CHƯƠNG 1: PHÉP TÍNH TENXƠ §1. QUY TẮC CHỈ SỐ Người ta hay đùng các chữ sau để ký hiệu chỉ số: ¡,j,k,t1. Trong biểu thức nếu chỉ số chỉ lặp lại có 1 lắn thì chỉ số gọi là chỉ số tự do. - free index Ta thấy b và c là chỉ số tự do vì nó chỉ lặp lại một lần aed chỉ số a được lặp lại hai lần.
Diéu này có nghĩa ta phải lấy tổng theo chỉ số đó. Vi dự: Va ee ee cu sohết vuải ^à(I9 cụ. với a=0,1,23 (chỉ số lấy tổng gọi là chi số cầm - dummy index. MA TRẬN CHUYỂN TỌA ĐỘ Xét không gian n chiều.
Ta có hai hệ tọa độ cũ và mới được ký hiệu như sau: Hétoaddcd : xÌ,xŸ,.,x" Hệ toa độ mới : # Ñ Ty Ta có phương trình liên hệ giữa tọa độ mới va cũ: x" —» x" : x = /*(x!,x,.x"Ìz #°(x) (1) Như đã biết trong phần giải tích định thức Jacobi sẽ bằng không nếu các tọa độ mới phụ thuộc tuyến tính với nhau. Nếu các #X“ độc lập tuyến tính với nhau thì Jacobi sẽ khác zero. Ox! % Ox" Ox’ &x* "ax" (=) (2) OX" Gx" Øx" TT er = Định thức của ma trận chuyển tọa độ gọi là Jacobi và ký hiệu là: _ le“ J=|—r|# a vàb=l,2,.,n (3) Ox , Hoan toàn tương tự ta có phép biến đổi ngược từ mới về cũ; a X{ x": xe) J= a #0 : (4) OF Ta nhận thấy khi nhân hai ma trận trên với nhau sé cho ma trận đơn vị a h = n oa = (phâmtửŸ' = 5". OX” Ax , a=c Trongđó §" =) = 5" =4 a#c (6) Ký hiệu Kronecker §3.
TENXƠ PHẢN BIẾN VÀ TENXƠ HIỆP BIẾN 1.Để đơn giản ta xét không gian hai chiéu phẳng với tọa độ x', x” và hai véctơ cơ sử Z,,Z; như hình vẽ. Nếu hai trục toa độ của ta không vuông góc nhau ta có hai cách mô tả vectơ A I. Chiếu vuông góc véctơ A lên hai trục ta được A, = AcosÕÖy =A, A, = Acos®, = Aé, Chiếu véctơ A song song theo từng trục ta được A‘, A*khi đó: A=A'é, + A?Z, Như vậy nếu biết Ay, A, và A',A? ta déu xác định được véctơ A Ai,Á; gọi là thành phẩn hiệp biến của véctơ A A',AŸ gọi là thành phẩn phản biến của véctơ A Ta viết A= (43,42 hoặc A=(A,,A;) Vẻ thuật ngữ khi ta nói véctơ hiệp biến Á ,nào đó có nghĩa ta chỉ chú ý tới thành phần hiệp biến của nó. Tương tự cho véctơ phản biến.
Nói chung A“ # A, Tuy nhiên trong không gian phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc nhau thì thành phần hiệp biến và phản biến bằng nhau.-Không gian Euclide với hệ tọa độ Descartes.Xét không gian n chiều. Điểm P có các tọa độ là x” Còn Q có tọa độ là x” + dx” —# ve x= PQ P Q Trong hệ toa độ cũ x`,xỶ,.,x” vectơ trên sẽ có thành phin là dx',dx’,. Trong hệ tọa dộ mới #`, # ,.,X” các thành phin tương ứng của véctơ trên sẽ là đš” Do x" = ƒ“(t!,x3,.dv? (1) ax?” Bây giờ ta định nghĩa: Véctơ phản biến hay tenxơ phản biến hạng ! là tập hợp những đại lượng X” trong hệ tọa độ x! xÊ,., x” tại điểm P mà tuân theo quy luật.x" (2) Ox ‘ Vi dụ Cho đường cong x* = x“(w} trong không - thời gian bốn chiéu. a = 0,1,2,3 dx a Vectơ: X“« là véctơ tiếp tuyến với đường cong tại điểm P.
