Khóa luận: Áp Dụng Lý Thuyết Nhiễu Loạn Tính Năng Lượng Hệ Lượng Tử (Đỗ Quốc Huy, ĐHSP TPHCM)

Khóa luận vật lý: Ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn tính năng lượng và năng lượng tự do hệ lượng tử. Nghiên cứu chuyên sâu cho sinh viên vật lý.

• Tác giả: Đỗ Quốc Huy
• Người hướng dẫn: Thầy Nguyễn Khắc Nhạp
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Vật Lý
• Đề tài: Áp Dụng Lý Thuyết Nhiễu Loạn Để Tìm Năng Lượng Và Năng Lượng Tự Do Của Một Vài Hệ Lượng Tử
• Loại tài liệu: Luận văn tốt nghiệp
• Năm xuất bản: 1992-1996
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• Lời nói đầu
• 1. Tóm Tắt Lý Thuyết Nhiễu Loạn
• 1.1. Lý thuyết nhiễu loạn
• 2. ƯNG DUNG LY THUYET NHIEU LOAN ĐỂ TÌM HÀM SÓNG VA NANG LƯỢNG CUD ELECTRON TRONG TRƯỜNG TINH THE YEU
• 2.1. Electron trong trường tinh thể yếu
• 3. Măng Lượng Tự Do
• 3.1. Năng lượng tự do của dao động tử điều hòa
• 3.2. Năng lượng tự do của dao động tử phi điều hòa

Tóm tắt

I. Khám Phá Nhiễu Loạn Lượng Tử Nền Tảng Của Hiện Thực

Nhiễu loạn lượng tử là một trong những khái niệm nền tảng và kỳ lạ nhất của vật lý lượng tử. Nó mô tả sự thay đổi tạm thời, ngẫu nhiên về lượng năng lượng tại một điểm trong không gian. Trái với quan niệm cổ điển về một không gian chân không tuyệt đối trống rỗng, cơ học lượng tử cho thấy rằng ngay cả chân không cũng là một nơi sôi động. Tại đây, các cặp hạt ảo liên tục được sinh ra và hủy đi trong những khoảnh khắc cực ngắn. Hiện tượng này không phải là suy đoán lý thuyết suông mà là hệ quả trực tiếp của nguyên lý bất định Heisenberg. Nguyên lý này phát biểu rằng không thể xác định đồng thời chính xác cả vị trí và động lượng của một hạt, hoặc năng lượng và thời gian tồn tại của một trạng thái. Chính sự bất định này cho phép năng lượng 'vay mượn' từ hư không trong một khoảng thời gian ngắn, tạo ra các thăng giáng chân không. Hiểu rõ về nhiễu loạn lượng tử không chỉ giúp giải mã các bí ẩn của vũ trụ ở cấp độ vi mô mà còn mở ra những câu hỏi sâu sắc về bản chất của năng lượng và sự tồn tại.

1.1. Định nghĩa cơ bản về sự ngẫu nhiên lượng tử

Sự ngẫu nhiên lượng tử là thuộc tính nội tại của thế giới vi mô. Nó chỉ ra rằng kết quả của một phép đo lượng tử không thể được dự đoán một cách chắc chắn, ngay cả khi trạng thái ban đầu của hệ được biết chính xác. Thay vào đó, cơ học lượng tử chỉ cung cấp xác suất cho các kết quả có thể xảy ra. Nguồn gốc của sự ngẫu nhiên này chính là các nhiễu loạn lượng tử, những thăng giáng năng lượng tự phát tuân theo nguyên lý bất định Heisenberg. Ví dụ, một hạt hạ nguyên tử có thể xuất hiện ngẫu nhiên ở một trong nhiều vị trí có thể, được mô tả bởi hàm sóng của nó. Sự ngẫu nhiên này thách thức sâu sắc thuyết tất định của vật lý cổ điển, nơi mọi sự kiện trong tương lai đều được xác định bởi các điều kiện ban đầu. Nó gợi ý rằng ở cấp độ cơ bản nhất, vũ trụ vận hành dựa trên xác suất, không phải sự chắc chắn.

