Khóa luận: Điều kiện để Ideals trong vành R có phân tích nguyên sơ

Khóa luận toán tin: Điều kiện để iđêan I trong vành R có phân tích nguyên sơ. Nghiên cứu chuyên sâu về cấu trúc và tính chất của vành, iđêan.

• Tác giả: Lâm Thị Anh Tuyết
• Người hướng dẫn: PGS.TS. Bùi Tường Trí
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Toán - Tin Học
• Đề tài: Về Một Điều Kiện Để Iđêan I Trong Vành R Có Sự Phân Tích Nguyên Sơ
• Loại tài liệu: Luận Văn Tốt Nghiệp
• Năm xuất bản: 2005 - 2009
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI CÁM ƠN
• LỜI MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. VANH VÀ IDEAN
• 1.2. VANH THƯƠNG
• 1.3. IDEAN NGUYÊN TỐ, IDEAN TỐI ĐẠI
• 1.4. PHÉP TOÁN TRÊN CÁC IDEAN
• 1.5. CĂN LŨY LINH, CĂN JACOBSON
• 1.6. SỰ MỞ RỘNG VÀ THU HẸP CÁC IDEAN
• 1.7. ĐỊNH NGHĨA MÔĐUN
• 1.8. ĐỒNG CẤU MÔĐUN
• 1.9. MÔĐUN CON - MÔĐUN THƯƠNG
• 1.10. PHÉP TOÁN TRÊN CÁC MÔĐUN CON
• 1.11. TÍCH VÀ TỔNG TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN
• 1.12. MÔĐUN HỮU HẠN SINH
• 1.13. VÀNH CÁC THƯƠNG
• 2. CHƯƠNG 2: PHÁT TRIỂN ĐỊNH LÝ CỦA COHEN TÌM MỘT ĐIỀU KIỆN ĐỂ IDEAN TRONG VANH GIAO HOÁN CÓ SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ

Tóm tắt

I. Khám phá phân tích nguyên sơ ideals trong vành giao hoán

Trong lĩnh vực Đại số giao hoán, lý thuyết về ideals đóng vai trò xương sống, cung cấp một ngôn ngữ mạnh mẽ để nghiên cứu cấu trúc của các vành. Một trong những khái niệm nền tảng và sâu sắc nhất chính là phân tích nguyên sơ ideals. Đây là sự tổng quát hóa trực tiếp của Định lý cơ bản của Số học, vốn phát biểu rằng mọi số nguyên dương đều có thể phân tích duy nhất thành tích các số nguyên tố. Tuy nhiên, khi chuyển từ vành các số nguyên Z sang các vành giao hoán tổng quát hơn, việc phân tích một ideal thành giao của các ideal nguyên tố không phải lúc nào cũng khả thi. Chính Emmy Noether, vào năm 1921, đã tìm ra một hướng đi thay thế hiệu quả: phân tích một ideal thành giao của các ideal nguyên sơ. Khái niệm này không chỉ giải quyết được bế tắc trong việc tổng quát hóa mà còn mở ra một mối liên hệ sâu sắc với Hình học đại số, nơi mỗi ideal tương ứng với một tập hợp hình học và sự phân tích của nó tương ứng với việc chia nhỏ tập hợp đó thành các thành phần cơ bản, bất khả quy. Bài viết này sẽ đi sâu vào các khía cạnh cốt lõi của lý thuyết, từ việc định nghĩa các khái niệm cơ bản đến việc trình bày định lý nền tảng Lasker-Noether và khám phá các ứng dụng quan trọng của nó.

