Chương 1 MÔ HÌNH CHUẨN SIÊU ĐỐI XỨNG 1.1 Vấn đề phân bậc gauge trong mô hình chuẩn Mô hình chuẩn với nhóm đối xứng chuẩn SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y cho các tương tác mạnh, yếu và điện từ có khả năng mô tả một cách chính xác vật lý (trừ hấp dẫn) cho tới thang khoảng cách nhỏ nhất mà hiện nay chúng ta có thể thăm dò được. Mặt khác, rõ ràng rằng mô hình chuẩn chỉ có thể coi là một mô hình hiệu dụng của một lý thuyết cơ bản hơn ở thang khoảng cách rất nhỏ nào đó. Chúng ta có thể trông đợi rằng lý thuyết mới ấy sẽ có hiệu lực bắt đầu từ một thang năng lượng nào đó trong khoảng 1014 GeV cho đến 1019 GeV. Cho dù vật lý mới có thế nào đi chăng nữa thì ít nhất chúng ta cũng luôn cần một lý thuyết mới ở thang Planck, nơi mà những hiệu ứng hấp dẫn trở nên quan trọng.
Một câu hỏi có thể đặt ra là có những đối tượng vật lý nào nằm trong khoảng giữa thang điện-yếu vào cỡ ∼ 102 GeV và thang Planck? Mô hình chuẩn cho ta câu trả lời rằng đó chỉ là các boson yếu, top quark và hạt Higgs. Nếu thực sự không có gì mới tồn tại dưới thang 1019 GeV thì cả một dải năng lượng rộng lớn đó được xem như một "hoang mạc cằn cỗi" của vật lý. Sẽ không có điều gì đáng bàn nếu như điều này không dẫn đến một vấn đề nghiêm trọng về mặt lý thuyết [117]. Mô hình chuẩn là một mô hình nhạy cảm với vùng năng lượng lớn (UV 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.
Điều này thể hiện ở việc khi tính bổ chính vòng cho khối lượng của hạt vô hướng Higgs, người ta thấy rằng xuất hiện các phân kỳ bậc hai trong các tích phân xung lượng (ví dụ như trường hợp bổ chính vòng gây bởi fermion như trong Hình 1. Thế Higgs trong mô hình chuẩn được cho dưới dạng: V = µ2H H 2 + λH 4.1) Để có sự phá vỡ đối xứng tự phát, thế Higgs phải bị chặn dưới và có cực tiểu địa phương tại giá trị khác 0 của trường Higgs, nghĩa là các tham số của (1. Do bổ chính vòng cho hàm truyền của trường f H Hình 1.1: Bổ chính vòng cho hàm truyền của Higgs trong mô hình chuẩn gây bởi fermion f. Higgs có chứa phân kỳ bậc hai theo xung lượng cắt ΛU V , nên tham số µHphys sau khi tái chuẩn hóa liên hệ với tham số µH ban đầu bởi: µ2Hphys = µ2H + αΛ2U V + .2) Xung lượng cắt ΛU V được hiểu là giới hạn trên của thang năng lượng mà chúng ta có thể sử dụng mô hình chuẩn để mô tả các hạt và tương tác của chúng.
Ví dụ: ΛU V có thể là thang thống nhất lớn MGUT ∼ 1016 GeV mà vật lý ở thang năng lượng cao hơn đó được chi phối bởi lý thuyết thống nhất, hay thang Planck MP ∼ 1019 GeV mà vật lý ở thang năng lượng phía trên có sự đóng góp của các hiệu ứng hấp dẫn lượng tử. Những yêu cầu từ thực nghiệm về trung bình chân không của trường Higgs và yêu cầu về độ lớn của hằng số tương tác vô hướng bậc bốn λ trong (1.2) phải nằm trong giới hạn của lý thuyết nhiễu loạn dẫn đến giá trị của |µHphys | phải vào cỡ thang điện-yếu.2), chúng ta thấy rằng để nhận được giá trị 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com của tham số µ2Hphys ∼ (102 GeV) , chúng ta phải tinh chỉnh (fine-tune) µ2H thật 2 chính xác sao cho nó gần như triệt tiêu đại lượng phân kỳ Λ2U V ∼ (1019 GeV) 2 trong bổ chính lượng tử. Nói cách khác, trong lý thuyết của chúng ta tồn tại µ2H một đại lượng không thứ nguyên vô cùng bé Λ2U V phys , mà khi giá trị của nó tiến đến 0 không làm tăng thêm tính đối xứng của lý thuyết. Điều này là không phù hợp với nguyên lý về tính tự nhiên (naturalness principle) được đề xuất bởi G.