du : dx” dx! dx? de Véctơ X có bốn thành phin ——,———,——,—— nên tenxơ R s ĐC du du du Sa phản biến hang | : Ta viết lại: X = Chú ý: khi ta nói véctơ phản biến hạng | ta thường ký hiệu X” mà không cẩn dấu vectơ owen. Từ đây ta tổng quát hóa: Tenxơ phản biến hạng 2 là tập hợp các đại lượng X “ trong hệ toa độ - x” Mà tuân theo quy luật biến đổi sau khi chuyển hệ tọa độ từ x“ —> ¥°: a b Xe= ad : OR ye (3) ax® ax! Các đại lượng Ä'"“” là thành phan của tenxơ hạng 2 trên nhưng tính trong hệ tọa độ - Xế Hoàn toàn tương tự ta có định nghĩa tenxơ hiệp biến hạng | (véctơ hiệp biến) ax” X, m ax? X, ` (4) Tương tự ta có định nghĩa tenxơ hiệp biến hạng hai: o đ a! Xo, = .X (5) ay aR ax Ta cũng có định nghĩa tenxơ hỗn hợp hạng 3 " a ox’ a /£ Ä te = S TT = Xa (6) Ox" Ox” Ox Ta thường ký hiệu tenxơ hang p phản biến, hang q hiệp biến (”) Tenxơ hang không là vô hướng và ta thường ky hiệu bằng chữ ® 3. Tại sao tenxơ lại được các nhà vật lý chú ý ? Xét hai tenxơ X” và ¥ trong hệ tọa độ nào đó (với các nhà vật lý thì đó là hệ quy chiếu) thỏa mãn tính chất: x y” (7) Nhân cả hai vế của (7) với: — er Ox ox — x*“ = ax® ax” ——y Ox" x’ Ox" êy” Theo định nghĩa (3) ta có vư FC ru (8) Hiểu thức (8) chính là phương trình (7) được xét trong hệ tọa độ mới (hệ quy chiếu mới) ‘Tir đây ta phát biểu: Nếu phương trình tenxơ hay đẳng thức tenxơ đúng trong hệ tọa độ nào thì cũng đúng trong hệ tọa đô bất kỳ khác. Nói cách khác phương trình tenxơ không phụ thuộc vào hệ quy chiếu quán tính hay không quán tính.
Như vậy tenxơ là công cụ toán học rất phù hợp để xây dựng thuyết tương đối rong(thuyét tương đối tổng quát). ĐẠI SỐ TENXƠ 1. Phép cộng được thực hiện với các tenxơ cùng loại với các chỉ số giống nhau: Yo 42% =XƑ 2. Phép nhân tenxơ - phép nhân ngoài - outer product Tenxơ loại nhân với tenxơ ai” sẽ cho ta tenxơ loại [aA+4a k 4 YS Zea = Xu Tenxơ hạng hai nhân với tenxơ hạng 2 cho ta tenxơ hạng 4 .Nếu ta có véctơ A Và véctơ thì nhân tenxơ giữa hai vectơ trên được ký hiệu như sau: A@B=A“B° Nếu cả hai đều là vectơ phan biến 3.
Phép nhân trong - inner product. Y/Z„ =X, cho ta tenxơ hạng 2. Hoặc ta có: T”U,„ = V, cho ta tenxơ hạng | Nhận xét: Hai tenxơ nhân với nhau, nếu tất cả các chỉ số khác nhau thì ta có phép nhân ngoài còn nếu ta có các cặp chỉ số giống nhau thì ta có phép nhãn trong. Phép rút gọn tenxơ - contraction.
Cho tenxơ Ri, khi ta cho chỉ số a=c thì Ri, thì là tenxơ hiệp biến hạng 2. Vì vậy ta ký hiệu: Ra = Rg Hoặc ta có: JVT, rệt = Reg = Ru 5. Tenxơ là đối xứng với hai chi số trên hoặc đưới nếu ta hoán vị các chi số đó cho nhau mà tenxơ không đổi: Xa = Xba Nếu không gian của ta là n chiều thì ta có thể biểu điển tenxơ trên dưới dang ma trận n hàng ø cột. Do các phần tử của ma trận là tenxơ đối xứng nên ta có n(n +1) thanh phan độc lập.
Tenxơ là phản đối xứngnếu X„ =—X,, Từ day ta suy ra X,, =-X,, ©X„ =0 => Nghĩa là các thành phần nằm trên đường chéo chính bằng zero, Như vậy tenxơ phan đôi xứng có ney) thành phần độc lập. : n{n — Ì * Trong không gian bốn chiều : Tenxo X„ có 4? =16 thành phan. Tenxdg X“»w có 4’ =64 thành phẩn Tenxs X“nea có 4* =256 thành phẩn §5. Xét không gian n chiéu.
