phần Mở đầu, kiểm định yếu của thị trường hiệu quả thường được tiến hành thông qua kiểm định hiệu martingale (MDH), nghĩa là dãy tăng trưởng của giá cổ phiếu của thị trường tuân theo một hiệu martingale. Các kết quả chuyên sâu về thị trường của nghiên cứu này đã được khẳng định bởi giải thưởng Nobel kinh tế cho Giáo sư Eugene F. Theo đó, thị trường chứng khoán rất khó dự báo được trong ngắn hạn. Do đó nhà đầu tư rất khó kiếm lời thông qua mua bán cổ phiếu [1].
Tuy nhiên ở một khía cạnh ngược lại, các mô hình dự báo giá cổ phiếu hoặc chỉ số kinh tế vẫn luôn là đề tài thu hút nhiều nhà nghiên cứu, đặc biệt gần đây là các mô hình dự báo dựa trên xu hướng thay đổi của các chỉ số đó [20, 21, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15] và liên tục chỉ ra các mô hình sau tốt hơn các mô hình trước. Vậy phải chăng các kết quả về thị trường tài chính đã thay đổi từ năm 2013 đến nay? Một giả thuyết có thể giải thích cho sự mâu thuẫn này đó là có thể giá cổ phiếu khó dự báo được (nghĩa là ủng hộ martingale) nhưng xu hướng của nó vẫn có thể dễ dự báo hơn. Do đó, các mô hình dự báo dựa trên xu hướng thay đổi của cổ phiếu cho các kết quả tích cực. Một cách giải thích khác là các tiêu chuẩn kiểm định MDH hiện tại quá yếu dẫn tới xác suất mắc sai lầm loại II cao (nghĩa là kết luận nó là MDS trong khi nó không phải MDS) làm cho kết luận về khả năng không dự báo được của giá cổ phiếu không được chính xác.
Làm thế nào để kiểm định khả năng dự báo được của xu hướng thay đổi của cổ phiếu đồng thời tối ưu xác suất mắc sai lầm cả loại I và loại II trong kiểm định MDH? Các mô hình dự báo dựa trên xu hướng (như HMM và FTS) gợi ý kiểm định hiệu martingale cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị. Tuy nhiên, các nghiên cứu về hiệu martingale đa trị cũng như những kết quả thống kê liên quan đến biến ngẫu nhiên đa trị đến nay còn rất hạn chế. Để xây dựng được các định nghĩa liên quan đến hiệu martingale đa trị cũng như chứng minh các tính chất của nó, các kiến thức tổng quan về biến ngẫu nhiên đa trị cần được tổng hợp. Vì vậy, chương này trình bày hai nội dung chính sau: 21 Một là trình bày các ký hiệu toán học xuyên suốt luận án, đồng thời nêu các định nghĩa cần thiết cho sự hội tụ của hiệu martingale đơn trị đối với không gian nền.
Chương này cũng chỉ ra các kết quả về luật số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập cũng như luật số lớn cho hiệu martingale trong không gian Banach. Hai là trình bày hệ thống từ khái niệm cơ bản của biến ngẫu nhiên đa trị đến các khái niệm liên quan như kỳ vọng hay kỳ vọng điều kiện của chúng. Để độc giả hiểu cơ bản về các định lý hội tụ của các biến ngẫu nhiên đa trị sau này, các kiến thức về khoảng cách Hausdorff cũng như các dạng hội tụ trong siêu không gian các tập con đóng của không gian Banach X được sử dụng cho sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên đa trị cũng được hệ thống lại. Đồng thời, những kết quả thế giới đã đạt được về các định lý giới hạn của dãy biến ngẫu nhiên đa trị độc lập và phụ thuộc martingale cũng được giới thiệu.
Cuối cùng chương này giới thiệu sơ lược một số ứng dụng của biến ngẫu nhiên đa trị đang được nghiên cứu trong kinh tế của một số tác giả trên thế giới trong thời gian gần đây. Một số ký hiệu và định nghĩa trên không gian nền Trong suốt luận án ta ký hiệu (Ω, F, P) là một không gian xác suất đầy đủ, (X, k · kX ) là không gian Banach khả ly (gọi là không gian nền cho các biến ngẫu nhiên đa trị sau này). Khi không cần phân biệt chuẩn giữa các không gian thì k · kX viết đơn giản thành k · k. Biến ngẫu nhiên đơn trị f trên X là hàm đo được f : Ω −→ X.
Ký hiệu E[ f ], E[ f |A] lần lượt là kỳ vọng và kỳ vọng điều kiện của f với A ⊆ F. Ký hiệu L1 [Ω; X] (nếu X = R thì viết gọn là L1 ) là tập tất cả các biến ngẫu nhiên khả tích Bochner nhận giá trị trên X. Với 1 ≤ p < ∞ ký hiệu L p [Ω, F, P; X] = L p [Ω; X] là không gian Banach các hàm đo được f : Ω −→ X sao cho chuẩn Z 1/p p k f kp = k f (ω)kX dP , 1 ≤ p < ∞, Ω là hữu hạn. Còn L p [Ω, F, P; R] = L p là ký hiệu thông thường trong không gian Banach các hàm thực với moment bậc p hữu hạn.