1.1. Từ phân tích số nguyên tố đến phân tích ideals

Nền tảng của Số học là ý tưởng phân tích một số nguyên thành các thừa số nguyên tố, ví dụ 12 = 2² ⋅ 3. Nỗ lực tổng quát hóa khái niệm này cho các vành số đại số phức tạp hơn đã gặp phải trở ngại. Chẳng hạn, trong vành Z[√-5], số 6 có hai cách phân tích khác nhau thành các phần tử bất khả quy: 6 = 2 ⋅ 3 và 6 = (1 + √-5)(1 - √-5). Vấn đề này cho thấy các 'phần tử' không còn là đơn vị phân tích phù hợp. Dedekind đã đưa ra một giải pháp đột phá bằng cách thay thế các phần tử bằng các 'ideals'. Trong nhiều loại vành (gọi là vành Dedekind), mọi ideal đều có thể được phân tích duy nhất thành tích của các ideal nguyên tố. Tuy nhiên, lý thuyết này vẫn chưa đủ tổng quát cho mọi vành giao hoán, đặc biệt là các vành Noether, vốn là đối tượng nghiên cứu trung tâm của đại số hiện đại.

1.2. Định nghĩa Ideal nguyên sơ Nền tảng của phân tích

Một ideal nguyên sơ (primary ideal) là chìa khóa để giải quyết vấn đề phân tích. Theo định nghĩa trong tài liệu gốc ([3] mệnh đề 4.1), một ideal thực sự Q của vành R được gọi là nguyên sơ nếu với mọi x, y thuộc R, khi xy ∈ Q và x ∉ Q, thì tồn tại một số nguyên dương n sao cho yⁿ ∈ Q. Một cách diễn đạt tương đương là mọi ước của không trong vành thương R/Q đều là phần tử lũy linh. Mỗi ideal nguyên sơ Q đều liên kết với một ideal nguyên tố duy nhất P = rad(Q), được gọi là căn của Q. Trong trường hợp này, Q được gọi là một P-nguyên sơ. Khái niệm này yếu hơn so với ideal nguyên tố (nơi nếu xy ∈ P và x ∉ P thì y ∈ P), nhưng chính sự 'nới lỏng' này lại cho phép sự tồn tại của phân tích trong một lớp vành rộng lớn hơn.

II. Phân biệt Ideal nguyên tố và Ideal nguyên sơ trong phân tích

Sự khác biệt giữa ideal nguyên tố (prime ideal) và ideal nguyên sơ (primary ideal) là điểm mấu chốt và thường gây nhầm lẫn nhất trong lý thuyết phân tích nguyên sơ. Một ideal nguyên tố giống như một 'điểm' hình học không thể chia nhỏ, trong khi một ideal nguyên sơ giống như một 'lân cận vô cùng bé' của điểm đó, chứa thông tin về cấu trúc địa phương. Mọi ideal nguyên tố đều là ideal nguyên sơ, nhưng điều ngược lại không đúng. Ví dụ, trong vành đa thức K[x, y], ideal Q = (x, y²) là một ideal nguyên sơ nhưng không phải là ideal nguyên tố, vì xy ∈ Q (với y là một phần tử của vành) nhưng x ∉ Q và y ∉ Q, tuy nhiên y² ∈ Q. Căn của ideal này, rad(Q) = (x, y), là một ideal tối đại và do đó là một ideal nguyên tố. Việc hiểu rõ mối quan hệ này, đặc biệt là thông qua khái niệm căn của một ideal (Radical), là cực kỳ quan trọng để áp dụng chính xác Định lý Lasker-Noether và diễn giải kết quả phân tích. Thách thức chính là xác định khi nào một ideal là nguyên sơ và tìm ra ideal nguyên tố liên kết với nó.

2.1. Căn của một ideal Radical và mối liên kết quan trọng

Căn của một ideal I, ký hiệu là rad(I) hoặc √I, là tập hợp tất cả các phần tử x trong vành R sao cho một lũy thừa nào đó của x, xⁿ, thuộc về I. Tài liệu gốc ([3] trang 6) khẳng định rằng rad(I) cũng là một ideal của R. Một kết quả quan trọng là rad(I) bằng giao của tất cả các ideal nguyên tố chứa I. Mối liên kết cốt lõi ở đây là: nếu Q là một ideal P-nguyên sơ, thì P chính là rad(Q). Điều này có nghĩa là mỗi thành phần nguyên sơ trong một phân tích đều 'chỉ về' một ideal nguyên tố duy nhất. Ideal nguyên tố này nắm giữ thông tin 'bất biến' của thành phần đó, trong khi bản thân ideal nguyên sơ có thể chứa các 'phần tử lũy linh' bổ sung.