1.2. Mối liên hệ với nguyên lý bất định Heisenberg

Nguyên lý bất định Heisenberg là trụ cột toán học cho phép sự tồn tại của nhiễu loạn lượng tử. Một trong các biểu thức của nguyên lý này là ΔE * Δt ≥ ħ/2, trong đó ΔE là độ bất định về năng lượng, Δt là độ bất định về thời gian, và ħ là hằng số Planck suy giảm. Công thức này có nghĩa là trong một khoảng thời gian cực ngắn (Δt nhỏ), sự bất định về năng lượng (ΔE) có thể rất lớn. Điều này cho phép một lượng năng lượng đáng kể tự phát xuất hiện từ chân không, miễn là nó biến mất đủ nhanh để không vi phạm định luật bảo toàn năng lượng trong quy mô lớn. Năng lượng 'vay mượn' này biểu hiện dưới dạng các cặp hạt ảo và phản hạt, tạo nên hiện tượng thăng giáng chân không. Do đó, nguyên lý bất định không chỉ là một giới hạn về khả năng đo lường, mà còn là một mô tả cơ bản về cách không-thời gian hoạt động, cho phép một 'biển' năng lượng tiềm ẩn tồn tại khắp mọi nơi.

II. Thách Thức Từ Chân Không Năng Lượng Ẩn Giấu Ở Đâu

Khái niệm về một không gian hoàn toàn trống rỗng đã bị vật lý hiện đại bác bỏ. Thay vào đó, lý thuyết trường lượng tử mô tả chân không như một trạng thái năng lượng thấp nhất có thể của một trường, nhưng không phải là năng lượng bằng không. Đây chính là năng lượng điểm không hay năng lượng chân không. Năng lượng này là kết quả tổng hợp của tất cả các nhiễu loạn lượng tử từ mọi trường lượng tử tồn tại trong vũ trụ. Thách thức lớn nhất là tính toán giá trị của năng lượng này. Các phép tính lý thuyết dựa trên lý thuyết trường lượng tử dự đoán một giá trị năng lượng chân không lớn đến mức phi lý, chênh lệch tới 120 bậc so với giá trị quan sát được từ vũ trụ học. Sự khác biệt khổng lồ này, được gọi là 'vấn đề hằng số vũ trụ học', là một trong những bí ẩn lớn nhất chưa được giải đáp trong vật lý. Nó cho thấy sự hiểu biết của chúng ta về lực hấp dẫn và cơ học lượng tử vẫn chưa hoàn chỉnh, đặc biệt là khi chúng giao thoa với nhau.

2.1. Tìm hiểu về năng lượng điểm không Zero Point Energy

Năng lượng điểm không là mức năng lượng tối thiểu mà một hệ vật lý lượng tử có thể sở hữu. Ngay cả ở nhiệt độ không tuyệt đối (0 Kelvin), khi mọi chuyển động nhiệt ngừng lại, hệ vẫn dao động do nguyên lý bất định Heisenberg. Không thể có một hạt hoàn toàn đứng yên tại một vị trí xác định, vì điều đó có nghĩa là động lượng của nó sẽ hoàn toàn bất định. Do đó, nó phải luôn có một năng lượng dao động tối thiểu. Trong bối cảnh lý thuyết trường lượng tử, mỗi điểm trong không gian có thể được coi như một dao động tử điều hòa lượng tử. Tổng năng lượng điểm không của tất cả các dao động tử này tạo nên năng lượng chân không của vũ trụ. Năng lượng này có tác động thực tế, như được chứng minh qua hiệu ứng Casimir và được cho là có liên quan đến năng lượng tối, lực đẩy gây ra sự giãn nở gia tốc của vũ trụ.

2.2. Hạt ảo là gì và vai trò của chúng trong vũ trụ

Hạt ảo là những biểu hiện thoáng qua của nhiễu loạn lượng tử trong chân không. Chúng không phải là các hạt thực sự có thể quan sát trực tiếp, bởi vì chúng tồn tại trong một thời gian quá ngắn và với một năng lượng 'vay mượn' vi phạm các định luật bảo toàn cổ điển. Tuy nhiên, tác động của chúng là hoàn toàn có thể đo lường được. Các hạt ảo đóng vai trò là các hạt trung gian truyền tương tác trong lý thuyết trường lượng tử. Ví dụ, lực điện từ giữa hai electron được mô tả là sự trao đổi các photon ảo. Chúng cũng góp phần vào các hiện tượng như bức xạ Hawking từ lỗ đen, nơi một cặp hạt ảo được tạo ra gần chân trời sự kiện, một hạt rơi vào trong và hạt còn lại thoát ra ngoài, trở thành hạt thực. Trong vũ trụ học, các nhiễu loạn lượng tử ban đầu, biểu hiện qua các hạt ảo trong vũ trụ sơ khai, được cho là 'hạt giống' cho sự hình thành vũ trụ và các cấu trúc lớn như các thiên hà.

