Chương 1 ` Lời nói đầu 1.1 Lí do chọn đề tài Trong những thập nién gan day, sự ra đời của lý thuyết thong tin lượng tử và hỗn độn lượng tử nhận được nhiều sự quan tam của các nhà toán học và vật lý lý thuyết ([-B]). Trong ứng dung, người ta đặc biệt quan tam tới khoảng cách giữa hai trạng thái lương tử (hai ma trận mat độ — density matrix). Các hàm khoảng cách được tống quát hoá cho tap hdp các ma trận xác định không am. Từ đó, các hàm khoảng cách có ý nghĩa quan trong trong ứng dụng như Hoc máy (Machine Learning), Thông tin Lương tử (Quantum Information), Lý thuyết vận chuyển không giao hoán (Non-commutative Transport Theory}, v.
Goi Mf, là dai số các ma tran cắp r và P, là tập tắt cả các ma tran xác định dương. [Không gian các ma trận mật độ được ký hiện bdi Pl={AeP,:TrA=1} hoảng cach Riemann giữa hai ma tran xác định dương [6] được định nghĩa bởi dg(A, B) = ||log A"? BA~*? II, trong đó A,B € ?„ Ngoài ra còn nhiễu khoảng cách khác xác định trên P,, cũng có ý nghĩa quan trong trong các lý thuyết vẻ Thông tin Lượng tử, Xử lý tín hiệu số hay Học máy và một số lĩnh vuc khác. Một s6 khoảng cách thường được sử dụng như là: khoảng cách Bures- Wasserstein được dùng trong lý thuyết Thông tin Lượng tử hoặc Tối tu vận tải [7], khoảng cách Log-Determinant trong Hoc máy và lý thuyết Thong tin Lượng tử [8| hay khoảng cách Hellinger hay còn gọi là khoảng cách Bhattacharya trong lý thuyết Thông tin Lượng tat [9]. Chính vi vậy, nhóm chúng tõi chọn chủ dé mang tính thời sự, để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.
Khóa luận tốt nghiệp 2023 Nguyễn Minh Triết 1.2 Mục đích nghiên cứu Cho Mi, là đại số của các ma tran øœ x m trén C và P, là tap hợp các ma trận xác định dương trong fl, Ký hiệu J là ma trận đơn vị của Rú;. Với một ham thực f và ma trận Hermit A € #f„, ma trận f(A) được hiểu theo nghĩa là một giải thức hàm (functional calculus). Một hàm trơn ® từ P,, x P, di vào tap các số thực không âm được gọi là một phan kì lượng tử nếu i) ®(X,Y) >0,VX,Y €7, ®(X,Y) = 0 khi và chỉ khi X = Y. ii) Dao hàm 2® phụ thuộc vào biến thứ hai bị triệt tiên trên đường chéo.y(} = 0 với mọi ma tran Hermit Ö.
iii) Dao hàm cap hai D*4 là không Am trên đường chéo, tức là D?4(X,Y})|x.y(, B) > 0 với mọi ma trận Hermit Ö. Với các ma trận xác định dương A và B, ta đã biết rằng trung bình nhãn 4ÿÖ là trung điểm của đường cong trắc địa A,B = AM? (A-2BA-12)' A12, (t € |0.Virosztek đưa ra sự giải thích phân kì trung tam cho mọi trung bình đối xứng Kubo-Ando. Ho cũng nghiên cứu về trong số và các biến thé da chiền của mốt lớp rộng các trung bình Kubo-Ando đối xứng. Điểm tắt của các trung bình Kubo-Ando là với mỗi trung bình Kubo-Ando ø tương ứng với một hàm toán tử đơn điện ƒ„ thông qua quan hệ AoB = A)?J„(A-!2BA-!') AM3, Từ quan hệ này, trong [12], J.Virosztek đã xây dựng phan kì lượng tử tương ứng và chỉ ra trung bình Kubo-Ando là nghiệm duy nhất của bài toán tổng bình phương bé nhất tương ứng với phan kì lượng tử đã có.