2.2. Tại sao phân tích thành ideal nguyên tố không luôn tồn tại

Trong các vành đa thức như K[x, y], ideal I = (x², xy) không thể được viết dưới dạng giao của các ideal nguyên tố. Ta thấy I = (x) ∩ (x, y)². Ở đây, (x) là một ideal nguyên tố, nhưng (x, y)² là một ideal (x,y)-nguyên sơ chứ không phải nguyên tố. Vấn đề nằm ở chỗ ideal I chứa các phần tử 'nhúng' (embedded elements) mà không thể tách rời chỉ bằng cách sử dụng các ideal nguyên tố. Cụ thể, phần tử xy thuộc I, nhưng không có ideal nguyên tố nào chứa I mà không chứa x hoặc y. Sự tồn tại của các cấu trúc phức tạp như vậy đòi hỏi một công cụ phân tích tinh vi hơn, đó chính là phân tích nguyên sơ, cho phép sự hiện diện của các thành phần nguyên sơ thay vì chỉ giới hạn ở các thành phần nguyên tố.

III. Định lý Lasker Noether Cốt lõi của phân tích nguyên sơ

Định lý Lasker-Noether là kết quả trung tâm của lý thuyết này, khẳng định sự tồn tại của phân tích nguyên sơ trong một lớp vành rất quan trọng. Định lý phát biểu rằng: trong một vành Noether, mọi ideal thực sự đều có thể được biểu diễn dưới dạng giao của một số hữu hạn các ideal nguyên sơ. Phiên bản đầu tiên của định lý được chứng minh bởi Emanuel Lasker cho các vành đa thức, và sau đó được Emmy Noether tổng quát hóa cho tất cả các vành Noether. Một vành Noether là vành thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng đối với các ideal, nghĩa là mọi chuỗi ideal lồng vào nhau I₁ ⊆ I₂ ⊆ I₃ ⊆ ... cuối cùng phải dừng lại. Điều kiện này tương đương với việc mọi ideal trong vành đều hữu hạn sinh. Sự tồn tại của phân tích này cung cấp một công cụ cấu trúc vô giá, cho phép chúng ta 'nhìn thấy' cấu trúc bên trong của một ideal thông qua các thành phần nguyên sơ của nó. Mỗi thành phần này, như đã nói, lại liên kết với một ideal nguyên tố liên kết, tạo nên một bức tranh hoàn chỉnh về cấu trúc của ideal ban đầu.

3.1. Phát biểu và chứng minh định lý Lasker Noether

Phát biểu đầy đủ của Lasker-Noether theorem là: Cho R là một vành Noether và I là một ideal thực sự của R. Khi đó tồn tại các ideal nguyên sơ Q₁, Q₂, ..., Qₙ sao cho I = Q₁ ∩ Q₂ ∩ ... ∩ Qₙ. Một phân tích như vậy được gọi là tối tiểu nếu không có thành phần Qᵢ nào có thể bị loại bỏ và các ideal nguyên tố rad(Qᵢ) là phân biệt. Hướng chứng minh, như được gợi ý trong tài liệu gốc (Mệnh đề 6.3, 6.4), dựa trên một khái niệm gọi là 'ideal bất khả quy' - một ideal không thể viết thành giao của hai ideal lớn hơn nó thực sự. Trong một vành Noether, mọi ideal là giao hữu hạn của các ideal bất khả quy. Sau đó, người ta chứng minh rằng trong một vành Noether, mọi ideal bất khả quy đều là ideal nguyên sơ. Sự kết hợp hai kết quả này mang lại chứng minh cho định lý.