t’Hooft [60]: sự tồn tại của một tham số vô cùng bé trong lý thuyết chỉ tự nhiên nếu khi cho tham số này bằng không sẽ làm xuất hiện thêm đối xứng mới trong lý thuyết.2 Siêu đối xứng 1.1 Lời giải cho vấn đề phân bậc gauge Một trong những giải pháp thu hút nhiều quan tâm cho vấn đề phân bậc gauge là ý tưởng về siêu đối xứng. Đây là một đối xứng đặc biệt liên hệ các fermion và boson. Các hạt này luôn xuất hiện theo cặp đôi như những thành phần của một siêu đa tuyến (supermulitplet), và biến đổi lẫn nhau thông qua phép biến đổi siêu đối xứng. Khi tương tác với các trường khác, các cặp hạt đồng hành này có cùng một hằng số tương tác, đó chính là hằng số tương tác của siêu đa tuyến chứa chúng.2: Bổ chính vòng cho hàm truyền của Higgs trong mô hình chuẩn siêu đối xứng gây bởi fermion f và vô hướng f˜.
Trong lý thuyết siêu đối xứng, khi xem xét bổ chính vòng cho số hạng khối lượng trong thế Higgs, bên cạnh các vòng fermion, chúng ta còn phải tính đến 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com đóng góp của các hạt boson đồng hành của chúng. Những tính toán chi tiết cho thấy các đại lượng phân kỳ bậc hai từ các bổ chính của các cặp hạt đồng hành bằng nhau về độ lớn nhưng ngược dấu, nên chúng sẽ tự động triệt tiêu lẫn nhau [87]. Do đó, trong lý thuyết siêu đối xứng sẽ không tồn tại các phân kỳ bậc hai nguy hiểm nữa. Như vậy vấn đề phân bậc gauge được giải quyết.2 Siêu đại số Siêu đối xứng là đối xứng giữa các fermion và boson nên dưới tác dụng của phép biến đổi siêu đối xứng, các fermion sẽ trở thành các boson và ngược lại: Q |fermioni = |bosoni , (1.3) Q |bosoni = |fermioni , với Q là tích siêu đối xứng (supercharge).
Vì boson và fermion có thứ nguyên lần lượt là 1 và 32 , nên Q có thứ nguyên là 12. Cấu trúc nhóm của siêu đối xứng được thể hiện qua siêu đại số (superalge- bra) như sau [126]: = 2σαµα̇ Pµ , Qα , Q̄α̇ {Qα , Qβ } = Q̄α̇ , Q̄β̇ = 0, (1.4) [Qα , Pµ ] = Q̄α̇ , Pµ = 0, [Pµ , Pν ] = 0, trong đó α, α̇ là các chỉ số spinor. Q̄α̇ là liên hợp Hermitian của Qα .3 Hình thức luận siêu trường a. Siêu không gian và siêu trường Để xây dựng lý thuyết siêu đối xứng một cách thuận tiện và có hệ thống, lần đầu tiên A.
Strathdee [109] rồi sau đó S. Zumino [56] đã đưa ra khái niệm siêu trường như một hàm của tọa độ trong 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com siêu không gian (superspace) (1) , bao gồm các tọa độ thông thường (xµ ) của không-thời gian 4 chiều và 4 tọa độ Grassmann phản giao hoán (θ1 , θ2 , θ̄1̇ , θ̄2̇ ), trong đó các tọa độ spinor có thứ nguyên − 21. Các siêu trường giúp làm đơn giản hóa các tính toán và rất hữu ích khi xây dựng Lagrangian. Trong siêu không gian, phép biến đổi siêu đối xứng được định nghĩa bởi: (1.