III. Lý Thuyết Nhiễu Loạn Giải Mã Năng Lượng Lượng Tử

Để tính toán năng lượng của các hệ lượng tử phức tạp, các nhà vật lý thường sử dụng một công cụ toán học mạnh mẽ gọi là lý thuyết nhiễu loạn. Như được trình bày trong nghiên cứu của Đỗ Quốc Huy (1996), phương pháp này đặc biệt hữu ích khi một hệ thực tế có thể được xem như một hệ lý tưởng đơn giản bị tác động bởi một 'nhiễu loạn' nhỏ. Cụ thể, Hamiltonien (toán tử năng lượng) của hệ được tách thành hai phần: H = H₀ + V, trong đó H₀ là phần không nhiễu loạn đã có lời giải chính xác, và V là toán tử nhiễu loạn nhỏ. Lý thuyết này cho phép tính toán các hiệu chỉnh cho mức năng lượng và hàm sóng của hệ lý tưởng. Đây là phương pháp nền tảng để xác định năng lượng tự do và các tính chất nhiệt động khác của hệ. Việc áp dụng lý thuyết nhiễu loạn để tìm năng lượng và năng lượng tự do của một vài hệ lượng tử cho thấy sức mạnh của nó trong việc giải quyết các bài toán thực tế, từ electron trong trường tinh thể đến các dao động tử phi điều hòa.

3.1. Nguyên tắc cơ bản của phương pháp nhiễu loạn

Nguyên tắc cốt lõi của lý thuyết nhiễu loạn là tìm nghiệm gần đúng cho một bài toán phức tạp bằng cách bắt đầu từ nghiệm chính xác của một bài toán đơn giản hơn. Theo luận văn 'Áp Dụng Lý Thuyết Nhiễu Loạn Để Tìm Năng Lượng Và Năng Lượng Tự Do' (Đỗ Quốc Huy, 1996), điều kiện tiên quyết là toán tử nhiễu loạn V phải đủ nhỏ so với Hamiltonien không nhiễu loạn H₀. Các hiệu chỉnh cho năng lượng và hàm sóng được tính toán dưới dạng một chuỗi lũy thừa. Hiệu chỉnh bậc nhất cho năng lượng thường là giá trị kỳ vọng của toán tử nhiễu loạn V trên trạng thái không nhiễu loạn. Các hiệu chỉnh bậc cao hơn liên quan đến sự tương tác của trạng thái đó với các trạng thái khác thông qua nhiễu loạn. Phương pháp này là một 'công cụ sắc bén' (Đỗ Quốc Huy, 1996) cho phép các nhà vật lý vượt qua những hạn chế của phương trình Schrodinger, vốn chỉ có thể giải chính xác cho một số ít hệ lý tưởng hóa.

3.2. Ứng dụng tính năng lượng tự do của hệ lượng tử

Năng lượng tự do là một đại lượng nhiệt động học quan trọng, cung cấp thông tin đầy đủ về trạng thái cân bằng của một hệ. Việc xác định nó là cực kỳ quan trọng để tính toán các đại lượng khác như năng lượng trung bình hay nhiệt dung. Luận văn của Đỗ Quốc Huy (1996) đã trình bày chi tiết cách sử dụng lý thuyết nhiễu loạn nhiệt động để tìm năng lượng tự do của các hệ như dao động tử điều hòa, phi điều hòa và rotato lượng tử. Bằng cách coi các yếu tố phi điều hòa hoặc tương tác bên ngoài là một 'nhiễu loạn' nhỏ đối với hệ lý tưởng, ta có thể tính toán được sự thay đổi trong năng lượng tự do. Công thức tổng quát cho thấy năng lượng tự do sau nhiễu loạn bằng năng lượng tự do ban đầu cộng với các số hạng hiệu chỉnh. Phương pháp này cung cấp một cầu nối mạnh mẽ giữa cơ học lượng tử vi mô và nhiệt động lực học thống kê vĩ mô.

