Chương I: Phép biến đổi trực giao Chương II: Phép biến đổi unita Chương II: Phép biến đổi chuẩn tắc Tài liệu tham khảo LỜI NÓI ĐẦU Luận văn này là một bài tập lớn trong đại số tuyến tính: xác định điêu kiện tương đương của một số phép biến đổi tuyến tính đặc biệt trong không gian Euclide va Unita. Chứng minh sự tương đương giữa các diéu kiện này một cách trực tiếp là mục đích của luận văn này. Luận văn gồm 3 chương: ChươngI: Phép biến đổi trực giao. Trình bày một số kiến thức chuẩn bị.
Định lý về các điểu kiện tương đương của phép biến đổi trực giao và các chứng minh trực tiếp sự tương đương giữa các mệnh để trong định lý. Chương II: Phép biến đổi unita. Một số kiến thức chuẩn bi. Định lý về các điểu kiện tương đương của phép biến đổi unita và các chứng minh trực tiếp sự tương đương giữa các mệnh để trong định lý.
Chương HI: Phép biến đổi tuyến tính chuẩn tắc. Mot số bổ để sử dụng trong chứng minh. Định lý về các điểu kiện tương đương của phép biến đổi tuyến tính chuẩn tắc và những chứng minh (trong phan này hiện chỉ chứng minh các điểu kiện tương đương với một điều kiện chọn sn). Luận văn này không chỉ đánh giá được công sức của em trong suốt quá trình rẻn luyện học tập tại trường Đại Học Sư Phạm mà nó còn nói lên sự tận tâm, giúp đỡ chỉ bảo tận tình, việc dạy dỗ của quí Thay, Cô của trường Đại Học Sư Phạm.
Mức hiểu biết, tiến bộ của em có được ngày hôm nay không thể không nói đến nhiệt tình giúp đỡ, hướng dẫn của Thay Nguyễn Đình Lân. Trong quá trình học tập và viết luận văn Thầy Nguyễn Đình Lân đã chỉ ra cho em những yếu kém, những sai sót, những hiểu biết nông cạn mà em vấp phải. Em xin chân thành tri ân Thầy Nguyễn Đình Lân. Một số phép biến đổi đặc biệt trong không gian veetd Euclide và Unite ChươngI PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO Phẩn !: Một số kiến thức chuẩn bị.„(Ñ) là tập hợp các ma trận vuông cấp nxn.
Cho không gian Euclide E. /{E) là không gian các phép biến đổi tuyến tính của Ƒ. Không gian vectơ V trên trường số thực R có trang bị tích vô hướng (.) được gọi là không gian vectd Euclide.2: Một ma trận vuông A không suy biến gọi là trực giao nếu A! = A°.3: Phép biến đổi tuyến tinh = của không gian vectơ Euclide F được gọi là phép biến đổi trực giao nếu: WxyeE (xy)=((x),<12)) Cho họ vectơ độc lập tuyến tính aj, q;.4„ (m >2) trong không gian vectz Euclide E. Khi đó trong E tồn tại họ vectơ độc lập tuyến tính bị, b¿.b„ thỏa 3 điêu sau: ¿ bọ a¿, d,.4„ biểu thị tuyến tính qua bị, bạ,.
họ bạ, bạ,.b„ biểu thị tuyển tính qua a), đạ,.b„ là họ trực giao. Chứng mình: Chứng minh qui nạp theo m. m = 2: Chọn bị = a¡, hiển nhiên b, #0. Chọn 6; dưới dạng: 6; = dạ + 1,1 € R.
Một số phép biến đổi đặc biệt trong không gian vectd Euclide và Unite Ta thấy: © b›#0 (nếu không thì a;,a> phụ thuộc tuyến tính). Ngoai ra: b, Lb, <> (bb) =0 ©(a,,b,)+t(b,,b,)=0 c>í(=~ (a;, 8,) 0.) Vậy chọn r như trên thì b, ba là họ độc lập tuyến tính thỏa ¡. Giả sử định lý đúng với m = &. Xét họ độc lập tuyến tính a), đ+,.
Theo giả thiết qui nạp, trong £ có họ độc lập tuyến tính by, ba,., ứng với ho aj, 4a,. Nếu ta tìm vectơ #¿„¡ dưới dang: bạụ¿¡ = duại + dy + tabs + .+ tiÐy thì họ vectơ Ðị, ba„. De, bya; thỏa i. Mat khác ta thấy: b,.
trực giao ©(b,„„b,)=0 Vi=LÈ ©t,(b,b,)=—(œ„b,) Vi<k+l ,b eo = ick +] ha) Do đó chọn 0„.¿ như trên thì b;, bạ. by, bess thỏa ¡., ii, iii, Ngoài ra, nếu b;„¡ =0 thì z¿„¡ biểu thị tuyến tính qua ở, b;„., dy và do đó qua ay„. Suy ra bị, bạ,. by, Des) độc lập tuyến tính.
