Một Số Bài Toán Chỉnh Hóa Bằng Phương Pháp Phổ

Luận án tiến sĩ toán học về các bài toán chỉnh hóa. Nghiên cứu phương pháp phổ để giải quyết các vấn đề toán học phức tạp. Xem ngay!

• Tác giả: Nguyễn Minh Diện
• Người hướng dẫn: GS. Đặng Đức Trọng
• Trường học: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
• Chuyên ngành: Toán Giải Tích
• Đề tài: Một Số Bài Toán Chỉnh Hóa Bằng Phương Pháp Phổ
• Loại tài liệu: Luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2024
• Địa điểm: Tp. Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• 1. CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
• 1.1. Một số kiến thức về hàm thực và giải tích hàm
• 1.2. Biến đổi Fourier
• 1.3. Không gian Hilbert H(§). Phổ của toán tử
• 1.4. Một số ký hiệu và kết quả phụ trợ bổ sung
• 1.5. Một số kiến thức sơ bộ về bài toán ngược
• 2. CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN NGƯỢC CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN VỚI PHỔ LIÊN TỤC
• 2.1. Bài toán ngược thời gian với toán tử giả vi phân
• 2.1.1. Giới thiệu bài toán
• 2.1.2. Một số ví dụ về toán tử giả vi phân
• 2.1.3. Tính không chỉnh của bài toán và sự cần thiết xây dựng lược đồ chỉnh hóa mới khi các tham số bị nhiễu
• 2.2. Phương pháp phổ chỉnh hóa bài toán
• 2.2.1. Điều kiện về hàm nguồn và một số bổ đề cơ bản
• 2.2.2. Mô tả phương pháp chỉnh hóa phổ. Tinh chỉnh của bài toán xấp xỉ
• 2.2.3. Đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp chỉnh hóa
• 3. CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN NGƯỢC CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC PHI TUYẾN VỚI PHỔ RỜI RẠC
• 3.1. Bài toán ngược thời gian phi tuyến với phổ rời rạc
• 3.1.1. Giới thiệu bài toán
• 3.1.2. Toán tử Laplace với số mũ không nguyên và hàm nguồn của bài toán
• 3.1.3. Tính không chỉnh của bài toán
• 3.2. Phương pháp chỉnh hóa phổ
• 3.2.1. Mô tả phương pháp chỉnh hóa và tính chất của hàm nguồn
• 3.2.2. Tính chỉnh của bài toán xấp xỉ. Đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp chỉnh hóa
• 3.2.3. Thử nghiệm số
• 3.3. Giải số cho bài toán xấp xỉ
• 3.3.1. Các ví dụ minh họa
• KẾT LUẬN
• DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Giới Thiệu Luận Án Tiến Sĩ Bài Toán Chỉnh Hóa 55

Luận án tiến sĩ tập trung vào giải pháp chỉnh hóa cho bài toán ngược bằng phương pháp phổ. Bài toán ngược, xuất hiện khi ta tìm nguyên nhân từ kết quả quan sát, thường không chỉnh theo Hadamard. Điều này có nghĩa là nghiệm có thể không tồn tại, không duy nhất hoặc không ổn định. Sự không ổn định đặc biệt gây khó khăn, vì sai số nhỏ trong dữ liệu có thể dẫn đến sai số lớn trong kết quả. Do đó, chỉnh hóa bài toán ngược là cần thiết để ứng dụng chúng trong thực tế. Luận án này đi sâu vào phương pháp phổ, một kỹ thuật sử dụng phổ của toán tử để chỉnh hóa bài toán ill-posed. Phương pháp phổ, kết hợp với các kỹ thuật khác như phương pháp Tikhonov, tạo ra các lược đồ chỉnh hóa hiệu quả. Luận án xây dựng giải pháp chỉnh hóa trong cả trường hợp phổ liên tục và phổ rời rạc, góp phần vào việc giải quyết các vấn đề thực tế.