IV. Từ Ngẫu Nhiên Lượng Tử Đến Ý Chí Vấn Đề Về Tự Do

Mối liên hệ giữa nhiễu loạn lượng tử và ý chí tự do là một trong những chủ đề tranh luận sôi nổi nhất ở giao điểm của vật lý và triết học. Vật lý cổ điển, với thuyết tất định, cho rằng nếu biết trạng thái của vũ trụ tại một thời điểm, ta có thể dự đoán chính xác mọi sự kiện trong tương lai. Trong một vũ trụ như vậy, ý chí tự do dường như không có chỗ đứng. Tuy nhiên, sự xuất hiện của cơ học lượng tử đã phá vỡ thế giới quan tất định này. Sự ngẫu nhiên lượng tử nội tại, bắt nguồn từ các nhiễu loạn ở cấp độ cơ bản nhất, cho thấy rằng tương lai không hoàn toàn được định trước. Một số nhà tư tưởng cho rằng sự ngẫu nhiên này có thể là 'khe hở' vật lý cho phép ý chí tự do hoạt động, phá vỡ chuỗi nhân quả tất định. Tuy nhiên, đây là một lập luận gây tranh cãi, vì việc thay thế sự tất định bằng sự ngẫu nhiên thuần túy cũng không đồng nghĩa với tự do lựa chọn có chủ đích.

4.1. Thách thức đối với thuyết tất định cổ điển

Thuyết tất định là quan điểm cho rằng mọi sự kiện, bao gồm cả hành động của con người, đều được xác định một cách nhân quả bởi một chuỗi các sự kiện trước đó. Trong thế giới của Newton, vũ trụ giống như một cỗ máy đồng hồ khổng lồ, vận hành theo các quy luật chính xác và không thể thay đổi. Sự ngẫu nhiên lượng tử đã tung một đòn mạnh vào nền tảng của thuyết này. Các hiện tượng như phân rã phóng xạ hay vị trí của một electron không được xác định trước mà chỉ tuân theo quy luật xác suất. Nhiễu loạn lượng tử cho thấy rằng ở cấp độ vi mô, các sự kiện có thể xảy ra mà không có nguyên nhân trực tiếp trước đó theo nghĩa cổ điển. Điều này buộc các nhà triết học và vật lý học phải xem xét lại bản chất của nhân quả và liệu vũ trụ có thực sự được 'viết sẵn' hay không. Mặc dù sự ngẫu nhiên lượng tử thường bị triệt tiêu ở quy mô vĩ mô, sự tồn tại của nó ở cấp độ cơ bản đã làm lung lay nền tảng của thuyết tất định.

4.2. Tranh luận triết học về cơ học lượng tử và ý chí tự do

Liệu cơ học lượng tử có cứu vãn được ý chí tự do không? Câu trả lời vẫn chưa rõ ràng. Một phe lập luận rằng sự ngẫu nhiên lượng tử trong não bộ có thể khuếch đại lên và ảnh hưởng đến các quyết định ở cấp độ vĩ mô, tạo ra không gian cho sự lựa chọn tự do. Tuy nhiên, phe phản đối cho rằng việc ra quyết định dựa trên sự ngẫu nhiên không phải là ý chí tự do mà chỉ là sự tùy tiện. Một quyết định tự do đòi hỏi sự kiểm soát và lý trí, không phải một 'cú tung xúc xắc' lượng tử. Hơn nữa, vẫn chưa có bằng chứng thuyết phục nào cho thấy các hiệu ứng lượng tử đóng vai trò quan trọng trong các quá trình thần kinh phức tạp liên quan đến ý thức và việc ra quyết định. Cuộc tranh luận này vẫn tiếp diễn, làm nổi bật những giới hạn trong sự hiểu biết của chúng ta về cả ý thức và bản chất sâu xa của thực tại lượng tử. Nó là một lời nhắc nhở rằng vật lý lượng tử không chỉ thay đổi công nghệ mà còn cả cách chúng ta nhìn nhận về chính bản thân mình.

