Chương 1: CƠ SỞ TOÁN HỌC A.PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN: I. _PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN CAP I. Phương trình vi phân cấp I là 1 hệ thức F(x,y,y') = 0 hay y’ = f(x,y) liên hệ giữa biến độc lập x, hàm chưa biết y và dao hàm y’ của nó. Nghiệm riêng phương trình vi phân và hàm y` = @(x) xác định trên (a,b) sao cho khi thế vào phương trình ta được | déng nhất thức với Vxe(a,b).
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân có dạng y = @(x,C) (C là hằng s6). Nghiệm riêng bất kỳ phương trình vi phân đều viết dưới dạng y = @(x,x¿) với Cy là | giá trị nào đó của tham số C ở trên. Khi giải phương trình, ta không được nghiệm tổng quát mà được | hệ thức có dang ®(x,y,c) = 0, khi đó nghiệm tổng quát được xác định là 1 hàm. Và ®(x,y,c) =0 là tích phân tổng quát phương trình vi phân y = @(x.xo,cọ) là tích phân riêng của phương trình vi phân (cọ là giá trị cụ thể).
Phương trình có biến phân ly: -Dạng: = LY) CY -Cách giải: Lấy tích phân phương trình trên J 2œ&= [ 50)&+€ Ví dụ: a. Giải phương trình: xdx + ydy = 0 € [xdv+[yd#š=C x+y? =a? Vậy nghiệm phương trình trên là họ đường tròn tâm O VD: Giải phương trình: cosx. Bay > dy __ de y cosx res j2- j= =iny (ig(5 +^)+In|C| \ op de o> y = C.tg( 2+2) (Cz0) SVTH: Vũ Thị Ngọc Hằng Trang 2 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Thầy Lê Văn Phước 2. Phương trình đẳng cấp cấp I: * Dạng:| y'=f@xy)_ X21) f(x,y) được biểu diễn dưới dang f(x,y) = @(È) x Cách giải: Đặt y=u.x =>u= (2% x dy du => —=u+x— dx Phương trình (2.
a = @(u) oO X, & = @(x)-u TH 1: @(u) # Us: => du ,Œ @(u)—u x Phương trình này giải giống phương trình có biến phân ly.= x y «x TH 3: tổn tai 1 u„ sao cho @(u,) = Uy. bằng cách thử trực tiếp, ta có y = uạ.x là nghiệm phương trình: Ví dụ: y’ = +” (*) & „#4 & e*=Inlxi+Inlcl e x <> e”?' + Inicx! = 0 là nghiệm phương trình, e Dạng arc SVTH: Vũ Thi Ngọc Hằng Trang 3 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Thầy Lê Văn Phước —————EễEễễ—ễễễễễễễễễ Ễ F(x) gs (y) dx + f (x) ‹ø; (y) dy= 0 Cách giải: Đặt z = ax + by + c với z = 2(x) Lấy tích phân hai vế: lạ om = fax = fa =Cx Tatrở về dang phương trình đã giải Ví dụ: Giải phương trình y' = 2x + y (*) Đặ Zt= 2x : +y Z=2+ Dyy ’ =Z ’ ' -2 (eZ -2=Z@ _ˆ dx dZ “i oe —s =x+ln€C 2+Z 24+Z ¢> In|2 + Z| = x + lnC 2+Z=Ce’ 2 2+2x+y=Ce* => y=C.e*-2x-2 * Dạng Dạng:: |y |y'= 6 n 7] ext ote (23) b, Ta có hệ phương trình: —————————————mm ——— Luận văn tốt nghiệp GVHD: Thay Lê Văn Phước a,x+b,y+c, =0 a;,x+b,y+c; =0 có nghiệm là (X„, y.) Đặt: | x=X+x " ->y=Y y=Y+y, Y aX+bY) ,|“®Ö5v =r»'" nh? ng Y a, +b, — xX X Ta giải giống dang (2.1) -Xét LỄ nị=0 5 St Oak = cont a2 by Dat Z = a¿x +bạy với Z = Z (x) seus kla.x+b, y]hC, - (2%) = fZ) ye" (Ta x+bz+C, | ol Zee, Ta đưa về dang : y` = f(Z) Giải giống dạng (2.2) Ví dụ: giải phương trình (2x - 2y — 1) dx + (x— y + 1) dy=0 #2> —=- =~— (*) dx x~-y*#l x-y+l A=|? 2] =0 Đặt Z=x-y >Z=l-y ?y'=1-Z đc Z+1 a RE 7 „1-?! Z+l Z+l ~ 37 dZ 37 = = —_ & — = Z+l dx Z+1 dZ dZ Z+l Z+l e Nếu Z=0 ©x=y là | nghiệm phương trình SVTH: Vũ Thị Ngọc Hằng Trang 5 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Thầy Lê Văn Phước œZuU& “'}z-sxs «Z+lnlZl= 3x+C o> x- y +Ìn Ì x—yl =3x +C ©ln lx -y Ì= 2x + y +€ * Dạng (24) Cách giải: e Nếu g;(y). C) 8; (y ) dk + 52 — dy =0 #;(x) 8,0) „ © lh(x)&v +t(y)&y = 0 f(x) h(x) = với 5œ) g,( y) „ &(y) i(y) = Lấy tích phân phương trình —. [hœ)& + firey =C Giải giống phương trình có biến phân ly se Nếu g¡(y) = 0 tại y=b y =b là nghiệm riêng phương trình.