Tích của phép biến đổi (1.5) với một phép biến đổi vô cùng bé với các tham số Grassmann (ξ, ξ): ¯ G(0, ξ, ξ̄)G(x, θ, θ̄) = G(xµ + iθσ µ ξ¯ − iξσ µ θ̄, θ + ξ, θ̄ + ξ)¯ = ei[−(x +iθσ ξ̄−iξσ θ̄)Pµ +(θ+ξ)Q+(θ̄+ξ̄)Q̄] .6) µ µ µ Siêu trường tổng quát F (xµ , θ, θ̄) biến đổi dưới tác dụng của phép biến đổi siêu đối xứng vô cùng bé như sau: G(y µ, ξ, ξ̄)F (xµ , θ, θ̄) = F (xµ + y µ + iθσ µ ξ¯ − iξσ µ θ̄, θ + ξ, θ̄ + ξ) ¯ .7) Từ đây, chúng ta có thể diễn tả các toán tử Pµ , Qα và Q̄α̇ dưới dạng sau: Pµ = −i∂µ , (1.11) ∂θα ∂ θ̄ ∂xµ (1) Trong công trình đầu tiên, Salam và Strathdee mô tả siêu trường như là hàm của tọa độ x và spinor Majorana phản giao hoán 4 thành phần. Sau đó, Ferrara, Wess và Zumino sử dụng ý tưởng trên để xây dựng siêu trường như là hàm của tọa độ x và các spinor Weyl 2 thành phần. 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do đạo hàm theo các siêu tọa độ Grassmann của siêu trường không biến đổi giống như siêu trường, nên người ta đã đưa vào các đạo hàm hiệp biến: Dα = ∂α + iσαµα̇ θ̄α̇ ∂µ , (1.13) Khi đó, đạo hàm hiệp biến của siêu trường cũng chính là một siêu trường. Bằng cách khai triển theo các tọa độ Grassmann, ta luôn có thể thu được các trường thành phần từ các siêu trường: F (x, θ, θ̄) = f (x) + θφ(x) + θ̄χ̄(x) + θθm(x) + θ̄θ̄n(x) + θσ µ θ̄vµ (x) + +θθθ̄ λ̄(x) + θ̄θ̄θψ(x) + θθθ̄θ̄d(x).14) Các trường thành phần này chính là các trường vật lý và phụ trợ (auxiliary) trong không-thời gian Minkowski thông thường.
Siêu trường chiral Siêu trường chiral là siêu trường thỏa mãn điều kiện sau: D̄α̇ Φ = 0.15) Khi đó, Φ† được gọi là siêu trường phản chiral và thỏa mãn Dα Φ† = 0. Từ điều kiện (1.15), chúng ta có thể viết lại siêu trường chiral như là một hàm chỉ phụ thuộc y µ = xµ + iθσ µ θ̄ và θ, bởi vì: D̄α̇ xµ + iθσ µ θ̄ = 0, và (1. Dạng khai triển của siêu trường chiral: √ Φ = φ(y) + 2θψ(y) + θ2 F (y) 1 = φ(x) + iθσ µ θ̄∂µ φ(x) + θ2 θ̄2 2φ(x) + 4 √ i 2 + 2θψ(x) − √ θ ∂µ ψ(x)σ µ θ̄ + θ2 F (x).17) 2 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Siêu trường vector Siêu trường vector được định nghĩa như là siêu trường thực (Hermitian) thỏa mãn điều kiện: V = V †.18) Biểu thức khai triển của siêu trường vector: V (x, θ, θ̄) = C(x) + iθχ(x) − iθ̄χ̄(x) + i i + θ2 [M(x) + iN(x)] − θ̄2 [M(x) − iN(x)] + 2 2 µ 2 i µ −θσ θ̄vµ (x) + iθ θ̄ λ̄(x) + σ̄ ∂µ χ(x) + 2 2 i µ 1 2 2 1 −iθ̄ θ λ(x) + σ ∂µ χ̄(x) + θ θ̄ D(x) + 2C(x) .19) Siêu trường này có chứa trường vector như là một trường thành phần.
Siêu trường vector thường được dùng để mô tả trường chuẩn. Như chúng ta sẽ thấy, siêu trường vector xuất hiện trong Lagrangian dưới dạng e2gV. Lúc đó, phép biến đổi chuẩn (gauge transformation) tác động lên số hạng này như sau: (1.20) † e2gV → e−2igΛ e2gV e2igΛ , trong đó g là hằng số tương tác, Λ là siêu trường chiral đóng vai trò như tham số của phép biến đổi.