1.1. Tổng quan về bài toán ngược và tính không chỉnh

Bài toán ngược là bài toán xác định nguyên nhân từ kết quả, trái ngược với bài toán thuận. Ví dụ, khôi phục ảnh bị mờ hoặc xác định nguồn âm thanh. Tuy nhiên, bài toán ngược thường ill-posed, nghĩa là không thỏa mãn các điều kiện tồn tại, duy nhất và ổn định nghiệm theo Hadamard. Tính không ổn định của nghiệm là một thách thức lớn. "Các bài toán ngược thường không chỉnh theo nghĩa của Hadamard, nghĩa là, bài toán không có nghiệm hoặc bài toán có nghiệm nhưng nghiệm không duy nhất, trong trường hợp bài toán có nghiệm duy nhất thì nghiệm không phụ thuộc vào dữ liệu của bài toán."

1.2. Vai trò của chỉnh hóa và các phương pháp tiếp cận

Để giải quyết tính ill-posed của bài toán ngược, cần sử dụng các phương pháp chỉnh hóa. Các phương pháp phổ biến bao gồm phương pháp Tikhonov, phương pháp lặp Landweber, và phép chiếu. Phương pháp chỉnh hóa tìm cách xây dựng một bài toán xấp xỉ, chỉnh, mà nghiệm của nó gần với nghiệm của bài toán ngược ban đầu. "Để sử dụng được trong thực tế, chúng ta cần chỉnh hóa những bài toán không chỉnh. Phương pháp chỉnh hóa các bài toán không chỉnh rất phong phú và đa dạng."

II. Vấn Đề Nghiên Cứu Sai Số Tham Số Chỉnh Hóa 57

Một vấn đề quan trọng trong chỉnh hóa bài toán ngược là sai số trong các tham số. Trong nhiều ứng dụng, các tham số như bậc đạo hàm hoặc độ lệch không được biết chính xác. Luận án này xem xét tác động của sai số tham số lên tính ill-posed của bài toán. Việc thiết lập một lược đồ chỉnh hóa mới, phù hợp với trường hợp tham số bị nhiễu, là cần thiết. Nghiên cứu đánh giá sai số giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác, có xét đến nhiễu động của các tham số. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc đảm bảo độ tin cậy của giải pháp chỉnh hóa trong thực tế.

2.1. Tính không chỉnh khi tham số bị nhiễu

Luận án phân tích ảnh hưởng của sai số trong các tham số liên quan đến toán tử phổ. Sai số này có thể làm cho bài toán ngược trở nên ill-posed hơn, gây khó khăn cho việc tìm kiếm nghiệm xấp xỉ chính xác. "Chúng ta cần xem xét tính không chỉnh của các bài toán đối với các tham số liên quan như bậc đạo hàm, độ lệch."

2.2. Yêu cầu về lược đồ chỉnh hóa mới cho bài toán ngược

Khi các tham số bị nhiễu, lược đồ chỉnh hóa truyền thống có thể không còn hiệu quả. Do đó, cần phát triển một lược đồ chỉnh hóa mới, có khả năng xử lý sai số tham số và đảm bảo tính ổn định của nghiệm xấp xỉ. "Chúng ta cần xem xét tính không chỉnh của các bài toán đối với các tham số liên quan như bậc đạo hàm, độ lệch. Dây chính là nội dung trọng tâm trong nghiên cứu của chúng tôi."

2.3. Đánh giá sai số và nhiễu động của tham số

Việc đánh giá sai số giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác, có xét đến nhiễu động của các tham số, là rất quan trọng để xác định hiệu quả của lược đồ chỉnh hóa. Nghiên cứu này cung cấp các công cụ để định lượng sai số và đánh giá độ tin cậy của giải pháp.

III. Phương Pháp Phổ Chỉnh Hóa Giải Bài Toán Ngược 59

Luận án tập trung vào phương pháp phổ để chỉnh hóa bài toán ngược. Phương pháp phổ sử dụng biến đổi Fourier để phân tích phổ của toán tử. Từ đó, xây dựng các công thức biểu diễn nghiệm và kết hợp với các phương pháp chỉnh hóa khác. Luận án này xây dựng phương pháp phổ để chỉnh hóa các bài toán không chỉnh trong cả trường hợp phổ liên tục và phổ rời rạc. Cách tiếp cận này cho phép giải quyết nhiều loại bài toán ngược khác nhau, từ bài toán truyền nhiệt ngược đến bài toán tán xạ ngược.

