Phần mở đầu Phần B: Phần nội dung Phần C: Phần kết luận VII. Kế hoạch thực hiện đề tài. Từ tháng 10/2016 đến tháng 12/2016: Nghiên cứu lí thuyết, lí luận và hoàn thành đề cương chi tiết của đề tài. Từ tháng 01/2016 đến tháng 02/2016: Phân loại các dạng bài tập và phương pháp giải.
Từ tháng 02/2016 đến tháng 03/2016: Viết đề tài. Từ tháng 03/2016 đến tháng 04/2016: Thực nghiệm đề tài. Từ tháng 04/2016 đến tháng 05/2016: Chỉnh sửa và hoàn thiện đề tài. PHẦN NỘI DUNG I.
Phương trình sóng [1] 1.1 Phương trình sóng của hạt tự do Hàm sóng của hạt tự do (sóng deBroglie) có năng lượng , xung lượng có dạng: (1.1) Lấy đạo hàm theo thời gian của hàm sóng (1.2) Lấy đạo hàm cấp hai theo tọa độ của hàm sóng (1.1), ta được: Hay: (1.3) Chú ý đến hạt tự do: , kết hợp với (1.4) Đây là phương trình Schrodinger của hạt tự do, nó thỏa mãn hai yêu cầu: + Phương trình Schrodinger là phương trình tuyến tính. + Phương trình Schrodinger là phương trình chứa đạo hàm bậc nhất theo thời gian Phương trình (1.4) có thể thu được từ hệ thức cổ điển (1.4) nếu thay năng lượng và xung lượng bằng các toán tử tương ứng dưới đây tác dụng lên hàm sóng: 1. Phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động trong trường trường lực Người ta giả định rằng một vi hạt chuyển động trong trường lực bất kì cũng thỏa mãn phương trình tương tự như phương trình Schrođiger của hạt tự do, trong đó động năng của hạt tự do thay bằng động năng của hạt chuyển động trong trường lực, tức là phương trình Schrodinger phải có dạng: (1.6) Đây là phương trình Schrodinger tổng quát. Đặt : toán tử Hamilton của hệ thì phương trình Schrodinger có thể viết dưới dạng ngắn gọn: (1.
Mật độ dòng xác suất [1] Từ ý nghĩa thống kê của hàm sóng xác suất tìm thấy hạt trong thể tích : (1.8) trong đó là mật độ xác suất. Lấy đạo hàm theo thời gian phương trình (1.8) đồng thời chú ý đến phương trình (1.9) với là mặt kín bao quanh thể tích. Đặt: Ta có: Hay: (1.11) Các phương trình (1.11) thể hiện định luật bảo toàn số hạt, trong đó coi là véc tơ mật độ dòng xác suất. Một số tính chất của phương trình Schrodinger [1] 1.
Các trạng thái dừng Trong cơ học cổ điển, nếu hệ có thế năng không phụ thuộc rõ vào thời gian thì năng lượng của hệ bảo toàn, hay nói cách khác năng lượng của hệ là một tích phân chuyển động. Trong cơ học lượng tử các trạng thái của hệ có thế năng như vậy cũng có những tính chất tương tự. Hamilton của hệ nói trên không phụ thuộc thời gian, hàm sóng mô tả trạng thái của hệ có thể viết dưới dạng tích của một hàm chỉ phụ thuộc thời gian và một hàm chỉ phụ thuộc tọa độ: (1.12) Thực hiện việc tách biến số đối với phương trình Schrodinger ta sẽ thu được hai phương trình: (1.14) Phương trình (1.13) với các điều kiện biên đã biết sẽ xác định các giá trị năng lượng khả dĩ và hàm sóng tương ứng, gọi là phương trình trị riêng để xác định hàm riêng và trị riêng của năng lượng vi hạt. Ta có thể viết gọn lại phương trình (1.15) trong đó : Hamilton của hệ.