V. Bằng Chứng Thực Nghiệm Hiệu Ứng Casimir và Vũ Trụ Học

Sự tồn tại của năng lượng điểm không và nhiễu loạn lượng tử không chỉ là lý thuyết. Có những bằng chứng thực nghiệm rõ ràng xác nhận sự hiện diện của chúng. Nổi bật nhất là hiệu ứng Casimir, được nhà vật lý người Hà Lan Hendrik Casimir dự đoán vào năm 1948. Hiệu ứng này mô tả một lực hút xuất hiện giữa hai tấm kim loại không tích điện, đặt song song và cực gần nhau trong chân không. Lực này không phải do hấp dẫn hay điện từ, mà chính là do sự thay đổi trong năng lượng chân không giữa hai tấm kim loại so với bên ngoài. Ở quy mô lớn hơn, vũ trụ học hiện đại cũng dựa vào nhiễu loạn lượng tử để giải thích nguồn gốc của các cấu trúc trong vũ trụ. Các thăng giáng lượng tử nhỏ bé trong vũ trụ sơ khai, ngay sau Vụ Nổ Lớn, đã được khuếch đại bởi quá trình lạm phát vũ trụ, trở thành những 'hạt mầm' cho sự hình thành vũ trụ và sự phân bố của các thiên hà mà chúng ta quan sát ngày nay.

5.1. Giải thích hiệu ứng Casimir Lực từ hư không

Hiệu ứng Casimir là một minh chứng vật lý trực tiếp cho sự tồn tại của năng lượng điểm không. Khi hai tấm kim loại được đặt rất gần nhau, khoảng không giữa chúng hoạt động như một bộ cộng hưởng, chỉ cho phép các hạt ảo có bước sóng nhất định tồn tại. Cụ thể, chỉ những sóng có thể 'vừa' với một số nguyên lần trong khoảng cách giữa hai tấm mới được phép. Bên ngoài hai tấm, không có giới hạn nào, vì vậy mọi bước sóng đều có thể tồn tại. Kết quả là, áp suất từ các nhiễu loạn lượng tử bên ngoài lớn hơn áp suất từ bên trong, tạo ra một lực hút ròng đẩy hai tấm lại gần nhau. Lực này đã được đo lường chính xác trong phòng thí nghiệm, hoàn toàn khớp với dự đoán của lý thuyết trường lượng tử. Hiệu ứng này có ý nghĩa quan trọng trong công nghệ nano, nơi các lực ở quy mô nhỏ có thể gây ra hiện tượng 'bám dính' không mong muốn giữa các bộ phận.

5.2. Vai trò trong sự hình thành và giãn nở của vũ trụ

Trong mô hình Vụ Nổ Lớn, vũ trụ bắt đầu từ một trạng thái cực kỳ nóng và đặc. Ở trạng thái ban đầu này, nhiễu loạn lượng tử là hiện tượng chi phối. Lý thuyết lạm phát vũ trụ cho rằng trong một khoảnh khắc cực ngắn sau Vụ Nổ Lớn, vũ trụ đã trải qua một giai đoạn giãn nở theo cấp số nhân. Trong quá trình này, các thăng giáng chân không vi mô đã bị kéo dãn ra quy mô vĩ mô. Những vùng có mật độ năng lượng hơi cao hơn một chút do nhiễu loạn đã trở thành các điểm hấp dẫn, thu hút vật chất và cuối cùng hình thành nên các cụm thiên hà. Những vùng có mật độ hơi thấp hơn trở thành các khoảng trống vũ trụ. Bức xạ nền vi sóng vũ trụ, 'ánh sáng' còn sót lại từ vũ trụ sơ khai, cho thấy những biến đổi nhiệt độ nhỏ bé hoàn toàn phù hợp với dự đoán này. Hơn nữa, năng lượng chân không được cho là nguồn gốc của năng lượng tối, một dạng năng lượng bí ẩn đang khiến sự giãn nở của vũ trụ ngày càng tăng tốc.