3.1. Ứng dụng biến đổi Fourier trong phương pháp phổ

Biến đổi Fourier là một công cụ quan trọng trong phương pháp phổ. Nó cho phép phân tích hàm thành các thành phần tần số khác nhau, từ đó xác định phổ của toán tử. Phân tích phổ giúp xây dựng các công thức biểu diễn nghiệm và thiết kế các giải pháp chỉnh hóa. "Thông qua phổ, ta dé dang tìm được các công thức biểu diễn nghiệm của bài toán, từ đó kết hợp với một trong các phương pháp đã đề cập ở trên để chỉnh 2 hóa bài toán."

3.2. Chỉnh hóa bài toán ngược với phổ liên tục

Luận án phát triển phương pháp phổ để chỉnh hóa bài toán ngược với phổ liên tục. Một ví dụ là bài toán ngược cho phương trình khuếch tán phi tuyến với toán tử giả vi phân. Toán tử giả vi phân là sự tổng quát của nhiều toán tử quen thuộc có phổ liên tục, ví dụ như toán tử Laplace với số mũ không nguyên.

3.3. Chỉnh hóa bài toán ngược với phổ rời rạc

Luận án cũng nghiên cứu phương pháp phổ cho chỉnh hóa bài toán ngược với phổ rời rạc. Một ví dụ là bài toán ngược cho phương trình parabolic phi tuyến. Các thử nghiệm số minh họa cho các kết quả lý thuyết.

IV. Chỉnh Hóa Phương Trình Khuếch Tán Phi Tuyến 52

Luận án xem xét bài toán ngược thời gian phi tuyến: u_t + A_y u = f(x,t,u(x,t)), trong đó A_y là toán tử giả vi phân. Nghiên cứu này khẳng định tính không chỉnh khi các tham số liên quan bị nhiễu, phân tích sự cần thiết của việc thiết lập một lược đồ chỉnh hóa mới, xây dựng bài toán xấp xỉ và đánh giá sai số. Kết quả nghiên cứu đã được công bố trên tạp chí Mathematical Methods in the Applied Sciences.

4.1. Khẳng định tính không chỉnh bài toán ngược thời gian

Nghiên cứu phân tích và chứng minh rằng bài toán ngược thời gian cho phương trình khuếch tán phi tuyến trở nên ill-posed khi các tham số của toán tử giả vi phân bị nhiễu. Điều này đặt ra yêu cầu về việc phát triển các phương pháp chỉnh hóa mạnh mẽ hơn.

4.2. Xây dựng bài toán xấp xỉ và đánh giá sai số

Để vượt qua tính ill-posed, luận án xây dựng một bài toán xấp xỉ và đánh giá sai số giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác. Điều này cung cấp một cơ sở lý thuyết vững chắc cho việc áp dụng phương pháp vào thực tế.

V. Nghiên Cứu Bài Toán Parabolic Phi Tuyến Chỉnh Hóa 59

Luận án nghiên cứu bài toán ngược cho phương trình parabolic phi tuyến với phổ rời rạc. Nghiên cứu đưa ra chứng minh mới về tính không chỉnh, xây dựng bài toán xấp xỉ, đánh giá sai số trong trường hợp số mũ của toán tử Laplace bị nhiễu, và thực hiện các thử nghiệm số minh họa cho các kết quả lý thuyết. Kết quả đã được công bố trên tạp chí Journal of Computational and Applied Mathematics.

5.1. Chứng minh tính không chỉnh bài toán ngược thời gian

Luận án đưa ra một chứng minh mới về tính không chỉnh của bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic phi tuyến một cách tổng quát, củng cố thêm sự cần thiết của việc áp dụng các kỹ thuật chỉnh hóa.

5.2. Thử nghiệm số minh họa kết quả chỉnh hóa

Các thử nghiệm số được thực hiện để minh họa và xác thực các kết quả lý thuyết liên quan đến chỉnh hóa bài toán ngược. Các kết quả này cho thấy hiệu quả của phương pháp phổ trong việc giải quyết các bài toán ill-posed.

5.3. Đánh giá sai số chỉnh hóa khi số mũ Laplace bị nhiễu

Nghiên cứu đánh giá sai số giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác trong trường hợp số mũ của toán tử Laplace bị nhiễu, từ đó xác định độ nhạy của giải pháp chỉnh hóa với các thay đổi nhỏ trong tham số.