3.2. Vai trò của Vành Noether trong sự tồn tại phân tích

Điều kiện vành Noether là thiết yếu cho sự tồn tại của phân tích nguyên sơ. Nếu một vành không phải là Noether, có thể tồn tại những ideal không hữu hạn sinh, dẫn đến việc không thể phân tích chúng thành một giao hữu hạn các thành phần. Ví dụ, trong vành các hàm giải tích trên một miền mở, tồn tại các ideal không hữu hạn sinh, và lý thuyết phân tích nguyên sơ không áp dụng trực tiếp. Điều kiện dây chuyền tăng đảm bảo rằng quá trình 'phá vỡ' một ideal thành các thành phần nhỏ hơn sẽ kết thúc sau một số hữu hạn bước. Do đó, vành Noether cung cấp một môi trường 'tốt' nơi các cấu trúc đại số phức tạp có thể được kiểm soát và phân tích một cách hiệu quả.

IV. Tính duy nhất của phân tích nguyên sơ ideals Điều gì cố định

Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh sau khi biết về sự tồn tại của phân tích nguyên sơ là: liệu phân tích này có duy nhất không? Câu trả lời là 'vừa có vừa không', và đây là một trong những điểm tinh tế nhất của lý thuyết. Không giống như phân tích số nguyên tố, bản thân các thành phần nguyên sơ Qᵢ trong một phân tích tối tiểu không nhất thiết phải là duy nhất. Có thể tồn tại nhiều cách khác nhau để biểu diễn cùng một ideal I dưới dạng giao của các ideal nguyên sơ. Tuy nhiên, có những khía cạnh của phân tích lại hoàn toàn bất biến, không phụ thuộc vào cách phân tích cụ thể được chọn. Các định lý về tính duy nhất (Uniqueness Theorems) chỉ ra chính xác những gì được bảo toàn. Cụ thể, tập hợp các ideal nguyên tố liên kết {P₁, P₂, ..., Pₙ} với Pᵢ = rad(Qᵢ) là hoàn toàn duy nhất cho ideal I. Điều này có ý nghĩa to lớn cả về mặt đại số và hình học.

4.1. Các ideal nguyên tố liên kết Tập hợp bất biến

Tập hợp các ideal nguyên tố liên kết (associated prime ideals) của một ideal I, ký hiệu là Ass(R/I), là tập hợp bất biến quan trọng nhất. Theo Định lý duy nhất thứ nhất, tập hợp {rad(Q₁), ..., rad(Qₙ)} không phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ tối tiểu cụ thể nào của I được chọn. Tài liệu gốc ([3] Định lý 4.9) chứng minh rằng các ideal nguyên tố này chính là các ideal có dạng rad(I:(x)) với x ∈ R. Điều này cung cấp một phương pháp độc lập để xác định các ideal nguyên tố này mà không cần phải tìm ra một phân tích cụ thể trước. Tập hợp này mang thông tin cấu trúc cốt lõi về ideal I.

4.2. Thành phần tối tiểu minimal và thành phần nhúng embedded

Tập hợp các ideal nguyên tố liên kết Ass(R/I) được chia thành hai loại. Các phần tử tối tiểu (theo quan hệ bao hàm) trong tập hợp này được gọi là các ideal nguyên tố tối tiểu hoặc các thành phần tối tiểu (minimal components). Các ideal nguyên tố còn lại được gọi là các ideal nguyên tố nhúng hoặc thành phần nhúng (embedded components). Định lý duy nhất thứ hai phát biểu rằng: các thành phần nguyên sơ Qᵢ tương ứng với các ideal nguyên tố tối tiểu Pᵢ là duy nhất. Ngược lại, các thành phần nguyên sơ tương ứng với các ideal nguyên tố nhúng có thể không duy nhất. Về mặt hình học, các thành phần tối tiểu tương ứng với các thành phần bất khả quy chính của đa tạp đại số, trong khi các thành phần nhúng tương ứng với các 'đa tạp con' nằm bên trong các thành phần lớn hơn.