Trích đoạn nội dung tài liệu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM Thành Phố Hồ Chí Minh a ma Khoa Vat Ly LUA@N VAN TỐT NGHIỆP Nien Fihed 1992 - 1996 Dé Tai : AP DUNG LY THUYET NHIEU LOAN ĐỂ TÌM NANG LƯỢNG VA NANG LƯỢNG TU DO CUA MOT VAI HỆ LƯỢNG TỬ: Người Hướng Dan: Thầy: Nguyễn Khắc Nhap Người Thục Hiên : Sinh viên: Đỗ Quốc Huy Thanhphe He Che Minh 1996 oO? g1.`Ó Trang | Gin đây. người ta đã tiến hành nghiên cứu lý thuyết về các ¬ tính chất nhiệt động của vật rấn như: lý thuyết về độ từ hóa màng mỏng, lý thuyết về tính bán dẫn, siêu dẫn. và đã đạt được một số kết quả tốt được ứng dung rông rãi trong thực tế, $ Nang lượng tự do cho ta thông tin day đủ về tinh chất nhiệt đông của hệ. Chẳng hạn, từ năng lượng tự đo ta để dàng tính được năng lương trung bình, nhiệt dung,.

Vì thế việc xác định năng lượng tự do của một hệ lượng tử mang một ý nghid to lớn. Trong luận văn này, sẽ trình bay phương pháp tìm nang lượng tự do đựa trên lý thuyết nhiễu loạn. Trên cơ sở đó tính nang lượng trung bình và nhiệt dung của hệ. Ban luận văn gồm 3 phần nhỏ: Phần 1: Tóm Tắt Lý Thuyết Nhiễu Loạn Với mục đích tìm năng lượng tự do trên cơ sở lý thuyết nhiễu loạn, nên trong luận văn chỉ tóm lược các kết quả quan trọng cua lý thuyết nhiều loan để áp dụng cho các phần sau.

Trang 2 QUGGGGGUIGGGGGG(GGGSGGŒŒGG ý = — Mục đích cua phần này là áp dung lý thuyết nhiễu loan để tim hàm sóng và năng lượng cud electron trong trường tỉnh thể có liên kết yếu. Trên cơ sở đó giải thích được một số tính chất vùng năng lương, quy luât tin sac cua electron trong tinh thể. Phần 3 Măng Lượng Tự Do Phan này là nội dung chính của bản luận văn, trong đó sẽ trình bày cách tìm năng lượng tự do cud dao động tử diéu hoà. phi diéu hoà, rotato lương tứ, khí lý tưởng.

Do kiến thức có han nên trong phần tìm năng lượng tự do của dao động tử phi điều hòa chỉ được tính gắn đúng đến bậc hai. Nhân đây, em xin chân thành cảm ơn thẩy Nguyễn Khắc Nhap nói riêng và các thay cô trong khoa nói chung đã hướng dẫn, day bảo em trong suốt 4 năm qua. Em nguyên sẽ tiếp tục học tập để ngày môt tiến bộ ding kế tục sự nghiệp giáo đục cao cả cud các thay cô. Thành Phố Hồ Chí Minh ngày 10 tháng 04 năm 1996 Đỗ Quốc Huy Trang 4 Trang thai của mot hệ lượng tử được mô tả bằng ham sóng wr 0) Xác định trang thái của một hệ là đi tìm nghiệm của phương trình Schrodinger H w=Ew ( 1.1) :: : Trong đó h âH- `3 Vv + Ủ() (1.2) là Hamiltonien của hệ; U(Z ) là thế năng; pi là khối lượng.

) Phương trình Schrodinger ( 1.1 ) là một phương trình vi phân tuyến tính hang 2. Việc tìm nghiệm chính xác cud nó chỉ có thể làm được đối với mbt số trường thế đơn giản, ứng với hệ đã lý tưởng hoá. Đối với các hệ thưc “gin” với hệ lý tưởng thì ta có thể tìm nghiêm gan ding cud ( 11) bằng lý thuyết nhiều loan. Cu thể là Nếu Hamiltonien cua hệ có thể tách ra làm 2 số hang : H a = H« 9 (13) trong đó ie là Hamiltonien cud bài toán không nhiễu loan, ứng với hệ đã lý tưởng hoá: còn v là môi toán tử nhỏ gọi là toán tử nhiễu loạn, thì theo ly thuyết nhiều loạn, nghiệm cud phương trình (1.1 ) được tính như sau m= We 3 JW © vế W,, men Ei, - Ey ” (14) — Iƒw V year ? Ywedrs Dy Ma" Woe E, "+ IW, W, ú men BE.5) Với wy”, Ey” là ham sóng và nang lượng đã giải được chính xác trong bài toán không nhiễu loạn ( Ÿ= 0).