VI. Kết Luận Hướng Phát Triển Ứng Dụng Thực Tế 55

Luận án đã trình bày giải pháp chỉnh hóa cho bài toán ngược bằng phương pháp phổ, xét đến cả trường hợp phổ liên tục và phổ rời rạc, và đặc biệt, ảnh hưởng của sai số tham số. Nghiên cứu này mở ra hướng phát triển mới cho việc giải quyết các bài toán ill-posed trong khoa học và kỹ thuật. Ứng dụng thực tế có thể bao gồm khôi phục ảnh, xử lý tín hiệu, và các bài toán trong vật lý và kỹ thuật. Cần tiếp tục nghiên cứu để hoàn thiện phương pháp phổ và mở rộng phạm vi ứng dụng.

6.1. Tổng kết đóng góp của luận án

Luận án đã đóng góp vào việc phát triển các phương pháp chỉnh hóa bài toán ngược bằng cách sử dụng phương pháp phổ. Nghiên cứu này cung cấp các công cụ lý thuyết và thực nghiệm để giải quyết các bài toán ill-posed trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

6.2. Hướng nghiên cứu tiếp theo và ứng dụng tiềm năng

Các hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc hoàn thiện phương pháp phổ và mở rộng phạm vi ứng dụng. Điều này bao gồm việc phát triển các thuật toán hiệu quả hơn và áp dụng phương pháp vào các bài toán thực tế.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Một số kiến thức cơ sở 1.1 Một số kiến thức về ham thực và giải tích ham 1.1 Không gian L’ Dinh nghĩa 1. Cho d là số nguyên đương va Q C IR“. Tập tắt cả các ham số do đượcf :Q-+C sao cho |ƒ|P khả tích, nghĩa là lýp Ista = ( ina) 2 <0 tới 1 <p <0 cố định, gợi là không gian L? (Q). Dac biệt, uới p = 2, để cho gon, ta ky hiệu chuẩn trong không gian L?(Q) bởi \\-\|.

Tap tat cả các ham số do được ƒ:9 —= C bị chặn hau khắp nơi (h.n) trên ©, nghĩa là, tồn tại một hằng số AM >0 sao cho |/(z)|<M_ h.n trên Q, gợi là không gian L® (Q). trang 92-93]) Cho d là số nguyên dương va Qc JR*. Hơn nữa, ta có bat dang thức Hölder I/øll.a- 7 Đặc biệt, khi p = q = 9, bất đẳng thức Hölder còn được gọi là bat đẳng thức Cauchy-Schwarz. Hơn nita, ta có bat đẳng thúc Minkowski If + allo» < lfllu» + llølr»- 1.2 Biến đổi Fourier Dinh nghĩa 1.

Cho d là một số nguyên dương va ham ƒ € L'(R¢). Biến đổi Fourier của ham f là ham f: R¢ > C, zác định bởi ~ 1 fe) = oon |. /Œ)e #2 da uới w € RY, trong đó w.x là tích vd hướng của w uới x trong IR“. Biến đổi Fourier ngược của một hàm f là ham f : R¢ + C, zác định bởi f(a) = oa a |, Flwyel#* dw.

Tiếp theo, chúng ta giới thiệu một số tính chất co ban của biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược. Những tính chất này được giới thiệu trong [24].ƒ€ L\(R®) oới d là một số nguyên dương cho trước. Khi đó, ta có đẳng thức Parseval- Plancherel II = Wil. trong dé ||-|| là chuẩn trong không gian L®(R9).

af +89 = af + 6G uới moi a, BER. Nếu f e LM(R) vdik EN thi FO(w) = (-iw)* fw) vdi moiw eR. Ham fliên tục đều trên R va lim |f(w)| — 0. Ham f bị chặn va sup Flw)| < lil.

Feg =f tới f xg là tích chập của ham f tà g. Không gian Hilbert H*(R) Định nghĩa 1. Cho f là ham do được trên R va s > 0. Khi đó, không gian HẺ(R) được định nghĩa như sau: H*(R) = {re L®(R): |fll„‹ = (( (1+ 1a)" Mf a) < ~| 5 1/2 Dé đơn giản trong việc trình bày, ta ký hiệu 1 = H*(R) và ||, = elle Với ƒ € C((0, 7); H*), ta ký hiệu I/ll.x= sup IFC Olle.