Trong cơ học lượng tử, trạng thái có năng lượng xác định gọi là trạng thái dừng. Phương trình (1.14) xác định sự phụ thuộc thời gian của hàm sóng, tức là giải phương trình (1.14) tìm được - cho biết sự phụ thuộc vào thời gian của hàm sóng. Hàm sóng toàn phần của trạng thái dừng có năng lượng được viết dưới dạng: (1.2 Tính chất của hàm sóng Để xác định hàm sóng phải thông qua việc giải phương trình sóng. Tuy nhiên, không phải mọi lời giải của phương trình Schrodinger đều ứng với các trạng thái vật lí.
Chỉ có những giá trị đặc biệt của , phương trình (1.14) mới cho các nghiệm được thừa nhận về phương diện vật lí. Những giá trị này tạo thành phổ năng lượng của hệ, bao gồm các giá trị gián đoạn và một dải các giá trị liên tục. Để mô tả một trạng thái vật lí, nghiệm của phương trình Schrodinger phải có các tính chất chung mà hàm sóng phải có: + Đơn trị. + Liên tục và có đạo hàm liên tục.3 Chuyển động hữu hạn và vô hạn.
Nếu , phương trình (1.13) có các nghiệm ứng với những giá trị riêng gián đoạn của , tạo thành phổ gián đoạn của năng lượng. Hàm riêng ứng với các giá trị bằng không ở vô cùng, xác suất tìm thấy hạt chỉ khác không trong khoảng không gian giới hạn. Ta nói rằng hạt chuyển động hữu hạn hay hạt trong trạng thái liên kết. Nếu , phương trình (1.13) có nghiệm với bất kì giá trị nào, người ta nói rằng năng lượng tạo thành một phổ liên tục.
Hàm sóng ứng với các giá trị khác không ở vô cùng, khi nó có dáng điệu gần đúng như một sóng phẳng. Do đó, chuyển động của hạt là vô hạn, hạt ở trạng thái không liên kết. Chuyển động trong giếng thế vuông góc sâu vô hạn [2] Xét một hạt bị giam hãm trong trường thế một chiều có dạng Để vượt khỏi miền phải tốn một công bằng nên hạt bị chặn lại ở và tức là, xác suất để hạt ở và bằng không.1 Ta có điều kiện biên: (1.17) Bây giờ ta viết phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động trong giếng thế: (1.18) Đặt : phương trình (1.19) Nghiệm của phương trình này có dạng: (1.20) Dựa vào điều kiện biên (1.17), ta thu được: (1.21) Như vậy: năng lượng của hạt chuyển động trong giếng thế không còn nhận giá trị tùy ý mà chỉ nhận những giá trị gián đoạn. Sự gián đoạn của giá trị năng lượng chỉ tồn tại trong lí thuyết lượng tử - gọi là sự lượng tử hóa năng lượng.
Chuyển động trong giếng thế vuông góc đối xứng hữu hạn [1,2] Xét hạt chuyển động trong giếng thế U có bề sâu và độ rộng , thế năng có dạng: II III I 0 Ở đây ta xét hạt có năng lượng .2 Phương trình Schrodinger trong miền có dạng: (1.22) Đặt : , phương trình (1.22) được viết lại: Phương trình này có nghiệm: (1.23) Phương trình Schrodinger trong các miền có dạng: (1.24) Đặt : , phương trình (1.24) có dạng: Phương trình này có nghiệm: (1.25) Từ điều kiện nghiệm của phương trình Schrođinger phải hữu hạn khi ta suy ra nghiệm phương trình Schrodinger trong các miền tương ứng có dạng: (1.26) Từ các điều kiện liên tục của hàm sóng và đạo hàm của nó, suy ra: (1.27) Biến đổi hệ phương trình (1.27), ta được: Suy ra: hay với Nên : (1.28) Do mà và lại biểu diễn qua năng lượng của hạt nên kết quả là năng lượng của hạt cũng nhận những giá trị gián đoạn, tức là năng lượng của hạt cũng bị lượng tử hóa. Phản xạ và truyền qua rào thế [1,2] 1. Thế bậc thang Xét chuyển động của một hạt trên U trục từ trái sang phải trong trường thế có dạng: I II x Hình 1.3 Theo cơ học cổ điển: Nếu hạt có năng lượng toàn phần hạt bị phản xạ toàn phần tại. Nếu hạt có thể hoàn toàn đi qua.