e Nếu f›(x) = Ö tại x = a x =a là nghiệm riêng phương trình. Ví dụ: Giải phương trình xy"dy =-(y + Idx (*) e Nếu xử +10) 2 y+l—da-& N “& v.[ =© Tư [Ễ+c y' # 2 ®S—~y+ln|y+l|+ Inl‡=C e Nếu x = 0 cũng là nghiệm phương trình vi phân. s Nếu y =-l cũng là nghiệm phương trình vi phân. 3- Phương trình tuyến tính cấp 1 - Dang: @.) |) Dl—— SVTH: Vũ Thị Ngọc Hằng Trang 6 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Thầy Lê Văn Phước ————-— ———————————==—————————————— e Nếu g(x) = 0 thì (3.y = 0 gọi là phương trình tuyến tính cấp I thuần nhất.dx dk y Lấy tích phân phương trình trên fo y = f- p x <= In|y|= f= p(x)&+InC y= ce he là nghiệm phương trình thuân nhất e Nếu g(x) # 0 thì (3.y = g(x) gọi là phương trình tuyến tính cấp I không thuần nhất và nghiệm phương trình (3.1) là y= cœ)z1“sa y= .C(x)e In sa Thế vào phương trình (3.p(x)e I + Cœ)p(x)« 1" = g(x) = C(x)= [eœ)<Í“*+ +¢ Vậy nghiệm phương trình (3.1) là p=gee + ,feee [ee or Nếu khi giải ta quên nghiệm của phương trình không thuần nhất, ta nhân 2 vế phương [nœ trình (3.1) cho @ „ vế trái của phương trình chính là yen] Ta sẽ dé dang tinh được nghiệm.
Nhân xét: Nghiệm tổng quát phương trình không thuần nhất bằng nghiệm tổng quát trong phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng + nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất. + Phương trình Becnoulli - Lagrange - Clairaut a. Ph ình Becnoulli Dang: +p@)y=g)y*| Cách giải: œ#01 (4.1 SVTH: Vũ Thị Ngọc Hằng Trang 7 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Thấy Lê Văn Phước “——=ễ———-— ễ—ễễ Chia 2 vế phương trình cho y* š p(x).y oo y + » PO oat s) c© Ze p(x).y""“ = g(x) Phương trình (4.1) => + p(x)-2 = B(x) l-a o> Z+*(l ~ #œ)p(x)Z =(l —ø)g(x) Ta giải phương trình tuyến tính cấp I => nghiệm. Phư trìnơ h La n gran g ge Dangly Cách =xE(y')+w(9) }42) _ giải: - Đặty'=p Thế vào (4.š(p) + (p) Đạo hàm 2 vế theo biến x: [p- so |T =xé"(p)+w'(p) Nghiệm của phương trình Lagrange l = x.0(p)+y(p) (x, p,c) = 0 Nếu p - š(p) =0 <> p=p, Phương trình Lagrange có nghiệm kỳ dị y = X.-š(p,) + ự(p,) Ví dụ: Giải phương trình: y=2xy+ 5 (*) Đặt y` =p (*)©y=2xp +p? Đạo hàm theo biến x: ; dp.