0<t<T Chú ý rằng, khi s = 0, ta có H® = L7(R) và |ƒll„s = |lƒl. Nếu ƒ € H° với s>0 thì fe 1?) và |/lI< II.4 Phổ của toán tử Dinh nghĩa 1. (Xem (19j) Cho X là không gian định chuẩn, A: X + X là một toán tử tuyến tính va I là toán tử đồng nhất trên X. Phổ của toán tử A, ký hiệu o(A), là tập hợp tất cả các giá trị thực (hoặc phức) X sao cho toán tử (A=Al) không có toán tử nghịch đảo bị chăn trong X.

Giá trị A € o(A) được gọi là giá trị riêng của toán tửA nếu toán tử (A — AI) không la song ánh. Nếu A là giá trị riêng của A, nghiệm @ không tầm thường của phương trình Ad =o được gọi là uectơ riêng của A (lương ứng uới giá trị riêng À). Cho 4 là toán tử tuyến tính có tập phổ là o(A). Trong luận án này, ta gọi © Toán tử A là toán tử có phổ liên tục nếu ø(4) là một tập liên thông.

© Toán tử A có phổ rời rac nếu mỗi giá trị thuộc tập ø(4) đều là giá trị cô lập.5 Mot số ký hiệu và kết quả phụ trợ bổ sung Trong phần này, chúng tôi giới thiệu thêm một số ký hiệu và kết quả phụ trợ được sử dụng trong luận án. Với U = (zi,zs,. ya) € RY, ta ký hiệu U.V là tích vô hướng của U và V, |U|¿ là chuẩn Euclid của U trong R*, nghĩa là d d UV = So ayy; và Wla = Ye? j=l j=l Cho Do C R4 và g: Do 3 Ryn = (t,., ra) € Do, ta ký hiệu = (22. 2% Sử dung các ký hiệu trên, ta nhắc lại định lý giá tri trung bình với hàm nhiều biến.

Nếu Do là một miền lỗi trong R¢ va g là một hàm khả vi trên Dạ, khí đó, uới moi 1,» € Do, tồn tại một hằng số e € (0.1) sao cho (1) — 90p) = Vnglem + (T— e)na) - (m — 2)- Hệ quả là lgứm) — øứp)| < [V„ø(em + (1 — e)?e)|altm — nala- (1.1) 10 Trong quá trình chứng minh các kết quả chính của luận án, chúng ta cũng sử dụng một số kết quả sau: Mệnh đề 1. Cho u là ham số khả tích, không âm trên [0,T] va thỏa mãn hau khắp t bat đẳng thức u(t) < ll u(s) ds + C2, t trong đó C\, C2 là các hằng số không âm. Khi đó, ta có u(t) < Cae) tới hau khắp + € [0, TÌ. Khi đó, tồn tai duy nhất một điểm bat động của F trong M, nghĩa là, tồn tại duy nhất một phan tử uạ € M sao cho F(ug) = uo.

Tiếp theo, chúng ta giới thiệu một kết quả đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh tính không chỉnh của bài toán ngược (xem [25, trang 2I]). Œho đe Ñ, 9C R¢ là tập mở bị chặn va 1 < p< co. Một tập con Y trong L?(Q) là tiền compact nếu va chỉ nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: (i). Y bị chăn, nghĩa là, uới mọi u € Y, tồn tại một hằng số M > 0 sao cho lulj„< M.

11 Dé kết thúc phan này, chúng tôi trình bày định lý nhúng (xem [4, trang 212]). Cho Q = (a,b) là một khoảng mở trên R. Khi đó, tồn tại một hằng số C chỉ phụ thuộc vao Q sao cho Iell,~¿oy < Clleell zn ay tới moi u € H'(Q). Nói cách khác, phép nhúng HÌ(Q) uào L*°(Q) là liên tục.2 Một số kiến thức sơ bộ về bài toán ngược 1.1 Bài toán thuận va bài toán ngược Các hiện tượng tự nhiên như hiện tượng vật lý, hóa học, sinh hoc hay môi trường, thông thường được mô tả bằng các phương trình toán học.

Các phương trình này có thể viết dưới dạng phương trình toán tử A+ =. (12) Người ta thường quan tâm tới việc tìm lời giải cho phương trình toán tử (1.2) với các dữ liệu đã biết. Ta xét hai trường hợp sau: e Biết x (và A), tìm y. Bài toán này được gọi là bài toán thuận.