Ngay sau đó, Lam and Milley đã xem xét đến quantum Hellinger mà trong đó ma trân lũy thừa „(, Ay, 4a, ---, An) = (ƒ+ AS+ +--+ 4P) /m)!2P là nghiệm duy nhắt tương ứng với bài toán tổng bình phương bé nhất. Trong một nghiên cứu khác, {T3], Lam và Le đã đưa ra và tìm hiển sâu về phân kì lượng tử với trung bình lũy thừa ø„(t, A,B), chủ yếu tập trung nghiệm duy nhất của bài toán tổng bình phương bé nhất. Tit những nghiên cứu trên, trong [4] nhóm tác giả H.Dình và Yen đã nghiên cứu dai lượng (X.Y) = Tr | l—œ + a l-a )x+x-——- a XIayse Xay1-a — l-a GVHD: TS. Tran Thị Hiếu Nghia và ThS.
Phan Ngoc Yến Trang 5 Khóa luận tốt nghiệp 2023 Nguyễn Minh Triết trong đề 0 < a < 1. Nhóm tác giả đã chứng mình lượng ®(44, B) là phan kì lương tử, đồng thời họ chứng minh bài toán tổng bình phương bé nhat m min wi, (A;, X) X>t tl có duy nhất nghiêm thỏa phương trình chứa trung bình Heinz Š wll, (X, A. Tit những kết qua đã có, nhóm chúng tôi xét đại lượng sinh bởi trung bình cộng và trung bình Heinz wx =T (Š 2iY Areelu ) 4y “aVl-a ¡, yil-aya 2 là một phân kì lượng tử với moi 0 < a < 1 và bài toán tổng bình phương bé nhất mịn Ð ø#(A, X).3 Phạm vi nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu Luận văn này nghiên cứu một phan kì lượng tử mới sinh béi trung bình công và trung bình Heinz và bài toán tổng bình phướng bé nhắt tương ứng. Đồng thời giới thiệu một số kết quả liên quan đến bit đẳng thức xứ lý dữ liệu và tính chit in-betweenness.
Trong Iuan văn này chúng tối đã nghiên cứu: 1. Chúng tõi tập trung tính toán cu thể các đạo hàm của hàm các ma trận thông qua phan kiến thức chuẩn bị và chứng minh phan kì lượng tử với trung bình Heinz và bài toán tổng bình phương bé nhất. Chúng tôi giới thiêu tính ¿n-befueeness với phần kì lượng tử đã có. Tran Thị Hiếu Nghĩa và ThS.
Phan Ngọc Yến “Trang 6 Chương 2 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn trình bày các kiến thức cơ bản về toán tử, ma trận, ma trận Hermit. ma tran Unita, ma tran xác định dương, đạo ham của ham các ma trận, khái niém hàm toán tử đơn điều và hàm toán tử lỗi Những kiến thức này được tham khảo từ tài liệu [Bì] 17].1 Kiến thức cơ bản về toán tử và ma trận Dinh nghĩa 2. Cho ? là một không gian vectơ trên trường phức. Một hàm hai bién (,:‹‡:? x HOC được goi là tích võ hướng nếu thỏa man: {>+.2 \ cho thấy tích võ hướng là tuyến tính liên hợp đối với biến thứ nhất (và tuyến tính đối với biến thứ hai).
Ta có bắt đẳng thức Schwarz sau | (x, y} |? < (x, a) (yy).5) Tích võ hướng xác định một chuẩn cho các vecto như sau Izl = v. Chuan này có các tính chat sau lla + ll < llzll + Iw: |‡z. Khóa luận tốt nghiệp 2023 Nguyễn Minh Triết \|x|| biểu dién dé dài của vectơ x. Một điều kiên nữa trong định nghĩa của không gian Hilbert là mọi day Cauchy đều hồi tu, khi đó, không gian là đây đủ.
(Trong trường hợp him hạn chiéu, tính day đủ luôn luôn có}. Không gian tuyến tính ©" gốm các bộ n số phức làm thành một không gian Hilbert với tích võ hướng Yi @y) = t= lw .Ta i=1 Un trong đó Z kí hiệu là số phức liên hợp của số phức z € C. Khong gian các hàm phức kha tích bac hai trên không gian Euclide thực R". Nếu ƒ và g là những hàm như vay, khi đó (f.9) = L Plajg(x) dx là một tích võ hướng.