Pp r ne eee eee SVTH: Vũ Thi Ngọc Hằng Trang 8 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Thầy Lê Văn Phước = Kế” =2x-2p” Vậy nghiệm của nó là: x= cuz pp Tích phân tổng quát của phương trình Lagrange là CG 2 se—-| P P yu dupe Pp c. Phương trình Clairaut Đây là dạng phương trình Lagrange với Ey’) = y' Đặt y'=p (4.3) © y = xp + w(p) Đạo hàm theo biến x ‘sp= idle ápakin y=p 4 dp 2 =k+ywa] p „ =0 dp 9 ha | dx = 8BEtở x+y'(p)=0 y=-py'(p)+y(p) Vậy nghiệm phương trình Clairaut p=C>y=Cx+y(C) Và nghiệm kỳ dị là: R sand- y=-py'(p)+ự(p) Š- Phương trình vi phân toàn phn - Dang: 6.1) P(x,y) và Q(x,y) cùng các đạo hàm riêng của nó là các hàm liên tục trên mién D và thỏa mãn điều kiện : Khi đó : Pdx + Qdy = du(x,y) se Cách giải : __C4ch 1 : Phương trình (5.1) trở thành P(x,y)dx + Q(x. Yo là 1 điểm tuỳ ý thuộc miền D _ Cách 2 : Pdx + Qdy = du(x,y) p„ (.y) - ox Q = xy) ay P(x. y) Ta tính được C’(y), suy ra C(y) Vậy nghiệm của phương trình là : u(x,y)= ÍP(«.
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 : 1. Phương trình vi phân - Phương trình vi phân cấp II là phương trình có dạng F(x,y,y`,y”) = 0 hoặc y"=f(x,y,y') - Nếu trong phương trình vi phân có f là hàm liên tục. Trong | mién nào đó chứa Xo, Yo. yo` thì tổn tại | nghiệm y = y(x) của phương trình đó và thỏa mãn điều kiện : ai y¥(%)=y¥'o of Of.
- Nếu am liên tục thi nghiệm đó là duy nhất. - Phuong trình vi phân cấp II có dạng. + Nếu f(x) = 0 thì phương trình trên gọi là phương trình tuyến tính cấp II thuần nhất. + nếu f(x) # 0 thì phương trình trên gọi là phương trình tuyến tính cấp II không thuần nhất.
Phương trình vi phân tuyến tính cấp I thuận nhất SVTH: Vũ Thị Ngọc Hằng Trang 10 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Thay Lê Văn Phước - Dạng @.*« : - Nếuy;=y;(x) và y2=y2(x) là 2 nghiệm phương trình (2.1) thì nghiệm của phương trình : y=€¡yi(x) +Cạy;(x) (C¡,C; là hằng số) - Nếu ta biết | nghiệm riêng y,(x) của phương trình tuyến tính thuần nhất ta có thể tìm nghiệm riêng y2(x) độc lập tuyến tính với y(x)bằng cách đặt : yz(x) = y¡(x).2) (p,q là hằng số) Ta giải phương trình đặc trưng : r`+pr+q=0 (2.3) có 2 nghiệm thực phân biệt, nghiệm riêng của phương trình (2.2) là : yị =e" và yạ= ©”” Nghiệm tổng quát : y = C¡.3) có | nghiệm kép r; = r; , nghiệm riêng của (2.2) là y, = e* và y; =x, ©* Nghiệm tổng quát là : x y=C,.3) có 2 nghiệm phức liên hợp : a + Bi và a - Pi thì (2.2) có 2 nghiệm riêng là Ny — a(0*Bi)x =e Y> = e(«-fi)x >= Sử dung công thức Euler người ta tính 2 nghiệm riêng : y; -Ý%*⁄:†Y› =eTM sinBx Nghiệm tổng quát : y=CeTM cosBx +C, sinBx =eTM(C, cosBx+C, sinBx) SVTH: Vũ Thi Ngọc Hằng Trang 11 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Thầy Lê Văn Phước *D , 3.y=ffx) ee Nghiệm của phương trình tuyến tính không thuần nhất (3.1) bằng I nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) và nghiệm riêng nào đó của phương trình (3.1) Cách giải : Nếu y; y; là nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất (2.1) thì nghiệm riêng của (3.p,(x) (p, là đa thức bậc n ) - _ Nếu ơ không là nghiệm phương trình : °+ pr + q =0 thì nghiệm riêng có dạng y=eTM.(X) (Q„(x) là đa thức bậc n đẩy đủ) Thay nghiệm riêng này vào (4. 1) rồi déng nhất thức ta tim được các hệ số Q,(x) - Nếu ala 1 nghiệm phương trình : r + pr + q =0 thì nghiệm riêng có dang : y=x.Q,(x) - Nếu œ là nghiệm kép của rˆ + pr + q = 0 thì nghiệm riêng có dang : y=x2. (x) Nghiệm tổng quát của (4.1) = Nghiệm tổng quát của (2.(x): đa thức bậc n Q„(x) : đa thức bậc m - Nếu œ+ÿi, œ -Bi không là nghiệm phương trình đặc trưng :r” + pr+q =0 Nghiệm riêng của (4.