V. Hé lộ ứng dụng phân tích nguyên sơ trong Hình học đại số

Lý thuyết phân tích nguyên sơ ideals không chỉ là một khái niệm đại số trừu tượng; nó có một diễn giải hình học vô cùng mạnh mẽ và là một công cụ không thể thiếu trong Hình học đại số. Trong lĩnh vực này, có một sự tương ứng cơ bản giữa các đối tượng đại số (ideals trong một vành đa thức K[x₁,...,xₙ]) và các đối tượng hình học (các tập hợp đại số, hay đa tạp, trong không gian Kⁿ). Một ideal I tương ứng với tập hợp các điểm V(I) là không điểm chung của tất cả các đa thức trong I. Phép phân tích một ideal I thành giao của các thành phần nguyên sơ I = ∩Qᵢ tương ứng trực tiếp với việc phân tích tập hợp đại số V(I) thành hợp của các tập con không thể rút gọn được V(I) = ∪V(Qᵢ). Mỗi V(Qᵢ) được xác định bởi ideal nguyên tố liên kết Pᵢ = rad(Qᵢ), và V(Pᵢ) là thành phần bất khả quy của V(I). Bằng cách này, một bài toán hình học phức tạp về việc phân tách một hình được chuyển thành một bài toán đại số về việc phân tích một ideal.

5.1. Ý nghĩa hình học của các thành phần nguyên sơ

Trong sự tương ứng này, một ideal nguyên tố tương ứng với một đa tạp đại số bất khả quy—một hình không thể bị phân tách thành hợp của hai hình nhỏ hơn. Một ideal nguyên sơ Q tương ứng với một tập con V(Q) mà về cơ bản là cùng một đa tạp bất khả quy V(rad(Q)), nhưng có thể chứa thêm 'thông tin về tiếp xúc hoặc bội'. Ví dụ, ideal (x²) trong K[x] tương ứng với điểm gốc x=0, nhưng với 'bội 2'. Sự phân biệt giữa thành phần tối tiểu và thành phần nhúng cũng có ý nghĩa hình học rõ ràng. Các thành phần tối tiểu tương ứng với các thành phần bất khả quy có chiều cao nhất của đa tạp, trong khi các thành phần nhúng tương ứng với các đa tạp con có chiều thấp hơn nằm bên trong các thành phần đó (ví dụ, một điểm nằm trên một đường thẳng).

5.2. Phân tích đa tạp đại số thành thành phần bất khả quy

Một nhiệm vụ cơ bản trong hình học đại số là phân tích một đa tạp đại số bất kỳ thành hợp của các thành phần bất khả quy của nó. Phân tích nguyên sơ cung cấp một thuật toán chính xác để thực hiện điều này. Cho một tập hợp đa thức xác định đa tạp V, chúng ta tạo ra ideal I sinh bởi chúng. Sau đó, ta tìm một phân tích nguyên sơ tối tiểu của I, I = ∩Qᵢ. Các ideal nguyên tố tối tiểu Pᵢ trong tập hợp các ideal nguyên tố liên kết {rad(Qᵢ)} sẽ cho ta các thành phần bất khả quy mong muốn. Các đa tạp V(Pᵢ) chính là các thành phần bất khả quy của V, và V = ∪V(Pᵢ). Đây là một ứng dụng trực tiếp và mạnh mẽ của lý thuyết, kết nối sâu sắc giữa đại số và hình học.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương I: KIEN THUC CHUAN BỊ 1 VANH VÀ IĐÊAN 1.1 Vanh: Một vành là một bộ ba thứ tư (R, -. (*+” got là phép công và “` ” Gọi là phép; nhân) wong đó + vả là hai phép toán trên mot tập hợp R, thỏa man các điều kiện sau i £, -J là nhóm aben voi phan tử trung hòa là 0 (gọi là phan ur không) " Vụ he ah = hạ (ta kí hiệu ab thay cho a.h) mn Vơwc<# - a(bhc)=(abc iv. 3le#/VaeW al=a(1 được gọi là phan tử đơn vi) vẻ VaubhceWR B a(h+c)=ub+ac Ta thường gọi tắt “vanh /È” thay cho “vành (0È -, J” Nhân xét © Khái niệm vanh ma chúng ta dùng ở day là khái niệm “vanh giao hoán có đơn vị” ma chúng ta đã được học trong đại số đại cương trong đại số đại cương © Dé dàng thấy rằng điều kiện aben của nhóm (R, +) là thừa, vì có thé được suy ra từ các điểu kiện còn lại.1 Định nghĩa: e© Néu trong vanh /# có | = 0 thi vành # chỉ có một phản tử duy nhất ta gọi đó là vành không, kí hiệu 0. © Một phan tử a thuộc vành được gọi là kha nghịch nếu 36e R ab=1 Phin tử b như vậy là duy nhất và được gọi là phan tử đảo của a và kí hiệu là a” se Vành khác 0 ma mọi phan tử khác 0 déu khả nghịch được gọi là một trường © Môi phan tử ø thuộc vành được goi là ước của không nêu trong # có phan tư b # 0 sao cho ab =0.

