn chứa đựng cả ý nghĩa sách vở lẫn đời thường sâu sắc. Năng lực là một thuộc tính quan trọng - 10 - của nhân cách con người.

Khái niệm này cho đến nay có nhiều cách tiếp cận và diễn đạt khác nhau tuỳ thuộc vào bối cảnh và mục đích sử dụng năng lực đó. Về mặt khoa học, có thể điểm qua một số quan niệm về NL như sau: Ở phương Tây có nhiều quan điểm về NL (thậm chí trái ngược nhau): Theo quan điểm di truyền học, trường phái A. Simon cho rằng: NL phụ thuộc tuyệt đối vào tính chất bẩm sinh di truyền của gen. Theo quan điểm xã hội học, E.

Theo trường phái tâm lý học hành vi, J. Watson (1870 - 1958) coi NL của con người chỉ là sự thích nghi “sinh vật” với điều kiện sống [25, tr. Nhìn chung, các quan niệm này chủ yếu xem xét NL từ phía bản năng sinh vật, từ yếu tố bẩm sinh, di truyền của con người mà coi nhẹ yếu tố gíáo dục. Các nhà tâm lý học Mác xít nhìn nhận và nghiên cứu vấn đề NL theo cách khác.

Họ không tuyệt đối hóa vai trò của yếu tố bẩm sinh di truyền đối với NL mà nhấn mạnh đến yếu tố hoạt động lao động và HT trong việc hình thành NL. Mác chỉ rõ: “Sự khác nhau về tài năng tự nhiên của các cá nhân không phải là nguyên nhân mà là kết quả của sự phân công lao động” [48, tr. Ăng ghen thì cho rằng “Lao động đã sáng tạo ra con người” [2, tr. Trường phái tâm lý học Xô viết với A.

và tiêu biểu là B. Chieplôv [106] đã có nhiều công trình nghiên cứu về NL trí tuệ. Chieplôv coi năng lực là những đặc điểm tâm lí cá nhân có liên quan với kết quả tốt đẹp của việc hoàn thành một hoạt động nào đó. Theo ông có hai yếu tố cơ bản liên quan đến khái niệm NL: Thứ nhất, NL là những đặc điểm tâm lý mang tính cá nhân.

Mỗi cá thể khác nhau có NL khác nhau về cùng một lĩnh vực. Không thể nói rằng: Mọi người đều có năng lực như nhau! Thứ hai, khi nói đến NL, không chỉ nói tới các đặc điểm tâm lý chung mà NL phải gắn liền với một hoạt động nào đó và được hoàn thành có kết quả tốt (tính hướng đích). - 11 - Cũng với quan điểm trên, X. Rubinstein chú trọng đến tính có ích của hoạt động, ông coi NL là điều kiện cho một loại hoạt động có ích của con người: “Năng lực là toàn bộ những thuộc tính tâm lí làm cho con người thích hợp với một loại hoạt động có ích lợi xã hội nhất định” [99, tr.

Ở Việt Nam, nhấn mạnh đến tính mục đích và tính nhân cách của NL, Phạm Tất Dong [14, tr.22] và Phạm Minh Hạc đưa ra định nghĩa (ĐN): “Năng lực chính là một tổ hợp đặc điểm tâm lí của một con người (còn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lí của một nhân cách), tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy. Những nghiên cứu về hoạt động cho thấy: Kết quả của việc hoàn thành một hoạt động nào đó phụ thuộc vào kỹ năng thực hiện những hành động thành phần của nó. Giữa NL và kỹ năng có mối quan hệ khăng khít, gắn bó với nhau. NL thường bao gồm một tổ hợp các kỹ năng thành phần có quan hệ chặt chẽ với nhau, giúp cho con người hoạt động có kết quả.

Nhìn nhận vấn đề NL dưới góc độ gắn với các kỹ năng, xét từ phương diện tìm cách phát triển những NL cho HS trong HT, X. Rogiers đã mô hình hoá khái niệm NL thành các kỹ năng hành động trên những nội dung cụ thể trong một loại tình huống hoạt động: “Năng lực là sự tích hợp các kỹ năng tác động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loại tình huống cho trước để giải quyết những vấn đề do tình huống này đặt ra. Tóm lại, NL và kỹ năng là những vấn đề (VĐ) khá trừu tượng trong tâm lý học. Tuy còn có những cách hiểu và diễn đạt khác nhau, song về cơ bản, các nhà tâm lý học đều thống nhất rằng: + NL tồn tại và phát triển thông qua hoạt động; để có NL cần phải có những phẩm chất của cá nhân đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động ấy đạt hiệu quả cao.

+ Người có năng lực về một hoạt động nào đó cần phải: Có tri thức về hoạt động đó; Tiến hành hoạt động theo đúng các yêu cầu của nó một cách có hiệu quả; - 12 - Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra; Biết hành động có kết quả trong những điều kiện khác. Trên cơ sở tìm hiểu những quan điểm về NL, xét từ phương diện gíáo dục, chúng ta có thể tổng hợp lại như sau: • NL thể hiện đặc điểm tâm lý, sinh lý khác biệt của cá nhân, chịu ảnh hưởng của yếu tố bẩm sinh di truyền về mặt sinh học, được phát triển hay bị hạn chế còn do những điều kiện khác nhau của môi trường sống. • Những tố chất bẩm sinh của NL cần có môi trường điều kiện xã hội (ở đây ta sẽ giới hạn trong môi trường gíáo dục) thuận lợi mới phát triển được, nếu không sẽ bị thui chột. Do vậy NL không chỉ là yếu tố bẩm sinh, mà phát triển trong hoạt động, chỉ tồn tại và thể hiện trong mỗi hoạt động cụ thể.

• Nói đến NL phải nói đến NL trong một loại hoạt động nhất định của con người. • Cấu trúc của NL bao gồm một tổ hợp nhiều kỹ năng thực hiện những hành động thành phần và có liên quan chặt chẽ với nhau. Đồng thời NL còn liên quan đến khả năng phán đoán, nhận thức, hứng thú và tình cảm. • Hình thành và phát triển những NL cơ bản của HS trong HT và đời sống là một nhiệm vụ quan trọng của nhà trường.

Theo chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, “năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”.