Và ở đây ta chỉ tính gần đúng đến bậc nhất đối với hàm sóng và bậc hai đối với năng lượng. ———= seen =n esses¢sesersanamennnewert¢e¢eeesee=—nween ret et geeeeamm—nereneee Sege==eaae ne nnenes Sanereammaaweee Tee Trang 5 Diéu kiện áp dung được lý thuyết nhiễu loạn là các số hang bổ chính sau phải nhỏ hơn số hang bổ chính trước và số hang bổ chính bậc nhất cud ham sóng phải rất nhỏ so với bac không. Tức là: Các kết quả trên đây chỉ phù hợp khi mức năng lương E„° không bị suy biến. Khí có sự suy biến với độ bội là f, việc xác định các số hạng bổ chính được qui về giải phương trình thế kỷ : | Vuh - EM, Saf | = 0 (1.7) Trong đó V„a = | W " V Wi Phương trình này nói chung sẽ có f nghiêm B, , By wh By oC: nghiệm này chính là các số hạng bổ chính bậc I cho nang lượng.

Như vậy, khi có nhiễu loan, mức nang lượng E„° bị tách ra làm f nức gần nhau tao thành dải năng lương: sư suy biến bị khử. Sau đây, chúng ta sẽ áp dung kết quả này vào việc tìm hàm sóng và năng lượng cud các Electron trong trường tinh thể yếu. và vào việc tìm năng lượng tư do cud các hệ lượng tử. BS ‹Ð a TRONG TRƯỜNG TINH THE YEU TT ưng.mnnmm¬- ưa na Đai với các chất rín, các phân tử có sự sấp xếp nhất định tao thành mang tinh thể.

Trong mang tinh thể các lon định xứ tại các mit mang con các clectron dao đông quanh các nút ong này Các electron hóa trị liên kết yếu với lõi nguyên tử vì vậy trạng thái của các electron này rất "gân” với trang thái của các electron tứ do. Do đó, nếu ta coi trang thái của các electron tư do là trang thất chưa bị nhiều loạn thì trang thai của các electron trong tinh thể nói trên là trạng thai nhiễu loạn. Việc xác định nang lương và hàm sóng của các electron hóa trị có ý nghĩa thiết thực. Bởi lẽ: tính chất hóa học của nguyên tử hoàn toàn do các điện tử ting ngoài quyết định.

Vì thế giải quyết bài toán về mô hình electron liên kết yếu sẽ cho phép ta giải thích được nhiều tính chất chung của vùng năng lượng vật ran đồng thời còn giúp ta giải quyết được nhiều bài toán về electron trong kim loại. Ở trạng thai tư do, hàm sóng và năng lượng của các clectron được xác định từ phương trình Schrodinger: f w" (7) = Eo w° (7) (2.1) coi như đã biết chính xác: vơi k là vectd sóng: A là biên đô sóng. Nếu hàm sóng đã chuẩn hóa thì: Trong đó P= nk là xung lương của electron, ‘Trang 8 Irong trường tinh thể, hàm sóng và năng lượng của electron xác định từ phương trình ("+ V(F)) wŒ) = E w(f) (24) Vì ta xét trường tinh thể có liên kết yếu nên V(r) là nhỏ. Theo kết qủa của lý thuyết nhiều loạn, nghiém của (2.4) có đang ¬-- lye VOW | OF pa ORD aoe 6 ye =Ye+ » ———= Wee) k 7k E; = EX, (2.5) Ei = Ef +] Wh EV VỆ (F dF + L Jy œ9@wE@r ƒ bài — = = (2.6) kek “k— k, Ta xét các yếu tố ma tran của toán tử V(r) trong cá biểu thức (2.6): + We) được xác định theo (2.2); + V(T) là thế năng của electron trong tỉnh thể.