Nếu ø là ước cúa không vá ø # 0 thi ta nói a là ước thật sư của không se Vành khác không va không có ước thất sự của khôap được goi la miễn nguyên SVTH Lam Thị Ánh Tu — Trang4 l.uận van tt nghiếp GVHD. PGS I'S Bur Tường Tri ® Mội phản tử ¿ thuộc vành /‡ được goi là lầy linh nếu có mot số nguyên dương 7 sao cho ¿7 = 0 l.1 Định nghĩa: Cho vành 2, một tập hợp con Ac /È được gọi là vành con của vanh /) nếu: ' | "n Wxy€A: x-ved iti Vr.yeA xwea Nhận xét: giao môt ho vành con của vành / là một vanh com của R 1.2 Định nghĩa; Cho 7 la một tap hợp con của vành RX. Vành con nhỏ nhật của X ma chứa 7 được got la vành con sinh boi 7, đó chính lá giao cua tắt cá các vanh con của / ma chứa 7 1.3 Đồng cấu vành: _ 1.1 Định nghĩa: Cho hai vành /‡ và S. Một ánh xạ / :/t———»Š được gọi là một đồng cấu vành dâu: ! Wxye# /(x+y)=/(x)+/(w) I (xy) = /(x)f(») un =f(I=! 1.2 Định ngh: Đồng cấu vanh / được gọi lá đơn cầu (toàn cấu.

đăng cấu), nếu / là đơn anh (toàn ánh, song ánh) Nêu có một đẳng cau vành từ vành R đến vánh S thi ta nói hai vành /È va S dang cấu nhau, ký hiệu: KaS Tap hop: Im f = /(#} được got la ánh cua đông câu vành/ SVTH: Lam ThiAnhTuya ## TTrang$ Luan van tot nghiếp GVHD PGS TS Bui Tường Tn Tap hợp: kerf = {xe R/ f(x) = 0} được gọi là hạt nhân của đông cấu vành / l.1 Dinh nghĩa; một Idéan / của vành K la một tập hợp con của /‡, thỏa mãn: (i) /#Ø (i) Vayel xeye/l Gin) Vxe/.Vael axel Nhận xét © Theo đại số đại cương, thi điểu kiện (ii) thật ra là Wx,y€/ x-yef! Tuy nhiên ta dé dang suy ra diéu này từ ba điểu kiện trên Nhờ vậy việc kiểm tra mỗi tập hợp là một idéan trở nên đơn giản hon © Hat nhân của môt đông cau vanh la mot idéan © [déan nhỏ nhất của vanh # còn chửa tập con 7 của vanh #, được goi là idéan sinh bởi tập con T, ký hiệu: (7). ® lđêan được goi la hữu hạn sinh néu nó được sinh bởi một tập hữu han T=({x,x,.2 Định nghĩa: © Iđêan sinh bởi một phản tử được gọi là idéan chính © Mot miễn nguyên ma mọt idéan đều chính gọi là vành chính l.Š Vành thương 1.1 Định nghĩa: Cho 7 là một iđêan của vành & Quan hệ hai ngôi ~ xác định trên 2 Va.beR a-~bcoa-he/, làmột quan hé tương đương Tập thương cua #‡ trên quan hệ trên quan hệ tương đương — được ghi là #⁄/. lớp tương đương với đại diện là ø /ẻ được ghi là -/ Khi đỏ tap thương Ry có cầu trúc vành với hai phép toán SVFH Lam Thị Anh Tuyết Trang 6 Luận van tốt nghiệp GVHD PGS TS Bu Tưởng Tn Phép cộng VWa+lhb+eleR (atl)+(b+/)=(atrh)el Phéep nhân Va+lbeleR (ø+/!)(h+*!)=(ab)+/ Ta gọi đó là vàn: thương của vành R trên idéan 7 Nếu không có gì nhằm lẫn, chúng ta sẽ kí hiệu các lớp ø : / là a 1.6 lđêan nguyên tổ, iđêan tối đại 1.1 Định nghĩa: Một idéan /? của vành # được gọi là idéan nguyên tổ nếu /? # R va aeP VaheR abeP= bel’ Một idéan M của vành #‡ được gọi là idéan tôi đại nếu M # R và không có idéan thực sự nao của Rma R < /. Tap tắt ca các idéan nguyên tô của vành # được ký hiệu là Spec(R).