Khong gian này được kí hiéu là 17(R") và, ngược lại với khong gian ít chiều *, không gian này võ hạn chiều.6) dude gọi là tích võ hướng Hilbert-Schmidt. Các ma trận đơn vị Ffij) (1 <¡,) < nÌ tạo thành một co sở trực chuẩn. Từ đó ta có chuẩn Hilbert-Schmidt } \|Allz = tA.A) = Vn(4-4) = | So AGP (2.7) tự=Ì là một chuẩn của các ma trận. Ví du, cho l—i 2+2 A= 3+2t 4-22 14+i 3-2 A* = 2-1 4+2% GVHD: TS.
Tran Thị Hiếu Nghia và ThS. Phan Ngọc Yến Trang 8 Khóa luận tốt nghiệp 2023 Nguyễn Minh Triết Ta có fae 2+13 (1 + i)(2 +4) + (3 — 3i)(4 - 28) (2 = a1 — i) + (4 + 28)(3 + 28) 5 +20 Do dé [|All2 = /Tr( A" A) = v2+ 13 +5 + 20 = v40. Phan dưới đây ta sẽ chủ yếu quan tâm đến các không gian hữu han chiều. Nếu (z,} = 0 với z và là các vectd của không gian Hilbert, khi đó x và y gọi là trực giao, kí hiệu là ely.
Với H CH, Ht = {z €?4:+Lh,Vh € H} dude gọi là phần bù trực giao của H. Với mọi H C ?(, H* là không gian con đồng. Một họ {e;} các vectd được gọi là trực chuẩn nếu (e;,e;} = 1 và (e;,e;) = 0 nến i # j. Một hệ trực chuẩn tôi đại được gọi là một cơ sở hoặc cơ sé trực chuẩn.
Lite lượng của một cơ sở được gọi là số chiéu của không gian Hilbert. Trong không gian C", cơ sở trực chuẩn bao gồm các vects J: = (1,0,.8) với mỗi vecté có + — 1 thành phần bằng 0 và một thành phan bang 1. là một cơ sở trong không gian Hilbert H. Khi đá với mọi vectd x € H ta có biểu dién , Cn.
r= »` fen2) Hon nữa, lz? = So (en 2) P Cho ey,e¿. ca là một cơ sở của không gian Hilbert H va ý:, í›. fin là một cơ sở của K. Ánh xạ tuyến tính A: H —› K được xác định bởi các vects Aes,j = 1,2,.
Hon nữa, vectdơ Ae; được xác định bởi các thành phần của nó nhì sau: Ae; = th + cay fe +:-‹.+ Cm#fm- Các số qy.1 <i < m,1 <j < n, tạo thành một ma trận m x n, được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính A phụ thuộc vào các cơ sở (€,ez,. Để phan biệt toán tử tuyến tính A với ma tran của nó, ta kí hiệu là [A]. Chú ý rằng thứ tự của các veetơ cơ sở là quan trong. Ta chủ yếu xem xót các toán tử tuyến tinh của một không gian Hilbert vào chính nó, kí hiệu là BCH).
Tran Thị Hiếu Nghĩa và ThS. Phan Ngọc Yến “Trang 9 Khóa luận tốt nghiệp 2023 Nguyễn Minh Triết Cho H,, He, Hy là các không gian Hilbert và cố định mốt cơ sở trong mốt không gian. Nếu B: Hy — He và A: Hy — Hz là các ánh xa tuyến tính, khi dé ánh xa hep thành fr A(Bƒ) © Hs (ƒe Hy) là tuyến tính, kí hiệu là AB. & Biểu thức về phải được xác định là tích [A][B] của ma trận [A] và [B], tức là [AB] = [A][B).
Rõ ràng với ma tran Í x m A và ma trận m x n B, tích [4]jĐBỊ là ma trận | x n. Cho H, và He là hai không gian Hilbert và cố định một cơ sở trong một không gian.B: Hy — He là các ánh xạ tuyến tính, khi đó tổ hợp tuyến tính của chúng OA + øB)ƒ > MAS) + (BS) cũng là ánh xa tuyến tính và (AA + eB); = MA); + #|B]. Cho # là không gian Hilbert.