Ta xét bài toán trong cơ học lượng tử. Phương trình Schrodinger ở miền x < 0 có dạng: (1.29) Đặt , phương trình (1.29) có dạng: Phương trình có nghiệm: Để đơn giản ta chọn. Lúc đó, hàm sóng ở miền x < 0 có dạng: (1.30) Phương trình Schrođinger ở miền x > 0 có dạng: (1.31) Trường hợp : Đặt : , phương trình (1.31) được viết lại: Phương trình này có nghiệm: (1.32) Trong các biểu thức (1.31), mô tả sóng phẳng truyền theo chiều dương trục, mô tả sóng phẳng truyền theo chiều ngược lại. Trong miền ( x > 0) không có sóng phản xạ nên .32) ta có hàm sóng trong các miền tương ứng: (1.33) Sử dụng các điều kiện của hàm sóng tại ta được: (1.34) Suy ra, hệ số phản xạ: Hệ số truyền qua: Dễ dàng thấy Như vậy, theo cơ học lượng tử mặc dù , sóng vẫn bị phản xạ một phần trên rào thế.
Trường hợp Đặt , phương trình (1.31) có nghiệm dạng: Do điều kiện hữu hạn của hàm sóng khi nên nên: Sử dụng các điều kiện biên của hàm sóng tại , suy ra: (1.35) Suy ra, hệ số phản xạ: Như vậy, theo cơ học lượng tử nếu hạt bị phản xạ hoàn toàn (giống cơ học cổ điển) nhưng ở đây hạt không bị phản xạ hoàn toàn tại. Xác suất tìm thấy hạt ở miền vẫn khác không nhưng giảm nhanh theo định luật hàm số mũ.2 Hiệu ứng đường ngầm U Xét chuyển động của 1 hạt trên trục từ trái sang phải trong trường thế có dạng: I II III xU 0 a Hình 1.4 Theo cơ học cổ điển: Nếu 1 hạt có cơ năng toàn phần hạt có thể đi qua hàng rào (sự truyền qua là toàn phần, không có phản xạ), nếu hạt bị phản xạ hoàn toàn tại (mặt trước của hàng rào) Ta xét bài toán theo cơ học lượng tử. Phương trình Schrođinger ở miền và .36) Đặt phương trình (1.36) có nghiệm: Để đơn giản, ta chọn đồng thời chú ý rằng ở miền không có sóng phản xạ. Lúc đó hàm sóng trong các miền: (1.37) Phương trình Schrođinger ở miền : (1.38) Ở đây ta xét.
Đặt , phương trình (1.38), ta có hàm sóng trong các miền tương ứng là: (1.40) Áp dụng các điều kiện liên tục của hàm sóng ở các biên của rào thế ta thu được hệ bốn phương trình đối với : Giải hệ bốn phương trình trên ta sẽ thu được các giá trị của. Từ đó, dễ dàng suy ra hệ số truyền qua hàng rào thế: với (1.41) Như vậy là khác với trường hợp cổ điển khi xác suất tìm hạt ở bên phải rào thế vẫn khác không, tức là vi hạt có một xác suất nhất định đi qua rào thế. Sự truyền qua rào thế của vi hạt khi gọi là “hiệu ứng đường ngầm”. Hiệu ứng đường ngầm giải thích được nhiều hiện tượng, chẳng hạn như hiện tượng phân rã anpha của các hạt nhân nguyên tử, hiệu ứng phát xạ điện tử lạnh.
Dao động tử điều hòa[3] Dao động tử điều hòa tuyến tính là bài toán quan trọng của cơ học lượng tử. Dao động của phân tử nguyên tử trong tinh thể, dao động của các quark trong hạt nhân đều đưa về bài toán dao động tử điều hòa tuyến tính. Thế năng của dao động tử điều hòa tuyến tính có dạng: (1.42) Phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa: (1.43) Đặt: , phương trình (1.43) được viết lại: (1.44) Trong trường hợp dao động tử điều hòa, không có giới hạn miền không gian tồn tại nên không có các điều kiện biên cho hàm sóng.