Ký hiệu { fn , Fn , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên Fn đo được thỏa mãn F1 ⊂ F2 ⊂ · · · ⊂ Fn ⊂ · · · nhận giá trị trong X. Một số định nghĩa Định nghĩa 1. Giả sử { fn , Fn , n ≥ 1} là một martingale đơn trị nhận giá trị trên X, ký hiệu dn = fn − fn−1 thì {dn , Fn , n ≥ 1} là một hiệu martingale X-giá trị. Khái niệm p- trơn đều là một khái niệm quan trong trong nghiên cứu luật số lớn của xác suất được đưa ra vào năm 1936 bởi Clarkson [30].
Dễ thấy rằng mọi không gian Banach thực khả ly đều là không gian 1- trơn đều, không gian Hilbert là không gian 2- trơn đều. Nếu X là không gian Banach p- trơn đều (1 ≤ p ≤ 2) thì X là không gian q- trơn đều với mọi q ∈ [1; p). Với { fk , Fk , k ≥ 1} là một martingale nhận giá trị trong không gian Banach X, ký hiệu dk = fk − fk−1 và giả sử f0 = 0 h. Assouad [31] chỉ ra rằng X là không gian p- trơn đều nếu và chỉ nếu với bất kỳ q ≥ 1 tồn tại hằng số C > 0 sao cho với mọi martingale { fk , Fk , k ≥ 1} ta có: !q n p q p E|| fn || ≤ C.3 [26] Một không gian Banach X được gọi là có tính Radon-Nikodym (RNP) tương ứng với không gian đo hữu hạn (Ω, F, P) nếu mỗi độ đo P-liên tục X giá Z trị m : F → X bị chặn tồn tại một hàm khả tích f : Ω → X sao cho m(A) = f dP với A mọi A ∈ F.
Một số định lý giới hạn cơ bản Ta biết rằng luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập trong không gian thực là các luật quan trọng trong lý thuyết xác suất cũng như ứng dụng trong thống kê và xuất hiện trong tất cả các giáo trình lý thuyết xác suất thống kê (xem [32, 33], v.1 (Luật số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối [34]) Cho { fn , n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối (i.d) nhận giá trị trong X, mỗi biến ngẫu nhiên có E[ fn ] = 0 với mọi n ≥ 1, trong đó E ký hiệu là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên (nghĩa là tích phân Bochner theo P).2) Đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập bất kỳ trong không gian Banach X, luật số lớn thỏa mãn khi X là không gian Banach loại p, 1 ≤ p ≤ 2 (xem định nghĩa chi tiết không gian Banach loại p trong [35]).2 (Luật số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập [36]) Giả sử { fn , n ≥ 1} là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong không gian Banach X loại p thỏa mãn E[ fn ] = 0 và ∞ ∑ n−pE k fnk p < ∞ (1. Tuy nhiên, các định lý giới hạn đối với dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc trở nên khó khăn hơn nhiều. Một trong những dạng phụ thuộc quan trọng và có ứng dụng nhiều trong thống kê đó là phụ thuộc martingale. Việc chỉ ra một martingale có tồn tại giới hạn hay không và cần điều kiện gì đã được các nhà toán học nghiên cứu trong thời gian dài.
Các định lý dưới đây khẳng định mối quan hệ của không gian có tính RNP và không gian p-trơn đều với sự hội tụ của martingale và martinagle hiệu.3 (Luật số lớn cho hiệu martingale [36]) Cho { fn , Fn , n ≥ 1} là một hiệu martingale trên X thỏa mãn điều kiện (1. Khi đó luật số lớn (1.2) thỏa mãn khi và chỉ khi X đẳng cấu với một không gian p- trơn đều. 24 Đối với định lý hội tụ của hiệu martingale với cách tiếp cận khác với điều kiện (1.3) sẽ được luận án trình bày trong Chương 2. Tổng quan về các định lý giới hạn cho các biến ngẫu nhiên đa trị 1.
Tổng quan về biến ngẫu nhiên đa trị Giả sử (Ω, F, P) là một không gian xác suất đầy đủ, (X, ||.||) là không gian Banach khả ly, N là tập các số tự nhiên, P0 (X) ={họ các tập con khác rỗng của X}, K(X) ={họ các tập con đóng khác rỗng của X}. Các hậu tố b, k và c biểu thị tính bị chặn, compact, compact yếu và tính lồi tương ứng. Ví dụ Kkc (X) biểu thị cho họ các tập con khác rỗng lồi, compact của X, Kb (X) biểu thị cho họ các tập con đóng khác rỗng bị chặn của X,. Các không gian này gọi là các siêu không gian của không gian Banach X.
Cho F : Ω → P0 (X) là một ánh xạ từ không gian Ω vào không gian các tập con khác rỗng của X, được gọi là một ánh xạ đa trị. Định nghĩa biến ngẫu nhiên đa trị và lát cắt của nó Định nghĩa 1. Một ánh xạ đa trị F : Ω → K(X) được gọi là đo được yếu nếu, với mỗi tập con mở O của X, F −1 (O) ∈ F. Ánh xạ đo được yếu nhận giá trị tập còn được gọi là biến ngẫu nhiên đa trị (tập ngẫu nhiên hoặc hàm đa trị).
Castaing và Valadier [37] đã sử dụng tính đo được của các tập mở và các tập đóng chứng minh được mối quan hệ của chúng bởi định lý sau.1 [37] Một ánh xạ đa trị đo được mạnh là một biến ngẫu nhiên đa trị.