Cl Mệnh dé IJ: Trong không gian vectơ Euclide, luôn tôn tại cơ sở trực chuẩn. Chứng mình: Nếu øy, ø3.đ„ là một cơ sở của không gian vectơ Euclide £ thì theo định lý trực giao hóa Schmid ta tìm được cơ sở trực giao bj, ba,.,é„ là một cơ sở trực chuẩn của F.0 ta được Đặt c,. ¡=], bị ˆ —————————————————————— za Một số phép biến đổi đặc biệt troae không gian vectơ Euclide và Unita Mệnh để [.2: Nếu T là ma trận chuyển cơ sở giữa hai cơ sở trực chuẩn của không gian vectơ Euclide E thì T' = T° (T° là ma trận chuyển vị của T) tức T là ma trận trực giao. Chúng minh: Giả sử 7 là ma trận chuyển từ cơ sở trực chuẩn a¡.4„ sang cơ sở trực chuẩn b),.,b, trong không gian vectơ Euclide E.
Nếu: b,==0 và a= SAM el inl JjJ=lLn j=ln Q@, BA - A, By Broo By Qy Fz s+ Be By, 8.„ Nhưng ta có: Ví, /e{I,.n} (e„s)~(Š Aub) = 3 (st) =, va @G„8)=(s„Š s2 )~Š 4, (a,,a,) =a, suy ra B, =a, Vi, j =l,n, đo đó 7"! =7°.3: VA © Mat,„(&), X là ma trận dòng n cột, Ÿ là ma trận cột n dòng. Nế tau có XA=Y XY thì A = I. Ta có: XAY =XY (*) VA = [a/]x„.„(Ñ), X là ma trận dòng n cột, Y là ma trận cột n dòng. Vì X, Y là tùy ý nên ta có thể chon các ma trận X.Y nhưsau: biến đổi t vectơ Euclide và Unita 0 X, =[0 - 010 0] 0 + cột thứ i 0 0 Vij=lạn Vậy (*) => XAY) = XY; ay = X.Y; Nếu i z/ thì ta có X,Y, = 0 vay ay = 0.
Nếu i = j thì ta có X)Y; = 1 vậyay = 1. Một số phép biến đổi đặc biệt trong không gian vecte Euclide và Unita Phẩn2: Định lý về các điều kiện tương đương của phép biến đổi trực giao. Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày một số điều kiện cân và đủ để phép biến đổi tuyến tính là trực giao và chứng mình sự tương đương giữa chúng một cách trực tiếp (không theo sơ đồ vòng). Cho of là phép biến đổi tuyến tính của không gian vecto Euclide E.
Khi đó các mệnh đê sau là tưởng đương: 1) Af là phép biến đổi trực giao. 2) A bảo toàn độ dai của các vectd. 3) AH biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn. 4) Đối với cơ sở trực chuẩn, ma trận của 4 là ma trận trực giao.
Chitng minh: b=2) Vxe€ E Ta có: kz+z)|= (A.A) = Vs) = Bh hay <# bảo toàn độ dai của các vectd, 1U >3) Giả sử a),. d„ là cơ sở trực chuẩn của không gian vectơ Z. 4 là phép biến đổi trực giao. Vie / ta có(<#(a,),Z#(a,)) = (a,„a,)=0 |2) =(4(a,), 4(a,)) = (a„,a,)=1=||Z(a)Ÿ= 1 Suy ra <#{a;), A(a2) on =#(a„) là cơ sở trực chuẩn.
Vậy =f biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn. 1) => 4) Trong không gian vectơ Euclide £, xét cơ sở trực chuẩn a¡. Goi A là ma trận của phép biến đổi tuyến tính <# đối với cơ sở (*). Khi đó: Wx = Xi + X;đ) + — + X„đ„, Y = Vi + Y‡đ¿ +.
Đật: x, y X=| : | và Y=| : | Vì <# là phép biến đổi trực giao nên: x, y, (x,y)=(<#(x),<#(y)) © X*Y =( AX) (AY) © X*Y = X°A AY theo mệnh để L3 = A°4=i. Vậy A là ma trận trực giao đối với cơ sở trực chuẩn (*).y)=(c#z),<#@w)) Yx,uyeE Vậy <# là phép biến đổi trực giao. 2 =3) Giả sử ay„.4„ là cơ sở trực chuẩn của £. Viej tacóa,La,— k.