Bài toán này được gọi là bài toán ngược.2 Bài toán không chỉnh Bài toán được gọi là chỉnh (well-posed) theo nghĩa của Hadamard nếu bài toán có duy nhất nghiệm và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ liệu. Cụ thể hơn, ta định nghĩa tính chỉnh cho bài toán (1.2) như sau ({19, trang 9]): 12 Định nghĩa 1. Cho X va Y là các không gian định chuẩn, A:X + Y là ánh xa (tuyén tính hoặc phi tuyến).9) được gợi là chỉnh theo nghĩa của Hadamard nếu thỏa mãn các điều kiện sau: 1. Sự tồn tại: Với moi ụ EY, tồn tai (it nhất một) x € X sao cho Ax = y.

Tính duy nhất: Với mọi ụ €Y, tồn tại nhiều nhất một x € X vdi Ax = y. Tính ổn định: Nghiệm x phụ thuộc liên tục vao y, nghĩa là, uới moi dãy (an) CX mà Az„ + Ax (n — 00) thà dẫn đến xp — x (n > 00). Rõ ràng, hai điều kiện dau đảm bảo bài toán có duy nhất nghiệm. Diéu kiện cuối cùng đảm bảo nghiệm của bài toán là ổn định.

Nói cách khác, nếu dữ liệu của bài toán thay đổi ít thì nghiệm của bài toán cũng không thay đổi nhiều. Bài toán được gọi là không chỉnh (ill-posed) theo nghĩa của Hadamard nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn. Trường hợp bài toán không có nghiệm, chúng ta có thể mở rộng không gian nghiệm của bài toán để đảm bảo bài toán có nghiệm. Nếu bài toán có nhiều hơn một nghiệm thì bài toán đang thiếu thông tin, chúng ta cần bổ sung các thông tin còn thiếu về nghiệm (tương ứng với việc thu hẹp không gian nghiệm) để đảm bảo bài toán có không quá một nghiệm.

Cuối cùng, điều kiện thứ ba khó thực hiện hơn, đồng thời, tính không ổn định của nghiệm gây ra nhiều khó khăn trong quá trình tính toán vì một sai số nhỏ trong thông tin đo đạc có thể dẫn đến sai số rất lớn trong kết quả tính toán. Do đó, để áp dụng các mô hình có tính không chỉnh này vào thực tế, chúng ta cần xây dựng một lược đồ chỉnh hóa chúng. Trong trường hợp này, ta "xấp xi" bài toán không chỉnh bởi một bài toán chỉnh có chứa tham số (gọi là tham số chỉnh hóa) sao cho nghiệm của bài toán chỉnh có sai số nhỏ so với nghiệm của bài toán không chỉnh. Như vậy, do tính chỉnh của bài toán xp xi thì trong quá trình tính toán từ dữ liệu nhiễu, kết quả sẽ không khác nhiều so với dữ liệu 13 chính xác, kết hợp với sai số nhỏ giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ ta sẽ được kết quả tính toán có sai số nhỏ khi dữ liệu bị nhiễu nhỏ.

Một vấn đề quan trọng là xác định rõ bộ ba (X,Y, A) cùng với chuẩn của chúng. Điều kiện thứ nhất và thứ hai chỉ phụ thuộc vào cấu trúc đại số của không gian và toán tử. Điều kiện thứ ba thì phụ thuộc vào cấu trúc tô-pô trên các không gian, nghĩa là, toán tử AW! liên tục hay không. Kết quả sau day chứng tổ rằng phương trình (1.2) với A là toán tử tuyến tinh compact thì không chỉnh.

trang 12]) Cho X,Y là các không gian định chuẩn va A:X +Y là một toán tử tuyến tinh compact vdi hạt nhân N = {x € X : Av = 0}. Giả sử không gian thương X/N là v6 hạn chiều. Khi đó ton tại một dãy (an) C X sao cho Ary — 0 nhưng dãy (ap) không hội tu. Hơn nữa, chứng ta có thể chọn day (z„) sao cho ||>»||y => co.

Đặc biệt, nếu A là ánh xa một-một thi toán tử AT!:®(A) CY + X là không bị chặn, trong đó R(A) = {Ax €Y : 2 € X} là miền giá tri của toán tử A. Trường hợp A: X + Y là toán tử phi tuyến va X,Y là các không gian định chuẩn, chúng ta có khái niệm về tính không chỉnh địa phương như sau: Định nghĩa 1. (xem (9, 15)) Phương trinh toán tử phi tuyến (1.