Tap tat cá các idéan tốt đại của vành R được ký hiệu la A44x(Â).2 Mệnh đề: ([3| trang 3) * Cho sớêan I của vành R, khi đó © / là idéan nguyên tổ <> hy là mién nguyén. © 1 la idéan tối dai ky là trưởng.3 Hệ qua; © Mot idéan tối đại của vành déu là idéan nguyen (tổ © Jđêan 0 cua vành R là nguyên tổ khh và chi Whi R là miễn nguyên. Bồ dé Cho ( X.<} là một tập sắp thứ ty, khi đó ta định nghĩa © Cân trên cua một tap con 7 c .Ý la một phan tử ae À thỏa x < d,Vx € 7 © Mội đây chuyên trong X là một tập con 7ƒ c NV thỏa Vxyel x<yhayy<x SVIH Lam Thị Anh Tuyết Trang7 Luan văn tết nghiên GVHD PGS TS Bùi Tường Tri © Phản tử tối đại của X la một phần tử œ À' sao cho WxeN asx>a=x. Bé dé Zorn: néu mời dey chuyên của mớt tập sdp thứ tự khác rong X đều có cận trên trong X thì X có chứa phần tư tôi đạt.5 Mệnh dé: ([3] định lý 1.3) Môi idléan thực sự đêu chứa trong một tđéan tôi dai nào đó 1.6 quả: Hệ © Trong một vành khde () luôn có ít nhất một idéan tối đại © Mi phản tư không tha nghịch cua vành luôn thuộc về một idéan tối dai 1.7 Định nghĩa; Vanh chi có một idéan tôi đại duy nhất gọi là vin dia phuong.8 Mệnh dé: ({3] mệnh để 1.6) cho vành R và M là idéan thực xự cua vành Ít.

Thì: (i) Nếu Vxe R\M x kha nghịch trong R thì R là vành địa phương và M là idéan tối đợt của vành. (u) Nếu M là idéan tốt đại cua vành R và Vx € A4 1+ x kha nghịch trong R thì vành R là vành địa phương.9 Mệnh đề: (i) Cho idéan I và các tđêan nguyễn tô P,, P,P, cua vành R Nếu: 1 c (J1: i thi Jie {I,. 1, và tđêan nguyên tô P cưa một vành Ro Nếu P51, thì 3 e {I,.n) P O1, và nếu P = ( 1, thì re {ln} P=1, SVTH Lâm Thị Ảnh Tuyết Trang8 Luan văn tốt nghiếp GVHD PGS TS Bùi Tường Tri 1.7 Phép toán trên các idéan 1.1 Ménh đề: (31 trang 6) Giao |1, ( của một họ sdéan (1,) __ caa vành R là một idéan cua ÍÈ mek Do đó. idéan sinh bởi tập con T lá giao của tat cá các idéan chứa T.2 Mệnh dé: (J3| trang 6) cho | và J là hai idéan của vanh R.