Do tính tuần hoàn, sự đối xứng tịnh tiến của mang tỉnh thể nên ham V(r) tuần hoàn với chu kỳ R _ véctơ mạng thuận: V(f)=V(f + R) Vì thế ta có thể phân tích V( 7 ) thành chuỗi Fourier: Với Vạ là hệ số phân tích. còn G chính là vécto mạng đảo.8) ta có: Trang 9 Gi iG(r + Ñ pH VG c”= ` VG € VN G G | \ .a = |GR = mm ne Z. Vậy G chính là vecto mang đảo Bây giờ thay (2.8) vào các yếu tố ma trân của toán tử V(7). tr có: =AY Vạ#x`ð(K+6-Kị) | G (2.9) Sử dung các tính chất của ham Delta, ta thấy các yếu tố ma trân Veg chỉ khác không khi: k + G - ky =0.

Như vậy trong biểu thức (2.5) và (26) chỉ còn lại các số hang tương ting vơi Do đó việc lấy tổng theo kị được qui về việc lấy tổng theo G. Ta viết lai (2.9) ta thấy: khi ky = k + G và ham sóng chẩn hóa về đơn vị thì: , | ; a on ne Trang 10 tHHỤÖỤÚÖÉ,GcGGÖẢẶ%Ả&G CỔ .(GGGỘỒỔ ẶẲœcnẦÖẮỐỔỐủ HE trgM_N Ve = Vira =) Wh gC we mde Do đó (2.10) trở thành: ee eo V ` Wel)= WE +D Goo Weg?) (2.12) G ko L2k›sG “Tương tư ta cũng thu được biểu thức đối với nang lương: "- Ex = Ee V+ FS„ iver G (2.13) “oO Geo Ey Đị,a Trong đó Vu= Veo ral We Œ) 9(£) EEE Công thức (2.13) cho phép ta xác định hàm sóng và năng lương của electron trong trường tinh thể yếu vơi điểu kiên: LEỆ -ES,2l >> IÍ We QV yea | Tuy nhiên có thể xảy ra trường hợp Ve # 0 nhưng: | a= ° EE = Exe xung Kkỹhihơđnó dciáécu snốàyh:ạ n g b ổ c hí n h k h ô n g t hể c oi là n h SADEỏ đ ư ợ c .14) tương đương với: ‘ k? =(k + Gy (xem (2.3)) =2kG=-G? 01m | = ka =-¢ (216 | =——— Hình I Trong đó ke là hình chiếu của vécto sóng k lên véctơ G. Các véctơ sóng kK thỏa mãn (2.15) có đầu mút năm trên mat phẳng vuông góc với véctd G và đi qua trung điểm của véctd -G (hình 1). Mật phẳng đó chính là biên của vùng Briloanh thứ nhất, Trang TÍ Vậy khi thỏa mãn điều kiên (2.14), Các véctd sóng k nằm ở biên vùng Briloanh thứ nhât Rõ rằng biên vùng Briloanh và gin đó (E; = Ey G } thì kết qua hs (2.13) không còn phít hợp nữa.

Trong trường hop này có sư suy biến của các mức ning lương không nhiễu loạn: ứng vơi cùng mot mức năng ludng có tới 2 ham sóng We (F) va We ạt rT) khác nhan. Ta phai áp dung phương pháp nhiễu loạn có suy biến để tìm năng lương và hàm sóng của electron trong trường hợp này: Ham sóng \|Jr(Ÿ) của trang thái nhiễu loan bây giờ là chống chip của các ham sóng We (f) va Wh gf?) Wc(f)= ay WE) + ang VỆ, 2¿(Ÿ) (2.17) vào phương trình Srodinger (2.4) và sử dung (2.1) ta được FE WỆŒ) + are Eig Vol) + avon \W Œ) + ane V(Œ) Weg (®) = E aj Wi (7) +E đk:G WỆ,aŒ) (2.18) Nhân bên trái cả 2 vế (2.18) Hin lượt với We (f) rồi VỆ @(Ÿ) và lấy tích phân theo 7, chú ý đến diéu kiện trực giao của các ham sóng không nhiễu loạn, ta được: Eÿ ai + Voag + Ve aise = Ê ag (2.19a) Fig ata * Và ag + Yoag.a= Eagig 2199) Trongđó Vg = Í Weg (WCW (Ede Vie =!