Hag) là một cơ sở trực chuẩn. Vậy ~# biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn. Một số phép biến đổi đặc biệt trong không gian vectơ Euclide và Unita 2) =4) Giả sử ay,.4„ là cơ sở trực chuẩn của không gian vectơ Euclide E. A=Mat(<4,(a;)) VxuyeE |x+»Ÿ =|Z#«+»ƒ ©(xty,x+y)=(ct(x+ y),<1(x+ y) c©(x,y)+(y,y)+(y)+(y,x) =(c#(x),<4(x))+(=#œ),<t0)) +(<1(x),=#))+(=#),<#(x)) (DD Mà ~#‡ bảo toàn độ đài của mọi vectơ nên lúc đó (1) thành: (x,y)+(y,x)=(=1),<=#(y))+(=#0),=#z)) œ 2(x, y) =2(<#(x),=#(y)) © (x,y) = (A(x), Fy) (®) Wx = Xiđi + X;đ2 +.
+ WnGn 6€ E x 3 Đặt X= > | va Y=| : | Lúc đó (*) thanh: x: Ys (x, ¥) =(c#(x), #(y)) > X*Y =(AX (AY) © X*Y = X'A4'AY theo mệnh để L3 = A°A=/. Vậy A là ma trận trực giao. 3)=1Đ Giả sử ay„.4„ là cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide E. Theo giả thiết 3) ta có : =#(4¡), c#(a;).
=#(a„) cũng là cơ sở trực chuẩn. Vx = XQ) + Xạđ¿ +. + Y„2„ EE Ta có: (x,y) = (Ÿxs. Hy) = yay) + yzc#(4;)+.
Vậy =4 là phép biến đổi trực giao. 3) => 2) Giả sử ay.z„ là cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide Z. Theo giả thiết ta có : <#(¡), <#(43). =#(a„) cũng là cơ sở trực chuẩn.
Wx = Xiđi + Xsda+. + x,0, € E, la cÓ: vt rt pol el Do tính tuyến tính của <4 nên: <2(x) =x,c#(4¡) + Xx ap) + .A@))=Se @ ol ol Từ(1) va (2) ta có: Vrek I† =|+œŸ' => lrl=|+zœ1 hay # bảo toàn độ dài của các vectơ. 3ì = 4) Nếu A là ma trận của <# đối với cơ sở trực chuẩn a¡„.4„ thì theo định nghĩa A chính là ma trận chuyển từ cơ sở trực chuẩn a¡,.4„ sang cơ sở trực chuẩn Alas),. Ala,) ( giả thiết 3), và do đó theo mệnh để I.2 thì ma trận A là ma wan trực giao.
4) = 1) Trong E xét cơ sở trực chuẩn a;,. Gọi A là ma trận của <# đổi với cơ sở trực chuẩn aj. ¿„„ theo giả thiết A là ma trận trực giao nên A’ = A°. Khi đó: Vx = XQ) + Xad: +.
+ Xud,, Y = Yay + Yad2 +. + Nya, € E, Một số phép biến đổi đặc biệt trong không gian vectơ Euclide và Unita x, % ta có: ĐặXt=| “2 | và y=|7?| th ì x, | Va (x,y) =X*Y = X°A'AY = X*A*AY =(AXY AY =(<4(x), <4(y)) Vậy ta có <# là phép biến đổi trực giao. 4) ©2) Giả sử ay,. đ„ là cơ sở trực chuẩn của không gian vectơ Euclide E.
Ta đặt: x, X=|: | wcé: x, xf =(x,x) = X°X = XSLN = X*A'AX = X*A'XA =( AX) AX = (<4(x),<4(x)) =k-4()Ÿ'. hay <# bảo toàn độ dài của các vectơ. 4) ©3) Giả sử ay,. a, (*) là cơ sở trực chuẩn của không gian vectơ Euclide E.
0 0 Đặt 4 =| | | — dòng thứi là ma trận cột toa độ của vectơ a, đối với (*) ‘0 lo Một số phép biến đổi đặc biệt trong không gian vectd Euclide và Unite Vij ta có (c#(4,).<#(a,))=(AA,) (AA,)= A ASAA, = AA AA, =A A, =(a,,a,) Nếu / # / thì (4(a,),4(a,))=(a,,a,)=0 Nếu ¡= / thì ||z#(2,)Ï =(<#(4,),#(4,)) =(a,,a,)=1 =||z#(a ){= Suy ra 4(a)), (a2), Alay) là cơ sở trực chuẩn.