Khi đó: © Tập I+/={x+y!xe1,ye.J} là một idéan cua R. © Tập Ñ b3 sy, [se ly, € J | là một idéan ci R hate ow © Tập [:J={xeR/VyeJ xy<!} la méi tđẻ an cua R. © Tập rad(1)={xe R/3n>0 xi} là mộtidéan cua R.3 Định nghĩa: © Idéan / + J được gọi là tong của hai tđêan / và./ Từ đó ta có định nghĩa tông của n iđêan © lđêan // được gọi là (ích của hai iđêan / và /. Dựa vào đây ta có định nghĩa lũy thừa của môt tđêan /"=/7 ¡7 aida © Idéan/;/ được gọi la thương cia hai idéan / và / * c là căn của hai idé Idéan // đượgọt va.:9 net af (vy) Icrad(f) (vi) rad(za4(1))=ra4(1) fen) rad (1) = rad (I ¬.8 Can lũy linh, căn Jacobson 1.1 Định nghĩa; Idéan rađ(f)) của vành R được gọi là can /ữy linh cia vành R.

Ký hiệu X„hay Dé thấy ring căn lũy linh của một vành # là tập tất cả các phân tử lũy linh của vanh & Vanh thương 4) không có phản tử lũy linh khác 0.2 Mệnh đề: Can lũy linh cua vành R là giao cua tắt ca các tđêan nguyễn t6 cua vành R.3 qua: Hệ Cân rad) là giao cua tắt ca cde sddan nguyễn tổ chứa I. Dinh nghĩa: lđêan giao của tất cả các idéan tối đại được gọi là căn Jacobson của vành /#t Ky hiệu: Ry hay R 1.1 Mệnh đề: Cho mot họ vành (R,)wet” Khu đỏ tập tích Descartes R= TR, cùng với aed hat phép todn thành phản : ® (X,)ì+(y )=(x ty) © (X,)(W„)=(X, Y„) là một vành. e Vành / gọi là vanh tích của họ (#, ),., ————ễ——— ~ = SVTH Lam Thị Anh Tuyết - Trang 10 Luan văn tot nghiếp GVHD PGS TS Bui Tương Tri © Nếu 4= {ơ,.œ,} là tập hợp hữu hạn thi ta phi vào vanh tích ReR,»R, » «RK, thay cho #=[[®, act © Cac ánh xa ø,-[#,——>ÂÑ„.#„((x„)) = x, là họ động edu chính tắc 8 (phép chiếu) từ tích lên các R, Ho đông cấu (#„)„„, nảy thật sự đậc trưng cho vành tích , điểu nay thể hiện qua mệnh đẻ sau 1.3: Cho mội họ vành (K,),.,) là một vành với một họ đẳng cẩu g„: S——>R„ khu đó tin tại duy nhất déngedu - @: S——x] [Ñ, :sao chon, op=g,. e e Dao lại, nêu(R.(ƒ,)„„„)là một vành cùng với một họ đẳng cấu 1, - R——>R, có tính chất: với mot vành Š và họ đẳng cẩu g_- S——>R,.œ € A - luôn tân tạt duy nhất một đẳng cẩu : S——>»R sao cho f,0@= ga € Athi R là vành tích cua họ (R,,),,, (sat khác một đăng cầu).

Chứng minh -/xơ heow) ° Chọn os) =(g,(s)ja € A. Dễ thay @ thoả sự tôn tại Nếu có ¥ S—>T[] R, thoa Yaar 7, °@= g„(š))œ € A. Va e Athi vseS W(s)=(y,),€[]R, > Uy) =, 2 Vs) = g„(s),Va >y, =2, (5). Từ giả thiết và từ phần thuận đã chứng minh trên , dé thấy có biểu đồ giao hoan đồng cầu sau - TTR.

tk 5] 8, OR SVTH: Lam Thị Anh Tuyết Trang II Luận van tốt nghiếp GVHD PGS TS Bui Tướng Trí f,+@ =2,.a,99=/, VWaea Suyra 2, o(go@ )=2, /,2(@ sØ@)= /, Vaed nhung hién nhién mold š =z, va /sÍd,= ƒ,.