Ta chọn hệ toa độ chuẩn x! xx1, .„*” sao cho độ dài vô cùng bé nối hai điểm lận cận nhau có dạng: ds? = dx" dx" (1) Vi du: ta có biểu thức quen thuộc ds? = dx* + dy? + đ? trong tọa độ Descartes trong không gian 3 chiều. Bay giờ ta chuyển (1) sang hệ tọa độ mới xÌ, xÊ,.,x" ds* = dx“ dx? = si Eat SE ae ist ox” âx” ax? ax! Nếu ta đặt = Road = 8„¿ (2) thì ds’ = 8„„dx°dx” (3) Ox” Ox 8,» ọi là tenxơ metric hiệp biến. yg” tenxơ metric phản biến được xác định từ biểu thức Sap8 = 5's (4) = Ta lập ma trận gồm các ø,„. Tim ma trận nghịch đảo của ( Ø,„ ).
Ma tran nghịch đảo chính là ma trận ( @“”). Ta có cách định nghĩa thứ hai: dk= dx“é, = dv”ẽ, ; Ổ„: veetd CƠ SỞ ds? = di.dx = xả dx’ es =6,é,.dx“dx° Với = ah (5) Ta viết tích võ hướng của hai ves nhữ tenxơ metric: A. Ta định nghĩa không gian Riemann : Không gian với hệ tọa độ (x" có ds? = 8„dx°aà? gọi là không gian Riemann. Vi dụ: bể mặt của quả đất là không gian Riemann 2 chiéu nằm trong không gian ba chiều thông thường rĐ$_ -Ta có khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên mặt câu ds và được tính theo công thức: ds? = r?40 +r? sin? Odo? = 8240” + 83346" địa =8n =r" =0 8x,3 : 8=2 + Bap “0s; =P” sin* 6 §6.
ĐẠO HÀM LIE 1. Cho đại lượng vô hướng @D. Rõ ràng vô hướng ® không thay đổi khi chuyển hệ tọa độ Nếu tại mỗi điểm của không gian Riemann ứng với một giá trị của thì ta được một trường vô hướng hay trường tenxơ hạng không. Tương tự tenxơ T,,,.
được xác định tai mỗi điểm trong vùng nào đó thuộc không gian Riemann thì kết quả ta có trường tenxơ hạng tương ứng. Cho hai trường vectơ bất kỳ X và Y , giao hoán tử Lie của hai vectơ trên tác dụng lên hàm £ được định nghĩa: [x. f; hai hàm bất kỳ; a, = const thực, va Lie giao hoán tử thỏa mãn: [X.Y]/ @) Từ ba biểu thức trên, ta thấy giao hoán tử Lie là toán tử tuyến tính và toán tử này giống phép vi phân. Trong hệ tọa độ x“ ta định nghĩa vectơ X : 0 XuX*-— «#6, ox" =X/=X“-Ê-r=x“.Ÿ -x*2,r (4) ex“ ex" ‹ Bây giờ ta xét thành phan thứ a của giao hoán tử Lie [X.Y]' =z* =(X"ô,Y*-Y*a,x*) Từ đây ta định nghĩa đạo hàm Lie của vectø Y theo hướng vectơ X được viết như sau: LyY =[X.X]= =LyX Ta chấp nhận một số tính chất sau: I.
Ly = Xo = X* = X°ô,Ð 1a đại lượng vô hướng x 2. Ly[Y"Z„Ì=Y*“LyZ„ + (Ly¥*Z,, 3. Ly Toy =X°ô,T„„ + Tyg gX* +T1„0„X” Đạo ham Lie một tenxơ theo hướng X là đạo hàm riêng mà không cẩn sử dung tenxơ métric (không can sử dụng hệ số liên thông) §7.ĐẠO HÀM HIỆP BIẾN 1.Khái niệm dich chuyển song song Trong không gian phẳng dịch chuyển song song một vectơ có nghĩa là di chuyển nó sao cho lúc nào vectơ cũng song với chính nó. Nói cách khác, ta dịch chuyển sao cho độ lớn và hướng của nó không thay đổi.
Trong không gian cong Remann dich chuyển song một vectơ doc theo C nghĩa là dich chuyển nó sao cho góc tạo giữa nó và đường cong C luôn không đổi.